第07講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練習(xí)題講典例：教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)：3大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

知識(shí)點(diǎn)1實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

(1)a>ba－b>0；

(2)a＝?ba－b＝0；

(3)a<b?a－b<0.

?知識(shí)點(diǎn)2不等式的性質(zhì)

(1)對(duì)稱(chēng)性：a＞bb＜a；

(2)傳遞性：a＞b?，b＞ca＞c；

(3)可加性：a＞ba＋c?＞b＋c；a＞b，c＞da＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b?，c＞0ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；

nn

(5)可乘方：a＞b＞0a?＞b(n∈N，n≥1)；??

(6)可開(kāi)方：a＞b＞0?na＞nb(n∈N，n≥2).

知識(shí)點(diǎn)3比?較大小

1.作差：作差比較，根據(jù)a－b>0a>b，欲證a>b只需證a－b>0；

a

2.作商：作商比較，當(dāng)b>0時(shí)，a>b>1。

b

3.找中介“1”或“0”

教材習(xí)題01解題方法

甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一路線走到B地，（1）設(shè)A地到B地的路程為sm，

因?yàn)榧子幸话氲臅r(shí)間以的速度行走，

所用時(shí)間分別為t1s，t2s．甲有一半的時(shí)間以mm/smm/s

的速度行走，另一半的時(shí)間以nm/s的速度行走；乙另一半的時(shí)間以nm/s的速度行走，

有一半的路程以的速度行走，另一半的路程以112s

mm/s所以tmtns，所以t，

21211mn

nm/s的速度行走，且mn．

因?yàn)橐矣幸话氲穆烦桃詍m/s的速度行走，

(1)請(qǐng)用含m，n的代數(shù)式表示甲、乙兩人所用的時(shí)間

另一半的路程以nm/s的速度行走，

t1和t2；

11

ss

(2)比較t1與t的大小，并判斷甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)B所以s11s(mn),

2t22()

2mn2mn2mn

地．

（2）

2

2ssmns4mnmn

tt

12mn2mn2mnmn

2

sm22mnn24mnsmn

,

2mnmn2mnmn

2

因?yàn)閙n，所以mn0，因?yàn)?/p>

s0,mn0,mn0,

2

smn

所以0,

2mnmn

所以t1t2，所以甲先到達(dá)B地．

2ss(mn)

【答案】(1)t；t.

1mn22mn

(2)t1t2，甲先到達(dá)B地．

解題方法

（1）若ab，當(dāng)c0時(shí)，則

教材習(xí)題02ac2bc20；故為假命題，

判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：

（2）由于ac2bc2，故c20，則

(1)若ab，則ac2bc2；

c20，進(jìn)而可得ab；故為真命題，

(2)若ac2bc2，則ab；

（3）若a2,b1，c2,d3，

(3)若ab，cd，則acbd；

則ac4,bd3，

11

(4)若ab，則．此時(shí)滿足ab，cd，但是無(wú)法得

ab

到acbd，故為假命題

（4）若ab，不妨取a1,b0，

111

則無(wú)意義，故無(wú)法得到，故

bab

為假命題

【答案】(1)假命題

(2)真命題

(3)假命題

(4)假命題

解題方法

x22x1x22x1x2xx2x11

教材習(xí)題03

22

22x212x2x21x2x20

試比較x2x1x2x1與,

x2x1x2x1的大?。?/p>

x22x1x22x1x2xx2x11

.

【答案】x22x1x22x1x2xx2x11

考點(diǎn)一用不等式表示不等關(guān)系

1．某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資300萬(wàn)；方案B為第一年投資

80萬(wàn)，以后每年投資20萬(wàn)．下列不等式表示“經(jīng)過(guò)n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是（）

A．8020n300B．8020n300

C．8020n1300D．8020n1300

【答案】D

方法總結(jié)用不等式（組）表示不等關(guān)系的步驟

1．審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)；

2．適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量；

3.用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式（組）．

2．下列不等式中可以用來(lái)表示“a的2倍比a的平方的相反數(shù)小”的是（）

A．2aa2B．2aa2

C．a(chǎn)2a2D．2aa2

【答案】D

【詳解】因a的2倍為2a,a的平方的相反數(shù)為a2，

則不等式為：2aa2.

故選：D.

3．如圖，直角VABC中，BAC90，AB3，AC4，E在斜邊BC上，H在VABC（包括邊界）內(nèi)，

F在線段AB上，D，G在線段AC上.四邊形ADEF和四邊形DGHM是矩形，AF2DM2a，

ADDGb.

(1)試找出a與b之間的不等量關(guān)系式；

(2)求矩形ADEF和矩形DGHM面積之和的最大值.

2

【答案】(1)b2a

3

(2)4

【詳解】（1）HM的延長(zhǎng)線交BC于P，交AB于Q，如圖，

PQBQ

此時(shí)PQ//AC，所以，

ACAB

因?yàn)锳F2DM2a，ADDGb，

PQ3a

所以，

43

2bPQ3a

而由題意PQ2b，所以，

443

2

可得b2a，

3

33

因?yàn)锳FAB，所以2a3，解得0a，即a0,，

22

23

所以a與b之間的不等量關(guān)系式為b2a，其中a0,.

32

（2）矩形ADEF和矩形DGHM面積之和S2abab3ab，

EFFBb32a128a

因?yàn)椤鱁FB△CAB，故，故，故b，

CAAB433

128a23

故Sa128a，而2a，故a1，故1a，

332

2

39=

而S4a，故當(dāng)a1時(shí)，Smax4

44

4．用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，要求菜園的面積不小于110m2，設(shè)靠

墻的一邊長(zhǎng)為xm．試用不等式表示其中的不等關(guān)系．

0x18

【答案】x

x15110

2

【詳解】由于矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為xm，而墻長(zhǎng)為18m，

30xx

則0x18，菜園的另一條邊長(zhǎng)為15m．

22

x

可得菜園面積Sx15，

2

x

依題意有S110，即x15110，

2

0x18

故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為x.

x15110

2

考點(diǎn)二作商法、作差法比較大小

（多選題）1．已知ab0c，則下列結(jié)論正確的是（）

bcb

A．a(chǎn)cbcB．

aca

C．a(chǎn)2bcacabD．a(chǎn)cbc

【答案】BC

【詳解】因?yàn)閍b0c，則acbc，A錯(cuò)誤；

bbcbacabcabcbbc

選項(xiàng)B：因?yàn)閍bc，所以ab>0，ac0，則0，所以，

aacaacaacaac

故B正確.

22

因?yàn)閍bcacabaabacbcaabcababac0，所以a2bcacab，

故C正確.

因?yàn)閏0，所以?xún)绾瘮?shù)yxc在0,單調(diào)遞減，

所以acbc，D錯(cuò)誤，

故選：BC

（多選題）2．設(shè)P2,Q73,R62，則P，Q，R的大小關(guān)系是（）

A．PRB．RQC．PRD．RQ

【答案】AB

【詳解】因?yàn)镻R2(62)2260，所以PR．

因?yàn)镽Q62(73)(63)(72)，

又(63)29218,(72)29214，所以6372，所以RQ．

（多選題）3．若ab0，那么下列不等式一定成立的是（）

b1bab11

A．B．C．a(chǎn)abbD．a(chǎn)b

a1ababa

【答案】ACD

b1ba(b1)b(a1)ab

【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閍b0，所以0，故A正確；

a1aa(a1)a(a1)

ab

對(duì)于B，10，故B錯(cuò)誤；

ba

aaaba

對(duì)于C，ab0，1，所以aab，因?yàn)?，所以abb，所以aabb，

abbbb

故C正確；

111

對(duì)于D，ab(ab)10，故D正確.

baab

故選：ACD.

4．已知a>b>0，則aabb與abba的大小關(guān)系為.

【答案】aabb>abba

【詳解】

∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴>1，a－b>0，∴（）a－b>1，即>1.又abba>0，∴aabb>abba.

5．設(shè)a7，b33，則ab（填入“＞”或“＜”）．

【答案】

a773373323a

【詳解】∵1，即1.

b33333366b

又b0，

ab.

故答案為：>.

考點(diǎn)三利用不等式性質(zhì)比較大小

1．若abc，a2b3c0，則（）

A．a(chǎn)bacB．a(chǎn)cbcC．a(chǎn)bbcD．a(chǎn)bcb

【答案】A

【詳解】因?yàn)閍bc，a2b3c0，所以a0，c0，所以abac，acbc，故A正確，B錯(cuò)誤；

當(dāng)b0時(shí)，abbc，a|b|c|b|，故C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤．

y

2．已知x，y是實(shí)數(shù)，則“1”是“xy”是的（）

x

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條

件

【答案】D

yy

【詳解】若y4,x3，滿足1，此時(shí)xy，所以1不是xy的充分條件，

xx

yyy

反過(guò)來(lái)，若x1,y1，滿足xy，此時(shí)11，所以1也不是xy的必要條件，所以1”是“xy”

xxx

的既不充分也不必要條件.

故選：D

（多選題）3．下列說(shuō)法正確的是（）

ab

A．若a，bR，且ab0，則a2b2B．若ab，cd，則

cd

1111

C．若a，bR，且ab，則D．若a，bR，且ba0，則

ababab

【答案】AD

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閍b0，所以a2(b)2，即a2b2，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，取a1，b2，

ab

c2，d1，滿足ab，cd，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取a1，b1，滿足a，bR，

cd

1111

且ab，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閎a0，所以a+b<0，ab0，則0，故

ababab

D正確．

abab

4．設(shè)a0,b0,M,N，則M與N的大小關(guān)系是．

ab2a2b2

【答案】MN

abab

【詳解】因?yàn)閍0,b0，所以NM．

a2b2ab2ab2

5．已知abc，且abc0．

cc

(1)求證：；

acbc

c

(2)求證：20．

a

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

11

【詳解】（1）解法1因?yàn)閍bc且abc0，所以c0，且acbc0，兩邊取倒數(shù)得，

acbc

cc

又c0，則，從而得證．

acbc

解法2因?yàn)閍bc且abc0，所以c0，且acbc0，所以

cccbccaccbacc

0，即．

acbcacbcacbcacbc

cbbc

（2）因?yàn)閍bc且abc0，所以a0，c0，則0，1，由abc0，可得10，

aaaa

bcccc

即1，所以11，即2．綜上，20．

aaaaa

考點(diǎn)四由等式性質(zhì)證明不等式

1．已知p：xy2，xy1；q：x1，y1，則q是p的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．就不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】當(dāng)x1.5，y0.8時(shí)，xy2.32，xy1.21，但y0.81，

則由p不能得到q；當(dāng)x1，y1時(shí)，xy2，xy1，則由q可得到p,

故q是p的充分不必要條件.

故選：A

（多選題）2．若ab0，c0，則（）

cc11

A．a(chǎn)2b2B．a(chǎn)cbcC．D．a(chǎn)b

abba

【答案】AB

【詳解】根據(jù)ab0，則a2b2，A正確；

由ab0，又c0，則acbcbc，B正確；

cc

當(dāng)b0時(shí)，，C錯(cuò)誤；

ab

11111

當(dāng)a1,b時(shí)，a121,b1，D錯(cuò)誤.

2ba22

故選：AB

3．已知實(shí)數(shù)a，b滿足1a1，1b1．

(1)求ab和ab的取值范圍；

(2)證明：1abab．

【答案】(1)2ab2，1ab1

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）因?yàn)?a1，1b1，所以2ab2，

當(dāng)1a0，1b0時(shí)，則0a1，0b1，此時(shí)0ab1，

當(dāng)1a0，0b1時(shí)，則0a1，此時(shí)0ab1，得到1ab0，

當(dāng)0a1，1b0時(shí)，則0b1，此時(shí)0ab1，得到1ab0，

當(dāng)0a1，0b1時(shí)，0ab1，

又當(dāng)a0或b0時(shí)，ab0，

綜上，1ab1.

（2）因?yàn)?abab1a1b，

又1a1，1b1，則01a2，01b2，

所以1abab1a1b0，得到1abab.

4．（1）已知1xy4,2xy3，求x2y的取值范圍；

ee

（2）若ab0,cd0,e0，求證：.

(ac)2(bd)2

【答案】（1）3,5；（2）證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）設(shè)x2ymxynxymnxmny，

3

m

mn12

所以，解得，

mn21

n

2

3331

xy6,xy1，

2222

3331

xyxy61即3x2y5,

2222

x2y的取值范圍是3,5.

（2）證明：cd0,ab0,

acbd0,

(ac)2(bd)20，

11

,

(ac)2(bd)2

e0，

ee

.

(ac)2(bd)2

5．已知ab1，dc2．

(1)求證：a1b1c2d20；

(2)求證：acbdbcad．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析.

【詳解】（1）由ab1，則a10,b10，故(a1)(b1)0，

由dc2，則c20,d20，故(c2)(d2)0，

所以a1b1c2d20，得證.

（2）由acbdbcadc(ab)d(ba)(cd)(ab)，而ab0,cd0，

所以acbdbcad(cd)(ab)0，即acbdbcad，得證.

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

2．不等式的性質(zhì)

3．比較大小

1．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則“ab0”的一個(gè)充分不必要條件是（）

11

A．a(chǎn)1b1B．a(chǎn)2b2C．D．a(chǎn)bba

ba

【答案】A

【難度】0.65

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小

a1b1,

【詳解】由a1b1，知可得ab1，可推出ab0，反向推不出，故A滿足題意；

b10,

11

由a2b2，得|a||b|，推不出ab0，反向可推出，故B不滿足題意；由，得ab0或b0a或

ba

0ab，推不出ab0，反向可推出，故C不滿足題意；由abba，得ab，推不出ab0，反

向可推出，故D不滿足題意.

2．已知0a1，則（）

1111

A．a(chǎn)2aaB．a(chǎn)a2aC．a(chǎn)a2aD．a(chǎn)2aa

aaaa

【答案】C

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小

21

【詳解】因?yàn)?a1，所以0a1,1,1a0．由于0a1，故在不等式上同時(shí)乘以a得0a2a，

a

11

即1aa20a，因此，aa2a．

aa

abab

3．已知a，bR，則“ab0”是“”的（）

b2a2

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條

件

【答案】A

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的充分不必要條件、作差法比較代數(shù)式的大小、由已知條件判斷所給不等式是否正確

abab11(ab)(ab)2abab

【詳解】(ab)．當(dāng)ab0時(shí)，結(jié)合(ab)20，可得．反

b2a2b2a2a2b2b2a2

abababab

之，如ab2，亦成立，卻推不出ab0．故“ab0”是“”的充分不必要條

b2a2b2a2

件．

4．有下列四個(gè)命題：①若ab0，則ab；②若ab0，則ab；③若a0b，則ab；

nn

④若ab，則abnN,n2．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小

【詳解】對(duì)于①，由ab0，得a0，b0，要證ab，則需證(a)2(b)2，即ab，這顯

然成立，故①正確；對(duì)于②，由ab0，得ab0，由①知，②正確；對(duì)于③，當(dāng)a1，b2時(shí)，

顯然ab不成立，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)a2，b3時(shí)，有22(3)2，④錯(cuò)誤．

5．給出下列命題，其中正確的命題是（）

22

A．a(chǎn)ba2b2B．a(chǎn)ba3b3C．a(chǎn)babD．a(chǎn)bac2bc2

【答案】B

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小

【分析】通過(guò)舉反例可判斷A、C、D是假命題；利用作差法比較大小可判斷B正確.

【詳解】對(duì)于A，當(dāng)a1b2時(shí)，a21b24，故A是假命題；

2

3322b32

對(duì)于B，若ab，則ababaabbabab，

24

由于a,b不同時(shí)為0，所以a3b3，故B是真命題；

對(duì)于C，當(dāng)a11b2時(shí)，a21b24，故C是假命題；

對(duì)于D，當(dāng)c0時(shí)，ac2bc2不成立，故D是假命題；

故選：B

6．設(shè)a,bR，若1ba0，則下列不等式中不．正．確．的是（）

11

A．a(chǎn)2b2B．C．a(chǎn)bb2D．a(chǎn)b1

ab

【答案】D

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式

的大小

【分析】應(yīng)用不等式的性質(zhì)及作差法判斷A，B，C，再應(yīng)用特殊值法判斷D.

【詳解】因?yàn)?ba0，則1ba0，則b2a2，A選項(xiàng)正確；

11ba

因?yàn)?ba0，則ba0,ab0，則0，B選項(xiàng)正確；

abab

因?yàn)?ba0，則ab0,b0，則abb2bab0，C選項(xiàng)正確；

取b0.75,a0.5,ab1.25，所以ab1，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：D.

（多選題）7．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)

數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若

a,b,cR，則下列命題正確的是（）

11

A．若ab0且ab，則B．若0a1，則a3a

ab

b1b

C．若ab0，則D．若cba且ac0，則cbab

a1a

【答案】BC

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小

11

【詳解】對(duì)于A，取a2,b1，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若0a1，則a3aaa210，

ab

所以a3a，故B正確；對(duì)于C，若ab0，則a(b1)b(a1)ab0，所以a(b1)b(a1)0，所以

b1b

，故C正確；對(duì)于D，若cba且ac0，則a0,c0，而b可能為0，故D錯(cuò)誤．

a1a

（多選題）8．已知ab0，cR，則下列說(shuō)法正確的是（）

cc11

A．B．a(chǎn)c2bc2C．D．a(chǎn)cbc

aba2b2

【答案】CD

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、作差法比較代數(shù)式的大小

【分析】應(yīng)用作差法計(jì)算比較判斷A，應(yīng)用不等式性質(zhì)計(jì)算判斷C，D，應(yīng)用特殊值法計(jì)算判斷B.

【詳解】因?yàn)閍b0，cR，

cccbabacc

對(duì)于A，因?yàn)?，?，cR，故無(wú)法確定與的大小，A錯(cuò)；

abababab

對(duì)于B，因?yàn)閏20，所以ac2bc2，B錯(cuò)；

11

對(duì)于C，由不等式的性質(zhì)可得a2b20，從而，C對(duì)；

a2b2

對(duì)于D，由不等式的性質(zhì)可得acbc，D對(duì).

故選：CD.

（多選題）9．下列不等式，其中恒成立的有（）

A．a(chǎn)232aaRB．x2y2xy

C．a(chǎn)2b22ab1D．82xy4x28y2

【答案】AD

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】作差法比較代數(shù)式的大小

2

2222y32

【詳解】由a32a(a1)20，知A正確；由xyxyxy0，知B錯(cuò)誤；由

24

a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，知C錯(cuò)誤；由4x28y282xy(2x22y)20，知D正確．

x

10．若實(shí)數(shù)x，y滿足1x6,2y3，則的取值范圍是；若實(shí)數(shù)x，y滿足

y

1xy4,2xy3，則3x2y的取值范圍是．

1323

【答案】,3,

322

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍

1111x

【詳解】若x，y滿足1x6,2y3，則，從而3．若1xy4,2xy3，設(shè)

3y23y

mn3,51

3x2ym(xy)n(xy)(mn)x(mn)y，所以解得m,n，則有

mn2,22

5513323

(xy)10,1(xy)，所以3x2y．

222222

11．已知a,bR，若2a3,2b1，則a3b的取值范圍是；若1ab3，且

2ab4，則2a3b的取值范圍是．

913

【答案】(5,9),

22

【難度】0.85

【知識(shí)點(diǎn)】利用不等式求值或取值范圍

【詳解】若2b1，則33b6，而2a3，所以有5a3b9．設(shè)2a3bx(ab)y(ab)，則

5

x,

xy2,255151

解得若1ab3，2ab4，則有(ab),2(ab)1，所以

xy3,122