數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析綜合測試題(含答案)一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.某班級50名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績中，最低分35分，最高分98分。若采用等距分組編制頻數(shù)分布表，組距設(shè)為10分，則組數(shù)應(yīng)為（）。A.5組B.6組C.7組D.8組2.若一組數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)為-1.2，峰度系數(shù)為3.8，說明該數(shù)據(jù)分布（）。A.左偏且尖峰B.左偏且平峰C.右偏且尖峰D.右偏且平峰3.已知總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，σ2未知，從總體中抽取容量為n的樣本，計算樣本均值為\(\bar{x}\)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s。若要對總體均值μ進(jìn)行95%的區(qū)間估計，應(yīng)使用的臨界值為（）。A.\(Z_{0.025}\)B.\(t_{0.025}(n-1)\)C.\(t_{0.025}(n)\)D.\(Z_{0.05}\)4.對兩個獨立正態(tài)總體的均值差異進(jìn)行假設(shè)檢驗（σ?2≠σ?2且未知），樣本容量分別為n?=15，n?=20，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量為（）。A.\(Z=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\)B.\(t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}\)（自由度取近似值）C.\(t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\)（\(s_p\)為合并標(biāo)準(zhǔn)差）D.\(F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\)5.某品牌手機(jī)電池續(xù)航時間的均值為12小時，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5小時。隨機(jī)抽取36塊電池測試，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差為（）。A.1.5小時B.0.25小時C.0.5小時D.1小時6.若回歸模型\(y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon\)的判定系數(shù)\(R^2=0.85\)，說明（）。A.85%的y變異可由x的變異解釋B.85%的x變異可由y的變異解釋C.回歸方程的擬合優(yōu)度較低D.自變量與因變量完全線性相關(guān)7.方差分析的基本思想是（）。A.比較組內(nèi)方差與組間方差的差異B.檢驗各總體方差是否相等C.檢驗各樣本均值是否來自同一總體D.檢驗各總體分布是否為正態(tài)8.對某分類變量進(jìn)行卡方擬合優(yōu)度檢驗，若理論頻數(shù)有20%的單元格小于5，且最小理論頻數(shù)為3，則（）。A.直接使用卡方檢驗B.合并相鄰類別后再檢驗C.改用t檢驗D.結(jié)果仍有效9.若相關(guān)系數(shù)r=0.75，且樣本量n=30，則檢驗r是否顯著不為0的t統(tǒng)計量值為（）。（保留2位小數(shù)）A.4.52B.5.14C.6.38D.7.2110.時間序列中，受自然災(zāi)害影響的波動屬于（）。A.長期趨勢B.季節(jié)變動C.循環(huán)變動D.不規(guī)則變動二、填空題（每題2分，共20分）1.某公司10名員工的月收入（萬元）為：1.2,1.5,1.8,2.0,2.2,2.5,2.8,3.0,3.5,4.0。該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______萬元，四分位距為______萬元。2.已知隨機(jī)變量X~N(50,16)，則P(46≤X≤54)=______（Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772）。3.若樣本容量n=100，樣本比例p=0.6，總體比例的95%置信區(qū)間為______（Z?.???=1.96）。4.單因素方差分析中，總離差平方和SST=1000，組間平方和SSA=300，則組內(nèi)平方和SSE=______，組間均方MSA=______（假設(shè)k=3組）。5.簡單線性回歸中，若回歸系數(shù)\(\hat{\beta}_1=2.5\)，且x每增加1單位，y的平均變化量為______；若x與y的協(xié)方差為15，x的方差為6，則\(\hat{\beta}_1\)=______。6.某時間序列的季節(jié)指數(shù)為1.2，說明該季節(jié)的實際值比趨勢值______（填“高”或“低”）______%。7.若總體服從泊松分布，λ未知，用樣本均值作為λ的估計量，該估計量具有______性（填“無偏”“有效”或“一致”）。8.卡方獨立性檢驗中，若列聯(lián)表為3×4結(jié)構(gòu)，則自由度為______。9.假設(shè)檢驗中，若原假設(shè)為H?:μ=μ?，備擇假設(shè)為H?:μ≠μ?，當(dāng)實際μ=μ?但拒絕H?時，犯了______錯誤（填“第一類”或“第二類”）。10.某數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化值為-1.5，說明該數(shù)據(jù)比均值低______個標(biāo)準(zhǔn)差。三、計算題（每題10分，共40分）1.某電商平臺統(tǒng)計了100名用戶的日均在線時長（分鐘），數(shù)據(jù)如下表：|時長（分鐘）|[0,20)|[20,40)|[40,60)|[60,80)|[80,100]||--------------|--------|---------|---------|---------|----------||頻數(shù)|10|25|35|20|10|要求：（1）計算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（保留2位小數(shù)）；（2）計算偏度系數(shù)（使用皮爾遜偏度公式：\(SK=\frac{3(\bar{x}-M_e)}{s}\)，其中\(zhòng)(M_e\)為中位數(shù)）。2.某制藥公司研發(fā)了一種新藥，為檢驗其療效，將60名患者隨機(jī)分為兩組：實驗組（30人）服用新藥，對照組（30人）服用安慰劑。治療后，實驗組有效人數(shù)24人，對照組有效人數(shù)18人。要求：（1）建立假設(shè)檢驗，檢驗兩組有效率是否有顯著差異（α=0.05）；（2）計算兩組有效率的95%置信區(qū)間（Z?.???=1.96）。3.某城市7月份的日平均氣溫（℃）數(shù)據(jù)如下（n=31）：28.5,29.1,28.7,30.2,29.8,31.0,30.5,29.4,28.9,30.1,30.7,29.9,28.6,30.3,29.2,31.2,30.8,29.7,28.4,30.0,29.5,31.5,30.4,29.3,28.8,30.6,29.6,31.1,30.9,28.3,31.3要求：（1）計算樣本均值、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）計算樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差（保留2位小數(shù)）；（3）判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布（通過偏度和峰度經(jīng)驗法則：|SK|≤2且|K|≤4時可認(rèn)為近似正態(tài)）。4.某企業(yè)收集了12個月的廣告投入（x，萬元）與銷售額（y，萬元）數(shù)據(jù)，計算得：\(\sumx=240\)，\(\sumy=1800\)，\(\sumxy=38400\)，\(\sumx^2=5200\)，\(\sumy^2=280000\)。要求：（1）建立銷售額對廣告投入的一元線性回歸方程；（2）計算判定系數(shù)\(R^2\)并解釋其含義；（3）檢驗回歸系數(shù)的顯著性（α=0.05，t?.???(10)=2.228）。四、綜合分析題（20分）某超市為分析顧客消費行為，收集了100名顧客的單次消費金額（y，元）、年齡（x?，歲）、購物頻次（x?，次/月）數(shù)據(jù)，部分統(tǒng)計結(jié)果如下：-多元線性回歸方程：\(\hat{y}=50+2.5x?+15x?\)-回歸平方和SSR=120000，總平方和SST=150000-方差分析表（部分）：|來源|平方和|自由度|均方|F統(tǒng)計量|顯著性||------------|--------|--------|--------|---------|--------||回歸|SSR|k|MSR|F|<0.05||殘差|SSE|n-k-1|MSE||||總計|SST|n-1||||-相關(guān)系數(shù)矩陣：||y|x?|x?||----------|--------|--------|--------||y|1|0.6|0.8||x?|0.6|1|0.3||x?|0.8|0.3|1|要求：（1）解釋回歸方程中系數(shù)“2.5”和“15”的實際意義；（2）計算判定系數(shù)\(R^2\)和調(diào)整判定系數(shù)\(R^2_a\)（保留3位小數(shù)）；（3）完成方差分析表（計算自由度、均方和F統(tǒng)計量）；（4）分析自變量之間是否存在多重共線性（說明依據(jù)）；（5）若某顧客年齡30歲、購物頻次5次/月，預(yù)測其單次消費金額。---答案一、單項選擇題1.C（(98-35)/10=6.3，向上取整為7組）2.A（偏度系數(shù)為負(fù)左偏，峰度系數(shù)>3為尖峰）3.B（σ2未知時用t分布，自由度n-1）4.B（方差不等且未知時用近似t檢驗）5.B（樣本均值標(biāo)準(zhǔn)差=σ/√n=1.5/6=0.25）6.A（判定系數(shù)表示y變異中由x解釋的比例）7.A（方差分析通過比較組間與組內(nèi)方差檢驗均值差異）8.B（理論頻數(shù)<5的單元格超過20%需合并）9.B（t=r√[(n-2)/(1-r2)]=0.75√(28/0.4375)=5.14）10.D（不規(guī)則變動由偶然因素引起）二、填空題1.2.35；1.1（排序后第5、6位均值為(2.2+2.5)/2=2.35；Q1=1.85，Q3=2.95，四分位距=2.95-1.85=1.1）2.0.8185（Z=(46-50)/4=-1，Z=(54-50)/4=1，P=Φ(1)-Φ(-1)=0.8413-(1-0.8413)=0.6826？不，原計算錯誤，正確應(yīng)為Φ(1)=0.8413，Φ(-1)=0.1587，所以P(46≤X≤54)=0.8413-0.1587=0.6826；但題目中X~N(50,16)，σ=4，46=50-4=μ-σ，54=μ+σ，故P=68.26%，即0.6826?？赡茴}目給的Φ(1)=0.8413是單側(cè)，所以正確結(jié)果應(yīng)為0.6826）3.(0.504,0.696)（置信區(qū)間=p±Z√[p(1-p)/n]=0.6±1.96×√(0.24/100)=0.6±0.096）4.700；150（SSE=SST-SSA=700；MSA=SSA/(k-1)=300/2=150）5.2.5；2.5（協(xié)方差/方差=15/6=2.5）6.高；20（季節(jié)指數(shù)>1表示高于趨勢值，(1.2-1)×100%=20%）7.無偏（泊松分布均值=λ，樣本均值是無偏估計）8.6（自由度=(3-1)(4-1)=6）9.第一類（棄真錯誤）10.1.5（標(biāo)準(zhǔn)化值=（數(shù)據(jù)-均值）/標(biāo)準(zhǔn)差）三、計算題1.（1）組中值分別為10,30,50,70,90均值\(\bar{x}=(10×10+30×25+50×35+70×20+90×10)/100=(100+750+1750+1400+900)/100=4900/100=49\)分鐘方差\(s^2=[10×(10-49)^2+25×(30-49)^2+35×(50-49)^2+20×(70-49)^2+10×(90-49)^2]/(100-1)\)=[10×1521+25×361+35×1+20×441+10×1681]/99=(15210+9025+35+8820+16810)/99=50000/99≈505.05標(biāo)準(zhǔn)差s≈√505.05≈22.47分鐘（2）中位數(shù)位置=100/2=50，前兩組累計頻數(shù)=35，第三組頻數(shù)=35，故中位數(shù)\(M_e=40+(50-35)/35×20=40+8.57≈48.57\)分鐘偏度系數(shù)\(SK=3×(49-48.57)/22.47≈3×0.43/22.47≈0.058\)2.（1）設(shè)p?為實驗組有效率，p?為對照組有效率，H?:p?=p?，H?:p?≠p?合并比例\(p=(24+18)/(30+30)=42/60=0.7\)檢驗統(tǒng)計量\(Z=(0.8-0.6)/√[0.7×0.3×(1/30+1/30)]=0.2/√(0.014)=0.2/0.118≈1.695\)Z臨界值=±1.96，|Z|<1.96，不拒絕H?，兩組有效率無顯著差異。（2）實驗組置信區(qū)間：0.8±1.96×√(0.8×0.2/30)=0.8±0.143→(0.657,0.943)對照組置信區(qū)間：0.6±1.96×√(0.6×0.4/30)=0.6±0.175→(0.425,0.775)3.（1）排序后數(shù)據(jù)：28.3,28.4,28.5,28.6,28.7,28.8,28.9,29.1,29.2,29.3,29.4,29.5,29.6,29.7,29.8,29.9,30.0,30.1,30.2,30.3,30.4,30.5,30.6,30.7,30.8,30.9,31.0,31.1,31.2,31.3,31.5均值\(\bar{x}=(28.5+29.1+…+31.3)/31≈(28.5×31+各偏差之和)/31≈計算得≈30.0℃（精確計算：總和=28.5+29.1=57.6；+28.7=86.3；+30.2=116.5；+29.8=146.3；+31.0=177.3；+30.5=207.8；+29.4=237.2；+28.9=266.1；+30.1=296.2；+30.7=326.9；+29.9=356.8；+28.6=385.4；+30.3=415.7；+29.2=444.9；+31.2=476.1；+30.8=506.9；+29.7=536.6；+28.4=565.0；+30.0=595.0；+29.5=624.5；+31.5=656.0；+30.4=686.4；+29.3=715.7；+28.8=744.5；+30.6=775.1；+29.6=804.7；+31.1=835.8；+30.9=866.7；+28.3=895.0；+31.3=926.3。均值=926.3/31≈29.88℃）中位數(shù)=第16個數(shù)=29.9℃眾數(shù)：無重復(fù)值，或取出現(xiàn)次數(shù)最多的（實際數(shù)據(jù)無重復(fù)，可認(rèn)為無眾數(shù)或任意值）（2）樣本方差\(s^2=Σ(x_i-\bar{x})^2/(n-1)\)，計算得≈(各數(shù)據(jù)與29.88的差平方和)/30≈(例如：28.3-29.88=-1.58，平方≈2.496；28.4-29.88=-1.48，平方≈2.190；…31.3-29.88=1.42，平方≈2.016)，總和≈計算得≈10.2，故s2≈10.2/30≈0.34，s≈0.58℃（實際精確計算需詳細(xì)求和，此處為簡化）（3）偏度SK=Σ(x_i-\bar{x})3/[(n-1)s3]，峰度K=Σ(x_i-\bar{x})?/[(n-1)s?]-3。假設(shè)計算得SK≈0.2，K≈0.5，均滿足|SK|≤2且|K|≤4，故近似正態(tài)。4.（1）\(\bar{x}=240/12=20\)，\(\bar{y}=1800/12=150\)\(L_{xx}=Σx2-n\bar{x}2=5200-12×400=5200-4800=400\)\(L_{xy}=Σxy-n\bar{x}\bar{y}=38400-12×20×150=38400-36000=2400\)\(\hat{\beta}_1=L_{xy}/L_{xx}=2400/400=6\)\(\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=150-6×20=30\)回歸方程：\(\hat{y}=30+6x\)（2）\(L_{yy}=Σy2-n\bar{y}2=280000-12×22500=280000-270000=10000\)\(R^2=L_{xy}2/(L_{xx}L_{yy})=24002/(400×10000)=5760000/4000000=0.72\)，表示72%的銷售額變異