第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示課標要求1.了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.1.函數(shù)的概念及其表示（1）函數(shù)的概念（2）函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法；（3）同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).提醒若兩個函數(shù)的值域與對應關系相同，這兩個函數(shù)不一定是同一個函數(shù)，如：y＝x2（x≥0）與y＝x2.2.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).提醒分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.3.復合函數(shù)對于兩個函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x），如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f（u）和u＝g（x）的復合函數(shù)，記作y＝f（g（x））.提醒函數(shù)f（g（x））的定義域是x的取值范圍，而不是g（x）的取值范圍.1.直線x＝a與函數(shù)y＝f（x）的圖象至多有1個交點.2.在函數(shù)的定義中，非空實數(shù)集A，B，A即為函數(shù)的定義域，值域為B的子集.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù).（×）（2）對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.（×）（3）函數(shù)f（x）＝x－1，x≥0，（4）若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).（×）2.（人A必修一P66例3改編）下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的為（）A.f（x）＝x－1，g（x）＝xB.f（x）＝x2，g（x）＝C.f（x）＝－x3，g（x）＝D.f（x）＝x2－2x－1，g（s）＝s2－2s－1解析：D對于A，因為f（x）的定義域為R，g（x）的定義域為{x｜x≠－1}，所以兩函數(shù)的定義域不相同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，所以A錯誤；對于B，f（x），g（x）的定義域都為R，因為f（x）＝x2＝｜x｜≠g（x），所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，所以B錯誤；對于C，f（x），g（x）的定義域都為{x｜x≤0}，因為f（x）＝－x3＝｜x｜－x＝－x－x≠g（x），所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，所以C錯誤；對于D，因為f（x），g（s）的定義域都為R，且對應關系相同，所以f（x），g（s）是同一個函數(shù)，所以D3.（人A必修一P101復習參考題7題改編）已知函數(shù)f（x）＝4x2－1，x≤0，－A.62 B.63C.64 D.65解析：Bf（15）＝－115＋1＝－4，所以f（f（15））＝f（－4）＝4×16－4.（蘇教必修一P106例3改編）已知函數(shù)f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，則函數(shù)f（x）的值域為（）A.{－1，1，3，5，7} B.（－1，7）C.[1，7] D.{1，3，5，7}解析：A由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函數(shù)f（x）的值域為{－1，1，3，5，7}.5.函數(shù)f（1x）＝11+x，則函數(shù)f（x）的解析式為A.f（x）＝xB.f（x）＝xx+1（x≠C.f（x）＝xx+1（x≠0，－D.f（x）＝xx+1（x≠－解析：C令t＝1x，t≠0，－1.則有x＝1t，所以f（t）＝11+1t＝tt+1，t≠0，－1，所以f（x）＝x函數(shù)的定義域（師生共研過關）（1）（人A必修一P65例2改編）函數(shù)f（x）＝x+13x－2＋（x－1）0的定義域為（A.（23，＋∞） B.［23，1）∪（1，＋C.（23，1）∪（1，＋∞） D.［23，＋（2）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為[－8，1]，則函數(shù)g（x）＝f（2x+1）xA.（－∞，－2）∪（－2，3]B.（－∞，－2）∪（－2，1]C.［－92，－2）∪（－2，0D.［－92，－2解析：（1）要使函數(shù)f（x）＝x+13x－2＋（x－1）0有意義，則3x－2>0，x－1≠0，解得x＞23且x≠1，因此，函數(shù)f（（2）∵f（x）的定義域為[－8，1]，∴－8≤2x+1≤1，x+2≠0，解得－92≤x≤0，且x≠－2.∴g（x解題技法1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式中所含式子（運算）有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.2.求復合函數(shù)定義域的方法如果函數(shù)f（x）＝ln（－2x＋a）的定義域為（－∞，1），那么實數(shù)a＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D因為－2x＋a＞0，所以x＜a2，所以a2＝1，所以a＝函數(shù)的解析式（師生共研過關）求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（1－sinx）＝cos2x，求f（x）的解析式；解：（1）（換元法）設1－sinx＝t，t∈[0，2]，則sinx＝1－t，∵f（1－sinx）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].（2）已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f解：（2）（配湊法）∵fx＋1x＝x2＋1x2＝（x＋1x）2－2，∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]（3）已知f（x）是一次函數(shù)且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；解：（3）（待定系數(shù)法）∵f（x）是一次函數(shù)，可設f（x）＝ax＋b（a≠0），∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴a=2，∴f（x）＝2x＋7.（4）已知f（x）滿足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.解：（4）（解方程組法）∵2f（x）＋f（－x）＝3x， ①∴將x用－x替換，得2f（－x）＋f（x）＝－3x， ②由①②解得f（x）＝3x.解題技法求函數(shù)解析式的4種方法1.已知f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，則f（x）＝x2－5x＋9.解析：法一（換元法）令2x＋1＝t（t∈R），則x＝t－12，所以f（t）＝4（t－12）2－6·t－12＋5＝t2－5t＋9（t∈R），所以f（x法二（配湊法）因為f（2x＋1）＝4x2－6x＋5＝（2x＋1）2－10x＋4＝（2x＋1）2－5（2x＋1）＋9，所以f（x）＝x2－5x＋9.2.已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，則f（x）＝2x2－x＋1.解析：設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因為f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以5a=10，3b－2a＝－7，a－b3.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝2f（x）.若當0≤x≤1時，f（x）＝x（1－x），則當－1≤x≤0時，f（x）＝－12x（x＋1）解析：因為－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝12f（x＋1）＝12（x＋1）[1－（x＋1）]＝－12x（x＋1）.故當－1≤x≤0時，f（x）＝－12x（分段函數(shù)（定向精析突破）考向1分段函數(shù)求值（1）（2025·益陽一模）已知f（x）＝－x－1，x<0，sinπx，（2）若f（x）＝x－2，x>0，f（x+3),解析：（1）根據(jù)已知f（－3）＝－（－3）－1＝13，所以f（f（－3））＝f（13）＝sinπ3（2）因為f（x）＝x－2，x>0，f（x+3),x≤0，所以f（1）＝－1，f（－1）＝f（－1＋3）＝解題技法分段函數(shù)求值的策略先確定要求值的自變量的取值屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值.當出現(xiàn)f（f（a））的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.考向2與分段函數(shù)有關方程、不等式的求解已知函數(shù)f（x）＝x2－2x，x<0，－2x+3，x≥0，則f（f（－1））＝－3；若f（a）＝－1，則a＝2；不等式f（x）≤2解析：由題意得f（－1）＝1＋2＝3，所以f（f（－1））＝f（3）＝－3.當a＜0時，f（a）＝a2－2a＝－1，得a＝1（舍去），當a≥0時，f（a）＝－2a＋3＝－1，得a＝2，所以若f（a）＝－1，則a＝2.當x＜0時，由f（x）≤2，得1－3≤x＜0，當x≥0時，由f（x）≤2，得x≥12，故不等式f（x）≤2的解集為[1－3，0）∪［12，＋∞解題技法與分段函數(shù)有關的方程、不等式的求解思路解與分段函數(shù)有關的方程、不等式，當自變量取值不確定時，往往要分類討論求解；當自變量取值確定，但分段函數(shù)中含有參數(shù)時，只需依據(jù)自變量的情況，直接代入相應解析式求解.1.已知函數(shù)f（x）＝2x，x>0，x+1，x≤0.若f（aA.－3 B.－1C.1 D.3解析：A因為f（1）＝21＝2，所以f（a）＋2＝0，所以f（a）＝－2，當a≤0時，f（a）＝a＋1＝－2，解得a＝－3；當a＞0時，f（a）＝2a＝－2，無解.綜上，a＝－3.2.（2024·上海春招9題）已知函數(shù)f（x）＝x2，g（x）＝f（x),x≥0，－f(-x),x<0，若g（x）滿足g（x解析：由已知得g（x）＝x2，x≥0，－x2，x<0，當x≥0時，x2≤2－x，解得－2≤x≤1，因此0≤x≤1；當x＜0時，－x2≤2－x，不等式恒成立，1.（2025·廣州中山大學附屬中學月考）函數(shù)f（x）＝2－xx－log2x的定義域為A.（0，2] B.（－∞，2）C.（－∞，0）∪（0，2] D.[2，＋∞）解析：A由題意得2－x≥0，x≠0，x>0，解得0＜x≤2，所以f（2.若f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2），則（）A.f（x）＝x24＋2x＋34（0＜xB.f（x）＝x24＋2x＋34（－1＜xC.f（x）＝4x2＋2x－3（0＜x＜2）D.f（x）＝4x2＋2x－3（－1＜x＜3）解析：B令2x－1＝t，－1＜t＜3，則x＝t+12，∴f（t）＝（t+12）2＋3×t+12－1＝t24＋2t＋34，∴f（x）＝x24＋2x＋3.網(wǎng)購女鞋時，常常會看到一張女鞋尺碼對照表如下，第一行是我們習慣稱呼的“鞋碼”（單位：號），第二行是腳長（單位：mm），請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，思考：網(wǎng)店正好有一款“32號”的女鞋在搞打折活動，那么適合購買這款鞋的腳長的取值范圍是（）鞋碼3536373839腳長225230235240245A.[201，205] B.[206，210]C.[211，215] D.[216，220]解析：B設“腳長”為y，“鞋碼”為x，根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)x與y滿足y＝5x＋50的函數(shù)關系，當x＝32時，y＝5×32＋50＝210，故選B.4.已知函數(shù)f（x）＝mx2＋mx+1的定義域是R，則A.（0，4] B.[0，4）C.[4，＋∞） D.[0，4]解析：D因為函數(shù)f（x）＝mx2＋mx+1的定義域是R，所以不等式mx2＋mx＋1≥0對任意x∈R恒成立，當m＝0時，1＞0，對任意x∈R恒成立，符合題意；當m≠0時，m>0，Δ≤0，即m>0，m2－4m≤0，5.設f（x）＝x，0<x<1，2（x－1),x≥1，若f（mA.14 B.16C.2 D.6解析：A由題意知，f（x）的定義域為（0，＋∞），則m>0，m+1>0，解得m＞0.若m≥1，則m＋1≥2＞1，可得2（m－1）＝2m－2≠2m，不合題意；若0＜m＜1，則m＋1＞1，可得m＝2m，解得m＝14.綜上所述，m＝14.所以f（2m）＝f（8）＝26.（新定義）〔多選〕十八世紀偉大的數(shù)學家歐拉引入了“倒函數(shù)”概念：若函數(shù)f（x）滿足f（x）·f（－x）＝1，則稱f（x）為“倒函數(shù)”.下列函數(shù)為“倒函數(shù)”的是（）A.f（x）＝1 B.f（x）＝x2C.f（x）＝ex D.f（x）＝lnx解析：AC對于A，f（x）＝1，則f（－x）＝1，所以f（x）·f（－x）＝1，故A正確；對于B，f（x）＝x2，則f（2）·f（－2）＝16，故B錯誤；對于C，f（x）＝ex，則f（－x）＝e－x，所以f（x）·f（－x）＝ex·e－x＝e0＝1，故C正確；對于D，f（x）＝lnx定義域為（0，＋∞），則當x∈（0，＋∞）時，－x∈（－∞，0），此時f（－x）無意義，故D錯誤.故選A、C.7.〔多選〕已知函數(shù)f（x）＝－x+2，xA.f（x）的定義域為RB.f（x）的值域為（－∞，4）C.若f（x）＝3，則x＝－3D.f（x）＜1的解集為（－1，1）解析：BC由題意知函數(shù)f（x）的定義域為（－2，＋∞），故A錯誤；當x≥1時，f（x）的取值范圍是（－∞，1]，當－2＜x＜1時，f（x）的取值范圍是[0，4），因此f（x）的值域為（－∞，4），故B正確；當x≥1時，－x＋2＝3，解得x＝－1（舍去），當－2＜x＜1時，x2＝3，解得x＝－3或x＝3（舍去），故C正確；當x≥1時，－x＋2＜1，解得x＞1，當－2＜x＜1時，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f（x）＜1的解集為（－1，1）∪（1，＋∞），故D錯誤.故選B、C.8.已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出：x123f（x）231x123g（x）321則f（g（1））的值為1；滿足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是2.解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.當x＝1時，f（g（1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不滿足f（g（x））＞g（f（x））；當x＝2時，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）＝1，滿足f（g（x））＞g（f（x））；當x＝3時，f（g（3））＝f（1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不滿足f（g（x））＞g（f（x）），∴當x＝2時，f（g（x））＞g（f（x））成立.9.求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足f（f（x））＝25x＋12，求f（x）的解析式；（2）已知f（x）滿足2f（x）＋f（1x）＝3x，求f（x）的解析式解：（1）設f（x）＝kx＋b（k≠0）.所以f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋12，可得k2=25，kb所以f（x）＝5x＋2或f（x）＝－5x－3.（2）（方程組法）由2f（x）＋f（1x）＝3x， 將x用1x替換，得2f（1x）＋f（x）＝3x由①②解得f（x）＝2x－1x（x≠010.（2025·德陽模擬預測）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x＋y）－2f（x－y）＋f（x）－2f（y）＝y(tǒng)－2，則f（2026）＝（）A.0 B.1C.2026 D.2027解析：D令x＝y(tǒng)＝0可得－2f（0）＝－2，所以f（0）＝1，再令x＝0可得f（y）－2f（－y）＋f（0）－2f（y）＝y(tǒng)－2，即－f（y）－2f（－y）＝y(tǒng)－3①，將上式中的y全部換成－y可得－f（－y）－2f（y）＝－y－3②，聯(lián)立①②可得f（y）＝y(tǒng)＋1，所以f（2026）＝2026＋1＝2027，故選D.11.已知函數(shù)f（x）＝x+2，x≤0，1x，0<x≤4，若m＜n且f（A.（1，2] B.［0，94C.（34，2］ D.（34，解析：B設f（n）＝f（m）＝t，則m，n為直線y＝t與函數(shù)y＝f（x）圖象的兩個交點的橫坐標，作出直線y＝t與函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖，由圖知，14≤t≤2，由f（n）＝f（m），得m+2=t，1n＝t，則n＋m＝t＋1t－2，根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知g（t）＝t＋1t－2在［14，1）上單調遞減，在（1，2]上單調遞增，且g（14）＝14＋4－2＝94，g（1）＝1＋1－2＝0，g（2）＝12＋2－2＝12.〔多選〕德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，函數(shù)f（x）＝1，x為有理數(shù)，0，xA.f（x）的值域為[0，1]B.f（x）的定義域為RC.?x∈R，f（f（x））＝1D.任取一個非零有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對任意x∈R恒成立解析：BCD因為函數(shù)f（x）＝1，x為有理數(shù)，0，x為無理數(shù)，所以f（x）的定義域為R，值域為{0，1}，故選項A錯誤，選項B正確.當x為有理數(shù)時，f（x）＝1，f（f（x））＝f（1）＝1；當x為無理數(shù)時，f（x）＝0，f（f（x））＝f（0）＝1，所以?x∈R，f（f（x））＝1，故選項C正確.對任意非零有理數(shù)T，若x是有理數(shù)，則x＋T是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x＋T是無理數(shù)，根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x＋T）＝f（x）對任意x∈R恒成立，故選項D正確.13.設函數(shù)f（x）＝－x，x<0，x2，x≥0，則不等式f（x）＋f（x＋2）＞2的解集為解析：當x＋2＜0，即x＜－2時，則f（x）＋f（x＋2）＝－x－（x