5.1變量與函數(shù)第5章一次函數(shù)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2常量與變量函數(shù)函數(shù)的表示函數(shù)自變量的取值范圍知識點(diǎn)常量與變量知1－講1常量與變量的定義：在一個(gè)變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫作常量，數(shù)值發(fā)生變化的量叫作變量.知1－講說明：(1)“常量”是已知數(shù)，是指在整個(gè)變化過程中保持不變的量；但“常量”不等于“常數(shù)”，它可以是數(shù)值不變的字母.如在勻速運(yùn)動中的速度v就是一個(gè)常量.(2)變量與常量是相對的，前提是“在一個(gè)變化過程中”，一個(gè)量在某一變化過程中是常量，而在另一個(gè)變化過程中，它可能是變量.如在s＝vt中，當(dāng)s一定時(shí)，v，t為變量，s為常量；當(dāng)t一定時(shí)，s，v為變量，t為常量.知1－講特別提醒變量、常量與字母的指數(shù)沒有關(guān)系，如y＝100－2x2中，x，y是變量，而不能說x2是變量.知1－練例1指出下列問題中的變量與常量：(1)汽車以80km/h的速度勻速行駛，行駛距離為skm，行駛時(shí)間為th；(2)一個(gè)盛滿30t水的水箱，每小時(shí)流出0.5t水，記流水時(shí)間為t(h)，水箱里的剩余水量為Q(t)；(3)用總長20m的籬笆圍成一個(gè)長方形場地，記長方形的一邊長為a(m)，面積為S(m2).知1－練解題秘方：緊扣“常量與變量”的定義進(jìn)行辨識.解：(1)t，s是變量；80是常量.(2)t，Q是變量；0.5，30是常量.(3)a，S是變量；20是常量.知1－練特別提醒判斷一個(gè)量是常量還是變量，應(yīng)先看它是否在一個(gè)變化過程中，若在，則看它在這個(gè)變化過程中的數(shù)值是否發(fā)生改變.在一個(gè)變化過程中，變量和常量可能不止一個(gè).知2－講知識點(diǎn)函數(shù)21.函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么稱y是x的函數(shù)，x是自變量．知2－講說明：(1)在函數(shù)中定義的兩個(gè)變量x，y是有主次之分的，變量x的變化是主動的，稱之為自變量，而變量y是隨x的變化而變化的，是被動的，稱之為因變量(即自變量的函數(shù))；(2)函數(shù)不是數(shù)，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)變量的對應(yīng)關(guān)系.知2－講2.函數(shù)值：對于自變量x的每一個(gè)取值，函數(shù)y的對應(yīng)值稱為函數(shù)值.說明：(1)函數(shù)與函數(shù)值的區(qū)別：函數(shù)表示的是兩個(gè)變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，而函數(shù)值是一個(gè)數(shù)值.(2)

一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值是隨著自變量的變化而變化的，故在求函數(shù)值時(shí)，一定要指明自變量為多少時(shí)的函數(shù)值.知2－講特別提醒函數(shù)的定義中包括了對應(yīng)值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個(gè)確定的值，函數(shù)有且只有一個(gè)值與之對應(yīng)，對自變量x的不同值，y的值可以相同.知2－練下列變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(

)A.一天中氣溫和時(shí)間之間的關(guān)系B.|y|＝x中的y與x的關(guān)系C.速度一定，汽車行駛的路程與時(shí)間之間的關(guān)系D.正方形的周長與面積之間的關(guān)系例2知2－練解題秘方：用“三看法”判斷一個(gè)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系：一看是否在一個(gè)變化過程中二看是否存在兩個(gè)變量三看每當(dāng)自變量取定一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量是否都有唯一確定的值與其對應(yīng)知2－練解：A.時(shí)間與氣溫是兩個(gè)變量，且對于時(shí)間的每一個(gè)值，氣溫都有唯一確定的值與它對應(yīng)，它們之間是函數(shù)關(guān)系；B.當(dāng)x>0時(shí)，給定一個(gè)x的值，y都有兩個(gè)值與之對應(yīng)，所以|y|＝x中y與x的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系；C.路程與時(shí)間是兩個(gè)變量，且對于時(shí)間的每一個(gè)值，路程都有唯一確定的值與它對應(yīng)，它們之間是函數(shù)關(guān)系；知2－練D.正方形的周長與面積是兩個(gè)變量，且對于正方形的周長的每一個(gè)值，面積都有唯一確定的值與它對應(yīng)，它們之間是函數(shù)關(guān)系．答案：B知2－練特別提醒判斷兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系，只需看它們是否符合定義中的“三要素”即可，但要注意對于自變量x取不同的數(shù)值，與之對應(yīng)的y的值不一定不同，只要有唯一值與之對應(yīng)即可．知2－練已知池中有800m3的水，每小時(shí)抽水50m3．(1)用關(guān)系式表示池中剩余水的體積Q(m3)與時(shí)間t(h)之間的關(guān)系.(2)6h后池中還有多少水？(3)幾小時(shí)后池中還有200m3的水？例3知2－練解題秘方：已知自變量的值求函數(shù)值時(shí)，可直接代入求值；已知函數(shù)值求自變量的值時(shí)，可代入函數(shù)值通過解方程求自變量的值.知2－練解：(1)由題意得Q＝800－50t．(2)當(dāng)t＝6時(shí)，Q＝800－50×6＝500．故6h后池中還有500m3的水.(3)當(dāng)Q＝200時(shí)，800－50t＝200，解得t＝12．故12h后池中還有200m3的水．知2－練方法點(diǎn)撥求函數(shù)值及自變量值的方法：1.當(dāng)已知關(guān)系是函數(shù)關(guān)系時(shí)，求函數(shù)值，實(shí)質(zhì)就是利用代入法求代數(shù)式的值.2.當(dāng)自變量的值確定時(shí)，函數(shù)值是唯一確定的；當(dāng)函數(shù)值確定時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值，就是解方程，對應(yīng)的自變量的值可以不止一個(gè)，如y＝x2－1中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝±1.知3－講知識點(diǎn)函數(shù)的表示31.一般地，函數(shù)可以用下面三種方法表示(1)用表達(dá)式表示：如y＝1－x，y＝30t等，像這樣用自變量和常量組成的表示函數(shù)的表達(dá)式叫作函數(shù)表達(dá)式.(2)用表格表示：把自變量的取值寫在第一行，對應(yīng)的函數(shù)值寫在第二行.知3－講(3)用圖象表示：把自變量的取值作為橫坐標(biāo)，對應(yīng)的函數(shù)值作為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的圖形叫作函數(shù)的圖象.知3－講2.函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)表達(dá)式比較簡潔，方便計(jì)算從函數(shù)表達(dá)式很難直觀地看出自變量與函數(shù)的變化規(guī)律，而且有些函數(shù)關(guān)系不能用表達(dá)式法表示出來知3－講續(xù)表表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)列表函數(shù)值與自變量的關(guān)系一目了然列出的對應(yīng)值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數(shù)的變化規(guī)律圖象很直觀，可以看到變化趨勢從自變量的值常常難以找到對應(yīng)的函數(shù)的準(zhǔn)確值知3－講特別提醒1.函數(shù)的三種表示方法可以互相轉(zhuǎn)化，在應(yīng)用中，要根據(jù)三種表示方法的特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)谋硎痉椒?，或者三種方法結(jié)合起來使用.2.并不是所有的函數(shù)都可以用這三種方法表示出來.如氣溫與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，只可用列表法和圖象法表示，而無法用表達(dá)式法表示.知3－練某天早晨，王老師從家出發(fā)步行前往學(xué)校，途中在路邊一飯店吃早餐，如圖5.1-1所示是王老師從家到學(xué)校這一過程中所走的路程s(m)與時(shí)間t(min)之間的關(guān)系.例4知3－練下列說法錯誤的是()A.學(xué)校離他家500m，從出發(fā)到學(xué)校，王老師共用了25minB.王老師吃早餐用了10minC.王老師吃完早餐后的平均速度是100m/minD.王老師吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢知3－練解題秘方：緊扣“圖象上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)表示的兩變量的數(shù)據(jù)”信息，進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.解：A.由圖象可知，他家與學(xué)校的距離為1000m，從家出發(fā)到學(xué)校，王老師共用了25min，故該選項(xiàng)說法錯誤；B.王老師從家出發(fā)10min后開始用早餐，到20min結(jié)束，花了20－10＝10(min)，故該選項(xiàng)說法正確；知3－練C.吃完早餐以后的速度是(1000－500)÷(25－20)＝100(m/min)，故該選項(xiàng)說法正確；D.王老師吃早餐前步行的速度是500÷10＝50(m/min)，吃完早餐以后的速度是100m/min，100>50，故該選項(xiàng)說法正確．答案：A知3－練解法提醒從函數(shù)圖象中獲取信息時(shí)，首先要弄清楚橫軸、縱軸分別表示什么，再對圖象進(jìn)行分析.本題需要先讀懂題意，結(jié)合圖象得到點(diǎn)的坐標(biāo)表示的實(shí)際意義，然后通過路程、時(shí)間、速度三者之間的關(guān)系，即可輕松地解決問題.知4－講知識點(diǎn)函數(shù)自變量的取值范圍41.確定自變量取值范圍的方法：其一，要使函數(shù)關(guān)系式有意義；其二，對實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，還應(yīng)該使實(shí)際問題有意義.知4－講2.不同類型的函數(shù)自變量取值范圍的確定類型特征舉例取值范圍整式型等式右邊是關(guān)于自變量的整式y(tǒng)＝2x2＋3x－1全體實(shí)數(shù)分式型等式右邊是關(guān)于自變量的分式使分母不為0的實(shí)數(shù)知4－講續(xù)表類型特征舉例取值范圍開方型算術(shù)平方根式型等式右邊是關(guān)于自變量的算術(shù)平方根的式子使根號下的式子為大于或等于0的數(shù)立方根式型等式右邊是關(guān)于自變量的立方根的式子全體實(shí)數(shù)知4－講續(xù)表類型特征舉例取值范圍冪型等式右邊是關(guān)于自變量的0指數(shù)冪(或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪)y＝(x－2)0，y＝2(x－3)－1使底數(shù)不為0的實(shí)數(shù)復(fù)合型含有上述兩種或多種形式使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的公共部分知4－講特別提醒自變量的取值范圍可以是無限的，也可以是有限的，甚至可以是幾個(gè)數(shù)或單獨(dú)一個(gè)數(shù).知4－練

例5解題秘方：緊扣“不同類型的函數(shù)自變量取值范圍的確定”進(jìn)行解答.

知4－練

知4－練知4－練解法提醒求自變量取值范圍的過程，其實(shí)就是解不等式或不等式組的過程.知4－練點(diǎn)燃的蠟燭每分鐘燃燒的長度一定，長為22cm的蠟燭，點(diǎn)燃10min，變短4cm.設(shè)點(diǎn)燃xmin后，還剩ycm.y是x的函數(shù)嗎？如果是，求y與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.例6解題秘方：根據(jù)等量關(guān)系求關(guān)系式