湖北到北京高考數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

2.已知集合A={x|x2-5x+6≥0},B={x|2x-1>0},則A∩B等于（）

A.(3,+∞)

B.(-∞,2)∪(3,+∞)

C.[2,3]∪(3,+∞)

D.(-∞,2)

3.若復數(shù)z=1+i,則|z|的值為（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

4.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

5.直線y=kx+b與圓x2+y2=r2相切的條件是（）

A.k2+1=r2

B.k2-1=r2

C.|k|=r

D.k2=r2

6.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=2,d=3,則a?的值為（）

A.11

B.12

C.13

D.14

7.拋擲兩個均勻的骰子,點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-x,則f(x)在x=0處的導數(shù)等于（）

A.0

B.1

C.-1

D.e

9.在△ABC中,已知角A=60°,角B=45°,邊AC=2,則邊BC的長度為（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

10.已知點P(x,y)在直線x+2y=1上,則x2+y2的最小值是（）

A.1/5

B.1/2

C.1/3

D.1

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內單調遞增的是（）

A.y=x2

B.y=log??x

C.y=e^x

D.y=-x2+1

2.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2，則下列結論正確的是（）

A.cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)

B.sinA=a/(2R)（R為外接圓半徑）

C.△ABC為直角三角形

D.tanA=c/b

3.下列命題中，正確的是（）

A.若a>b，則a2>b2

B.若f(x)是奇函數(shù)，則其圖像關于原點對稱

C.若數(shù)列{a?}是等比數(shù)列，則a?/a???為常數(shù)

D.若直線y=kx+b與x軸平行，則k=0

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則（）

A.f(x)在x=1處取得極值

B.f(x)的圖像關于原點對稱

C.f(x)在(-∞,+∞)上存在唯一零點

D.f'(x)=3x2-3

5.下列幾何體中，屬于旋轉體的有（）

A.球體

B.圓柱體

C.三棱錐

D.圓錐體

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若復數(shù)z=2-3i的共軛復數(shù)是z?，則z?在復平面內對應的點位于第______象限。

2.已知函數(shù)f(x)=√(x+1)，其定義域用集合表示為______。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=19，則該數(shù)列的公差d等于______。

4.執(zhí)行以下程序段后，變量x的值是______。

```

x=5

y=3

ifx>y:

x=x+y

else:

x=x-y

```

5.一個圓的半徑增加一倍，其面積變?yōu)樵瓉淼腳_____倍。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

2.解方程：2^(x+1)-5*2^x+6=0

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊c=√2，求邊a的長度。

4.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.B函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)x-1大于0，即x>1，所以定義域為(1,+∞)。

2.C集合A由不等式x2-5x+6≥0解得(x-2)(x-3)≥0，解集為(-∞,2]∪[3,+∞)。集合B由不等式2x-1>0解得x>1/2。A與B的交集為[2,3]∪(3,+∞)，即[2,+∞)\{3}，選項C與之相符。

3.B復數(shù)z=1+i的模|z|=√(12+12)=√2。

4.A函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)可以化為√2sin(2x+π/4)，其最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.A直線y=kx+b到圓心(0,0)的距離d=|b|/√(k2+1)。相切條件為d=r，即|b|/√(k2+1)=r，平方后得到k2+1=r2。

6.C等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+(n-1)d。將a?=2,d=3,n=5代入，得到a?=2+(5-1)×3=2+12=14。此處原參考答案為13有誤，正確答案應為14。

7.A拋擲兩個骰子，基本事件總數(shù)為6×6=36。點數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6個。故概率為6/36=1/6。

8.B函數(shù)f(x)=e^x-x的導數(shù)為f'(x)=(e^x)'-(x)'=e^x-1。在x=0處，f'(0)=e^0-1=1-1=0。此處原參考答案為1有誤，正確答案應為0。

9.A由正弦定理：a/sinA=c/sinC。已知A=60°,B=45°,C=180°-A-B=75°。設a=BC,b=AC=2,c=AB。則2/sin45°=a/sin60°，即a=2×(√2/2)/(√3/2)=2√2/√3=(√6)/3。又由余弦定理：a2=b2+c2-2bc*cosA，即a2=22+AB2-2*2*AB*cos60°。需要先求AB。由余弦定理：AB2=22+a2-2*2*a*cos75°。將a=(√6)/3代入，AB2=4+(6/3)-4*(√6)/3*cos75°=4+2-4*(√6)/3*(√6+√2)/4=6-(√6)2-(√6)*√2/3=6-6-(√12)/3=-6+2√3。此計算復雜，似乎正弦定理直接求解更簡潔。重新用正弦定理：2/(√2/2)=a/(√3/2)，a=2*(√3/2)/(√2/2)=√3*√2=√6。但題目選項中沒有√6。檢查正弦定理應用：a/sinA=b/sinB=>a/sin60°=2/sin45°=>a=2*(√3/2)/(√2/2)=√6。選項有誤或題意不清。若題目意圖是求b=2對邊a的值，則a=√6。若題目意圖是求c對邊b的值，則b=2。若題目意圖是求a=√6對邊c的值，則c需重新計算。假設題目意圖是求b=2對邊a的值，則a=√6。選項有誤。若題目意圖是求a=√6對邊b的值，則b=2。選項有誤。此題存疑。若按原答案C，a=√3，則sinA/sinB=b/a=>sin60°/sin45°=2/a=>(√3/2)/(√2/2)=2/a=>√6/2=2/a=>a=4/√6=2√6/3。仍與選項不符。重新審視題目條件：A=60°,B=45°,c=2。求a=BC。由正弦定理：a/sinA=c/sinC=>a/sin60°=2/sin75°=>a=2*(√3/2)/sin(45°+30°)=√3/sin75°=√3/(√6+√2)/4=4√3/(√6+√2)。計算sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。所以a=4√3/(√6+√2)=4√3(√6-√2)/(6-2)=2√3(√6-√2)=2(√18-√6)=2(3√2-√6)=6√2-2√6。此結果復雜且不在選項中。題目可能有誤。若必須給出一個選項，假設題目打印錯誤，可能期望的是a=√2（對應tanA/tanB=c/a=>√3/√2=2/a=>a=2√2/√3=2√6/3，與之前矛盾）?；騛=2（對應sinA/sinB=a/b=>√3/√2=a/2=>a=2√3/√2=√6）。選項C為√3，對應sinA/sinB=b/a=>√3/√2=2/a=>a=2√2/√3=2√6/3。矛盾。若題目條件有誤或選項有誤。假設題目意圖是求a=√3，則需條件sinA/sinB=b/a=>√3/√2=2/a=>a=2√2/√3=2√6/3。矛盾。此題無法給出標準答案。若按原參考答案C，a=√3，則需條件b/a=sinB/sinA=>2/√3=√2/√3=>2=√2，矛盾。此題題目或選項存在錯誤。

10.A點P(x,y)在直線x+2y=1上，可表示為y=(1-x)/2。則x2+y2=x2+((1-x)/2)2=x2+(1/4-x/2+x2/4)=5x2/4-x/2+1/4。令g(x)=5x2/4-x/2+1/4。求g(x)的最小值。g'(x)=5x/2-1/2。令g'(x)=0，得x=1/5。將x=1/5代入g(x)，得g(1/5)=5(1/5)2/4-1/5/2+1/4=5(1/25)/4-1/10+1/4=1/20-1/10+1/4=1/20-2/20+5/20=4/20=1/5。需要驗證x=1/5是否在定義域內。直線x+2y=1與圓x2+y2=r2相切，切點為(1/5,2/5)。切點到原點距離為√((1/5)2+(2/5)2)=√(1/25+4/25)=√5/5。所以圓的半徑r=√5/5。圓的方程為x2+y2=5/5=1。點(1/5,2/5)在圓上。所以x=1/5是直線與圓交點之一，也是我們要求的點。此時y=(1-x)/2=(1-1/5)/2=4/10/2=2/5。所以x=1/5,y=2/5。x2+y2=(1/5)2+(2/5)2=1/25+4/25=5/25=1/5。所以最小值為1/5。選項A正確。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,C,D

A.y=x2在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，不是在其定義域上單調遞增。

B.y=log??x在其定義域(0,+∞)上單調遞減。

C.y=e^x在其定義域(-∞,+∞)上單調遞增。

D.y=-x2+1在其定義域(-∞,+∞)上單調遞減。

綜上所述，只有C正確。此題選項設置有問題，B和D都不單調遞增。

2.A,B,C

A.a2=b2+c2是勾股定理，其等價條件是角A為直角，cosA=0。但也可以用余弦定理推導：cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。當a2=b2+c2時，cosA=(b2+c2-(b2+c2))/(2bc)=0/2bc=0。所以A正確。

B.正弦定理：a/sinA=2R。所以sinA=a/(2R)。B正確。

C.a2=b2+c2是勾股定理的等價條件，即角A為直角。C正確。

D.在直角三角形中，若∠A=60°，則∠B=90°-60°=30°。此時tanA=tan60°=√3。tanB=tan30°=1/√3。所以tanA不一定等于c/b。D錯誤。

3.B,C,D

A.若a>b且a,b為負數(shù)，則a2<b2。例如a=-1,b=-2，a>b但a2=1<b2=4。所以A錯誤。

B.奇函數(shù)f(x)滿足f(-x)=-f(x)。其圖像關于原點對稱。B正確。

C.等比數(shù)列{a?}的通項公式為a?=a?*q^(n-1)。所以a?/a???=(a?*q^(n-1))/(a?*q^(n-2))=q^(n-1-(n-2))=q^(1)=q。q為常數(shù)（公比）。C正確。

D.直線y=kx+b與x軸平行，意味著它們的斜率相等。x軸的斜率為0。所以k=0。D正確。

4.A,C,D

A.f(x)=x3-3x+1。f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得3(x2-1)=0，即x2-1=0，解得x=±1。f''(x)=6x。f''(1)=6>0，所以x=1處為極小值點。f''(-1)=-6<0，所以x=-1處為極大值點。題目問x=1處是否取得極值，x=1處確實取得極值（極小值）。A正確。

B.f(x)=x3-3x+1不是奇函數(shù)（f(-x)=-x3+3x+1≠-(x3-3x+1)），也不是偶函數(shù)（f(-x)≠f(x)）。其圖像不關于原點對稱。B錯誤。

C.令f(x)=0，得x3-3x+1=0。考慮函數(shù)g(x)=x3-3x。g(x)是奇函數(shù)，且g(0)=0。g'(x)=3x2-3=3(x2-1)。g'(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上為正，在(-1,1)上為負。所以g(x)在(-∞,-1]上單調遞增，在[1,+∞)上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減。g(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3。g(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1。由于g(x)在(-∞,-1]上遞增，在(-1,1)上遞減，在[1,+∞)上遞增，且g(-1)=3,g(1)=-1，所以g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上各有一個零點，在(-1,1)上沒有零點。即g(x)=x3-3x有兩個零點。f(x)=g(x)+1=x3-3x+1。由于g(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上各有一個零點，且g(x)在(-∞,-1)上遞增，在(-1,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，g(x)的值域在(-∞,-1)上從負無窮增到3，在(-1,1)上從3減到-1，在(1,+∞)上從-1增到正無窮。f(x)=g(x)+1的值域在(-∞,2)上從負無窮增到4，在(2,0)上從4減到0，在(0,+∞)上從0增到正無窮。由于f(x)的值域包含負無窮到正無窮，且在(1,+∞)上g(x)遞增且通過0，f(x)也在(1,+∞)上遞增且通過0。所以f(x)在(1,+∞)上至少有一個零點。又因為g(x)在(1,+∞)上遞增且通過0，且g(x)在(1,+∞)上的值域為(0,+∞)，所以f(x)在(1,+∞)上只有一個零點。同樣，由于g(x)在(-∞,-1)上遞增且通過-3，且g(x)在(-∞,-1)上的值域為(-∞,-3)，所以f(x)在(-∞,-1)上只有一個零點。綜上所述，f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上各有一個零點，總共存在兩個零點。C錯誤。（此處分析有誤，需要更嚴謹?shù)淖C明?？紤]f(x)=x3-3x+1。f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=-1,x=1。f(-1)=-1-3+1=-3。f(1)=1-3+1=-1。f(-2)=-8+6+1=-1。f(0)=03-3*0+1=1。f(2)=8-6+1=3。由于f(-1)=-3,f(1)=-1,f(0)=1,f(2)=3，且f(x)在(-∞,-1)單調遞增（f'(-2)=9>0），在(-1,1)單調遞減（f'(-0.5)=0.75>0,f'(0.5)=-0.75<0），在(1,+∞)單調遞增（f'(2)=9>0）。所以f(x)在(-∞,-1)上從f(-∞)→-3，在(-1,1)上從-3→1，在(1,+∞)上從1→f(+∞)。因此f(x)在(-∞,-1)上有一個零點，在(1,+∞)上有一個零點。總共存在兩個零點。C錯誤。）

D.f'(x)=3x2-3。f'(x)=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)。D正確。

5.A,B,D

A.球體是球面旋轉形成的旋轉體。A正確。

B.圓柱體是以矩形的一邊為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的旋轉體。B正確。

C.三棱錐是四面體，不是旋轉體。C錯誤。

D.圓錐體是以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的旋轉體。D正確。

三、填空題答案及解析

1.二。復數(shù)z=2-3i的共軛復數(shù)是z?=2+3i。z?在復平面內對應的點為(2,3)，位于第二象限。

2.[-1,1]。函數(shù)f(x)=√(x+1)的定義域要求x+1≥0，即x≥-1。所以定義域為[-1,+∞)。

3.3。在等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+4d，a??=a?+9d。a??-a?=(a?+9d)-(a?+4d)=5d。已知a?=10，a??=19，所以19-10=5d，即9=5d，解得d=9/5=1.8。此處原參考答案為3有誤，正確答案應為9/5。

4.2。執(zhí)行x=5,y=3,ifx>y:x=x+yelse:x=x-y。比較x(5)和y(3)，x>y成立，執(zhí)行x=x+y，x=5+3=8。else語句不執(zhí)行。最終x的值是8。此處原參考答案為8正確。

5.4。設原圓半徑為r，面積為πr2。半徑增加一倍后，新半徑為2r，新面積為π(2r)2=4πr2。新面積是原來的4倍。

四、計算題答案及解析

1.lim(x→2)(x2-4)/(x-2)

原式=lim(x→2)[(x+2)(x-2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

2.解方程：2^(x+1)-5*2^x+6=0

2*2^x-5*2^x+6=0=>(2-5)*2^x+6=0=>-3*2^x+6=0=>-3*2^x=-6=>2^x=2=>x=1。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊c=√2，求邊a的長度。

（此題如前所述，根據(jù)標準答案，可能題目或選項有誤。若按原題條件c=√2，A=60°，B=45°，求a。由正弦定理：a/sinA=c/sinC=>a/sin60°=√2/sin75°=>a=√2*(√3/2)/sin(45°+30°)=√2*(√3/2)/(√6+√2)/4=2√6/(√6+√2)。若必須給出一個選項值，假設題目期望a=√3，則需條件b/a=sinB/sinA=>2/√3=√2/√3=>2=√2，矛盾。此題無法按標準答案給出解析。）

假設題目意圖是求a=√3，則需條件b/a=sinB/sinA=>2/√3=√2/√3=>2=√2，矛盾。此題題目或選項存在錯誤。若必須進行計算，則a=2√6/(√6+√2)。

4.求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。需要比較f(x)在駐點x=0,x=2以及區(qū)間端點x=-1,x=3處的函數(shù)值。

f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。

f(0)=03-3(0)2+2=2。

f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。

f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。

比較這些值：f(-1)=-2,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。

最大值為2，最小值為-2。

5.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

分子分母同除以x+1：∫[(x+1)2+2(x+1)+1]/(x+1)dx=∫[(x+1)+2+1/(x+1)]