4．1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念[課標(biāo)要求]1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化．2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．【必備知識(shí)】1．任意角(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)分類按旋轉(zhuǎn)方向不同分為(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定義：在單位圓中，把長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，弧度單位用符號(hào)rad表示，讀作弧度．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝lr(弧長(zhǎng)用l角度與弧度的換算1°＝π180rad；1rad＝弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝12lr3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R，以它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以它的始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y＝sinα，x＝cosα，yx＝tanα(x(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．(3)定義的推廣設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，那么sinα＝y(tǒng)r，cosα＝xr，tanα＝y(tǒng)x【必記結(jié)論】1．象限角2．軸線角3．若角α∈0，π2，則sinα<α<tan【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．()(2)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．()(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)．()(4)若α為第一象限角，則sinα＋cosα>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．－660°等于()A．－133πradB．－256C．－113πradD．－236解析：選C.－660°＝－660×π180rad＝－113π3．下列各角中，與－457°是同一象限角的是()A．600° B．520°C．－190° D．－380°解析：選A.－457°是第三象限角，600°是第三象限角，520°是第二象限角，－190°是第二象限角，－380°是第四象限角．4．已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(－12，5)，則sinθ＋cosθ等于()A．1713B．－1713C．7解析：選D.|OP|＝?122+52＝13，∴sinθ＝513，cosθ＝－1213，∴sin5．已知扇形的圓心角為2rad，半徑為5cm，則此扇形的面積為________．解析：扇形面積S＝12lr＝12θr2＝12×2答案：25cm2題型一角及其表示【例1】(1)(2024·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B．α2C．3π2＋D．2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上解析：選D.因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵傻忙?＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，對(duì)于A，可得－π－2kπ<－α<－π2－2kπ，k∈Z，此時(shí)－α的終邊在第三象限，所以－α是第三象限角，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可得π4＋kπ<α2<π2＋kπ，k∈Z，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，α2的終邊在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，α2的終邊在第三象限，所以α2是第一或第三象限角，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可得2π＋2kπ<3π2＋α<5π2＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k＋1)π，k∈Z，所以3π2＋α的終邊在第一象限，所以3(2)已知角θ在第二象限，且sinθ2＝－sinθ2A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選C.∵角θ是第二象限角，∴θ∈2kπ+π2，2kπ+π，k∈Z，∴θ2∈(kπ+π4，kπ＋π2)，k∈Z思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來(lái)求得所需的角．(2)確定kα，αk(k∈N*先寫出kα或αk的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或α【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)如圖所示，終邊落在陰影部分的角α的取值集合為____________．解析：終邊落在射線OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，終邊落在射線OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以終邊落在陰影部分(含射線OA，不含射線OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．答案：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}(2)－2025°角是第__________象限角，與－2025°角終邊相同的最小正角是__________，最大負(fù)角是________.解析：因?yàn)椋?025°＝－6×360°＋135°，所以－2025°角的終邊與135°角的終邊相同．所以－2025°角是第二象限角，與－2025°角終邊相同的最小正角是135°.又135°－360°＝－225°，故與－2025°角終邊相同的最大負(fù)角是－225°.答案：二135°－225°題型二弧度制及其應(yīng)用【例2】(1)已知一扇形的圓心角α＝π3，半徑R＝10cm，則此扇形的弧長(zhǎng)為____cm，面積為____cm2解析：由已知得α＝π3，R所以l＝αR＝π3S扇形＝12αR答案：10[變式]若本例(1)條件不變，求扇形的弧所在弓形的面積．解：S弓形＝S扇形－S三角形＝50π3?12·R2·sin(2)在面積為定值9的扇形中，當(dāng)扇形的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，扇形的半徑為______．解析：設(shè)半徑為r，扇形弧度為α，則周長(zhǎng)為(2＋α)r，∵扇形面積為定值9，∴12αr2＝9，即α＝18r2，則周長(zhǎng)為2r由基本不等式得2r＋18r≥2答案：3思維升華應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的策略(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決．(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形稱為萊洛三角形(如圖所示)．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，則其面積是()A．2π3C．2π3解析：選D.由已知得AB＝BC＝AC＝2π3，則AB＝BC＝AC＝2，故扇形的面積為2π3，弓形AB的面積為2(2)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()A．π6B．π3解析：選D.如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對(duì)的圓心角∠AOB＝2π3，作OM⊥AB，垂足為在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3∴AM＝32r，AB＝3r，∴由弧長(zhǎng)公式得α＝lr題型三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用【例3】(1)(2024·北京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)Px0，6A．－13B．±13C．2解析：選A.∵在平面直角坐標(biāo)系中，角α以x軸的非負(fù)半軸為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)Px0，63，∴sinα＝63，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(2)(多選)(2024·衢州質(zhì)檢)若sinxcosx>0，sinx＋cosx>0，則x2A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：選AC.因?yàn)閟inxcosx>0，sinx＋cosx>0，所以sinx>0，cosx>0，故x是第一象限角，由2kπ<x<2kπ＋π2，k∈Z得kπ<x2<kπ＋π4，k∈當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，x2當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，x2思維升華(1)利用三角函數(shù)的定義，已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以求出α的三角函數(shù)值；已知角α的三角函數(shù)值，也可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)利用角所在的象限判定角的三角函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)(2024·重慶市模擬)角α終邊上有一點(diǎn)P(m，2)，則“cosα＝－13”是“m＝?A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C.角α終邊上有一點(diǎn)P(m，2)，cosα＝mm2+22＝?13<0，解得m＝－22，所以“cosα＝－(2)若sinαtanα<0，且cosαtanαA．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：選B.由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，由cosαtanα>0，知α[課下鞏固精練卷(二十九)]任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·石家莊質(zhì)檢)已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，1)，則cosα的值為()A．55 B．－C．255 解析：選D.由題意可得cosα＝?2?22．若sinθ·cosθ<0，tanθsinθA．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：選D.由tanθsinθ>0，得1又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角．3．點(diǎn)P從(1，0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)2π3弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)Q，則點(diǎn)A．?12，3C．?12，?解析：選A.點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為2π3，由三角函數(shù)定義可知，點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝cos2π3＝?124．已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有45齒，小輪有30齒．如果大輪的轉(zhuǎn)速為180r/min(轉(zhuǎn)/分)，小輪的半徑為10cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是()A．5400πcmB．90πcmC．180πcmD．40πcm解析：選B.大輪有45齒，小輪有30齒，當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)4530當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為180r/min時(shí)，小輪轉(zhuǎn)速為32×180＝270r/min小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為270×2π÷60＝9π.又小輪的半徑為10cm，所以小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)為9π×10＝90πcm.5．已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P?12，y，則sinα·A．－33B．±33C．－3解析：選C.由|OP|2＝14＋y2＝1，得y2＝34，即y＝±當(dāng)y＝32時(shí)，sinα＝32，tanα＝－3，此時(shí)sinα·tanα＝－當(dāng)y＝－32時(shí)，sinα＝－32，tanα＝3，此時(shí)sinα·tanα＝－綜上，sinα·tanα＝－326．(2024·廣州調(diào)研)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，m)，B(m，4)，則cosα＝()A．±55B．55C．±2解析：選B.記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可知O(0，0)，A(1，m)，B(m，4)三點(diǎn)共線，則m≠0，所以m1＝4因?yàn)锳，B兩點(diǎn)位于同一象限，所以m＝2，則A(1，2)，所以cosα＝117．(多選)已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)?2，?3，且θ與αA．sinθ＝－21B．α為鈍角C．cosα＝－2D．點(diǎn)(tanθ，sinα)在第一象限解析：選ACD.角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)?2，?3，則sinθθ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，由題意得α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)?2，3，α為第二象限角，不一定為鈍角，cosα＝－因?yàn)閠anθ＝32>0，sinα＝217>0，所以點(diǎn)(tanθ，sin8．扇面是中國(guó)書畫作品的一種重要表現(xiàn)形式(如圖1)，圖2為其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖．設(shè)扇面A，B間的圓弧長(zhǎng)為l，A，B間的弦長(zhǎng)為d，圓弧所對(duì)的圓心角為θ，則l，d和θ所滿足的關(guān)系為()A．2sinθC．2cosθ解析：選A.如圖，連接AB，取AB的中點(diǎn)為D，連接OD，由題意可得AD＝12d，∠DOA＝θ2，OD⊥設(shè)OA＝r，在Rt△ADO中，sinθ2又l＝rθ②，所以由①②可得lθ＝19．若α＝1560°，角θ與α終邊相同，且－360°＜θ＜360°，則θ＝________．解析：因?yàn)棣粒?560°＝4×360°＋120°，所以與α終邊相同的角為360°×k＋120°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.答案：120°或－240°10．已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.若扇形的周長(zhǎng)是40cm，當(dāng)扇形的圓心角α＝______弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大．解析：由已知，得l＋2R＝40，所以S＝12lR＝12(40－2R)R＝20R－R2＝－(所以當(dāng)R＝10(cm)時(shí)，S取得最大值，此時(shí)l＝20(cm)，α＝2.答案：2【綜合應(yīng)用題】11．(2024·江蘇連云港模擬)如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D(第一段圓弧)，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧…….以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為()A．14πB．18πC．24πD．30π解析：選C.由題意知，每段圓弧的圓心角均為2π第一段圓弧長(zhǎng)度為2π3×1＝2π3，第二段圓弧長(zhǎng)度為2π3×(1＋1)＝4π3，第三段圓弧長(zhǎng)度為2π3故得到的“蚊香”恰好有8段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為2π3+4π12．(多選)已知點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限，則x可能位于的區(qū)間是()A．5π4C．?π2解析：選AD.由點(diǎn)P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，即sinx<cosx，所以－3π4＋2kπ<x<π4＋2kπ，k當(dāng)k＝0時(shí)，x所在的一個(gè)區(qū)間是?3當(dāng)k＝1時(shí)，x所在的一個(gè)區(qū)間是5π13．如圖，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O(shè)為圓心、OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A.若圓弧AB等分△POB的面積，且∠AOB＝α，則αtan解析：設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為12αr2在Rt△PBO中，PB＝rtanα，所以△POB的面積為12r·rtanα由題意得12r2tanα＝2×12αr所以tanα＝2α，所以αtan答案：114．若點(diǎn)P(cosθ，sinθ)與點(diǎn)Q(cosθ+π6，解析：∵P(cosθ，sinθ)與Q(cosθ+π6，sinθ+π6)關(guān)于y軸對(duì)稱，即θ，θ＋π6關(guān)于y軸對(duì)稱，∴θ＋π6＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，則θ＝kπ＋5π答案：5【創(chuàng)新拓展題】15．(多選)(2024·長(zhǎng)沙模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A(1，0)．已知點(diǎn)B(x1，y1)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是(x0，sinx0)，則下列說(shuō)法中正確的是()A．若∠AOB＝α，則ACB＝αB．若y1＝sinx0，則x1＝x0C．若y1＝sinx0，則ACB＝x0D．若ACB＝x0，則y1＝sinx0解析：選AD.由于單位圓的半徑為1，根據(jù)弧長(zhǎng)公式有ACB＝1·α＝α，所以A正確；由于點(diǎn)B是∠AOB的一邊與單位圓的交點(diǎn)，則y1是對(duì)應(yīng)∠AOB的正弦值，x1是對(duì)應(yīng)∠AOB的余弦值，若y1＝sinx0，則x1＝cosx0，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)y1＝sinx0時(shí)，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C錯(cuò)誤；反過(guò)來(lái)，當(dāng)∠AOB＝x0，即ACB＝x0時(shí)，y1＝16．(2024·綿陽(yáng)模擬)月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉徹”，因其形酷似一彎新月而得名．如圖所示，某月牙泉模型的邊緣都可以看作是圓弧，兩段圓弧可以看成是△ABC的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分．若∠ACB＝5π6，AB的長(zhǎng)約為20A．3003－50π B．120π＋1503C．100π＋1803 D．120π＋1803解析：選A.如圖，設(shè)△ABC外接圓圓心為O，半徑為R，則2R＝ABsin得R＝203＝AB，因此∠AOB＝π3，△ABC所在弓形的面積S＝16×πR2－34R2＝π6×2032－34×2034．2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式[課標(biāo)要求]1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2.借助單位圓及三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(【必備知識(shí)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：sinαcosα＝tan2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．【必記結(jié)論】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的常見變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠π【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(3)若α∈R，則tanα＝sinα(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，則sinα＝1(5)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，則cosθ＝1答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．已知sin5π2+α＝1A．－25B．－15C．1解析：選C.sin5π2+α＝cosα3．若cosα＝13，α∈?π2，0A．－24B．24C．－22解析：選C.由已知得，sinα＝－1?cos2α＝?1?4．若sinα＋cosα＝22，則sinαcosαA．－12B．－14C．解析：選B.因?yàn)閟inα＋cosα＝22，所以(sinα＋cosα)2＝1即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12即1＋2sinαcosα＝12所以sinαcosα＝－145．cosα?3解析：原式＝cos＝cosπ?α?sin答案：tanα題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系及應(yīng)用【例1】(1)已知tanαtanα?1＝－1，則sinα?3cosαsinα解析：由已知得tanα＝12所以sinαsin2α＋sinαcosα＋2＝sin答案：?[變式]本例中，若已知sinα?3cosαsinα+解析：由sinα?3cosαsinα+cosα答案：1(2)(多選)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝解析：選ABD.由題意知sinθ＋cosθ＝15∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125∴2sinθcosθ＝－2425又∵θ∈(0，π)，∴π2＜θ＜π，∴sinθ－cosθ∴sinθ－cosθ＝1?2sin∴sinθ＝45，cosθ＝－3∴tanθ＝－43思維升華(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosαtanα(2)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα，asin2α＋b(3)對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)(2024·青島調(diào)研)若sinθ＋cosθ＝233，則sin4θ＋cos4A．56B．C．89D．解析：選B.由sinθ＋cosθ＝233，平方得1＋2sinθcosθ＝43，∴sinθcosθ＝16， ∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ(2)(2023·全國(guó)乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sin解析：因?yàn)棣取?，π2，則sinθ又因?yàn)閠anθ＝sinθcosθ＝12，則cos且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－5所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－55答案：－5題型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例2】(1)(人教A版必修一P193)化簡(jiǎn)sin2解析：原式＝?＝?sin2αcosα?cos答案：－tanα(2)(人教A版必修一P195)已知sinπ3?x＝13，且0<x<π2，則解析：∵0<x<π2，∴－π6<π3－x又sinπ3?x＝13>0，∴0<π∴cosπ3∴sinπ6+x＝sincos2π3+x＝cosπ－π3－x答案：223思維升華誘導(dǎo)公式的應(yīng)用思路與技巧(1)求值思路：負(fù)角化正角，大角化小角，角中含有加減kπ2(k∈Z)時(shí)，用公式去掉kπ2(k∈(2)化簡(jiǎn)思路：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名、同角名少為終了．(3)應(yīng)用技巧：①常用互余的角：π3＋α與π6－α，π3－α與π6＋α，π4＋α②常用互補(bǔ)的角：π3＋α與2π3－α，π3－α與2π3＋α，π4【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)sin495°＝()A．1B．－12C．3解析：選D.sin495°＝sin(360°＋135°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝22(2)已知cosx?π3＝35A．－45B．－35C．3解析：選B.cos4π3?x＝cosπ?x?π題型三同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例3】(1)(2024·聊城模擬)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cosπ2+β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sinA．325B．357解析：選C.由已知得3sinβ?2tanα+5＝0，tanα?6sinβ?1＝0，消去sinβ，得tanα＝3，∴cosα＝13sinα，代入sin2α＋cos2(2)若角θ為第四象限角，且sinθcosθ－sin2θ＝－35，則tankπ2+θ(解析：由sinθcosθ－sin2θ＝－35得sinθ即5tanθ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，即2tan2θ－5tanθ－3＝0，解得tanθ＝－12或tanθ又角θ為第四象限角，則tanθ＝－12當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，tankπ2+θ＝tan(mπ＋θ)＝tanθ當(dāng)k＝2m－1(m∈Z)時(shí)，tankπ2＝tanθ?π2＝－所以tankπ2+θ答案：－12【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)(2024·衡水模擬)已知sin3π2?α＋cos(π－α)＝sinα，則2sin2α－sinαcosA．2110B．C．32解析：選D.由誘導(dǎo)公式可得，sinα＝sin3π2?α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2，故2sin2α－sinαcosα(2)已知關(guān)于x的方程sin22025π2+x－sin(2025π＋x解析：令f(x)＝sin22025π則f(x)＝cos2x＋sinx－2＝－sin2x＋sinx－1，所以f(x)＝－sinx又sinx∈[－1，1]，所以f(x)∈－3，－因?yàn)殛P(guān)于x的方程sin22025π2+x－sin(2025π＋x)－2－a＝0有實(shí)數(shù)解，f(x所以a的取值范圍為?3，答案：?3[課下鞏固精練卷(三十)]同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．已知sinα＝－45，且α為第三象限角，則tanαA．34B．－34解析：選C.∵sinα＝－45，且α∴cosα＝－1?sin2α＝－35，∴tanα＝sin2．(2024·北京通州區(qū)質(zhì)檢)已知cosα＝35，α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則tanβA．34B．－34解析：選D.∵α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴tanβ＝tan(π－α＋2kπ)＝tan(π－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝－1?3．(2024·陜西安康模擬)已知tanθ＝12，則sinA.12B．2C．1解析：選A.因?yàn)閠anθ＝12，所以sin3θ4．若角α的終邊在第三象限，則cosα1?A．3B．－3C．1D．－1解析：選B.由角α的終邊在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝cosα5．(2024·安康模擬)已知sinπ3+θ＝14，?A．－14B．－154C．15解析：選C.sin5π6+θ＝sinπ3+θ+∵－π2<θ<π∴－π6<π3＋θ<π2∴cosπ3即sin5π6．(多選)已知sinθcosθ＝12，πA．θ的終邊在第三象限 B．sinθ＋cosθ＝2C．sinθ－cosθ＝0 D．tanθ＝－1解析：選AC.因?yàn)閟inθcosθ＝12，π所以θ為第三象限角，故A正確；由題意得sinθ<0，cosθ<0，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝0，故sinθ－cosθ＝0，故C正確；結(jié)合C可知tanθ＝1，故D錯(cuò)誤．7．(多選)在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sinB+C2＝cosC．tan(A＋B)＝－tanCC≠D．cos(A＋B)＝cosC解析：選ABC.在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正確；sinB+C2＝sinπ2?A2tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCC≠πcos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D錯(cuò)誤．8．(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸的非負(fù)半軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為210A．cos(π＋α)＝210 B．cos(－β)＝C．sin3π2?α＝?210解析：選BC.由三角函數(shù)的定義可得cosα＝210，cosβ＝2因?yàn)棣?，β為銳角，所以sinα＝7210，sinβ＝55，tanβ所以cos(π＋α)＝－cosα＝－210cos(－β)＝cosβ＝25sin3π2?α＝－cosαtan(π－β)＝－tanβ＝－129．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－25，則sinθ＋cosθ解析：因?yàn)閟inθ－2cosθ＝－25則2cosθ?25所以5cos2θ－85cosθ－21即cosθ又因?yàn)棣葹榈谝幌笙藿?，所以cosθ＝35，所以sinθ＝4從而sinθ＋cosθ＝75答案：710．(2024·浙江杭州模擬)已知sinθ?2cosθ解析：由sinθ?2cosθsinθ+cosθ得sin所以sin＝?64＝?63cos將tanθ＝－4代入計(jì)算可得?63+tan2θ答案：47【綜合應(yīng)用題】11．(2024·汕頭質(zhì)檢)定義θ與φ都是任意角，若滿足θ＋φ＝π2，則稱角θ與φ“廣義互余”．已知sinα＝14，下列角β中，可能與角A．sinβ＝154B．cos(π＋β)＝C．tanβ＝155D．tanβ＝解析：選A.若α＋β＝π2，則cosβ＝cosπ2?α＝sinα＝14，sinβ＝sinπ2?α＝對(duì)于A，sinβ＝154對(duì)于B，cos(π＋β)＝－cosβ＝14，∴cosβ＝－1對(duì)于C，tanβ＝155，即sinβ＝155cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴cosβ＝±對(duì)于D，tanβ＝1515，即15sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，∴sinβ＝±112．(多選)已知sinθ＋cosθ＝t，θ∈?π2，π2，t∈?1，2，函數(shù)f(θ)＝sinθ＋cosA．當(dāng)t＝12時(shí)，sinθcosθ＝B．當(dāng)t＝12時(shí)，sin3θ－cos3θ＝－C．函數(shù)f(θ)的值域?yàn)?1D．函數(shù)f(θ)的值域?yàn)?－1，1]解析：選BD.當(dāng)t＝12時(shí)，sinθ＋cosθ＝1兩邊平方，可得1＋2sinθcosθ＝14可得sinθcosθ＝－38所以θ∈?π2，0，所以sinθ－－sinθ可得sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋cosθsinθ＋cos2θ)＝?7因?yàn)閟inθ＋cosθ＝t，t∈?1，兩邊平方，可得1＋2sinθcosθ＝t2，可得sinθcosθ＝t2?12，所以sinθ＋cosθ－sinθcosθ＝t－t2?1因?yàn)閠∈?1，所以f(θ)＝sinθ＋cosθ－sinθcosθ∈(－1，1]，故C錯(cuò)誤，D正確．13．(多選)(2024·大連模擬)在△ABC中，若tanA+B2＝sinCA．tanAB．1<sinA＋sinB≤2C．sin2A＋cos2B＝1D．cos2A＋cos2B＝sin2C解析：選BD.由tanA+B2＝sinC?tanπ2?C2＝sinπ因?yàn)?<C2<π2，所以cos所以1＝2sin2C2?1－2sin2C2＝0?cosC＝0?C＝所以tanB＝tanπ2?A＝1因?yàn)閟inA＋sinB＝sinA＋cosA＝2sinA+π4，0<A<π2?π4<A＋所以22<sinA+π4≤1?1<2從而有1<sinA＋sinB≤2，B正確；因?yàn)閏osB＝cosπ2?A＝sinA，所以sin2A＋cos2B＝2sin2cos2A＋cos2B＝cos2A＋sin2A＝1＝sin2C，D正確．14．已知cosπ6?α＝33，則cos解析：因?yàn)閏osπ6?α＝33，所以cos5π6+α＝sinα+4π3＝－sinα+π3＝－sin[π所以cos5π6+α－sinα+答案：015．已知sin(3π＋θ)＝13，則cos解析：由sin(3π＋θ)＝13，可得sinθ＝－1∴所求式＝?＝11+cosθ+1＝21?答案：18【創(chuàng)新拓展題】16．(2024·沈陽(yáng)調(diào)研)已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為sin4π5A．π5B．3π10C．解析：選D.法一由三角函數(shù)的定義可知cosα＝sin4π5＝sinπ2+sinα＝cos4π5＝cosπ2由誘導(dǎo)公式可得α＝2kπ－3π10，k∈所以當(dāng)k＝1時(shí)，α取得最小正值，為17π法二由題意得tanα＝cos4π5sin4π5＝sinπ2?4∵sin4π5>0，cos4π∴當(dāng)k＝2時(shí)，α取得最小正值，為17π17．黑洞原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再出來(lái)，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，任意取一個(gè)數(shù)字串，長(zhǎng)度不限，依次寫出該數(shù)字串中偶數(shù)的個(gè)數(shù)、奇數(shù)的個(gè)數(shù)以及總的數(shù)字個(gè)數(shù)，把這三個(gè)數(shù)從左到右寫成一個(gè)新數(shù)字串；重復(fù)以上工作，最后會(huì)得到一個(gè)反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字，我們稱它為“數(shù)字黑洞”．如果把這個(gè)數(shù)字設(shè)為a，則sinaπA．12B．－12C．3解析：選D.根據(jù)“數(shù)字黑洞”的定義，任取數(shù)字2021，經(jīng)過(guò)第一步之后變?yōu)?14，經(jīng)過(guò)第二步之后變?yōu)?23，再變?yōu)?23，再變?yōu)?23，所以數(shù)字黑洞為123，即a＝123，所以sinaπ2+π6＝sin123π24．3兩角和與差的正弦、余弦和正切公式[課標(biāo)要求]1.會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式．2.會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．【必備知識(shí)】1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式2．輔助角公式asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2+【必記結(jié)論】?jī)山呛团c差的公式的常用變形：(1)2sinαsinβ＝cos(α－β)－cos(α＋β)；2cosαcosβ＝cos(α－β)＋cos(α＋β)．(2)2cosαsinβ＝sin(α＋β)－sin(α－β)；2sinαcosβ＝sin(α＋β)＋sin(α－β)．(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(2)對(duì)于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(3)tanπ2?π3能根據(jù)公式tan((4)公式asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋φ)中φ的取值與答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．計(jì)算cos72°cos12°＋sin72°sin12°的結(jié)果為()A．32B．12C．－1解析：選B.cos72°cos12°＋sin72°sin12°＝cos(72°－12°)＝cos60°＝123．若cosα＝－45，α是第三象限角，則sinα+A．7210B．－7210解析：選B.∵α是第三象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－1?cos∴sinα+π4＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4．若tanα＝－2，tan(α＋β)＝13，則tanβ解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα+β答案：75．1+tan解析：由公式T(α＋β)及tan45°＝1，得1+tan15°答案：3題型一兩角和與差的三角函數(shù)公式三角函數(shù)公式的應(yīng)用策略(1)使用兩角和、差及倍角公式時(shí)，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．·教考銜接·鏈接高考·【例1】(1)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，則cos(α－β)＝()A．－3m B．－mC．m3 D．3解析：選A.因?yàn)閏os(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，而tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m即cosαcosβ＝－m，從而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝－3m.(2)(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知α為第一象限角，β為第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，則sin(α＋β)＝________．解析：法一：由題意得tan(α＋β)＝tanα因?yàn)棣痢?kπ，2kπ+π2，β∈2mπ則α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因?yàn)閠an(α＋β)＝－22<0，則α＋β∈((2m＋2k)π＋3π2，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，則sin(α＋則sinα+βcosα+β＝?22，聯(lián)立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α法二：因?yàn)棣翞榈谝幌笙藿?，β為第三象限角，則cosα>0，cosβ<0，cosα＝cosαsin2α+cos則sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ)＝4cosαcosβ＝?41+答案：－2教材溯源·(人教A版必修一P255)已知cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，tanαtan解析：∵cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝3∴cos∴sinαsinβ＝15，答案：1【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)若sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝12，則sin2αcosA.23B．13C．1解析：選B.由sin(2α－β)＝16，sin(2α＋β)＝1可得sin2αcosβ－cos2αsinβ＝16sin2αcosβ＋cos2αsinβ＝12由①＋②得，2sin2αcosβ＝23所以sin2αcosβ＝13(2)已知tanα＝17，tanβ＝34，則tan(2α＋A．43B．23C．－3解析：選A.由tanα＝17，tanβ＝34，得tan(α＋β)＝tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)]＝tanα題型二兩角和與差的三角函數(shù)公式的變形與輔助角公式【例2】(1)(人教A版必修一P255)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________．解析：tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20∴tan20°＋tan40°＝3?∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：3(2)已知函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx，設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，f(x)取得最大值，則cosθ＝________．解析：f(x)＝sinx－2cosx＝5sin(x－φ)，其中cosφ＝55，sinφ＝2則f(θ)＝5sin(θ－φ)＝5，因此θ－φ＝π2＋2kπ，k∈Z則cosθ＝cosφ+π2+2kπ＝－sin答案：－2思維升華(1)運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力．(2)對(duì)asinx＋bcosx化簡(jiǎn)時(shí)，輔助角φ的值如何求要清楚．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)(人教A版必修一P254)化簡(jiǎn)tan70°cos10°3tan解析：原式＝tan70°cos10°3＝tan70°cos10°·3＝tan70°cos10°·2＝tan70°cos10°·?2＝tan70°cos10°·?2＝sin70°cos70＝sin＝?sin答案：－1(2)化簡(jiǎn)：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________．解析：原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋3tan(20°＋10°)(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.答案：1題型三角的變換問(wèn)題【例3】(1)(2024·三亞模擬)已知cosα＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均為銳角，則sinA．12B．22C．解析：選B.因?yàn)棣粒戮鶠殇J角，所以β－α∈?π所以cos(β－α)＝31010，sinα＝所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝255×(2)已知α，β為銳角，sinα＝31010，cos(α＋β)＝－55，則sin(2α解析：因?yàn)?<α<π2，sinα＝3所以cosα＝1?sin因?yàn)?<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋因?yàn)閏os(α＋β)＝－55所以sin(α＋β)＝1?cos所以sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝310答案：－2思維升華(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．(3)常見的角的變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α+β2+α?β2，π3+α＝π2?π6?α，α＝(【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(1)(2024·上饒模擬)已知sinα＝55，α為鈍角，tan(α－β)＝13，則tanA．1B．－1C．2D．－2解析：選B.∵sinα＝55，α∴cosα＝－1?sin∴tanα＝sinα又tan(α－β)＝13則tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα(2)(2024·河北衡水三模)已知sin(3α－β)＝msin(α－β)，tan(2α－β)＝ntanα，則m，n的關(guān)系為()A．m＝2nB．n＝m+1C．n＝mm?1D．n＝解析：選D.依題意，sin(3α－β)＝sin[(2α－β)＋α]＝sin(2α－β)cosα＋cos(2α－β)sinα，sin(α－β)＝sin[(2α－β)－α]＝sin(2α－β)cosα－cos(2α－β)sinα，則sin(2α－β)cosα＋cos(2α－β)sinα＝msin(2α－β)cosα－mcos(2α－β)sinα，即sin2α?βcosαcos2α?β[課下鞏固精練卷(三十一)]兩角和與差的正弦、余弦和正切公式__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·北京模擬)tan105°等于()A．2－3B．－2－3C．3－2D．－3解析：選B.tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan602．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(sin47°，cos47°)，則sin(α－13°)等于()A．12B．32C．－1解析：選A.由三角函數(shù)的定義，得sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，則sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝123．(人教A版必修一P254)sin10A．1B．14C．12解析：選B.sin102sin4．定義運(yùn)算abcd＝ad－bc，若cosα＝17，sinαsinβcosαA．π12B．π6C．π解析：選D.由題意得sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝33∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π∴cos(α－β)＝1314又∵cosα＝17，∴sinα＝4sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝43∴β＝π35．(2024·全國(guó)甲卷)已知cosαcosαA．23＋1 B．23－1C．32 D．1－解析：選B.因?yàn)閏osα所以11?tanα＝3所以tanα+π46．若0<α<π2，?π2<β<0，cosπ4+α＝13，A．33B．－33C．5解析：選C.cosα+β2＝cos[π4+α－π4?β2]＝cosπ∵0<α<π2，則π4<π4＋α∴sinπ4又－π2<β<0，則π4<π4∴sinπ4故cosα+β7．(多選)下列等式成立的有()A．sin15°cos15°＝1B．sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝1C．cos105°cos75°－sin105°cos15°＝－1D．3sin15°＋cos15°＝1解析：選BC.對(duì)于A，sin15°cos15°＝12sin30°＝1對(duì)于B，sin75°cos15°＋cos75°sin15°＝sin(75°＋15°)＝sin90°＝1，故B正確；對(duì)于C，cos105°cos75°－sin105°cos15°＝cos(105°＋75°)＝cos180°＝－1，故C正確；對(duì)于D，3sin15°＋cos15°＝2sin(15°＋30°)＝2sin45°＝2，故D錯(cuò)誤．8．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(β－γ)＝－cos(α－γ)B．15sinx＋5cosx＝5sinx+C．f(x)＝sinx2＋cosxD．tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝1解析：選AD.對(duì)于A，左邊＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A正確；對(duì)于B,15sinx＋5cosx＝25(32sinx＋12cos對(duì)于C，f(x)＝sinx2＋cosx2＝2sinx2+π對(duì)于D，tan12°＋tan33°＋tan12°tan33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan12°tan33°)＋tan12°tan33°＝1，故D正確．9．(人教A版必修一P220)已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，β是第三象限角，則sinβ+解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝35，∴sin[(α－β)－α]＝3∴sinβ＝－35，又β是第三象限角，∴cosβ＝－4因此sinβ+5π4＝sinβcos5π4＋cosβsin5答案：710．已知點(diǎn)Px，22是角α終邊上一點(diǎn)，且cosα＝?13解析：因?yàn)辄c(diǎn)Px，22則有cosα＝xx解得x＝－1，則sinα＝22因此，cosπ6+α＝cosπ6cosα－sin＝32答案：－3【綜合應(yīng)用題】11．(2024·南通模擬)4sin40°－tan40°的值為()A．3 B．2C．2+32 解析：選A.4sin40°－tan40°＝4sin40°－sin＝2＝sin＝sin＝sin＝3sin12．(多選)(2024·云南昆明模擬)已知α，β，γ∈0，π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝A．cos(β－α)＝12B．cos(β－α)＝C．β－α＝－π3 D．β－α＝解析：選AD.由題意，知sinγ＝sinβ－sinα，cosγ＝cosα－cosβ，將兩式分別平方后相加，得1＝(sinβ－sinα)2＋(cosα－cosβ)2＝2－2(sinβsinα＋cosβcosα)，∴cos(β－α)＝12，故A正確，B錯(cuò)誤；∵α，β，γ∈0，π2，∴sinγ＝sinβ－sinα>0，∴β>α，∴0<β－α<π2，∴β13．(2024·南京、鹽城一模)已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，則tanα＋tanβA．22 C．－2－22 D．－2＋22解析：選D.因?yàn)棣粒拢溅?，α＞0，β＞0，所以0＜α＜π4，0＜β＜所以0＜tanα＜1，0＜tanβ＜1，所以tanα＋tanβ＝tanα＋tanπ4?α＝tan2α+1當(dāng)且僅當(dāng)tanα＋1＝2tanα+1，即tanα14．當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，若cos5π6?θ解析：因?yàn)棣取?0，π)，所以－θ∈(－π，0)，所以5π6－θ∈因?yàn)閏os5π所以5π6－θ∈所以sin5π所以tanθ+π6＝tanθ+π6?答案：415．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，則tan(α＋β)tanα＝________．解析：由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0，因此3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0，整理得8cos(α＋β)cosα＋2sin(α＋β)sinα＝0，因此sin(α＋β)sinα＝－4cos(α＋β)cosα，于是sinα+β即tan(α＋β)tanα＝－4.答案：－4【創(chuàng)新拓展題】16．(2023·鄭州模擬)已知角θ∈(0，2π)，θ終邊上有一點(diǎn)(cos2－sin2，－cos2－sin2)，則θ等于()A．2 B．3πC．7π4－2 D．解析：選C.tanθ＝?＝－tanπ4+tan21?tan故θ＝3π4－2＋kπ，k∈又cos2－sin2<0，－cos2－sin2＝－2sinπ4故θ在第三象限，故k＝1，θ＝7π17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α(π6<α<π2)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓O交于點(diǎn)A(x1，y1)，將角α的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)π3，交單位圓O于點(diǎn)B(x2，y(1)若x1＝35，求x2(2)分別過(guò)點(diǎn)A，B向x軸作垂線，垂足分別為C，D，記△AOC，△BOD的面積分別為S1，S2.若S1＝2S2，求角α的大小．解：(1)由已知得cosα＝x1＝35sinα＝1?cos所以x2＝cosα+π3＝cosαcosπ3－sin＝35(2)根據(jù)條件知S1＝12sinαcosα＝14sin2S2＝－12sinα+π3cosα+因?yàn)镾1＝2S2，所以sin2α＝－2sin2α+2π3＝－2(sin2αcos2π3＋cos2αsin2π3于是cos2α＝0，因?yàn)棣?<α<π2，所以π3<2α所以2α＝π2，解得α＝π4．4簡(jiǎn)單的三角恒等變換[課標(biāo)要求]能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).【必備知識(shí)】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．(2)公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．(3)公式T2α：tan2α＝2tanα2．半角公式sinα2＝±1?cosα2；cosα2＝±1+cosα23．降冪公式sin2α＝1?cos2α2，cos2α＝1+cos2α【必記結(jié)論】1．二倍角公式的變形公式(1)1－cosα＝2sin2α2，1＋cosα＝2cos2α(2)1±sinα＝sinα2．半角正切公式的有理化tanα2＝sinα3．萬(wàn)能公式(1)sinα＝2sinα2cosα2＝2sin(2)cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2【基點(diǎn)診斷】1．判斷下列說(shuō)法正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．()(2)半角的正切公式成立的條件是α≠(2k＋1)π(k∈Z).()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(4)sin2π12－cos2π12＝答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．cos15°等于()A．1+cos30°2C．±1+cos30°2 解析：選A.因?yàn)?5°是第一象限角，所以cos15°>0，由半角的余弦公式可知cos15°＝1+cos3．已知sinα＝55，cosα＝255，則tanA．2－5B．2＋5C．5－2D．±(5－2)解析：選C.因?yàn)閟inα＝55，cosα＝255，所以tanα2＝sin4．已知sin(α－π)＝35，則cos2α＝解析：sin(α－π)＝－sinα＝35，故sinα＝－3所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(－35)2＝7答案：75．已知sinα2－cosα2＝15，則sin解析：由sinα2－cosα2＝15，所以(sinα2－cosα2)2＝sin2α2－2sinα2cosα2＋cos2α2＝1－sinα答案：24題型一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)【例1】(1)1?sin40°＋A．－sin20° B．－cos20°C．cos20° D．sin20°解析：選C.原式＝(sin20°?cos20°)2＋1?1?2sin220°2＝|sin20°－cos20°|＋sin220°(2)sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β＝解析：法一：原式＝1?cos2α2·1?cos2β2＋1+cos2α2·＝1?cos2β?cos2α+cos2αcos2β4＋＝12＋12cos2αcos2β－12cos2αcos2β法二：原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－12(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12＝1法三：原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(cos2α－sin2α)(cos2β－sin2β＝12(2sin2αsin2β＋2cos2αcos2β－cos2αcos2β＋cos2αsin2β＋sin2αcos2β－sin2αsin2β＝12[sin2α(sin2β＋cos2β)＋cos2α(sin2β＋cos2β)],＝12(sin2α＋cos2α)＝答案：1思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】1.(1)化簡(jiǎn)：cos20°cos40°cos80°＝__________．解析：cos20°cos40°cos80°＝sin＝12sin4＝18sin160°答案：1(2)已知0＜θ＜π，則(1+sin解析：原式＝(2＝2＝?2cosθ2cos答案：－cosθ題型二三角函數(shù)式的求值角度1給角求值【例2】(2024·保定模擬)黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形．已知在頂角為36°的黃金三角形中，36°角對(duì)應(yīng)邊與72°角對(duì)應(yīng)邊的比值為5?12≈0.618，這個(gè)值被稱為黃金比例．若t＝5?1A．5+14B．5?14C．解析：選D.依題意，得t＝sin36°sin72°＝sin144則1?2sin227°2t4?t2＝cos角度2給值求值【例3】(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，則cos(2α＋2β)A．79B．19C．－19解析：選B.因?yàn)閟in(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝13，而cosαsinβ＝16，因此sinαcosβ＝12，則sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ所以cos(2α＋2β)＝cos2α＋β＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×(23)(2)(2024·西安鐵一中模擬)已知sin(α＋π3)＝34，則sin(2α＋π6解析：∵cos(2α＋2π3)＝1－2sin2(α＋π3)＝1－2×(34)2cos(2α＋2π3)＝cos[π2＋(2α＋π6)]＝－sin(2α＋π6∴sin(2α＋π6)＝1答案：1角度3給值求角【例4】已知α，β均為銳角，cosα＝277，sinβ＝3314，則cos2α＝______，2α解析：因?yàn)閏osα＝27所以cos2α＝2cos2α－1＝17又因?yàn)棣?，β均為銳角，sinβ＝33所以sinα＝217，cosβ＝13因此sin2α＝2sinαcosα＝43所以sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝437×1314－17×因?yàn)棣翞殇J角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜π2又β為銳角，所以－π2＜2α－β＜π又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π答案：17思維升華已知三角函數(shù)值求角的解題步驟給值求角問(wèn)題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角．遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．(2)已知正、余弦函數(shù)值，若角的范圍是0，π2，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2.(1)(2024·鐵嶺質(zhì)檢)已知1cosθ＋tanθ＝2，則tanθ2A．3B．13或－1C．12解析：選D.由1cosθ＋tanθ＝cos2θ2+sin2整理得3tan2θ2＋2tanθ解得tanθ2＝13或tan因?yàn)閏osθ≠0，所以θ≠π2＋kπ，k∈Z所以θ2≠π4＋kπ2，所以tanθ2≠－1，故tanθ2＝(2)(人教A版必修一P255)已知sinα－cosα＝15，0≤α≤π，sin2解析：將sinα－cosα＝15平方得1－2sinαcosα＝125，所以2sinαcosα＝2425，所以α所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋2425＝4925，從而sinα＋cosα＝聯(lián)立sinα?所以sin2α＝2sinαcosα＝2425，cos2α＝cos2α－sin2α＝352－4故sin2α?π4＝22(sin2α－cos2α)＝2答案：31(3)已知α∈0,π2，tanπ12＝sinα解析：tanπ12＝sinπ12cosπ12＝sinα?sinπ12cosα+cosπ12，整理得sinπ12cosα+cosπ12＝cosπ12(sinα－sinπ12)，即sin(α－π12)＝答案：π題型三三角恒等變換的綜合應(yīng)用[例5](2024·廣州模擬)若α，β∈π2,π，且(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosA．2α＋β＝5π2 B．2α－βC．α＋β＝7π4 D．α－β解析：選A.∵α，β∈π2,π，∴sin∵(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosβ，∴2sin2α(1＋sinβ)＝2sinαcosαcosβ，即sinα(1＋sinβ)＝cosαcosβ.∴sinα＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，∴cos(α＋β)＝cosπ2∵α，β∈π2∴π<α＋β<2π，且－π2<π2－∴α＋β＝π2－α＋2π，解得2α＋β＝5【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】3.(2024·哈爾濱模擬)已知π4<θ<π3，若a＝tanθtan2θ+1，b＝12－12cos2θ，c＝1cosθA．c>a>bB．b>c>aC．c>b>aD．b>a>c解析：選C.a＝tanθtan2θ+1＝sinθcosb＝12(1－cos2θ)＝sin2θc＝1cosθ－cosθ＝sin2θcosθ＝sin又π4<θ<π3，則sinθ∈且tanθ>1>sinθ>22>cosθ>1所以c＝sinθtanθ>b＝sin2θ>a＝sinθcosθ.[課下鞏固精練卷(三十二)]簡(jiǎn)單的三角恒等變換__________________________________________________________________【基礎(chǔ)鞏固題】1．(2024·保定模擬)已知sinθ?π4＝22A．79B．－C．29D．－解析：選B.由sinθ?π4＝223，得sinθ?π4＝sinθcosπ4－cosθsinπ4＝22(sinθ－cosθ)＝223，即sinθ2．(2024·棗莊模擬)已知sinπ6?α＝23A．－59B．59C．－13解析：選A.cos2α?4π3＝cos?π+2α?π3＝?cos2α?π33．(2024·湖南師大附中模擬)已知sinθ1+cosθ則A．43B．－23C．－43解析：選C.由sinθ1+cosθ＝2sinθ2cos4．(2024·邢臺(tái)模擬)1＋tan22.5°等于()A．2B．52C．1+52解析：選A.由tan45°＝2tan22.5得2tan22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan22.5°＋1)2＝2，又tan22.5°>0，所以1＋tan22.5°＝2.5．若λcos50°－tan40°＝3，則λ＝A．2B．23C．4D．33解析：選C.由已知得，λsin40°－sin40°cos40°＝3，則λsin40°cos40°－sin40°＝3cos40°，整理得λ2sin80°＝3cos40°＋sin40°＝2(32cos40°＋12sin40°)＝26．(2024·茂名模擬)已知tanα＝2，則sin3αsinα－A．－12B．－13C．13解析：選B.因?yàn)閠anα＝2所以sin3αsinα－sin2α＝sinα+2α＝sinαcos2α+＝cos2α＋2cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α＋2cos2α－sin2α＝3cos2α－2sin2α＝3＝3?2tan7．(多選)已知α∈(π，2π)，sinα＝tanα2＝tanA．tanα＝3B．cosα＝1C．tanβ＝43D．cosβ＝1解析：選BD.因?yàn)閟inα＝tanαcosα＝tanα2，且α∈(π，2π)，所以cosα＝12，所以sinα＝－32，tanα＝－3，故A錯(cuò)誤，B正確；即tanβ2＝?32，所以8．(多選)設(shè)α∈0，π2，β∈π2，πA．sinα＝sinβB．cosα＝－cosβC．sinα＝cosβD．sin2α2＋sin2β2解析：選ABD.由1+cosα+sinα1?得2cos2α2得2cos因?yàn)棣痢?，π2，所以α2∈0，π4，因此有cosα2sinα2＝sinβ2cosβ2，所以cosα2cosβ2－sinα2sinβ2＝0，即cosα+β2＝0.又因?yàn)棣隆师?，π，所以β2∈π4，π2，所以α+β2∈π4，3π4，即α+β2＝π2，因此α＋β＝π，所以有sinα＝sin(π－β)＝sinβ9．若23sinx＋2cosx＝1，則sin5π6?xcos解析：由已知條件可得4sinx+π6＝1，令x＋π6＝t，則sint＝14，x＝t?π6，所以sin5π6?xcos2x+π3＝sin(π－t)cos2t答案：710．(2024·安徽阜陽(yáng)模擬)若cos2α＝－1010，sin(α－β)＝55，且α∈π4，π2，解析：因?yàn)棣痢师?，π2，所以2α∈π2，π，所以sin2α＝1?cos22α＝310所以cos(α－β)＝－1?所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝－1010×?255＋31010×55＝2答案：－π【綜合應(yīng)用題】11．(2024·平頂山模擬)若sinα+π4＝?35，17π12<α<7A．1625B．C．3750D．解析：選D.由17π12<α<7π4，知5π3因?yàn)閟inα+所以cosα+所以sinα＝sinα+π4?π4＝22sinα+π而sin2α＝－cos2α+π2＝－cos2α+π4＝所以sin2α＋sin2α＝－725＋?721012．(多選)已知0<β<α<π4，且sin(α－β)＝13，tanα＝5A．sinαcosβ＝512B．sinβcosα＝1C．sin2αsin2β＝572D．α＋β＝π解析：選ABD.由sin(α－β)＝13?sinαcosβ－sinβcosα＝由tanα＝5ta