2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷?？碱}之一元

一次不等式與一元一次不等式組

一.選擇題（共7小題）

1.（2024秋?醴陵市期末）解不等式1-4V紇二時，下列去分母正確的是（）

A.6-尤-2<2⑵-1）B.1-x+2<2（2x-1）

C.6-x+2<2（2x-1）D.6-x+2<2x-1

2.（2024秋?鐵鋒區(qū)期末）某種羽絨服的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該羽絨服積壓,

商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%,則最多可打（）

A.6折B.7折C.7.5折D.8折

3.（2025?永春縣模擬）不等式組卜一1>°的解集在數軸上表示為（）

1—3%+6>0

_1____11__￡_2^_1_____1__1___'

A.01B.0:[23,

C.oI23D.0Iy3

4.（2025春?海淀區(qū)校級期中）若點G（a,3-a）在第四象限內，則。的取值范圍是（）

A.a<0B.a>3C.0<a<3D.a<0或a>3

ex>m

5.（2025春?海淀區(qū)校級期中）若關于x的不等式組”一,八小無解，則機的取值范圍為（）

（2（%+1）<74

A.m>lB.m<lC.m^lD.m^l

6.（2025春?海淀區(qū)校級期中）已知則下列不等式成立的是（）

A.x-2>y-2B.2x>2y

C.-2x+3>-2y+3D.-2x<-2y

7.（2025春?港北區(qū)期中）定義新運算“⑤”，規(guī)定；6=a-2b.若關于x的不等式x區(qū)m>3的解集為

X>-L則W!的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

二.填空題（共5小題）

8.（2025春?畢節(jié)市期中）對于實數力，w定義一種新運算“※”為根※”=相-3a,例如7X2=7-3X2

=1,若-3忘了※（%+1）<2,則x的取值范圍是.

9.（2025?茂名一模）請寫出一個不等式x>3的整數解：.

10.（2024秋?醴陵市期末）“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為

11.（2025春?青島期中）已知一次函數的兩個變量x與y的部分對應值如下表所示:

x…-2-10123

y43210-1

則關于尤的不等式ax+b<0的解集是.

12.（2025春?海淀區(qū)校級期中）有人問一位教師所教班級有多少人，教師說：“一半學生在學數學，四分

之一學生在學音樂，七分之一學生在讀外語，還剩下不足六位學生在操場踢足球”，則這個班有

名學生.

三.解答題（共3小題）

13.（2025春?青島期中）（1）解不等式：-x+l>2x-5,并把它的解集表示在數軸上；

⑵解不等式組,竽;

(5%-4>2(%+1)

(3)解不等式組：13

—127-2%

2%+1>%—1①

14.（2025?紅橋區(qū)二模）解不等式組

3(x-2)<2x-3②

請結合題意填空，完成本題的解答.

（I）解不等式①，得;

（II）解不等式②，得;

（III）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

（IV）原不等式組的解集為.

IIIIIII?

-3-2-10123

15.（2025?登封市二模）體育已經作為中考重點考查項目，分過程性評價和終結性評價，其中足球、籃球

也是主要考查對象.為了增強學生體育素養(yǎng)，某校準備花費15000元購買這兩種球，第一種方案恰好可

以購買籃球100個，足球100個；第二種方案恰好可以購買籃球120個，足球60個.

（1）求足球、籃球的單價；

（2）因學生參與積極性高，參加人數多，現決定再以同樣的單價購買足球和籃球共100個，其中足球

1

數量不超過籃球數量的一,如何設計購買方案，才能使花費最少？

4

2024-2025學年下學期初中數學北師大新版八年級期末必刷?？碱}之一元

一次不等式與一元一次不等式組

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號1234567

答案CBCBCCB

選擇題（共7小題）

1.（2024秋?醴陵市期末）解不等式1-姿V紇二時，下列去分母正確的是（）

A.6-尤-2<2（2尤-1）B.1-x+2<2（2x-1）

C.6-x+2<2（2x-1）D.6-x+2<2x-1

【考點】解一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【答案】C

【分析】此題可根據一元一次不等式的解法進行求解即可.

【解答】解：去分母得：6-x+2<2（2x-1）,

故選：C.

【點評】本題主要考查的是解一元一次不等式，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題的關鍵.

2.（2024秋?鐵鋒區(qū)期末）某種羽絨服的進價為800元，出售時標價為1200元，后來由于該羽絨服積壓,

商店準備打折銷售，但要保證利潤率不低于5%,則最多可打（）

A.6折B.7折C.7.5折D.8折

【考點】一元一次不等式的應用.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力；應用意識.

【答案】B

【分析】設可打x折，根據售價=標價X打折率和利潤=售價-進價=進價義利潤率，列出一元一次不

等式，解不等式即可.

【解答】解：設可打x折，

由題意得：1200X0.1%-800^800X5%,

解得：x27,

即最多可打7折.

故選：B.

【點評】本題考查的是一元一次不等式的應用，找出數量關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵.

3⑵25?永春縣模擬）不等式組［二屋工。的解集在數軸上表示為<》

C.0I23D.0IZ3

【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集.

【專題】方程與不等式.

【答案】c

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數軸上表示出來即可.

【解答】解：解不等式x-l>0,得…>1；

解不等式-3x+620,得：xW2,

所以不等式組的解集為：l〈xW2,

-1-i1—■—>

數軸上表示為：0i23,

故選：C.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式組的解集，能根據不等式的解集求出不

等式組的解集是解此題的關鍵.

4.（2025春?海淀區(qū)校級期中）若點G（a,3-a）在第四象限內，則。的取值范圍是（）

A.a<0B.a>3C.0<a<3D.a<0或a>3

【考點】解一元一次不等式組；點的坐標.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；平面直角坐標系；運算能力.

【答案】B

【分析】根據點G（a,3-a）在第四象限，可知,然后求解即可.

（3-a<0

【解答】解：??,點G（〃，3-。）在第四象限,

.（a>0

l3-a<0，

解得。>3,

故選：B.

【點評】本題考查解一元一次不等式組、點的坐標，解答本題的關鍵是明確第四象限內的點的坐標特征，

列出相應的不等式組.

ex>m

5.（2025春?海淀區(qū)校級期中）若關于x的不等式組”一,八.4無解，則機的取值范圍為（）

（2（%+1）<4

A.m>\B.m<\C.機>1D.mWl

【考點】解一元一次不等式組；不等式的解集.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【答案】C

【分析】解第二個不等式求得其解集，再根據原不等式組無解確定機的取值范圍即可.

【解答】解：解第二個不等式得：x<l,

..?原不等式組無解，

m21,

故選：C.

【點評】本題考查解一元一次不等式組，不等式組的解集，熟練掌握解不等式組的方法是解題的關鍵.

6.（2025春?海淀區(qū)校級期中）己知尤<?則下列不等式成立的是（）

A.x-2>y-2B.2x>2y

C.-2x+3>-2y+3D.-2x<-2y

【考點】不等式的性質.

【專題】計算題；一元一次不等式（組）及應用；數感；符號意識；運算能力.

【答案】C

【分析】根據不等式的性質解答即可.

【解答】解：A、在不等式的兩邊同時減去2,不等式仍成立，即x-2<y-2,原變形錯誤，故本

選項不符合題意；

B、在不等式的兩邊同時乘以2,不等式仍成立，即2x<2y,原變形錯誤，故本選不項符合題意；

C、在不等式的兩邊同時乘以-2,不等式的符號方向改變，即-2x>-2y,在不等式-2x>-2y

的兩邊同時加上3,不等式仍成立，即-2x+3>-2y+3,原變形正確，故本選項符合題意；

D、在不等式的兩邊同時乘以-2,不等式的符號方向改變，即-2x>-2?原變形錯誤，故本選

項不符合題意；

故選：c.

【點評】本題考查了不等式的性質，解題的關鍵是熟練掌握不等式的性質.

7.（2025春?港北區(qū)期中）定義新運算“軟'，規(guī)定；a?b=a-2b.若關于x的不等式煙機>3的解集為

x>-1,則m的值是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【考點】解一元一次不等式.

【專題】運算能力；創(chuàng)新意識.

【答案】B

【分析】根據定義新運算的法則得出不等式，解不等式；根據解集列方程即可.

【解答】解：-2b,

-2m.

x?m>3,

.,.x-2機>3,

.,.x>2m+3.

?關于尤的不等式的解集為x>-1,

2m+3=-1,

■?HI=:-2.

故選：B.

【點評】本題考查了新定義計算在不等式中的運用，讀懂新定義并熟練的解不等式是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025春?畢節(jié)市期中）對于實數機，〃定義一種新運算"※”為機※3①例如7X2=7-3*2

1Q

=1,若-3?！?。+勺<2,則x的取值范圍是—.

【考點】解一元一次不等式；實數的運算.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【答案】一號<x<1.

【分析】由新定義運算得出^米（”+3=—2x—1,結合題意得出-3W-2尤-1<2,解不等式組即可得

解.

11

【解答】解：由題意可得：x※（:x+可）=x—3（%+W）=%—3%—1=—2x—1,

由條件可得-3W-2x-1<2,

解得：—2<'x-L

a

故答案為：—

【點評】本題考查了新定義運算、解一元一次不等式組，熟練掌握以上知識點是關鍵.

9.（2025?茂名一模）請寫出一個不等式x>3的整數解：尤=4（答案不唯一）.

【考點】一元一次不等式的整數解.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【答案】尤=4（答案不唯一）.

【分析】在x>3的范圍內找一個整數即可.

【解答】解：不等式x>3的一個整數解為x=4,

故答案為：x=4（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查一元一次不等式的整數解，解題的關鍵是掌握不等式解及解集的概念.

10.（2024秋?醴陵市期末）“a的一半與3的和小于2”用不等式表示為5+3<2.

【考點】由實際問題抽象出一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式（組）及應用.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據題意，可以用含a的不等式表示“a的一半與3的和小于2”.

【解答】解：“。的一半與3的和小于2”用不等式表示為：|?+3<2,

1

故答案為：-?+3<2.

【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確題意，寫出相應的不等式.

11.（2025春?青島期中）已知一次函數y=ax+b的兩個變量x與y的部分對應值如下表所示：

【專題】用函數的觀點看方程（組）或不等式；運算能力.

【答案】尤>2.

【分析】通過一次函數與一元一次不等式的關系可知，kx+b<0,即為y<0.即可得到對應的尤的取值

范圍.

【解答】解：當尤=2時y=0,

根據表中數據可知函數值y隨x的增大而減小，

不等式kx+b<的解等是x>2.

故答案為：x>2.

【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次不等式的關系，關鍵在于通過不等式與一次函數的增減性

得到x的取值范圍.

12.（2025春?海淀區(qū)校級期中）有人問一位教師所教班級有多少人，教師說：“一半學生在學數學，四分

之一學生在學音樂，七分之一學生在讀外語,還剩下不足六位學生在操場踢足球”,則這個班有28名

學生.

【考點】一元一次不等式的應用.

【專題】一元一次不等式（組）及應用；運算能力.

【答案】28.

【分析】根據題意可以列出相應的不等式，又根據一半學生在學數學，四分之一的學生在學音樂，七分

之一的學生在讀外語，可知該班學生一定是2、4、7的倍數，從而可以解答本題.

【解答】解：設這個班有x人，

ill

由題思可得：X—7TX--TX—xV6,

25

整理得，一x<6,

28

解得x<56,

又...一半學生在學數學，四分之一的學生在學音樂，七分之一的學生在讀外語，

.??該班學生一定是2、4、7的倍數，

；.x=28,

所以這個班有28名學生，

故答案為：28.

【點評】本題考查一元一次不等式的應用，解答此類問題的關鍵是列出相應的不等式，注意要聯系實際

情況和題目中的要求.

三.解答題（共3小題）

13.（2025春?青島期中）（1）解不等式：-x+l>2x-5,并把它的解集表示在數軸上;

3(%—1)<2x

(2)解不等式組：3x+2;

x+51V

2--------2

(5%-4>2(x+l)

(3)解不等式組：i3.

2x—1N7一々％

【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式.

【專題】一元一次不等式(組)及應用；運算能力.

【答案】(1)x<2,數軸見解答；

1

(2)—<x<3；

2

(3)x》4.

【分析】(1)移項，合并同類項，系數化為1即可得到答案；

(2)根據不等式的性質求出不等式的解集，根據找不等式組解集的規(guī)律找出即可;

(3)先求出兩個不等式的解集，再求其公共解.

【解答】解：(1)-x+l>2x-5,

移項得：-2x-x>-5-1,

合并同類項得：-3x>-6.

系數化為1得：尤<2,

數軸表示為：

-5-4-3-2-1012345

[3(x-1)<2x(7)

(2)%+53x+2H

解不等式①得無<3,

解不等式②得尤

...原不等式組的解集為:<x<3；

'5%-4>2(%+1)①

(3)

2x—127—2

解不等式①得x>2,

解不等式②得尤24,

原不等式組的解集為x》4.

【點評】本題主要考查對解一元一次不等式(組)，不等式的性質，能正確解不等式和能根據不等式的

解集找出不等式組的解集是解此題的關鍵.

2x+1>x—1①

14.(2025?紅橋區(qū)二模)解不等式組

3(x-2)<2x-3(2)

請結合題意填空，完成本題的解答.

(I)解不等式①，得G-2；

(II)解不等式②，得xW3；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

(IV)原不等式組的解集為-2WxW3..

IIIIIII?

-3-2-10123

【考點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集.

【專題】一元一次不等式(組)及應用；運算能力.

【答案】(I)龍》-2；

(II)xW3；

(III)數軸表示見解答;

(IV)-2WxW3；

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

【解答】解：(I)解不等式①，得X、-2；

(II)解不等式②，得xW3；

(III)把不等式①和②的解集在數軸上表示如圖所示：

-4-3-2-1

(IV)原不等式組的解集為-2WxW3；

故答案為：(I)-2；

(II)xW3；

(IV)-2WxW3.

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組

的步驟是解題的關鍵.

15.(2025?登封市二模)體育已經作為中考重點考查項目，分過程性評價和終結性評價，其中足球、籃球

也是主要考查對象.為了增強學生體育素養(yǎng)，某校準備花費15000元購買這兩種球，第一種方案恰好可

以購買籃球100個，足球100個；第二種方案恰好可以購買籃球120個，足球60個.

(1)求足球、籃球的單價；

(2)因學生參與積極性高，參加人數多，現決定再以同樣的單價購買足球和籃球共100個，其中足球

1

數量不超過籃球數量的一，如何設計購買方案，才能使花費最少？

4

【考點】一元一次不等式的應用；一次函數的應用；二元一次方程組的應用.

【專題】一次方程(組)及應用；一元一次不等式(組)及應用；一次函數及其應用；應用意識.

【答案】(1)籃球的單價是100元，足球的單價是50元；

(2)購買80個籃球、20個足球，才能使花費最少.

【分析】(1)設籃球的單價是尤元，足球的單價是y元，利用總價=單價X數量，可列出關于x,y的

二元一次方程組，解之即可得出結論；

(2)設購買加個籃球，則購買(100-m)個足球，根據購買足球數量不超過籃球數量的士可列出關

4

于相的一元一次不等式，解之可得出機的取值范圍，設再次購買籃球、足球的總費用為卬元，利用總

價=單價X數量，可找出卬關于根的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題.

【解答】解：(1)設籃球的單價是尤元，足球的單價是y元，

根據題意得:｛黑：湍質黑°，

解得:&：50°-

答：籃球的單價是100元，足球的單價是50元；

(2)設購買m個籃球，則購買(100-m)個足球，

1

根據題意得：100-相W疝"，

解得：機280,

設再次購買籃球、足球的總費用為w元，則卬=100m+50(100-相)，

即^=50/77+5000,

V50>0,

隨m的增大而增大，

...當m=80時，w取得最小值，此時100-相=100-80=20(個).

答：購買80個籃球、20個足球，才能使花費最少.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵

是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出w關于他的函

數關系式.

考點卡片

1.實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，

又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算

加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

【規(guī)律方法】實數運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、暴的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三

角函數值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運

算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

2.二元一次方程組的應用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系.

（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）設元的方法：直接設元與間接設元.

當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元.無論怎樣設元，設幾

個未知數，就要列幾個方程.

3.不等式的性質

（1）不等式的基本性質

①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：

若°>4>,那么a土加>b±/n；

②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，即:

若a>6,且機>0,那么或一〉一；

mm

③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即：

,ab

右a>b,且m<Q,那么am<bm或一V一；

mm

（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數，具體體現為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變

號；②兩邊都乘、除同一個數，要注意只有乘、除負數時，不等號方向才改變.

【規(guī)律方法】

1.應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等

號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于。進行分類討論.

2.不等式的傳遞性：若。>6,b>c,則a>c.

4.不等式的解集

（1）不等式的解的定義：

使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：

能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集.

（3）解不等式的定義：

求不等式的解集的過程叫做解不等式.

（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯系

不等式的解是一些具體的值，有無數個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示.不等式

的每一個解都在它的解集的范圍內.

5.在數軸上表示不等式的解集

用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可.定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含

于解集為實心點，不含于解集即為空心點；

二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右

【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法

某不等式求得的解集為x>a,其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在龍〉“的范

圍內取一個數代入原不等式，則原不等式成立.

6.解一元一次不等式

根據不等式的性質解一元一次不等式

基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；

⑤化系數為1.

以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3,即可能變不等號方向，其他都不會改變不等

號方向.

注意：符號“2”和“W”分別比和各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式.

7.一元一次不等式的整數解

解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的

條件，再根據得到的條件進而求得不等式的整數解.可以借助數軸進行數形結合，得到需要的值，進而非

常容易的解決問題.

8.由實際問題抽象出一元一次不等式

用不等式表示不等關系時，要抓住題目中的關鍵詞，如“大于(小于)、不超過(不低于)、是正數(負數)”

“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號.

因此建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其內涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關系.

9.一元一次不等式的應用

(1)由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以得到實際問題

的答案.

(2)列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過