2024-2025學(xué)年重慶市南開(kāi)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.直線x—YZy+1=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（1。B.（1,c）C.（l,-苧）D.（1,-C）

2.設(shè)aeR,若復(fù)數(shù)（1+畝產(chǎn)是純虛數(shù)，則a=（）

1

+

A.-2-B.+1C.+2D.+3

3.下列方程一定表示圓的是（）

A.%2+y2=0B.%2+y2—2%+4y-6=0

222

C./+y2+2ax—h=o@b￡R)D.x+2xy+y—9=0

4.若平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量出麗夾角為0,cos。=苧，^\\y/~2a+b\=（）

A.B.2C.4D.5

5.設(shè)△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=^2,cosA=則b+c的最大值為（）

A.1B.73C.2D.

6.已知m,neR,若兩圓/+必—47nx+47n2一1=。和/十一2ny—4+層=0恰有一條公切線,

則2?n+九的最大值為（）

/2

AA-TB.72C.2D.75

7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝/CiDi中，M為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在底

面正方形ABCO內(nèi)運(yùn)動(dòng)，滿足M?西=1,則點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為（）

A，-2B.71

C.2nD.37r

8.如圖，在平行四邊形28C。中，AB=1,AD=V~2>^ADB=45°,現(xiàn)將△48。沿直線翻折至△

PBD,使得點(diǎn)2到達(dá)點(diǎn)P的位置，且二面角P-BD-C的平面角等于45。，則直線PD與平面BCD所成的角為

()

B

A

D

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知血，幾是空間中兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是()

A.若？nJ_a,mln,貝！Jn//a

B.若m〃幾，Tila,ml/?,貝Ua〃S

C.若?n_La,n//a,則??11九

D.若zn1ri,mla,n"B,則a1/7

10.已知△ABC內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)G為△ABC的重心，cosA=pAG=2,則下列說(shuō)

法正確的是()

A.AG=^AB+^ACB.AB-AC<4

C.A28c的面積最大值為。D.a的最小值為

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓。：/+*=，上恰有3個(gè)點(diǎn)

yi,

到直線Cx+y+3=0的距離為|.設(shè)點(diǎn)2(—2,0),B(2,0),N(0,4),點(diǎn)Q是

X\X,

圓。上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BMLAQ于M,則下列說(shuō)法正確的是()/Z\\\

/\

A.r=3

1A0B

B.點(diǎn)M的軌跡方程為/+y2=4

C.2\QM\+|Q*的最小值為2YIU

D.圓。上存在唯一點(diǎn)Q,使得+|QN|取到最小值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.直線匕：2久+(TH+l)y+2=0與直線％：m.x+3y-4=0平行，則實(shí)數(shù)______.

13.已知圓C：(x-I)2+y2=1,過(guò)直線八x+y—3=0上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為4、B,則可?玩

的最小值為

14.已知四面體ABC。的外接球半徑為2,且4B=2,乙4cB=%乙ADB=p則平面4DB與平面4CB所成

Z4

角的正弦值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB1BC,AB=2,AC=6,M為BC中點(diǎn)，BB「6.

(1)證明：〃平面ACiM；

(2)求四面體4MC14的體積.

16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足巨=也萼竺.

a—bsine

(1)求角a；

(2)若。=，E，△ABC的面積為3，^,求的周長(zhǎng).

17.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2—8x—6y+21=0.

(1)求圓C關(guān)于直線3x-2y+7=0的對(duì)稱(chēng)圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,6)的直線/將圓C分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為1：2,求直線1的方程.

18.(本小題17分)

在四棱錐P—中，底面48CD為等腰梯形，AD=272,AD//BC,AB=DC=275,AC與BD交于點(diǎn)

0,AC1BD,PA=PD,PO=6,BD1PO.

(1)證明：P。_L平面28CD；

(2)求平面P4B與平面4BCD所成角的余弦值；

(3)設(shè)BC的中點(diǎn)為M,在棱PM上是否存在點(diǎn)Q,使得直線4Q與平面P4B所成角的正弦值為磊.若存在，求

/V30

出2=空的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系中，正方形4BCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為4(0,0,0)、B(l,0,0)、C(l,l,0)、D(0,l,0),將正方形

ABCD繞直線4D旋轉(zhuǎn)角度a(a￡(0*))到使得名的z坐標(biāo)為正.再將正方形ABiGD繞直線旋轉(zhuǎn)

角度e(0,兀))到23停2。1，使得。1的z坐標(biāo)為正.

(1)若a=I，求異面直線4G與8。所成的角的余弦值；

(2)判斷是否存在a,。使得B,C,B],。2四點(diǎn)共面，若存在，寫(xiě)出一組(a,°)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

(3)若0=呈求三個(gè)四面體四面體8送。。1、四面體CM。5公共部分的體積.

C

X

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：由題意可得該直線的斜率k=?,

則該直線的一個(gè)方向向量是(l,k)=(1,?),

而選項(xiàng)BCD中對(duì)應(yīng)向量與(1,理)不共線，

所以只有4選項(xiàng)正確.

故選：A.

根據(jù)給定條件，求出直線的斜率即可得解.

本題考查直線的方向向量的坐標(biāo)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?1+山)2=1+2山+。2?2=1—2+2山是純虛數(shù)，所以解得a=±l.

￡1(2aH0

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算展開(kāi)代數(shù)式，再利用純虛數(shù)的定義列方程求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4,方程/+y2=0表示點(diǎn)(0,0),所以a不是圓；

對(duì)于B,方程/+/一2%+4y—6=0化為(x—1)2+(y+2)2=11,此方程表示圓，且圓心坐標(biāo)為

(1,-2),半徑為，五，所以B是圓；

對(duì)于C,當(dāng)a=b=0時(shí)，方程/+y2=o表示點(diǎn)(0,0),所以C不是圓；

對(duì)于D,方程/+2xy+y2-9=0化為x+y=±3表示兩條平行直線，所以。不是圓.

故選：B.

利用二元二次方程表示圓的充要條件逐項(xiàng)判斷.

本題考查圓的方程的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題意，Im=I山=1,cos。=苧，

貝！]|合1+1|2=(72a+K)-(72a+b)

=2\a\2+2y[2\a\\b\cosd+\b\2

=2x1+2<2x1xlx苧+1=5,

則旬=A.

故選：A.

將|，1五+b|平方，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi)并結(jié)合已知條件進(jìn)行計(jì)算即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閍=cosA=I，

2222

由余弦定理小=b+c—2bccosAf得2=b+c--be,

2=(b+c)2—2bc—|bc=(h+c)2—

因?yàn)榉慈?警)2,當(dāng)且僅當(dāng)b=C時(shí)取等號(hào)，所以一號(hào)兒2—9X(警/，

代入2=(b+c)2>(&+c)2-|(警)2,

of2-i

設(shè)t=b+c(t>0),則2>t2--x—=-t2,

343

即累232,兩邊同時(shí)乘以3得到/w6,

因?yàn)閠>0,所以

即0<b+c<V-6,

所以6+c的最大值為，

故選：D.

根據(jù)余弦定理得到a?與b,c的關(guān)系，然后利用基本不等式beW(竽產(chǎn)變形，從而求出匕+c的最大值.

本題主要考查了余弦定理及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：圓黑2+y2-271y—4+層=0,即％2+⑶一幾)2=%圓心。2(0,幾)，半徑4=2；

圓第2+y2-4mx+47n2—1=0,即(％—2m)2+y2=1,圓心Ci(2m,0),半徑丁2=1；

兩圓恰有一條公切線，說(shuō)明兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差：

J(2m-0)2+(0-71)2=|2—1|=>V4m2+n2=1=>4m2+n2=1,

令27n=cosd,n=sind,則27n+n=cosO+sind=V_2sin(0+,)最大值為

故選：B.

將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)兩圓恰有一條公切線得出兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而得到TH,71滿足的關(guān)系

式，最后利用三角換元求出2zn+n的最大值.

本題主要考查兩圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-a/iGA中，M為棱的中點(diǎn),

以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

”(2,0,1),6(022),設(shè)Q(x,y,0),x,yG[0,2],

則：QQ=(-x,2-y,2),QM=(2-x,-y,1);

點(diǎn)Q在底面正方形28CD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

由砧-QM=1,得xQ-2)+y(y-2)+2=1,整理得(x-I)2+(y-I)2=1,

所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)(1,1,0)為圓心，1為半徑的圓，此圓在正方形4BCD內(nèi)部，

所以點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2兀.

故選：C.

根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量數(shù)量積確定點(diǎn)Q的軌跡即可.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：在平行四邊形28CD中，AB=1,AD=UDB=45°,

4B_4D

在AaBD中，根據(jù)正弦定理,

sinZ.ADBsinZ.ABDf

即三=sinZ.ABD9

2

解得sinN4BD=l,故乙48。=90。，

即AB1BD,貝1JCD1BD,且4B=CD=1.

翻折后，如圖，分別取PC,BD,8C的中點(diǎn)E,F,G,連接EF,FG,

p

D

■■■EF//PB,FG//CD,：.EFLED,FG1BD,

故NEFG是二面角P-BD-C的平面角，即NEFG=45°,

過(guò)點(diǎn)E作EH，F(xiàn)G于點(diǎn)H,連接HD,

,:EFA.BD,FG1BD,EFCtFG=F,BD1平面EFH,

???EHu平面EFH,EH1BD,

又；BDCFG=F,BDu平面BDC,FGu平面BDC,可得E”1?平面BDC.

NEDH是直線PD與平面BCD所成的角.

在Rt△EFH中，EF=之PB=Z.EFH=45°,貝UE”=EFXsin45°=—>

Lz4

在RtAEHD中,ED=PD=冬EH=當(dāng),貝hin/EDH=累=；,

LL4EDZ

???NED”是銳角，^EDH=30°.

故選：A.

在平行四邊形2BCD中，利用正弦定理求得N4BD=90°,則4BLBD,CD1BD.在翻折后的立體圖形中，

根據(jù)定義作出二面角P-BD-C的平面角NEFG,以及直線P。與平面BCD所成的角NEDH,利用邊長(zhǎng)關(guān)系

可求得NEDH.

此題考查線面所成角，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：若mla,mln,則n〃a或九ua,所以4選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若m“n,nLa,m1則a〃￡,所以B選項(xiàng)正確；

若m1a,n//a,則znJ.n,所以C選項(xiàng)正確；

若m_Ln,m1a,n//p,貝Ua與￡可以成［0,3的任意角，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

利用線面平行、垂直的性質(zhì)推理判斷4BC；舉例說(shuō)明判斷D.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：2中，延長(zhǎng)4G交BC于點(diǎn)

則可得為點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，

所以而=*荏+前），

因?yàn)辄c(diǎn)G為△ABC的重心，

則而=|而=：通+￡前，故選項(xiàng)A正確；

B中，由4選項(xiàng)知，AG=^AB+^AC,AG=2,cosA=1

1

2港

兩邊平方可得前9-+AC+2AB?ZC)=(c2+h2+2bccosA),

7o

即36=c?+扭+之2bc+-be,

可得尻＜y,

所以南.前=bccosA=gbeW,X與=2，故3錯(cuò)誤;

1

C中，因?yàn)閏osA=§,A6(0,7T),

所以sinA=V1—cos27l=fl—(I)2=與^，

11

得

可4-sm<X272V29V2

XBc2-he-2-—X------=-------

232

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，故C正確；

。中，由余弦定理小=fo2+c2—IbccosA,

將36=b2+c2+變形為序+c2=36—

代入可得：a2=36-|bc-|bc>36-1xy=18,

即aN3，2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)三角形重心的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算即可求解4根據(jù)模長(zhǎng)公式以及基本不等式即可求解B,由三角形

的面積公式即可求解C,根據(jù)余弦定理，結(jié)合不等式即可求解D.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)閳A心。到直線的距離d=|,

又圓。：%2+y2=產(chǎn)上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線/&+了+3=0的距離為|,

所以r—d=|,即r=3,故A正確；

對(duì)于B,由題知所以M在以4B為直徑的圓上，

所以點(diǎn)M的軌跡方程為/+*=*故8正確；

對(duì)于C,設(shè)NQAB=a。€[0,勺，則cos。=華，

在△力。Q中，|0Q『=\0A\2+\QA\i-2\OA\\QA\cos6,

即9=4+\QA\2-\QA\\MA\\MA\=IQ川一薪，

又2|QM|+|Q*=2(\QA\-\MA\)+\QA\=3\QA\-2\MA\

5

=3\QA\-2(\QA\-^)

=31+蒜22M福=2CU，

當(dāng)IQ*=7^77=V10,即|M4|=cosd=時(shí)取等，故C正確;

IIZo

0

對(duì)于。，設(shè)在光軸上一點(diǎn)C(Q,0),使|QC|=1QZ|,

所以。-a)2+y2=7[(%+2)2+y2],

4

整理得/+y2+誓色％=細(xì)了2,

又點(diǎn)Q在圓。：x2+y2=9上，

&(9+2a)°

所以":，

I5"

(9+2a=0

即小妾,

I4

解得a=—(

則/Q2|+|QN|=|QC|+|QN|W|CN|,當(dāng)Q,C,N三點(diǎn)共線時(shí)取等,

又，CN：8%—9y+36=0,

原點(diǎn)到直線ZCN的距離d=%<3,

所以，如圖符合題意的點(diǎn)Q有兩個(gè)，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

對(duì)于4根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得；

對(duì)于B,易得即可得到點(diǎn)M的軌跡方程；

對(duì)于C,設(shè)“48=仇。6[0,芻，則cos”華，在A/IOQ中，根據(jù)余弦定理得|MA|=|Q4|—荒，再由

2\QM\+\QA\=3\QA\-2\MA\=\QA\+怒22，而即可得到；

I"AI

對(duì)于D,設(shè)|QC|=/Q*，得到點(diǎn)C,利用幾何意義可判斷；

本題考查圓的方程與基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】-3或2

【解析】解：由直線2%+(TH+l)y+2=0與直線%：+3y-4=0平行，

可得2x3=(m+1)xm且—4(m+1)。2x3,

解得TH=-3或TH=2.

故答案為：-3或2.

利用兩條直線平行列式計(jì)算得解.

本題考查兩條直線平行的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

【解析】解：圓c：Q—1)2+必=1的圓心為c(i,o),半徑為r=l,J/\^

點(diǎn)C到直線2：x+y—3=0的距離為4=號(hào)=?=方，又4CLP4%

所以方?正?(刀+而)=方2=正—r22d2—1=1，當(dāng)且僅當(dāng)PC，———廠-卜—

…，

所以瓦？■血的最小值為1.

故答案為：L

根據(jù)給定條件，求出圓心到直線距離，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求解.

本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題.

14.【答案】苧

C

【解析】解：令四面體48CD的外接球球心為0,

由乙4CB=g,得線段4B中點(diǎn)0i為AACB外接圓圓心，

令A(yù)ADB外接圓圓心為。2，則0。1，平面4CB,。。21平面4DB,-產(chǎn)

因此平面ADB與平面ACB的夾角。=,一/。。1。2，\

2V。

由乙4cB=1,得△ACB外接圓半徑q==1,由乙4DB=：,由正弦定理可知，器=2乃,

得AaDB外接圓半徑/2=V2,

22

由四面體2BCD的外接球半徑為2,得。。1=V2-I=，可，002=122-（77）2=

而。。2~L。1。2，因此，sind=sin（——N。。1。2）=cosN。。］。？=叫2=

所以平面4DB與平面2CB所成角的正弦值為?.

故答案為：

根據(jù)給定條件，利用球的截面圓性質(zhì)求出球心到平面ADB與平面ACB的距離，再確定二平面所成角的大

小，進(jìn)而求出正弦值.

此題考查二面角的平面角，屬于中檔題.

15.【答案】證明見(jiàn)解析；4口

【解析】（1）證明：在直三棱柱ABC-&B1C1中，連接4C交AC1于點(diǎn)0,連接

0M,

由4CC14為矩形，得。為&C中點(diǎn)，又M為BC中點(diǎn)，貝IJOM〃71遇，

而。Mu平面ArBC平面4C1M,

所以〃平面2C1M.

(2)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BN1AC于N,由A4i_L平面28C,^AAr1BN,

\faAA1C\AC=A,AAr,ACu平面"64,

則BN_L平面4CC14,

在AABC中，AB1BC,AB=2,AC=6,

則BC=ylAC2-AB2=,62-22=4A<2,

BN="^=苧

由M為BC中點(diǎn)，得點(diǎn)M到平面4CC14的距離d=；BN=殍

又S-c1Al=gX6X6=18,

所以四面體AMCMi的體積為匕MM1=拉網(wǎng)41?d=4V2.

(1)連接&C交4cl于點(diǎn)。，利用線面平行的判定定理推理得證；

(2)求出點(diǎn)M到平面4CC12的距離，再利用錐體體積公式求解.

本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】4=全

7+VZ3.

【解析】(1)在△ABC中，也?，

由正弦定理，得口=%

a-bc

整理得》2+c2—小=加，

由余弦定理得COSA=b

專(zhuān)2bc—"=2

所以

(2)由題意得，^bcsinA=4be=3V-3,解得be=12,

Z4

因?yàn)?3=a2=h2+c2—/?c=(6+c)2—3bc=(b+c)2—36,解得b+c=7,

所以△ABC的周長(zhǎng)為7+713.

(1)利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.

(2)利用三角形面積公式及(1)中信息求出b+c即可.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】。+2尸+(y—7)2=4；

%=5或4%—3y—2=0.

【解析】(1)根據(jù)題意可知，圓C：%2+y2-8%-6y+21=0,化為標(biāo)準(zhǔn)式圓C：(%-4)2+(y-3尸=4

的圓心C(4,3),半徑丁=2,

b-3__2

“Ui3b+3,

{3'---2--y-+7=0

解得a=-2,b=7,而圓Ci的半徑為2,

所以圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久+2)2+(y-7)2=4；

(2)由直線Z將圓C分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為1：2,得分成的劣弧所對(duì)圓心角為120。，

1,

直線x=5過(guò)點(diǎn)P(5,6),且點(diǎn)C到該直線距離為1,則直線/可以為％=5；

當(dāng)直線珀勺斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y—6=k(x—5),BPfcx-y+6-5fc=0,

|3-3|_14、4A

由/2—,解得k=石，方程為石％—y+6—5?弓=0,即4%—3y—2=0,

、l+k333

所以直線/的方程為尤=5或4x-3y-2=0.

(1)求出圓心C關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而求出圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)由給定條件求出直線/將圓C分成劣弧所對(duì)圓心角，再求出圓心到直線距離，進(jìn)而分情況求出直線方程.

本題考查了圓心到直線距離，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明過(guò)程請(qǐng)見(jiàn)解答；I；存在，

【解析】(1)證明：如圖，取AD的中點(diǎn)N,連接PN,ON,由PA=PD,得PNLAD,

由。是等腰梯形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，得。4=。。，則。N14D,

因?yàn)镻NCON=N,PN,ONc^-^PON,所以4D_L平面PON,

y.POcz^PON,所以PO1AD,

因?yàn)锽D1P。，ADCBD=D,AD,BDu平面ABCD,

所以P。，平面ABCD.

(2)由(1)及AC，8。，得直線OB,OC,OP兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以直線。B,OC,OP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由AD=2/1,得。4=OD=2,

由力B=DC=2得，得。B=OC=J(2<5)2-22=4>

所以B(4,0,0),71(0,-2,0),P(0,0,6),

故存=(0,2,6),BP=(-4,0,6),

設(shè)平面P4B的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

則產(chǎn)亞=。,即巴

(元?BP=0(-4%+6z=0

令z=2,得x=3,y=—6,故元=(3,—6,2),

由題意得，平面ABC。的法向量沆=(0,0,1),

所以cos〈沆，/=晶=心=今

故平面P4B與平面2BCD所成角的余弦值為今

(3)由(2)知，4(0,—2,0),P(0,0,6),S(4,0,0),C(0,4,0),M(2,2,0),

所以麗=(-2,—2,6),AM=(2,4,0).

假設(shè)在線段PM上存在點(diǎn)Q滿足條件，則麗=XMP=(-22,-22,62)(0<2<1),

所以而=病+詼=(2-22,4-22,62).

由(2)知平面P4B的法向量元=(3,—6,2),

因?yàn)橹本€4Q與平面P4B所成角的正弦值為瑞，

所以白頌同尸H1?警F之218

1^1117xJ(2-2A)z+(4-2A)z+36r

整理得3"+264—9=0,解得4=

所以在線段PM上存在點(diǎn)Q,使得直線AQ與平面P4B所成角的正弦值為親g,A=i

(1)取4。的中點(diǎn)N,利用線面垂直證得P。LAD,再利用線面垂直的判定定理可證明結(jié)論;

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解可得結(jié)果；

(3)利用空間向量計(jì)算線面角的正弦值，列方程求解可得結(jié)果.

此題考查線面垂直的證明及面面角的向量求法，屬于難題.

19.【答案】］不存在，證明見(jiàn)解析；票

436

【解析】⑴因?yàn)?(0,0,0),B(1,0,0),C(l,l,0),￡)(0,1,0)