第三章綜合素質(zhì)評價

限時:90分鐘滿分:120分

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.在直角三角形中,若兩直角邊長分別為6和8,則斜邊長為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

2.在△4BC中，24Z-B,ZC的對邊分別是a,b,c,若乙4+zC=90。，則下列等式中成立的

是（）

A.a2+b2=c2B.b2+c2=a2

C.a2+c2=b2D.2c2—a2=b2

【答案】C

3.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,7B.1.5,2,2.5C.5,12,13D.1,3,5

【答案】C

4.[[2025?淄博期末]]如圖，分別以直角三角形的三邊為邊，向外作三個正方形,

S15,S3是分別以直角三角形的三邊長為直徑的圓的面積.若&=36,S2=64,則S3的值為

()

（第4題）

A.10B.100C.—D.-

TtTt

【答案】B

5.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，點4B,C都在格點上，則乙4BC=（）

（第5題）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

6.新視角新定義題對角線互相垂直的四邊形叫作“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四

邊形ZBCD,對角線AC,BD交于點0.若2。=2,BC=7,則ZB?+CD2等于（）

A.45B.49C.50D.53

【答案】D

7.已知在Rt△ABC中,a,b,c分別是ZB,ZC的對邊/C=90°,若a+b=14,c=10,則

ABC的面積是（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】A

8.[[2025?泰安期末]]如圖，在長方形紙片2BCD中，AB=8cm,=6cm.把長方形紙

片沿直線2C折疊，點B落在點E處，2E交DC于點F,則2F的長為（）

AA.—25cmBC.—15cmC.7cmD.—cm

422

【答案】A

【點撥】因為四邊形ZBCD是長方形，所以ZB=ND=90。，BC=2。,由翻折得ZE=2B=

8cm,ZE=ZB=90°,CE=BC,所以NE=Z。，CE=ZD.又因為ZCFE=NZFD,所以△

CFE=△4FD.所以EF=DF.^AF=xcm,則DF=（8—%）cm,在Rt△AFD^,AF2=DF2+

AD2,AD-6cm,所以％2=（8—%/+6?,解得％=空，即2尸的長為變cm.

44

9.如圖是一個長方體盒子，其長、寬、高分別為4,2,9,將一根細線的兩頭繞盒子的側(cè)面

分別綁在點4B處，不計線頭，細線的最短長度為（）

（第9題）

A.12B.15C.18D.21

【答案】B

【點撥】

將長方體盒子的側(cè)面展開，如圖所示，連接4B',貝1MB'的長即為所用的最短細線長.由題意知

44'=4+2+4+2=12,A'B'=ZB=9,由勾股定理得ZB?=AA，2+A'B'2=122+92=

225,則4B'=15,即細線的最短長度為15.

10.已知直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b,分別以a,b,c為邊作三個正方形，把兩

個較小的正方形放置在最大的正方形內(nèi)，如圖，設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為Si，均重

疊部分的面積為S2,則（）

A.Si>S2B.Si<S2

C.Si=S2D.Si,S2大小無法確定

【答案】c

【點撥】因為直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b,所以該直角三角形的斜邊為c,所以

2222222

c—a+b,由題意知Si—c—a—b+b（a+b—c'）—ab+b—be,S2—b（a+b—

c）-ab+b2-be,所以Si=S2，故選C.

二、填空題（每題3分，共18分）

11.情境題生活應(yīng)用在高5m,長13m的一段臺階上鋪上地毯，臺階的剖面圖如圖所示，則地毯

的長度至少是m.

（第11題）

【答案】17

12.如圖，長方體盒子的長、寬、高分別為12cm,4cm,3cm，則能放進盒子中的直木棒最長

為cm.

3cm

4cm

12cm

（第12題）

【答案】13

13.[[2025?重慶沙坪壩區(qū)月考]]小寧購買了拳擊反應(yīng)球作為居家健身器材.如圖，若將球

體支架最底端。到球體最頂端a看成一條線段當(dāng)反應(yīng)球被擊打時，可看作線段。a繞著點

。旋轉(zhuǎn)得到線段。4（在安全角度范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)）.小寧擊打反應(yīng)球后點4與支架04的水平距離

為A'B,當(dāng)4B=50cm時，AB=10cm,則球體支架04=cm.

（第13題）

【答案】130

14.由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從點a處攔腰折斷，如圖所示，其樹梢恰好落在另一棵樹

乙的根部C處，已知4B=4m,BC=13m,兩棵樹的株距（兩棵樹的水平距離）為12m,則

這棵樹甲原來的高度為m.

（第14題）

【答案】19

【點撥】如圖，過點。作。。12B交2B的延長線于點D,

由題意可得BC—13m,DC—12m,

故BD——V132—122——5(m),所以4。=4+5=9(m),貝！MC—y/AD2+CD2-V92+122——

15(m),故ZC+ZB=15+4=19(m).

15.如圖，在△ABC中，CE平分乙4CB,CF平分乙4CD,且EF〃BC,交AC于點M,若CM=

7,則。/2十。產(chǎn)的值為.

（第15題）

【答案】196

【點撥】因為CE平分乙4CB,CF平分乙4C。，所以乙4CE=NBCE=｝乙4CB,乙4CF=

乙DCF=3乙ACD,所以zZCE+zaCF=］（Z2CB+Z4CD）=90。，即ZECF=90。.因為

EF//BC,所以NMEC=NBCE,所以NZCE=NMEC,所以EM=CM=7,同理可得FM=

CM=7,所以EF=14,所以。盾+CF2=EF2=142=196.

16.耐回的識情境化如圖，學(xué)校的長方形操場2DCE的邊上有一塊空地（陰影部分）需要綠

化，連接2C,測出4。=4,AC=5,BC=12,AB=13,則需要綠化部分的面積為.

E__'C

、B

（第16題）

【答案】24

【點撥】在RtAZCD中，AD=4,AC=5,則由勾股定理可得CD=3.在△ABC中，AC=

5,BC=12,AB=13,所以+BC2=25+144=169=aB2,所以NACB=90。.所以

需要綠化部分的面積=SMBC-S*=|X5X12-|X3X4=24.

三、解答題(共72分)

17.(8分)新考造過程辨析法閱讀下列解題過程：

已知a,b,c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2—匕2c2=。4一〃，試判斷△ABC的形狀.

解：因為a2c2—b2c2=。4一力4,①

所以。2(02—b2)=(a2—b2)(a2+濟).②

所以c2=a2+/.③

所以△ABC是直角三角形.

回答下列問題：

(1)上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的序號：;

⑵錯誤的原因為；

(3)請你將正確的解答過程寫下來.

【答案】(1)③

(2)忽略了a?—爐=0的可能

(3)【解】因為a2c2_b2c2=a4_

所以—b2)=(a2—b2)(a2+b2).

所以。2(。2—b2)—(a2—b2)(a2+h2)=0.

所以(a?—b2)[c2—(a2+b2)]=0.

所以a?—b2—0或0?—(a2+b2)=0.

所以a=b或°?=a2+b2.

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

18.(8分)已知某植物繞著樹干向上生長.

A

（1）如果樹干的周長（即圖中圓柱的底面周長）為30cm,該植物繞行一圈升高（即圓柱的

高）40cm,則該植物繞行一圈的長度是多少？

（2）如果樹干的周長為80cm,該植物繞行一圈的長度是100cm,繞10圈到達樹頂，則樹干

高多少？

【答案】

（1）【解】如圖，將圓柱的側(cè)面展開后，該側(cè)面是長方形.由題意可得ZC=30cm/B=

40cm,

cA

所以BC2=AC2+AB2=302+402=2500,所以BC=50cm.

答：植物繞行一圈的長度為50cm.

（2）如圖，樹干的周長為80cm,即ZC=80cm,

繞行一圈的長度是100cm,即BC—100cm.

因為■=BC2-AC2=1002-802=3600,

所以ZB—60cm,

所以樹干高為60x10=600（cm）——6（m）.

答：樹干高6m.

19.[[2025?煙臺期末]]（8分）福山的月亮廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放

風(fēng)箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏

的垂直高度CE（如圖），他們進行了如下操作：

①測得水平距離BD的長為15米；

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線BC的長為25米;

③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.7米.

（1）求風(fēng)箏的垂直高度CE.

（2）如果小明往回收線8米，則此時風(fēng)箏沿CD方向下降了多少米?

【答案】

（1）【解】由題意，得。后=28=1.7米，

在RtACDB中，BD=15米,BC=25米，

由勾股定理得，CD=yjBC2-BD2=20（米），

所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米）,

即風(fēng)箏的垂直高度CE為21.7米.

（2）如圖,設(shè)此時風(fēng)箏下降到點M,由題意得，

BM=BC-8=25-8=17（米），

因為BD=15米，

所以DM=<BM2-BD2=V172-152=8（米），

所以CM=CD-DM=20-8=12（米），

即此時風(fēng)箏沿CD方向下降了12米.

20.（10分）如圖，在AZBC中，。是BC邊上的中點，E是ZC邊上的中點，連接ZD,BE.

(1)若CD=8,CE=6,AB=20,試說明：ZC=90。；

(2)若ZC=9O。，AD=13,AE=6,求△ABC的面積.

【答案】(1)【解】因為在AZBC中，。是BC邊上的中點，E是？1C邊上的中點，CD=

8,CE=6,所以CB=2CD=16,CA=2CE=12.易知CF+CA2=162+122=400,AB2=

202=400,所以CF+CA2=叱,所以“=90°.

(2)【解】因為在△ABC中，E為邊ZC的中點，ZE=6,所以AC=22E=12.

在Rtzxac。中，NC=90。,4。=13/C=12,由勾股定理可得CD?+=人。2,所以=

5.因為。是BC邊上的中點，所以CB=2CD=10,所以SMBC=|^C-CB=|x12x10=60.

一匚2025?濟寧月考

21.(10分)新瞳模型思想如圖，在設(shè)計修建橋洞時，為使車輛順利通過，一般設(shè)計為上

邊為半圓形，下邊為長方形的橋洞，設(shè)計一橋洞下面長方形的一邊長是2.3m.

(1)如果設(shè)計半圓的直徑為2m單行道的橋洞，一輛裝滿貨物的卡車，高2.5m,寬1.6m.那

么，此卡車是否能通過橋洞？試說明你的理由；

(2)為了適應(yīng)車流量的增加，設(shè)計把橋洞改為雙行道，要使寬為1.2m,高為2.8m的卡車能

剛好安全通過，那么此橋洞半圓的直徑應(yīng)設(shè)計成多少米？

【答案】

(1)【解】這輛卡車能通過橋洞.理由如下：

如圖①，記長方形寬的中點為。，沿中點向兩端各取0.8m,MN即為卡車的寬度，

過點M,N作的垂線交半圓于點C,D,過點。作。EIC。，E為垂足，連接。C.

則CD=MN=1.6m,AB=2m,

由作法得，CE=DE=0.8m,

又因為OC=04=lm,

在Rt△OCE中，。E=VOC2-CE2=0.6(m),

所以CM=2.3+0.6=2.9(m)>2.5(m).

所以這輛卡車能通過橋洞.

MN

①

(2)如圖②，過點。作04的垂線交DC于點C,在04上截取OF=1.2,過點F作。2的垂線交半

圓于點B,交0C于點E,作BG10C于點G,連接0B.同理(1)，根據(jù)題意，知CG=BE=

2.8m,BG=OF=1.2m,EF=AD—2.3m,

所以BF=0.5m,所以木艮據(jù)勾股定理得。B2=BF2+OF2=0.52+1.22=1.32.

所以。2=OB=1.3m,1.3x2=2.6(m).

所以此橋洞半圓的直徑應(yīng)設(shè)計成2.6m.

DEC

②

22.[[2025?泰安期末]](12分)如圖，在△ABC中，乙4BC=45。，CDLAB,BE1

AC,垂足分別為D,E,F為BC中點，BE與DF,DC分別交于點G,H,乙ABE=LCBE.

(1)求證：BH=AC；

(2)求證：BG2-GE2=EA2.

【答案】

(1)【證明】因為CDJ.ZC,所以NBOC==NBEC=90°,所以NZ+

^DCA=90°,AA+乙ABE=90°.所以ZABE=ZDCA又因為zZBC=45°,所以NBC。=

45°=Z.ABC,所以DB=DC,在ADB"和△DCZ中，因為NOB”=zDCZ,BD=CD,

乙BDH=/.CDA,

所以△DBH=△DC2(ASA).所以B”=AC.

(2)【證明】如圖，連接CG,因為F為BC的中點，DB=DC,

所以。尸垂直平分BC.所以BG=CG.

因為BE1AC,所以NZEB=乙CEB=90°.

在AZBE和ACBE中，因為=BE=BE,乙ABE=^CBE,

所以△ABESACBE(ASA).

所以EC=EA.

在RtACGE中，由勾股定理得CG2—GE2=EC2.

所以BG2-GE2=EA2.

23.（16分）新視角探究應(yīng)用題【問題背景】

著名的趙爽弦圖（如圖①），其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長都

為b,斜邊長都為c,大正方形的面積可以表示為02,也可以表示為4x]ab+（a-b）2,由此

推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則。2+塊=。2.

【探索求證】古今中外，勾股定理有很多種證明方法，已知與Rt^EBC按如圖②所

示位置放置，連接CD,其中乙4=NB=Z,DEC=90°,AE=BC=a,AD=EB=b,DE=

EC=c.請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.

【問題解決】如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點4B,