答案第=page11頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，總=sectionpages22頁(yè)高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：立體幾何體的表面積與體積一、單選題1．一個(gè)圓柱的軸截面是一個(gè)面積為的正方形，則該圓柱的體積是（）A． B． C． D．2．在正三棱錐中，的邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．在菱形ABCD中，，，連結(jié)BD，沿BD把ABD折起，使得二面角的大小為，連結(jié)AC，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．已知一個(gè)圓柱上，下底面的圓周都在同一個(gè)球面上，球的直徑為4，圓柱底面直徑為2，則圓柱的側(cè)面積為（）A． B． C． D．5．一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)平面的距離為，則該球的體積為（）A． B． C． D．6．若底面直徑和高相等的圓柱的側(cè)面積是，則這個(gè)圓柱的體積是（）A． B． C． D．7．已知三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個(gè)面的距離是，則該球的體積為（）A． B． C． D．9．已知圓柱及其展開(kāi)圖如圖所示，則其體積為（）A． B． C． D．10．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱錐的體積等于（）A． B． C． D．411．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（）A． B． C． D．12．正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該棱臺(tái)的體積是（）A． B． C．20 D．21二、填空題13．設(shè)體積為的正三棱錐外接球的球心為O，其中O在三棱錐內(nèi)部．若球O的半徑為R，且球心O到底面的距離為，則球O的半徑__________．14．將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使為正三角形，則三棱錐的體積為_(kāi)_________．15．已知正四棱臺(tái)的上底邊長(zhǎng)為4，下底邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為_(kāi)_______.16．如圖邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以B為圓心的圓與AB，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積等于__________．三、解答題17．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為P，O是底面圓心，AB是底面圓的直徑，，．（1）求圓錐的表面積；（2）經(jīng)過(guò)圓錐的高PO的中點(diǎn)作平行于圓錐底面的截面，求截得的圓臺(tái)的體積．18．如下圖1，一個(gè)正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)（如下圖2），水面恰好過(guò)，，，的中點(diǎn)．（1）求容器中水的體積；（2）當(dāng)容器底面水平放置時(shí)（如圖1），求容器內(nèi)水面的高度．19．如果一個(gè)正四棱柱與一個(gè)圓柱的體積相等，那么我們稱(chēng)它們是一對(duì)“等積四棱圓柱”.將“等積四棱圓柱”的正四棱柱、圓柱的表面積與高分別記為、與、.（1）若，，求的值;（2）若，求證：.20．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)；（1）求該三棱柱的體積與表面積；（2）求三棱錐的內(nèi)切球半徑．21．如圖，正三棱錐（底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等）的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3．（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積．22．如圖所示是在圓錐內(nèi)部挖去一正四棱柱所形成的幾何體，該正四棱柱上底面的四頂點(diǎn)在圓錐側(cè)面上，下底面落在圓錐底面內(nèi)，已知圓錐側(cè)面積為，底面半徑為.（Ⅰ）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，求該幾何體的體積；（Ⅱ）求該幾何體內(nèi)正四棱柱側(cè)面積的最大值.參考答案1．A【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，利用圓柱的軸截面面積求出的值，再利用柱體體積公式可求得該圓柱的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，該圓柱的軸截面面積為，解得，因此，該圓柱的體積為.故選：A.2．B【分析】取中點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)，使得，連接，則點(diǎn)為三角形BCD的中心，根據(jù)題意可得平面，求出，，設(shè)該三棱錐外接球的半徑為，則，解得，由此能求出該三棱錐外接球的表面積．【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，在上取點(diǎn)，使得，連接，則點(diǎn)為三角形BCD的中心，根據(jù)題意可得平面，則該三棱錐外接球的球心在上，，，設(shè)該三棱錐外接球的半徑為，則，解得，該三棱錐外接球的表面積為：．故選：B．3．D【分析】取的中點(diǎn)記為，分別取和的外心與，過(guò)這兩點(diǎn)分別作平面?平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，先在中，求解，再在，求可得球半徑，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)記為，連接，，分別取和的外心與，過(guò)這兩點(diǎn)分別作平面?平面的垂線，交于點(diǎn)，則就是外接球的球心，連接，，易知為二面角的平面角為，則是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，，在中，，∴∵，∴，則四面體的外接球的表面積為.故選：D.4．B【分析】由題意結(jié)合勾股定理可得，求出圓柱的高，再由圓柱側(cè)面積公式求解即可【詳解】設(shè)圓柱的高為，球的半徑為，圓柱的底面半徑為，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，故，側(cè)，故選：B5．A【分析】依題意求得球半徑即可.【詳解】依題意得球半徑，所以該球的體積（cm3）.故選：A.6．B【分析】設(shè)出圓柱底面圓半徑r并表示出其高，借助圓柱側(cè)面積求出r即可作答.【詳解】設(shè)圓柱底面圓半徑為，依題意得高，于是得圓柱側(cè)面積，解得，，所以圓柱的體積為.故選：B7．A【分析】根據(jù)三棱錐中線面位置關(guān)系求解外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積.【詳解】中，，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，

如圖，點(diǎn)為的外心，三棱錐外接球的球心

平面，，且

中，，

即三棱錐外接球的半徑為：

所以外接球的表面積為，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤

故選：A.8．B【分析】由球的截面性質(zhì)求得球半徑后可得體積．【詳解】由題意截面圓半徑為，所以球半徑為，體積為．故選：B．9．D【分析】結(jié)合展開(kāi)圖求出圓柱的底面半徑與高，進(jìn)而結(jié)合體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，根據(jù)展開(kāi)圖得，則，所以圓柱的體積為，故選：D.10．A【分析】首先計(jì)算正四棱錐的高，再計(jì)算體積.【詳解】如圖，正四棱錐，，，則，則該正四棱錐的體積.故選：A11．B【分析】當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為求出半徑，即可求出球的表面積．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，解得，則球的表面積為，故選：B．12．A【分析】先求出棱臺(tái)的高，然后利用臺(tái)體的體積公式求體積即可.【詳解】由棱臺(tái)的幾何特征可得其高為：，則其體積為：.故選：A13．3【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的幾何性質(zhì)、棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】取的中心G．連接，則平面且球心O在上．由條件知，，連接，，則，設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為，所以等邊的高為：，因此，所以有，于是的邊長(zhǎng)為．又，故三棱錐的高是：，所以，得．故答案為：14．【分析】取AC的中點(diǎn)O，連接BO，DO，求出底面面積以及高，然后求解體積即可．【詳解】取AC的中點(diǎn)O，連接BO，DO，由題意，AC⊥BO，AC⊥DO，，因?yàn)闉檎切?，AB＝AD＝DB＝1，由已知可得AO＝OB＝OD，∴是直角三角形，∴DO⊥OB，又，面，∴．故答案為：15．112【分析】根據(jù)已知條件，分別計(jì)算出上、下底面面積以及棱臺(tái)的高，代入棱臺(tái)體積公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)檎睦馀_(tái)的上底邊長(zhǎng)為4，下底邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為，所以棱臺(tái)的下底面積，上底面積，高，所以正四棱臺(tái)的體積.故答案為：112.16．【分析】陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)圓柱挖掉一個(gè)半球與圓錐，分別計(jì)算其體積，然后得到答案.【詳解】在中，所以，正方形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，圓柱的底面半徑，高，其體積；直角繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成與圓柱同底的圓錐，圓錐的底面半徑，高，其體積；扇形BEF是圓的，繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)半球，球的半徑為，故其體積；所以陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個(gè)圓柱挖掉上述的半球與圓錐，故其體積．故答案為：.17．（1）；（2）．【分析】（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線，從而可求出錐的表面積，（2）先求出大圓錐的高，從而可求出小圓錐的高，進(jìn)而可得圓臺(tái)的體積等于大圓錐的體積減去小圓錐的體積【詳解】解：（1）由題意可知，該圓錐的底面半徑，母線．∴該圓錐的表面積．（2）在中，，∵是PO的中點(diǎn)，∴．∴小圓錐的高，小圓錐的底面半徑，∴截得的圓臺(tái)的體積．18．（1）；（2）．【分析】（1）在圖2中，根據(jù)四棱柱的體積公式計(jì)算可得；（2）設(shè)圖1中水高度為，根據(jù)水的體積相等得到方程，解得即可；【詳解】解：（1）在圖2中，水所占部分為四棱柱．四棱柱底面積為，又高為所以水的體積為，（2）設(shè)圖1中水高度為，則，解得．所以當(dāng)容器底面水平放置時(shí)，容器內(nèi)水面的高度為．19．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，圓柱的底面半徑為，，，.（1）由，可得答案；（2）由，得，化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，圓柱的底面半徑為，則，，.（1），得，又，所以，所以，得，.（2）證明：，則，.得證.20．（1），；（2）．【分析】（1）直接利用體積公式求解即可，直接求解表面積，（2）利用等體積法求法【詳解】（1），．（2），則三棱錐的表面積為．設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為r，則，則21．（1）；（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用勾股定理求得，可得三角形的面積，進(jìn)一步可得正三棱錐的側(cè)面積，再求出底面積，則正三棱錐的表面積可求；（2）連接，設(shè)為正三角形的中心，則底面．求解，再由棱錐體積公式求解．【詳解】解：（1）取的中點(diǎn)，連接，在中，可得．．正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，正三棱錐的側(cè)面積是．正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，．則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)為正三角形的中心，則底面．且．在中，．正三棱錐的體積為．22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）分別計(jì)算圓錐和正四棱柱的體積，再計(jì)算該幾何體