第4章因式分解單元測(cè)試

總分；120分

考生姓名:

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測(cè)試范圍：第4章（因式分解）。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。

1.下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（

A.a—2a—8=〃(〃-2)—8

C.x(2x-y)=2x2—xyD.a2-4b2=(a—2b)(a+2b)

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解，因式分解是將多項(xiàng)式表示為幾個(gè)整式的乘積形式.根據(jù)因式分解的定

義逐項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：選項(xiàng)A：右邊不是整式乘積的形式，不是因式分解；

選項(xiàng)B：2尤3-4尤？+2尤=2尤（x?-2x+l）=2x（無一I）2,原分解錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：屬于整式乘法，不是因式分解.

選項(xiàng)D：符合因式分解定義.

故選：D.

2.因式分解：/==（）

4

A.fa-lfB.L+-YC.D.+

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解，掌握平方差公式因式分解是關(guān)鍵.

運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

［詳解］解：=+

故選：D.

3.計(jì)算x?-2x+l=()

2222

A.(x-1)B.(%+l)C.%+lD.x-l

【答案】A

【分析】本題主要考查因式分解，直接利用完全平方公式分解因式可得出答案.

22

【詳解】解：x-2x+l=(x-l),

故選：A.

4.將多項(xiàng)式Tas+16/+12。分解因式，應(yīng)提取的公因式是()

A.病B.4a2C.-4a2D.4a

【答案】D

【分析】本題考查因式分解、找公因式的方法，熟練掌握確定公因式的方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)找公因式的方法：系數(shù)取最大公約數(shù)，相同字母取最低次幕，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：-+16。~+12。=4a+4。+3),

應(yīng)提取的公因式是4a,

故選：D.

5.多項(xiàng)式/+方+6分解因式為(x+0(x+4),其中。，P，4為整數(shù)，則。的值不可能是()

A.6B.5C.-5D.-7

【答案】A

【分析】本題考查了因式分解，根據(jù)題意可得P4=6,0+4=a,進(jìn)而將6進(jìn)行分解，即可求解.

［詳解］解：：尤？+冰+6=(尤+p)(尤+4)=尤2+(p+g)尤+pg

pq=6,p+q=a

.?.當(dāng)6=1x6時(shí)，。=1+6=7；

當(dāng)6=2x3時(shí)，。=2+3=5；

當(dāng)6=(―2)x(—3)時(shí),a=(-2)+(-3)=-5；

當(dāng)6=(-l)x(-6)時(shí)，a=(—l)+(-6)=—7；

-''a的取值不可能是6

故選：A.

6.若。=4+上9=3,則-/"z//_加的值為()

A.-48B.-12C.-36D.12

【答案】A

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，把所求式子先提取公因式再利用完全平方公式分解

因式，最后利用整體代入法求解即可.

【詳解】解：???a=4+Z?M人=3,

A-a3b+2a2b2-ab3

-—ab(a?—2ab+B)

=-ab^a-b^

=-3x42

二Y8,

故選：A.

7.如圖，一塊正方形菜地被分割成四部分，其面積分別為2加，4/,m2,2mn,其中根>0,n>0,

則原正方形菜地的邊長為()

【答案】C

【分析】本題考查用完全平方公式因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前

提.根據(jù)四部分的面積和為/+4帆〃+4/,BP(m+2n)2,因此正方形的邊長為根+2〃.

【詳解】解：4〃2+2mn+m2+2mn=m2+4mn+4?2=(m+2n)2,

「?原正方形的邊長為機(jī)+2〃，

故選：C.

8.若x,W茜足/=y+2,y2=x+2(x^y),則./+丁+2x+2y+5的值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查了代數(shù)式的求值、因式分解，熟練掌握平方差公式和整體代入法是解題的關(guān)鍵.將

兩個(gè)等式相減，整理得到(x-y)(x+y)=-(x-y),結(jié)合無片兒得到x+y=T,再利用整體法代入求

值即可.

【詳解】解：f=y+2,/=.+2,

x2—y1=y+2—(x+2)=y—x,

.-.(x-y)(x+y)=-(x-j),

「.x-ywO,

：.x+y=-l,

無之+y2+2x+2y+5

—y+2+%+2+2x+2y+5

=3%+3y+9

=3(x+y)+9

=3x(-l)+9

=6.

故選：C.

9.設(shè)〃為某一自然數(shù)，代入代數(shù)式,一〃計(jì)算其值時(shí)，四個(gè)學(xué)生算出了下列四個(gè)結(jié)果。其中正確的結(jié)果

是()

A.121B.210C.335D.505

【答案】B

【分析】本題綜合考查因式分解的應(yīng)用，三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為偶數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握因式分

解的應(yīng)用.代數(shù)式因式分解可得+則代數(shù)式表示三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積.據(jù)此分析

即可.

【詳解】解：由題意可知：原式=〃(〃-1)5+1),

為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的積，

.?./一〃可寫成三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積，其中有因數(shù)必為偶數(shù)，也有因數(shù)必為3的倍數(shù)，

...川是一個(gè)偶數(shù).而且是3的倍數(shù)，

選項(xiàng)只有B,符合條件，

XV210=5X6X7=63-6,

故選：B.

10.一個(gè)正整數(shù)若能表示成兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為c.例3=22~/,8=32-產(chǎn)”..,3和8都

是一個(gè).所有的“流星數(shù)”從小到大排列后，第13個(gè)“流星數(shù)”是()

A.18B.19C.20D.21

【答案】C

【分析】此題主要考查了平方差公式，有一定的難度，主要是對(duì)題中新定義的理解與把握.如果一個(gè)

數(shù)是“流星數(shù)”，就能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別0、n,設(shè)加＞“，即楊梅數(shù)

=m2-n2,因?yàn)樘帯ㄊ钦麛?shù)，因而加+“和〃〃就是兩個(gè)自然數(shù).要判斷一個(gè)數(shù)是

否是“流星數(shù)”，可以把這個(gè)數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個(gè)整數(shù)的積，看這兩個(gè)數(shù)能否寫成兩個(gè)正整數(shù)的

和與差.

【詳解】解：1不能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，所以1不是“流星數(shù)”，對(duì)于大于1的奇正整數(shù)2人+1,

有2%+1=（左+1）2一%2（%=1,2）

所以大于1的奇正整數(shù)都是“流星數(shù)”，

對(duì)于被4整除的偶數(shù)43有4左=（左+1）2-（左-1）2（左=2,3,-）,

即大于4的被4整除的數(shù)都是“流星數(shù)”，而4不能表示為兩個(gè)正整數(shù)平方差，所以4不是“流星數(shù)”，

對(duì)于被4除余2的數(shù)必+2（無=0,1,2,3,…）,

設(shè)4%+2=d-y2=（x+y）（x-y）,其中x,＞為正整數(shù)，

當(dāng)x,，奇偶性相同時(shí)，（尤+》（x-y）被4整除，而必+2不被4整除；

當(dāng)x,y奇偶性相異時(shí)，（x+x）（x-y）為奇數(shù)，而軟+2為偶數(shù)，矛盾，

所以不存在自然數(shù)無，，使得/-丁=44+2.即形如4k+2的數(shù)均不為“流星數(shù)”，

因此，在正整數(shù)數(shù)列中前四個(gè)正整數(shù)只有3為“流星數(shù)”，

此后，每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“流星數(shù)”.

???第4個(gè)“流星數(shù)”為8,

第7個(gè)“流星數(shù)”為12,

第10個(gè)“流星數(shù)”為16,

...第13個(gè)流星數(shù)為20,20=62-42

故選：C.

第n卷

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.

11.因式分解：ax2-a=.

【答案】?（x+l）（x-l）

【分析】本題考查因式分解，先提公因式再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：ax2-a

=a(x+l)(x-l),

故答案為：a(x+l)(x-l).

12.因式分解：(加+4-4(m+〃)+4=.

【答案】(山+力-2)2

【分析】本題考查了因式分解，利用完全平方公式解答即可，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：-4(m+〃)+4=(〃?+”—2)~,

故答案為：(m+n-2)2.

13.如果a+A=3,ab=l,那么的值為.

【答案】9

【分析】根據(jù)a%+2a62+2。6+/)="(a+》y,結(jié)合=3,。6=1,代入解答即可.

本題考查了因式分解，完全平方公式，求代數(shù)式的值，熟練掌握公式，因式分解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：［ila3b+2a2b2+ab3=ab(a1+2ab+b2^=ab(^a+by,

且a+b=3,a6=l,

a3b+2a2b2+ab3=lx^=9.

故答案為：9.

14.若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式Y(jié)-(l+7〃)x+9是一個(gè)完全平方式，則加的值為.

【答案】-7或5

【分析】本題考查完全平方式，熟練掌握完全平方式的形式是解題的關(guān)鍵.利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特

征判定即可確定.

【詳解】解：?.?d-。+相1+9=彳2一。+間x+3?是一個(gè)完全平方式，

—(1+m)=±2x3,

m=-l或5,

故答案為：-7或5.

15.已知x為整數(shù)，若爐一2彳-16是某個(gè)整數(shù)的平方，貝卜為.

【答案】10或-8

【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，設(shè)犬-16=7后(以為整數(shù))，則GT2-W7,

然后運(yùn)用完全平方公式變形整理得到(尤-1+帆)(尤-1-帆)=17,再得出二元一次方程組，解之可得.

【詳解】解：設(shè)尤2-2尤-16=蘇(0為整數(shù))，

則(x-l)--，/=17,

V17=lxl7=(-l)x(-17),

x-l+m=l

x—1—m=—17x—l—m=—l

x=-8

m=-8

故答案為：10或-8.

16.一個(gè)各位數(shù)字都不為0的四位正整數(shù)機(jī)，若千位與個(gè)位數(shù)字相同，百位與十位數(shù)字相同，則稱這

個(gè)數(shù)加為“雙胞蛋數(shù)”，將千位與百位數(shù)字交換，十位與個(gè)位數(shù)字交換，得到一個(gè)新的“雙胞蛋數(shù)”

m',并規(guī)定網(wǎng)㈤==-,則尸(8228)=；若己知數(shù)加為“雙胞蛋數(shù)”，且千位與百位數(shù)字互不相

同，器是一個(gè)完全平方數(shù)，則滿足條件的加的最大值為.

27—

【答案】4869669

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，涉及完全平方數(shù)的概念，新定義的實(shí)數(shù)運(yùn)算，充分理解題意是

解題的關(guān)鍵.

m—汨

根據(jù)切=8228,代入代數(shù)式/(徵)=———計(jì)算即可；設(shè)m=abba,則加=為〃8，由題意得

F(m)=9￡-%=3fl_3/?由￡粵是一個(gè)完全平方數(shù)，結(jié)合的取值范圍，可得。-6=3,從而得

到的最大值.

【詳解】解：F(m)=￥~

匕口汁"，乂父、一8228—2882一

772—8228—]]—4oo,

故答案為：486；

設(shè)m=abba,則加=baab,

m-ni=1001a+110Z?-1001Z?-110a=891a-891Z?,

m—m'

F(m)=-----=Sla-81b

11f

3=如3=3”36,

273

嬰是一個(gè)完全平方數(shù),

3（〃-9是一個(gè)完全平方數(shù),

l<a<9,l<b<9f

—8V。—6W8,

:.a-b=3，

二。的最大值為9,則6=9-3=6,

加的最大值為9669,

故答案為：9669.

三、解答題：本題共8小題，共72分.

17.分解因式：

（1）X2—8x+16;

⑵2尤2-18.

【答案】⑴（I）?

（2）2（x+3）（x-3）

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法是解題的關(guān)鍵.

（1）直接利用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

（2）先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行分解.

【詳解】（1）解：x?—8x+16=（x—4）；

（2）解：2--18=2（爐-9）=2（x+3）（x-3）.

18.解方程2尤（3元一4）一（2尤+1）（3》一4）=2（4-工）.

【答案】x=T

【分析】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，提公因式、

去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：2》（3%—4）一（2%+1）（3元一4）=2（4—尤），

提公因式：得（3x-4）（2x-2x-l）=8-2x

去括號(hào)：-3尤+4=8—2尤

合并同類項(xiàng)，得-x=4

系數(shù)化為1,得x=T.

19.當(dāng)〃為整數(shù)時(shí)，代數(shù)式(力+3)2-(5力+9)一定能被2整除.試說明理由.

【答案】見解析

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，理解整除的意義是解題的關(guān)鍵.先計(jì)算再分解因式得+

故能被2整除.

【詳解】解：(〃+3)2_(5"+9),

=M2+6M+9—571—9,

="+〃，

〃為整數(shù)，

+一定能被2整除.

("+3)2-(5〃+9)一定能被2整除.

20.張老師在黑板上寫了三個(gè)算式，希望同學(xué)們認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.請(qǐng)你結(jié)合這些算式解答下列問

題.

觀察以下算式：

①4-22=4x3;

②62-42=4x5;

(3)82-62=4X7；

(1)請(qǐng)結(jié)合上述三個(gè)算式的規(guī)律，寫出第④個(gè)算式：;

(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2〃+2,2”(其中〃為正整數(shù))，寫出它們的平方差，并說明結(jié)果是4的倍數(shù).

【答案】⑴IO?-82=4x9

⑵(2〃+2)2_(2〃)2；見解析

【分析】本題主要查了平方差公式：

(1)直接根據(jù)規(guī)律解答，即可；

(2)利用平方差公式解答，即可.

【詳解】(1)解：第④個(gè)算式：IO?-8?=4x9;

故答案為：102-82=4x9

(2)解：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)2〃+2,2”的平方差為：

(2n+2)2~(2n)2

=(2〃+2+2〃)(2〃+2—2w)

=(4"+2)x2

=4(2z?+l)

故兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差是4的倍數(shù).

21.在一次數(shù)學(xué)課上，老師提出問題：如何將代數(shù)式尤2-8x+7進(jìn)行因式分解呢？小季同學(xué)經(jīng)過思考后

作如下解答：

X2—8x+7=%2—8x+16-16+7=(x?-8x+16)-9

=(X-4)2-32=(X-4+3)(%-4-3)=(%-1)(%-7)

小戴同學(xué)在仔細(xì)研讀上述解答過程后，獲得如下結(jié)論：--8x+7=(x-4)2-9,在代數(shù)式(工-4)2-9

中，。-4)220,即無論x取何值，(X-4>都大于等于0,所以。_4)2_92-9,則Y一舐+7有最小

值為-9.

(1)請(qǐng)仿照小季的解答過程，將代數(shù)式毋-14加+24分解因式；

(2)求代數(shù)式-m2+12加-18的最大值.

【答案】(1)(m-2)(m-12)

⑵18

【分析】題目主要考查新定義，理解新定義是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題中方法進(jìn)行配方法，分解因式即可；

(2)根據(jù)題中的方法進(jìn)行因式分解，然后即可求解.

【詳解】(1)解：m2—14/7?+49—25

=(m-7)2-52

=(m-7+5)(m—7—5)

=(m—2)(〃z—12)；

(2)-m2+12/71-18

=-(m2-12m+36-36)-18

=-(m-6)2+18

因?yàn)闊o論卬取何值時(shí)，-?！?6y都小于等于0,

所以-0-6)2+18<]8,則_5I-6)2+18有最大值為]g.

22.閱讀下列材料：某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”活動(dòng)中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公

式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無法分解，$0：irr-mn+2m-2n,細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)

發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因

式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過程為

m2—mn+2m—2n=(點(diǎn)—2n)=n)+2(m—n)=(m—n)(m+2).這種因式分解的方法

叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：

(1)分解因式:a3-3a2+2a-6;

(2)分解因式：4m2—12mn+9n2—4m+6n+l.

【答案】(l)(a2+2)(?-3)

(2)(2/71-3M+1)2

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵.

(1)先把第一項(xiàng)和第二項(xiàng)提公因式，把第三項(xiàng)和第四項(xiàng)提公因式，然后再運(yùn)用一次提公因式進(jìn)行因式

分解，即可作答.

(2)先運(yùn)用完全平方公式把第一項(xiàng)，第二項(xiàng)和第三項(xiàng)進(jìn)行因式分解，再將2〃L3〃看作整體，最后再

運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可作答.

［詳解］(1)解：a3—3a2+2a—6

=片(a—3)+2(a—3)

=(Q2+3)；

(2)解：4m2—12mn+9H2—4m+6n+l

=(2m-3n)2-2(2m-3n)+l

=(2m—3n+l)2

23.小磊和小軒在課外練習(xí)中碰到了一個(gè)問題，需要對(duì)多項(xiàng)式2f—7x+2進(jìn)行因式分解.小磊認(rèn)

為該整式一定有一個(gè)因式1+2,小軒認(rèn)為必有因式是x-2,兩人找到老師尋求幫助.老師提供了一個(gè)

方法：因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算.若整式/能被整式雇除，則為必為/的一個(gè)因式.老師給出了演

算方法：

%2—4x+1

x+2)十3-2x2-7x+2

X3+2X2

—4%2-7x+2

-4%2-8%

x+2

x+2

0

X2-7

\%3—2x2—7x+2

x3-2x2

x-2______

I—7x+2

—7x+14

-12

⑴觀察老師的演算后，你認(rèn)為同學(xué)的想法是對(duì)的；

⑵已知多項(xiàng)式％3_6f+7x+6的其中一個(gè)因式為兀-3,請(qǐng)?jiān)囍鶕?jù)老師的方法列出演算過程，并將多

項(xiàng)式V—+7x+6進(jìn)行因式分解；

⑶若多項(xiàng)式工3—3/+如+〃能因式分解成％+1與另一個(gè)完全平方式，求加與〃的值.

【答案】⑴小磊；

(2)(%-3)(f—3%-2)；

(3)m=0,n=4.

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握題目提供的方法.

(1)根據(jù)題目中提供的信息進(jìn)行解答即可；

(2)根據(jù)老師提供的方法進(jìn)行解答即可；

(3)根據(jù)題意列出豎式，得出d一3爐+g；+〃=(%+1)(%2-4%+根+4),〃=切+4,根據(jù)多項(xiàng)式

兀3一3%2+如+〃能因式分解成％+1與另一個(gè)完全平方式，得出m+4=4,求出加、力的值.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可得：(尤3—2/-7元+2)+(尤+2)=--4》+1,

22

(尤3-2X_7x+2)+(尤-2)=X-7……12,

...該整式一定有一個(gè)因式x+2,沒有因式是》-2,

,小磊同學(xué)的想法是對(duì)的；

(2)解：根據(jù)題意得：

%-3)d-6口2+7%+6

X3-3X2

-3爐+7%+6

-3x2+9x

—2x+6

—2x+6

0

???將多項(xiàng)式/一6尤2+7》+6進(jìn)行因式分解為:

/-6Y+7x+6—(x-3)(%2-3%-2).

(3)解：根據(jù)題意得：

x2-4x+m+4

\x3—3x2+mx+n

x3+%2

%+1/-4x2+nvc+n

-4——4%

(m+4)x+w

(m+4)x+m+4

x3-3x2+mx+n=(x+l)(x2—4x+m+4j,n-m+A,

??,多項(xiàng)式13—3/+m+〃能因式分解成x+1與另一個(gè)完全平方式，

???%2-4工+加+4是一個(gè)完全平方式，

帆+4=4,

m=0,〃=4.

24.對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)因式分解的等式.

圖1圖2

⑴圖1中大正方形的面積用兩種方法可分別表示為、；從而得到的國去分解的

等式是：;

⑵觀察圖2,可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2/+5ab+2〃可以因式分解為；

(3)通過不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的因式分解等式.如圖3是棱長為

的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊.

①用不同方法計(jì)算這個(gè)正方體體積，就可以得到一個(gè)國去分解的等式，

這個(gè)國去分解的等式是：;

②已知。+。=5,ab=2,利用上面的規(guī)律求“3+分的值.

③根據(jù)