_1.2圓周角與弦切角1．2.1圓的切線[對應(yīng)學(xué)生用書P15][讀教材·填要點]1．直線與圓的位置關(guān)系(1)相離：直線和圓沒有公共點，稱直線和圓相離．(2)相交：如果圓心到一條直線的距離小于半徑，則這條直線和該圓一定相交于兩點，此時稱直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．(3)相切：如果一條直線與一圓只有一個公共點，則這條直線叫做這個圓的切線，公共點叫做切點．2．圓的切線判定定理經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．3．圓的切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．推論1：從圓外的一個已知點所引的兩條切線長相等．推論2：經(jīng)過圓外的一個已知點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角．4．三角形的內(nèi)切圓、旁切圓(1)內(nèi)切圓：與一三角形三邊都相切的圓，叫做這個三角形的內(nèi)切圓．(2)旁切圓：與三角形的一邊和其它兩邊的延長線都相切的圓，叫做三角形的旁切圓，一個三角形有三個旁切圓．[小問題·大思維]1．下列關(guān)于切線的說法中，正確的有哪些？①與圓有公共點的直線是圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；③與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；④過直徑的端點，垂直于此直徑的直線是圓的切線．提示：由切線的定義及性質(zhì)可知，只有③④正確．2．圓的切線的判定方法有哪些？提示：圓的切線的判定方法有：(1)定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；(2)幾何法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線．(3)判定定理：過圓的半徑的外端點且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．[對應(yīng)學(xué)生用書P16]切線的判定[例1]如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD.求證：DC是⊙O的切線．[思路點撥]本題考查圓的切線的判定方法．解決本題只要證明OD⊥CD即可．[精解詳析]如圖，連接OD.∵OC∥AD，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2.∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3.∵OD＝OB，OC＝OC，∴△DOC≌△BOC.∴∠CDO＝∠CBO.∵AB是直徑，BC是切線，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°.∴DC是⊙O的切線．證明某條直線是圓的切線，有以下規(guī)律：(1)若已知直線經(jīng)過圓上的某一點，則需作出經(jīng)過這一點的半徑，證明直線垂直于這條半徑，簡記為“連半徑，證垂直”；(2)若直線與圓的公共點沒確定，應(yīng)過圓心作直線的垂線，得到垂線段，再證明這條垂線段的長等于半徑，簡記為“作垂直，證半徑”．1．如圖所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC于點E.求證：DE是⊙O的切線．證明：連接OD和AD，如圖所示．∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．切線的性質(zhì)及判定定理的應(yīng)用[例2]如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任意一點，BP的延長線交⊙O于Q，過Q作⊙O的切線交OA的延長線于R，求證：△PQR為等腰三角形．[思路點撥]本題考查切線的性質(zhì)的應(yīng)用．解答本題需要證明△PQR中的兩個角相等，因為QR為切線，故可考慮連接OQ，得到垂直關(guān)系，然后再證明．[精解詳析]連接OQ.因為QR是⊙O的切線，所以O(shè)Q⊥QR.因為OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB.因為BO⊥OA，所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，∠PQR＝90°－∠OQP.所以∠RPQ＝∠PQR.所以RP＝RQ，所以PQR為等腰三角形．(1)圓的切線的性質(zhì)定理及它的兩個推論，概括起來講就是三點：①經(jīng)過圓心；②切線長相等；③平分切線的夾角．(2)若題目條件中有圓的切線，可考慮連接圓心和切點，則得垂直關(guān)系．2.如圖，AB是⊙O直徑，弦CD∥AB，連接AD，并延長交⊙O過B點的切線于E點，作EG⊥AC交AC的延長線于G點．求證：AC＝CG.證明：如圖，連接BC交AE于F點．∵AB∥CD，∴∠1＝∠3.又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即AF＝BF.①AB為⊙O的直徑，BE為⊙O的切線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠2＋∠4＝90°,∠1＋∠5＝90°))，∴∠4＝∠5，即FE＝BF.②由①②得AF＝FE.③又AB為⊙O的直徑，∴BC⊥AG.又EG⊥AG，∴BC∥EG.④由③④得AC＝CG.[例3]某海域直徑為30海里的暗礁區(qū)中心有一哨所，值班人員發(fā)現(xiàn)有一輪船從哨所正西方向45海里的B處向哨所駛來，哨所及時向輪船發(fā)出危險信號，但是輪船沒有收到這一信號，直到又繼續(xù)前進(jìn)了15海里到達(dá)C處才收到此哨所第二次發(fā)出的緊急危險信號．(1)若輪船收到第一次信號后，為避免觸礁，航向改變角度至少為東偏北多少度．(2)當(dāng)輪船收到第二次信號后，為避免觸礁，輪船航向改變的角度至少應(yīng)為東偏南多少度？[思路點撥](1)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為B作暗礁區(qū)域圓的切線問題．(2)與(1)問思路一致，在C處作暗礁區(qū)域圓的切線求解．[精解詳析](1)如圖所示，圓心A為暗礁區(qū)中心的哨所位置，⊙A的半徑為15海里．過點B作⊙A的切線，D是切點，連接DA.由切線的性質(zhì)定理，知∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，sin∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).∵sin20°≈eq\f(1,3)，∴∠ABD≈20°.∴當(dāng)輪船第一次收到危險信號時，所改變角的度數(shù)應(yīng)至少為東偏北20°.由切線的性質(zhì)定理，知∠AEC＝90°.在Rt△ACE中，∵AC＝45－15＝30，∴sin∠ACE＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，∴∠ACE＝30°.∴當(dāng)輪船第二次收到危險信號時，所改變角的度數(shù)應(yīng)至少為東偏南30°.解決實際問題要善于抓住問題的特征——動切線的特殊位置，分析切線的變化規(guī)律，從“變”中找出“不變”，使問題簡單化．3．如圖，AD是⊙O的直徑，BC切⊙O于點D，AB、AC與圓相交于點E、F.則AE·AB與AF·AC有何關(guān)系？請給予證明．解：AE·AB＝AF·AC.證明如下：連接DE.∵AD為⊙O的直徑，∴∠DEA＝90°.又∵BC與⊙O相切于點D，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.由射影定理知，AD2＝AB·AE.同理AD2＝AF·AC.∴AE·AB＝AF·AC.[對應(yīng)學(xué)生用書P17]一、選擇題1．AB是⊙O的切線，在下列給出的條件中，能判定AB⊥CD的是()A．AB與⊙O相切于直線CD上的點CB．CD經(jīng)過圓心OC．CD是直徑D．AB與⊙O相切于C，CD過圓心O解析：圓的切線垂直于過切點的半徑或直徑．答案：D2．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，則BD＝()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：∵BC是⊙O的切線，∴△ABC是直角三角形．∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10.∵AB是直徑，∴AC⊥BD.∵AB2＝AD·AC，∴AD＝eq\f(AB2,AC)＝eq\f(36,10)＝eq\f(18,5).∴CD＝10－eq\f(18,5)＝eq\f(32,5).∵BD2＝CD·AD，∴BD＝eq\r(\f(18,5)×\f(32,5))＝eq\f(24,5)＝4.8.答案：B3．如圖所示，EB是半圓⊙O的直徑，A是BE延長線上一點，AC⊥BC于C，且AC是半圓的切線，切點為D，連接OD，若AC＝12，BC＝9，則OD的長為()A．5 B．eq\f(45,8)C．6 D．4解析：∵AC＝12，BC＝9，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝15.∵AC為半圓的切線，∴OD⊥AC.又∵AC⊥BC，∴OD∥BC.∴eq\f(OD,BC)＝eq\f(AO,AB)，∴eq\f(OD,9)＝eq\f(15－OD,15)，∴OD＝eq\f(45,8).答案：B4．已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30°，過C點的切線PC與AB的延長線交于P，PC＝5，則⊙O的半徑是()A.eq\f(5\r(3),3) B．eq\f(5\r(3),6)C．10 D．5解析：如圖，連接OC，則OC⊥PC，∵∠PAC＝∠OCA＝30°∴∠COP＝60°，在Rt△PCO中，PC＝5，則OC＝eq\f(PC,tan∠COP)＝eq\f(5,\r(3))＝eq\f(5\r(3),3).答案：A二、填空題5.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，AB＝25cm，以C點為圓心，12cm為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是________．解析：過點C作CD⊥AB，∵AC＝15cm，AB＝25cm，∴BC＝20cm.∴CD＝eq\f(15×20,25)＝12(cm)．∴半徑為12cm的⊙C與AB相切．答案：相切6．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6cm，BD＝8cm，以A為圓心，r為半徑的圓與BC相切，則r為________cm.解析：∵AC＝6cm，BD＝8cm，∴OB＝4cm，OC＝3cm.∴BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝5cm.∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BO＝eq\f(1,2)×6×4＝12cm2，又∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AE＝eq\f(1,2)×5r，∴12＝eq\f(5r,2).∴r＝eq\f(24,5)cm.答案：eq\f(24,5)7．如圖，是兩個滑輪工作的示意圖，已知⊙O1，⊙O2的半徑分別為4cm,2cm，圓心距為10cm，AB是⊙O1，⊙O2的公切線，切點分別為A，B，則公切線AB的長為________cm.解析：如圖所示．分別連接O1A，O2B.設(shè)AB與O1O2交于C，則有△BCO2∽△ACO1，∴eq\f(AO1,BO2)＝eq\f(O1C,O2C)，即eq\f(4,2)＝eq\f(O1C,10－O1C).解得O1C＝eq\f(20,3).∴O2C＝10－eq\f(20,3)＝eq\f(10,3).∴AB＝eq\r(O1C2－O1A2)＋eq\r(O2C2－O2B2)＝eq\r(\f(400,9)－16)＋eq\r(\f(100,9)－4)＝8.答案：88．如圖，AB為⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D，若AB＝BC＝2cm，則CE＝________，CD＝________.解析：∵BC是⊙O切線，AB為直徑，∴∠ABD＝90°.∵AB＝2.∴OB＝1.又∵BC＝2，∴OC＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5).又∵OE＝1，∴CE＝(eq\r(5)－1)cm.連接BE.不難證明△CED∽△CBE，∴eq\f(CE,CD)＝eq\f(CB,CE).∴CE2＝CB·CD.∴(eq\r(5)－1)2＝2CD.∴CD＝(3－eq\r(5))cm.答案：(eq\r(5)－1)cm(3－eq\r(5))cm三、解答題9.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，BD＝OB，點C在圓上，∠CAB＝30°，求證：DC是⊙O的切線．證明：連接OC、BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝BO，又∵BD＝BO，∴BC＝BO＝BD.則△OCD是直角三角形．∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑．∴DC是⊙O的切線．10.如圖，已知兩個同心圓O，大圓的直徑AB交小圓于C、D，大圓的弦EF切小圓于C，ED交小圓于G，若小圓的半徑為2，EF＝4eq\r(3)，試求EG的長．解：連接GC，則GC⊥ED.∵EF和小圓切于C，∴EF⊥CD，EC＝eq\f(1,2)EF＝2eq\r(3).又CD＝4，∴在Rt△ECD中，有ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(2\r(3)2＋42)＝2eq\r(7).由射影定理可知EC2＝EG·ED，∴EG＝eq\f(EC2,ED)＝eq\f(2\r(3)2,2\r(7))＝eq\f(6\r(7),7).11．如圖，已知AB是⊙O的直徑，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于