重難點培優(yōu)01復合函數(shù)及嵌套函數(shù)的應用

目錄

01知識重構?重難梳理固根基....................................................1

02題型精研?技巧通法提能力....................................................3

題型一復合函數(shù)的單調性及參數(shù)問題(★★★★★).......................................3

題型二復合函數(shù)的最值(值域)及參數(shù)問題(★★★★)...................................4

題型三復合函數(shù)的奇偶性及參數(shù)問題(★★★★).........................................5

題型四與復合函數(shù)有關的不等式問題(★★★★★).......................................6

題型五內外自復合型f(f(x))的零點問題(★★★★)........................................7

題型六內外雙函數(shù)復合型f(g(x))的零點問題(★★★★)...................................7

題型七二次型因式分解型a[f(x)『+bf(x)+c的零點問題(★★★★★)......................9

03實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效....................................................9

檢測I組重難知識鞏固..................................................................9

檢測n組創(chuàng)新能力提升.................................................................13

01

知識重構?重難梳理固根基

1、復合函數(shù)定義：兩個或兩個以上的基本初等函數(shù)經過嵌套式復合成一個函數(shù)叫做復合函數(shù)。

復合函數(shù)形式：y=f[g(x)]，令：f=g(x),則y=/(g(x))轉化為y=y")/=g(x)其中/叫作中間變量.

g(x)叫作內層函數(shù)，y=/“)叫作外層函數(shù).

2、求復合函數(shù)單調性的步驟：

①確定函數(shù)的定義域

②將復合函數(shù)分解成兩個基本函數(shù)y=/[g(x)]分解成y=/?(4/=g(x)

③分別確定這兩個函數(shù)在定義域的單調性

④再利用復合函數(shù)的“同增異減”來確定復合函數(shù)的單調性。

y=/(g(x))在(。,力上的單調性如下表所示，簡記為“同增異減”

t=g(x)y=f(t)y=/(g(x))

增增增

增減減

3、常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=加("人)(xw0)或函數(shù)/(%)=.

A-1a+1

②函數(shù)f(X)=土⑷"E).

③函數(shù)〃元)=log”壯絲=loga(1+心上)或函數(shù)/(X)=logaf=loga(1一-—)

x—mx—mx+mx+m

2

④函數(shù)/(x)=log”(，尤2+1+x)或函數(shù)/(x)=loga(>/x+1-x).

注意：關于①式，可以寫成函數(shù)f(x)=〃7+2L(x*0)或函數(shù)/(x)=〃7-0L(meR).

a-1a+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/5)=±(/+尸).

mx

②函數(shù)f(x)=\oga(a+l)-^.

③函數(shù)f(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

4、奇偶性技巧

(1)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/XO)：。；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足f(x)=/(|x|).

(2)偶函數(shù)在其定義域內關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性相反；奇函數(shù)在其定義域內關于原點對稱的兩

個區(qū)間上單調性相同.

(3)若函數(shù)“X)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)/(X)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g(X)=g"(X)+，(一元)］，Kx)=g"(尤)一/(f)］，則/(X)=g(x)+h(x).

(4)運算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運算函數(shù)是指兩個(或多個)函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運算所得的函

數(shù)，如/(%)+g(x),/(x)-g(x),/(x)xg(x),f{x}+g(x).

對于運算函數(shù)有如下結論：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶=非奇非偶；

奇義(土)奇=偶；奇x(十)偶=奇；偶x(+)偶=偶.

(5)復合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇.

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一復合函數(shù)的單調性及參數(shù)問題?

【技巧通法?提分快招】

y=/（g（x））在（。/）上的單調性如下表所示，簡記為“同增異減”

t=g(x)y=f(t)y=/(g(x))

增增增

增減減

1.(23-24高三上.江蘇南通?月考)函數(shù)〃x)="萬的單調遞減區(qū)間是()

A.[-1,0]B.[0,1]C.[2,+oo)D.(-00,2]

2.(2025?黑龍江哈爾濱?二模)函數(shù)/(x)=k)g2(%2-2x)的單調遞增區(qū)間為()

A.(2,+oo)B.(l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,0)

3.(23-24高三下?甘肅?開學考試)函數(shù)”x)=2，cos(卜-3”的單調遞減區(qū)間是()

兀2kn712kji~]/,「兀2fal5兀2fal

A.一一+——，——+——(keZ)B.—+——,——+——(^eZ)

一43123r)1123123r)

712kn712kn712kn兀2kli

C.--------1--------,------1--------(keZ)D.一+-----,—+-----(%eZ)

12312312343

4.（2025廣東茂名?一模）已知函數(shù)〃尤）=^/7^77?在區(qū)間（a,y）上單調遞增，貝匹的取值范圍為（）

A.（-co,l]B.C.[3,+co）D.[5,+00）

5.（24-25高三上?河南?期中）若函數(shù)f（x）=ln，-困在區(qū)間（0,1）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.（0,1）C.（-8,0]D.（一8,0）

6.（2025?江西?二模）若函數(shù)外力=2025*司在區(qū)間[2026,口）上單調遞增，則a的取值范圍為（）

A,[2026,+oo）B.（0,2026]C.（-oo,2026）D.（-00,2026]

題型二復合函數(shù)的最值(值域)及參數(shù)問題

【技巧通法?提分快招】

復合函數(shù)的值域求解一

①指數(shù)型復合函數(shù)值域的求法

(1)形如>=/(優(yōu))(。>0,且awl)的函數(shù)求值域：令a，=t,將求原函數(shù)的值域轉化為求/⑺的值

域，但要注意“新元廣’的范圍.

(2)形如y=a/w(a>0,且aw1)的函數(shù)求值域：令4=f(x),先求出〃=/(%)的值域，再利用y=a"

的單調性求出y=的值域.

②對數(shù)型復合函數(shù)值域的求法

(1)形如y=/(logqX)(a>0,且awl)的函數(shù)求值域：令k)gqX=%,先求出logqX=%的值域M,

再利用y=/?)在〃上的單調性，再求出y=f(t)的值域.

(2)形如y=logq/(x)(a〉0,且awl)的函數(shù)的值域：令〃=/(x),先求出〃=/(%)的值域，再

利用丁=log"〃的單調性求出y=logaf(x)的值域.

1.函數(shù)y=2工的定義域、值域分別是()

A.R,(0,+8)

B.{x\xwO},{y|y>-1}

C.{xl"0},{yly>-l,且ywl}

D.{x\x^0),{y|y>-l,且ywO}

2.若函數(shù)y=Jo?+2依+3的值域為[0,+8),則〃的取值范圍是()

A.(3,+co)B.[3,+oo)

C.(f,0][3,+co)D.(-co,0)[3,+co)

3.(2024?四川成都?二模)已知函數(shù)/(力=2-2』的值域為若三”，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,l)B.(-oo,l]C.(l,+oo)D.[l,+oo)

4.(24-25高三上?河南焦作?月考)若函數(shù)〃力=1+唇，則函數(shù)*x)=2"⑶卜小[無e的值域為

()

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

5.已知函數(shù)〃x)=]+3工，函數(shù)g(x)=(log2x)2-2iog2x+a,若任意的占eR,均存在々€[1,8],使得

/(x,)<g(%2),則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(4,+oo)B.[2,+oo)C.[-2,+oo)D.(-4,+<?)

6.函數(shù)〉=1限任一6工+17)的值域是.

7.函數(shù)y=4。2加+3的值域是.

8.(2025?江蘇泰州?二模)已知函數(shù)/(幻=廄2(/一2依+3)的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍為

?題型三復合函數(shù)的奇偶性及參數(shù)問題?

【技巧通法?提分快招】

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(%)的定義域內任意一個X,都有/(-X)=/(X),

偶函數(shù)關于y軸對稱

那么函數(shù)/(%)就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(%)的定義域內任意一個X,都有/(-X)=~f(x),

奇函數(shù)關于原點對稱

那么函數(shù)/(X)就叫做奇函數(shù)

?

1.(2025?山東濟寧?模擬預測)已知函數(shù)““二不三，則下列是奇函數(shù)的是()

3—3

A./(x+2)+；B./(x+1)一；

C./(%+2)+3D./(%+!_)-3

2.(2025?湖北黃岡?二模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是()

A./(x)=lnj--B./(x)=ln(e2%+l)-x

C./(%)=ln(e*-efD./(X)=1II^A/^2+1+X^

3.(2025?河北?模擬預測)若〃x)=(e「er)log2(”7W+同(其中〃>0)是偶函數(shù)，貝1]。=()

,35

A.2B.1C.—D.一

22

4.(2025?山東?模擬預測)函數(shù)〃元)=(|尤2-5卜5阿4-巧的圖象大致為()

1_i_Y

5.（24-25高三下?天津南開?月考）關于函數(shù)/'（xjuln;—，下列說法正確的是（）

1-x

A.〃x）在上單調遞增，且曲線y=〃尤）存在對稱軸

B.“X）在（T1）上單調遞增，且曲線y=〃x）存在對稱中心

C.“X）在（TI）上單調遞減，且曲線y=〃x）存在對稱軸

D.在（-U）上單調遞減，且曲線、=〃尤）存在對稱中心

?題型四與復合函數(shù)有關的不等式問題?

1.已知集合4={刈1083(3.2)<1},8=「|(￡|<3.,則AB=()

A.(|，1)B.C..co,；)D.[1,|)

2.(2025?浙江嘉興?三模)關于x的不等式e陶工>1的解集為()

A.fo,|jB.(0,1)C.Q,+?jD.(1,+s)

3

——ax

3.若不等式「對任意的xe[3,可恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

55

A.(-8,2]B.[2,+co)C.—,+GOD.—00—

22

4.（2025?山西臨汾三模）已知"x）=log2（l+47）+x,則滿足的實數(shù)相的取值范圍為

A.(1,3)B.,3jC.(—8,3)D.(3,+8)

5.(2025.湖北.模擬預測)已知函數(shù)/(力=3-b-sin2x,若對Vxe[2,+e),/(lnx)+/(-?x)<0,則實

數(shù)。的取值范圍是()

6.（24-25高三下?江蘇南京?開學考試）定義在R上的奇函數(shù)/（x）在（0,+8）上單調遞增，且/（1）=0,則不

等式NO的解集為()

4…"?i-(1f7L2+4,

A.(-2,-1]D(2,+OO)B.(-a),-2)u[-l,0)u[l,2)

C.(―2,-1]D｛。｝D(2,+QO)D.(—2,—1]D[O,1]u(2,+oo)

?題型五內外自復合型冤））的零點問題?

x—%〉0

1.已知函數(shù)〃%）=<2'一'則函數(shù)y=/（〃x））的零點個數(shù)為（）

ln（-x）,x<0,

A.1B.2C.3D.4

:+2無；3"；0,則方程〃/（尤））=左的實數(shù)解的個數(shù)至多是（）

2.已知函數(shù)/（x）=,

log2%—2,%>（J

A.5B.6C.7D.8

3.設aeR,函數(shù)〃x）/『"四'若函數(shù)、=/（/（切恰有三個零點，則實數(shù)。的取值范圍為（）

1—X+CLX,X<U,

A.(-2,0)B.(0,1)C.[-1,0)D.(0,2)

兀

2sin—x,0<x<2「]

4.已知函數(shù)〃x）=<2,則方程/'[y（xHu2的根的個數(shù)是（）.

log3(x-2),x>2

A.7B.8C.9D.10

—x-lax,x<01/、//\\/、

5.已知函數(shù)〃x）=.?n(0<"])，函數(shù)g(x)=/(〃x))-〃x)T，則函數(shù)g(x)的零點個

1ILX,X>U2

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

6.若函數(shù)/（力=/_2雙+3,且關于1的方程/（/（x））=3恰有3個不等實數(shù)根，貝巾=.

7.（24-25高三上?重慶?月考）已知函數(shù)〃無）[2〃22）2Vx<8'則函數(shù)>=/（"無））一萬”無）的零點個

數(shù)是.

?題型六內外雙函數(shù)復合型f（g（W）的零點問題?

【技巧通法?提分快招】

對于嵌套型復合函數(shù)y=/[g(x)]的零點個數(shù)問題，求解思路如下：

(1)確定內層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)y=/(?)；

(2)確定外層函數(shù)y=/(〃)的零點M=1,2,3,....ri)；

(3)確定直線1/=1,2,3,....九)與內層函數(shù)〃=g(x)圖象的交點個數(shù)分別為，....，為

則函數(shù)y=/lg(x)]的零點個數(shù)為q+a2+a3....+an.

注意：抓住兩點：(1)轉化換元；(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質.

1.奇函數(shù)和偶函數(shù)g(元)的圖象分別如圖1、圖2所示，方程/[g("]=0和尤)]=0的實根個數(shù)

,、\3X—3),x0/、//、\

2.已知函數(shù)y(x)=I,1，則函數(shù)g(x)=/(〃x)-l)-2的零點個數(shù)為()

x+2x+2,x<0

A.5B.6C.7D.8

H--,X>0

3.已知函數(shù)〃無)=x,gaXd+ar+b,若方程成/(切=0有且僅有5個不相等的解，貝兒-6的

.2忖戶<0

取值范圍是()

A.(-00,-4)B.(-co,-8)C.(0,+oo)D.(4,+oo)

x+1^<0

4.已知函數(shù)〃尤)=[e2，'丁c，g(x)=f-奴+1,若尸g(f(尤))有6個零點，則。的取值范圍為()

x-4x+3,x>0

C.(3,+oo)

5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)為單調函數(shù)，且對任意xeR,恒有/(7(x)-2，=-：，則函數(shù)/(?的零點

是.

_-v-22無尤<0e*%<0

6.已知函數(shù)"X)=<2，一c，g(x)=\；一2則函數(shù)Mx)=g(/(x))-l的零點個數(shù)為____個.

''\x2-4x+3,x>0Jlnx|,x>0

題型七二次型因式分解型研"為]的零點問題

?2+bfM+C?

—x?—2x+3,%K07

1.（2025?貴州畢節(jié)?一模）已知函數(shù)，（力=<MRx>0，則函數(shù)y="(切-5”尤)+6的零點個數(shù)為

)

A.5B.6C.7D.8

x-2.1Y<2

2.（24-25高三上?浙江寧波?期末）已知函數(shù)

[-。-且"D在口上為單調函數(shù).

若方程72（%）-4,（%）|+3=0有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

11

A.B.C.D.

*4；24；2

3

—x+1,尤W0,

2

3.已知函數(shù)=<則方程12[/（尤）了-7/（力+1=0的實數(shù)個數(shù)為（）

—/(x-2),x>0.

、2

A.9B.10C.11D.12

ex+2,x<0

4.（2025?安徽池州?二模）已知函數(shù)〃到=，1，若/2(x)-g+2)〃x)+2a=0有4個互不相同的

%+—,%>0

x

根，則。的取值范圍為（）

A.(2,3)B.(2,3]C.(3,+co)D.[3,+oo)

03

實戰(zhàn)檢溜?分層突破驗成效

?檢測I組重難知識鞏固?

1.(2025?江西?一模)函數(shù)=Jbg?(/_2x)的單調遞增區(qū)間為()

A.B.[1+V2,+00j

C.(2,+00)D.(l+V3,+oo)

"__I/[xsinx

2.（2025?陜西咸陽二模）已知xe/iQ,則函數(shù)y=J的最大值是（）

A.—B.1C.5/2D.2

3.（24-25高三下?江蘇南通?月考）若函數(shù)=11rV}cos2x為奇函數(shù)，則。的值為（）

A.-1B.0C.1D.1

4-2xx<\

5.（2025?河北?模擬預測）已知函數(shù)"x）=j]+iog（；+i）若的值域為[2,+8）,則實數(shù)。的取

值范圍是（）

A.（1,V2]B.（V2,2]C.（1,次]D.（次,2]

6.（24-25高三上?江蘇徐州?月考）設函數(shù)〃%）=2代"）在區(qū)間（0,1）上單調遞增，則。的取值范圍是（）

A.[-2,0）B.（―co,0]C.（0,2]D.[2,+00）

7.已知〃尤）=log3，log35，當xeg,3g]時，7（x）2機log3X恒成立，則加的取值范圍是（）

A.[-6,—]B.[—6,—3+2A/2]

6

C.[-3-272,-3+272]D.（-00,-3+2V2]

8.（24-25高三下?重慶?月考）已知函數(shù)/⑺=《常被稱為雙曲余弦函數(shù)，則函數(shù)〃（x）=2/⑺-

的零點在下列哪個區(qū)間中？（）

A.（-oo,-4）B.(-4,-1)

C.（-1,1）D.(l,+oo)

9.（24-25高三上?江西新余?月考）已知函數(shù)/'（x）=sin4x—COS4X（OVXV2TT）,則關于x的方程：

/（〃》））+（〃》）-1）2=0的實根個數(shù)為：（）.

A.2B.4C.6D.8

|lg（|x|-l）|,|x|>1

10.（2025?湖北十堰?模擬預測）若函數(shù)/（%）=n,，關于x的方程/2（X）_3/（X）+2=0的根的

2sin-x,|x|<l

個數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.10

‘2'+2,

11.已知/（x）=2）,則方程/"（切=2實數(shù)根的個數(shù)是（）

|Zog2（x-l）|,Jc>l

A.5B.6C.7D.8

12.（24-25高三下?山西呂梁?月考）若函數(shù)〃力=丁+加+樂+<?有極值點X1,9,且王<々,〃&）=%,則

關于x的方程3（〃了））2+2血%）+6=0的不同實根個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

13.（24-25高三下?江西?月考）已知函數(shù)/（無）=1+5-3，尤：°，若關于x的方程[〃切2+（a+]"⑺+°=0

I—2+lux,x>0,

恰有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-3,+oo）B.（-oo,5）

C.（F,3）U{4}D.（3,1）（1,3）U{4}

71

1-sin—%,0<x<2

14.（24-25高三上?黑龍江大慶?月考）已知f（x）的定義域為（0,+/）,/（尤）=,則關于X的

—/(x-2),x>2

方程2/2（x）-3/（%）+1=0的實數(shù)根個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

/、/、2sin—x,0<x<l/、II

15."%）為定義在R上的偶函數(shù)，當xNO時，〃尤）=12X,g（x）=l-|2v-l|,若函數(shù)

3-2-x+1-l,x>l

*x）=f（g（尤））-。有4個零點，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-1,0）B.（0,2）C.（-1,2）D.（1,2）

16.（24-25高三上?福建?月考）函數(shù)y=log2024（依2+x+l）的值域為R，則實數(shù)。的取值范圍是

17.（23-24高三上?寧夏石嘴山?月考）函數(shù)/。）=4'-2川-1的值域是.

18.（2025?湖南長沙?一模）已知y=In患萬+4為奇函數(shù)，則實數(shù)。的值是

ax~a,x<a

19.（24-25高三上?四川成都?月考）已知a>0且"1,若函數(shù)/（尤）=?的值域為R,則

loga(x+a)+l,x>a

。的取值范圍是.

3r—1y<f)

20.（2025?安徽六安?模擬預測）己知函數(shù)/（耳=「二’則〃2x)+/(x-3)>0的解集

1—e,x>0,

是.

x+無，尤>0則函數(shù)g（x）=/（x2+2x）_1的零點個數(shù)為.

21.已知函數(shù)〃尤）=

X3+3,X<02

x

22.已知函數(shù)〃尤）=log3（9+l）-x+2,則/（2x）>/（x+l）的解集為.

1—x,x>0,//、、

23.己知〃司=3八則方程『("x))=X的解集是

x,x<0,

24.定義域和值域均為［-兄4（常數(shù)a>0）的函數(shù)y=/（x）和y=g（x）圖象如圖所示，則方程打g（x）］=0

25.已知函數(shù)〃同=|2「1|,g（無）=且方程〃X）=根有兩個不同的解，則實數(shù)加的取

值范圍為，關于彳的方程g［f（x）］=加解的個數(shù)為

-—1，無交Q

26.已知函數(shù)〃x）=<帆（一牘>2則函數(shù)"加力⑼T（x）+產個零點.

27.（24-25高三上?天津南開?月考）已知函數(shù)/口）=卜_2工+a，則以下說法正確的有

①若的定義域為R