專題14.有理數(shù)的運(yùn)算技巧

寫(xiě)密

目錄導(dǎo)航

V___________________________________>

預(yù)習(xí)目標(biāo)......................................................................................1

題型探究......................................................................................2

題型1、湊整法...............................................................................2

題型2、拆項(xiàng)法...............................................................................3

題型3、分組法...............................................................................3

題型4、裂項(xiàng)相消法...........................................................................4

題型5、相互轉(zhuǎn)化法...........................................................................5

題型6、倒數(shù)法...............................................................................6

題型7、錯(cuò)位相減法...........................................................................6

題型8、利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算...................................................................8

題型9、利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算.....................................................................9

基礎(chǔ)通關(guān)......................................................................................25

拓展提優(yōu)......................................................................................32

預(yù)習(xí)目標(biāo)

X____________________________________/

在有理數(shù)的運(yùn)算中，若能根據(jù)題目的特征，采用適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算技巧，不但能化繁為簡(jiǎn)，提高運(yùn)算速度,

提升運(yùn)算的準(zhǔn)確率，而且會(huì)使計(jì)算過(guò)程充滿樂(lè)趣。本專題重點(diǎn)介紹幾種有理數(shù)常用的運(yùn)算技巧。

題型探究

____________

題型1、湊整法

【解題技巧】湊整法是數(shù)學(xué)運(yùn)算中通過(guò)調(diào)整數(shù)字組合使其接近整十、整百等易計(jì)算的數(shù)值，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算

過(guò)程的技巧。

核心思想：通過(guò)拆分、重組或調(diào)整運(yùn)算順序，使復(fù)雜的非整數(shù)值轉(zhuǎn)化為整十、整百等便于計(jì)算的整數(shù)，從

而提升運(yùn)算效率和準(zhǔn)確性。

1.加減法湊整（中學(xué)階段主要運(yùn)用分組湊整）

1）拆補(bǔ)湊整：調(diào)整某個(gè)加數(shù)使其接近整數(shù)，再通過(guò)補(bǔ)數(shù)修正結(jié)果。例：175+299=175+（3001）=474。

2）借數(shù)湊整：通過(guò)借數(shù)調(diào)整被減數(shù)或減數(shù)。例：998+397+506=（998+2）+（397+3）+（5066）=1901。

3）分組湊整：將能組合為整數(shù)的數(shù)分組計(jì)算。例：108063.5836.42=1080（63.58+36,42）=980?

2.乘法湊整

1）分解因數(shù)：利用乘法交換律、結(jié)合律拆分因數(shù)。例：125x25x32=（125x8）x（25x4）=1000x100=。

2）提取公因數(shù)（乘法分配律的逆用）：適用于有相同因數(shù)的相關(guān)運(yùn)算。

例：99878X99+99878x99998x99878=99878x（99+99998）=99878x1000。

例1.（2425七年級(jí)上?河北邢臺(tái)?階段練習(xí)）甲、乙兩人用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程如下所示，下列判斷正

確的是（）

A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確C.只有甲正確D.只有乙正確

例2.（2425七年級(jí)上?遼寧錦州,期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算

變式3.（2024七年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

題型2、拆項(xiàng)法

【解題技巧】拆項(xiàng)法是一種將帶分?jǐn)?shù)或復(fù)雜分?jǐn)?shù)表達(dá)式拆分為整數(shù)和真分?jǐn)?shù)（或更簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)組合）進(jìn)行

計(jì)算的方法。

分組優(yōu)化：利用加法結(jié)合律、乘法分配律等數(shù)學(xué)規(guī)則重組運(yùn)算順序。

上面這種方法叫拆項(xiàng)法.仿照上面的方法，請(qǐng)你計(jì)算：

變式1.（2425七年級(jí)上?廣東深圳?階段練習(xí)）閱讀下面文字:

上面這種方法叫拆項(xiàng)法.

變式2.（2324七年級(jí)上?安徽合肥?期中）閱讀下題的計(jì)算方法

題型3、分組法

【解題技巧】觀察算式，找出算式分布規(guī)律，然后適當(dāng)分組，利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡(jiǎn)化

計(jì)算。

基本運(yùn)算中的分組策略

1）加減法的相鄰分組：針對(duì)連續(xù)加減混合運(yùn)算，優(yōu)先將相鄰的數(shù)按固定規(guī)律分組，簡(jiǎn)化計(jì)算。

示例：計(jì)算10099+9897+...+21

分析:每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)為一組：（10099）+（9897）+…+（21）；每組結(jié)果為1,共50組，總和為50。

2）等差數(shù)列與等比數(shù)列分組：若數(shù)列由不同規(guī)律的分段組成，可拆分為多個(gè)子數(shù)列分別求和。

例1.（2425七年級(jí)?浙江?階段練習(xí)）計(jì)算1+2—3—4+5+6—7—8+…+2021+2022-2023-2024值

為（）

A.0B.-1C.2024D.2024

變式1.（2324七年級(jí)?重慶?期末）1—3—5+7+9—11—13+15+…+2025-2027-2029+2031

題型4、裂項(xiàng)相消法

變式2.（2324七年級(jí)?浙江?階段練習(xí)）計(jì)算：

2026-2023+2020-2017+2014-2011……+16-13+10-7+4-1

【解題技巧】裂項(xiàng)相消法是將分?jǐn)?shù)表達(dá)式拆分為若干項(xiàng)的差值或和差形式，使得相鄰項(xiàng)在求和時(shí)發(fā)生抵消，

從而快速簡(jiǎn)化計(jì)算的策略。

裂項(xiàng)相消法的核心是通過(guò)巧妙的代數(shù)變形，將復(fù)雜求和轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單抵消。掌握常見(jiàn)裂項(xiàng)公式和系數(shù)調(diào)整技

巧，可快速解決分式、數(shù)列求和等問(wèn)題，尤其在競(jìng)賽和考試中能大幅提升效率。

裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：（1）分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是尤（x為任意自

然數(shù)）的，但是只要將尤提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算；（2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，

并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”；（3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題

目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。

例L（2425七年級(jí)上?江蘇泰州?階段練習(xí)）觀察下列等式:

（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：

變式2.（2324七年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）閱讀下列材料:

這種求和方法稱為“裂項(xiàng)相消法”，請(qǐng)你參照此法計(jì)算：

題型5、相互轉(zhuǎn)化法

【解題技巧】相互轉(zhuǎn)化法通過(guò)形式（分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)）統(tǒng)一、結(jié)構(gòu)優(yōu)化和單位整合，大幅提升計(jì)算效

率。重點(diǎn)在于靈活選擇轉(zhuǎn)化路徑，并熟練運(yùn)用運(yùn)算定律（如分配律、結(jié)合律）進(jìn)行簡(jiǎn)化。

例1.（2425七年級(jí)?福建廈門(mén)?階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：

變式1.（2425七年級(jí)上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）計(jì)算（能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算）

題型6、倒數(shù)法

【解題技巧】倒數(shù)法通過(guò)取倒數(shù)或表達(dá)式的倒數(shù)，將復(fù)雜運(yùn)算轉(zhuǎn)化為更易處理的形式。

倒數(shù)法通過(guò)逆向轉(zhuǎn)化運(yùn)算邏輯，顯著提升分?jǐn)?shù)運(yùn)算、方程求解及復(fù)雜問(wèn)題的處理效率。重點(diǎn)在于靈活轉(zhuǎn)化

運(yùn)算形式（如除法一乘法、分母一分子），并結(jié)合分配律、方程變形等技巧綜合應(yīng)用。

例1.（2024七年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）閱讀材料，回答問(wèn)題.

故原式=3.

——1?

6，

解法三：原式的倒數(shù)為

⑴上述三種解法得出的結(jié)果不同，肯定有解法是錯(cuò)誤的，你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的（填序號(hào)）

⑴請(qǐng)比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？

⑴前后兩部分之間存在著什么關(guān)系？（2）先計(jì)算哪部分比較簡(jiǎn)單?請(qǐng)給予解答；

⑶利用（1）中的關(guān)系，直接寫(xiě)出另一部分的結(jié)果；⑷根據(jù)上述分析，求出原式的結(jié)果.

題型7、錯(cuò)位相減法

【解題技巧】錯(cuò)位相減法通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列的和式與其公比倍數(shù)的錯(cuò)位式，利用中間項(xiàng)相消的特性簡(jiǎn)化求

和過(guò)程，最終導(dǎo)出等比數(shù)列前W項(xiàng)和的表達(dá)式。

通過(guò)錯(cuò)位相減法，可直觀理解等比數(shù)列求和的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并確保公式推導(dǎo)的邏輯嚴(yán)密性。實(shí)際應(yīng)用中，直

接套用閉合公式可高效解題，但推導(dǎo)過(guò)程需熟練掌握。

例L（2025?安徽?一模）【閱讀材料】數(shù)列是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)課題，我國(guó)對(duì)數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)很早，例如《易

傳?系辭》："河出圖，洛出書(shū)，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦這是世界數(shù)學(xué)史上有關(guān)等比數(shù)列的最

早文字記載.

【問(wèn)題提出】求等比數(shù)列1+d+〃+爐+…+a”的值（°>0,且存1,〃是正整數(shù),請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）.

【等比數(shù)列】按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).排在第一位

的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為由，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為。2,依此類推，排在第"位的數(shù)稱為第"項(xiàng)，

記為斯.所以，數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成：ai,02,03,...,an,....

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)

列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用4表示.如：數(shù)列1,2,4,8,…為等比數(shù)列，其中幻=1,

宵=2,公比為q=2.根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：

⑴等比數(shù)列3,9,27,...的公比q為,第5項(xiàng)是.

a,

【公式推導(dǎo)】如果一個(gè)數(shù)列⑷，④，田，…，an...,是等比數(shù)列，且公比為q,那么根據(jù)定義可得到：；=q,

a3“4r-r-.u223

--q,—=q,=q.所以a3-a2,q=aiq?q=ai*qz,a4-a3*q=ai*ql=ai*q5,...

（2）由此，請(qǐng)你填空完成等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：所=幻?（）.

【拓廣探究】等比數(shù)列求和公式并不復(fù)雜，但是其推導(dǎo)過(guò)程一一錯(cuò)位相減法，構(gòu)思精巧、形式奇特.歐幾里

得在《幾何原本》中就給出了等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式，而錯(cuò)位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數(shù)學(xué)基

礎(chǔ)》中給出，時(shí)間相差兩千多年.下面是小明為了計(jì)算1+2+22+...+22。19+22。2。的值，采用的方法：

設(shè)S=l+2+22+...+22°i9+2202。①，則2s=2+22+...+22°2。+22。21②，

②①得2ss=5=22°2叮，0S=l+2+22+...+22O19+22O2O=22O21l.

【解決問(wèn)題】⑶請(qǐng)仿照小明的方法求等比數(shù)列1+〃+次+涼+...+#，的值（°>0,且?1,〃是正整數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)

算過(guò)程）.

【拓展應(yīng)用】⑷計(jì)算25+252+253+...+25〃的值為.（直接寫(xiě)出結(jié)果）

通過(guò)閱讀，你一定學(xué)到了一種解決問(wèn)題的方法.

【新方法生成】將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成若干個(gè)部分，請(qǐng)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問(wèn)題:

變式2.（2425七年級(jí)上?廣東深圳?期中）《莊子?天下》："一尺之槐，日取其半，萬(wàn)世不竭.”意思是說(shuō)：一

尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完.我國(guó)智慧的古代人在兩千多年前就有了數(shù)學(xué)極限思想，探究

課上，同學(xué)們運(yùn)用此數(shù)學(xué)思想研究下列問(wèn)題.

“聰慧組”的同學(xué)將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成若干個(gè)部分，并用數(shù)形結(jié)合的思想解決下列問(wèn)題

⑴請(qǐng)按照“聰慧組"同學(xué)的思路填空

（2）為了證明“聰慧組”同學(xué)得到的結(jié)論，"明辨組”的同學(xué)采用了以下方法進(jìn)行證明，請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

通過(guò)閱讀，你一定學(xué)到了多種解決問(wèn)題的方法.

題型8、利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)算

運(yùn)算律法：變運(yùn)用運(yùn)算律改變運(yùn)算順序；通過(guò)改變運(yùn)算順序，簡(jiǎn)化計(jì)算步驟。逆正難則反，逆用運(yùn)算律改

變次序：通過(guò)逆用運(yùn)算律，解決復(fù)雜問(wèn)題。

例1.（2425七年級(jí)上,北京朝陽(yáng),階段練習(xí)）計(jì)算（能用簡(jiǎn)便方法的用簡(jiǎn)便方法）

題型9、利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)算

【解題技巧】利用圖形進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法，通常被稱為圖形法或幾何法。這種方法通過(guò)將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為圖形問(wèn)題，利用圖形的直觀性和幾何性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。需要注意的是，雖然圖形法可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)

程并提高解題效率，但在使用時(shí)應(yīng)確保圖形的準(zhǔn)確性和規(guī)范性。止匕外，對(duì)于一些特殊問(wèn)題或復(fù)雜情況，可

能需要結(jié)合其他數(shù)學(xué)方法或工具來(lái)共同求解。

基礎(chǔ)通關(guān)

1.（2324七年級(jí)?山西太原?階段練習(xí)）計(jì)算1+2—3-4+5+6-7-8+…+2017+2018—2019-2020

值為（）

A.0B.-1C.2020D.2020

上面這種方法叫拆項(xiàng)法.

5.（2425七年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

11.（2324七年級(jí)上?浙江金華?階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

12.（2024七年級(jí)上?廣東?專題練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:

拓展提優(yōu)

4.（2425?遼寧?七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算題。

6.（2425七年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）（1）請(qǐng)你觀察:

以上方法稱為“裂項(xiàng)相消求和法"

（2）.閱讀下面文字：

上面這種方法叫拆項(xiàng)法；

7.（2425?湖北七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：

8.（2425?遼寧?七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算題。

9.（2425七年級(jí)上,江蘇揚(yáng)州?期中）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”.因

此我們解決有關(guān)"數(shù)"的問(wèn)題時(shí)，可以借助"形"，讓問(wèn)題變的直觀.

【教材回顧】選自新版蘇科版教材第106頁(yè)

(1)根據(jù)情境中的等量關(guān)系列出一個(gè)等式：如圖1,一張正方形紙片被分割成四個(gè)部分.

【習(xí)題拓展】選自配套教輔《學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)》第38頁(yè)

(2)如圖2,將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片分割成7