2025年北京高考數(shù)學試題及答案本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．集合M{2x1N2,3}，則MN（）A．B．C．D．2．已知復數(shù)z滿足iz2，則|z（）A．2B．22C．4D．83．雙曲線x24y24的離心率為（）A．3B．C．D．5522454．為得到函數(shù)y9x的圖象，只需把函數(shù)y3x的圖象上的所有點（）1A．橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變B．橫坐標變成原來的2倍，縱坐標不變21C．縱坐標變成原來的倍，橫坐標不變D．縱坐標變成原來的3倍，橫坐標不變35．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（）a12aaa3,4,6an10A．20B．18C．16D．186．已知ab0，則（）A．a(chǎn)2b22abB．111ababC．a(chǎn)babD．112abab7．已知函數(shù)f(x)的定義域為D，則“函數(shù)f(x)的值域為R”是“對任意MR，存在xDfxM，使得”的（）00A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件π8．設函數(shù)f(x)x)x0)，若f(xπ)f(x)恒成立，且f(x)在上存4在零點，則的最小值為（）A．8B．6C．4D．39．在一定條件下，某人工智能大語言模型訓練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要時間Tklog2Nk為常數(shù)．在此條件下，已知訓練數(shù)據(jù)量N從106個單位增加到1.0241091.024109個單位時，訓練時間增加20小時；當訓練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到4.096109）A．2B．4C．20D．4010．已知平面直角坐標系xOy中，|OA|OB2，|AB2，設C4)，則|CAAB|的取值范圍是（）A．[6,14]B．[6,12]C．D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．拋物線y22px(p0)的頂點到焦點的距離為3，則p．2x)4a2ax4ax28ax316ax4aaaaa

12．已知，則；0123401234．13．已知,[0,2π]，且))，))，寫出滿足條件的一組，．14．某科技興趣小組通過3D打印機的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個平行多邊形，平面ARF平面ABC，平面TCD平面ABC，AB，AB∥RS∥EF∥CDAF∥ST∥BC∥ED，，若ABBCAFCDARRFTCTD52，則該多面體的體積為．15．關于定義域為R的函數(shù)f(x)，以下說法正確的有．①存在在R上單調遞增的函數(shù)f(x)使得f(x)f(2x)x恒成立；②存在在R上單調遞減的函數(shù)f(x)使得f(x)f(2x)x恒成立；③使得f(x)f(x)cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無窮多個；④使得f(x)f(x)cosx恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無窮多個．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.116．在VABC中，．cosA,asinC423(1)求c；(2)在以下三個條件中選擇一個作為已知，使得VABC存在，求BC的高．①a6；②sin102；③面積為．

bCVABC102317．四棱錐PABCD中，AACD與VABC為等腰直角三角形，ADC90，BAC90，E為BC的中點．(1)F為PD的中點，G為PE的中點，證明：//面PAB；(2)若PA面ABCD，PAAC，求AB與面PCD所成角的正弦值．18．有一道選擇題考查了一個知識點，甲、乙兩校各隨機抽取100人，甲校有80人答對，乙校有75人答對，用頻率估計概率．(1)從甲校隨機抽取1人，求這個人做對該題目的概率．(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人，設X為做對的人數(shù)，求恰有1人做對的概率以及X的數(shù)學期望．(3)若甲校同學掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，乙校同學掌握這個知識點則有85%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，設甲校學生掌握該知識點的概率為1，乙校學生掌握該知識點的概率為p2，試比較1與p2的大?。ńY論不要求證明）xy22219．已知E的離心率為，橢圓上的點到兩焦點距離之和為4，:1ab222(1)求橢圓方程；(2)設O為原點，Mxyx為橢圓上一點，直線與直線，xxyyy20,00002040S|OA|y2OAMOBM1,2SS1交于A，B．與的面積為，比較與的大小．S|OB|2x)20．函數(shù)f(x)的定義域為ffx，l為(,f(aa處的切((0)()1x1線．(1)f(x)的最大值；(2)1a0，除點A外，曲線yf(x)均在上方；l12axx(3)若a0時，直線過A且與垂直，，分別于x軸的交點為與，求llllxx12211221xx21的取值范圍．21．A2,3,4,5,7,8,Mx,y∣x,y，從M中選出n個有序數(shù)對構成一iiiixx3xx4列：xyxy．相鄰兩項滿足：或，稱,,,i1ii1i1,1,,n,nxyxyiii1i1yy4yy3i1ii1i為k列．(1)若k列的第一項為，求第二項．(2)若為k列，且滿足i為奇數(shù)時，x7,8}：i為偶數(shù)時，x4,5,；判斷：ii2)(4,4)與能否同時在中，并說明；(3)證明：M中所有元素都不構成k列．1．D【分析】先求出集合M，再根據(jù)集合的交集運算即可解出.【詳解】因為Mx|2x1x|x，所以MN，故選：D.2．B【分析】先求出復數(shù)z，再根據(jù)復數(shù)模的公式即可求出．2【詳解】由iz2可得，2，所以z222222，zi故選：B.3．B【分析】先將雙曲線方程化成標準方程，求出a,b,c，即可求出離心率．x2【詳解】由x24y24得，y21，所以a2b2c2a2b25，4即ac5，所以5，cea2故選：B．4．A【分析】由y9x32x，根據(jù)平移法則即可解出．【詳解】因為y9x32x，所以將函數(shù)y3x的圖象上所有點的橫坐標變成原來的1倍，2縱坐標不變，即可得到函數(shù)y9x的圖象，故選：A.5．C【分析】由等比中項的性質結合等差數(shù)列的基本量運算即可求解.【詳解】設等差數(shù)列a的公差為d,d0，n因為3,a4,6成等比數(shù)列，且12，aaa22d2d0所以，即2d22d25d，解得或436所以1019d29216.故選：C.6．C【分析】由基本不等式結合特例即可判斷.【詳解】對于A,當ab時，a2b22ab，故A錯誤；1111112468對于BD，取，此時11，a,babab2424112224642ab11ab24，故BD錯誤；對于C，由基本不等式可得ab2abab，故C正確.故選：C.7．A【分析】由函數(shù)值域的概念結合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)f(x)的值域為R，則對任意MR，一定存在1D，使得f1M1，取01，則，充分性成立；f0M1MxDfxM取f(x)2x，DR，則對任意MR，一定存在，使得11，1取01，則fxMM，但此時函數(shù)f(x)的值域為，必要性不成立；01所以“函數(shù)f(x)的值域為R”是“對任意MR，存在0D，使得”的充分fxM0不必要條件.故選：A.8．C【分析】由輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點即可求解.πf(x)x)x)2x0)【詳解】函數(shù)，4設函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由f(xπ)f(x)可得π,kN，2ππ所以，即2k,kN；

T,kNkπππππx又函數(shù)f(x)在上存在零點，且當時，，x,444444π3所以π，即；44綜上，的最小值為4.故選：C.9．B【分析】由題給條件列出不同訓練數(shù)據(jù)量時所需的時間，結合對數(shù)的運算性質即可求解.【詳解】設當N取106個單位、1.024109個單位、4.096109個單位時所需時間分別為TTT1,2,3,1klog2106klog2106由題意，，Tk9k106k2log21.02410log2210106210，Tkkk3log24.09610log2210126log2109126，因為21k1062106klog21010k20，所以k2，所以TTkkk，32126log210106log21024所以當訓練數(shù)據(jù)量N從1.024109個單位增加到4.096109個單位時，訓練時間增加4小時.故選：B.10．D【分析】先根據(jù)ABOBOA，求出,OB，進而可以用向量,OB表示出CAAB，即可解出．【詳解】因為|OA|OB2，|AB2，π,OB由ABOBOA平方可得，0，所以．2CAAB2OAOCOBOAOAOBOCOC2425，，所以，CAABOAOBOC4OAOBOC2222224254OAOBOC1044OAOBOC，10OAOBOC10

又OAOBOCOAOBOC52210，即，CAAB8,122所以，即，CAAB64,144故選：D.11．6【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質可求p的值.pp【詳解】因為拋物線的頂點到焦距的距離為，故=3，故p=6，22故答案為：6.12．1【分析】利用賦值法可求0，利用換元法結合賦值法可求1a23a4的值.【詳解】令x0，則，a01又，12xa2ax4ax8ax16ax4234

01234故，12xaa2xa2xa2xa2x4234

01234令t2x，則1taatatatat，4234

01234令t1，則aaaaa4，故aaaa012342123415故答案為：.ππ13．（答案不唯一）（答案不唯一）26【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關系可得角的等量關系，從而可得滿足條件的一組解.【詳解】因為sinsin，coscos，所以,的終邊關于y軸，且不與y軸重合，故π2π,kZ且ππ,Z，

ll2π即π,kZ，2ππ,故取可滿足題設要求；26ππ故答案為：，（答案不唯一）2614．【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱ARFBHT和四棱錐BHTSE后結合體積公式可求幾何體的體積.【詳解】先證明一個結論：如果平面平面，平面平面，平面l，則l.證明：設a，b，在平面取一點O，Oa,Ob，在平面內過O作直線m，使得ma，作直線n，使得nb，因為平面平面，m，故m，而l，故ml，同理nl，而mnO,m,n，故l.下面回歸問題.連接BE，因為ABBC且AF//，故AFAB，同理BCCD，EFED，而ABBCAFCD4，故直角梯形與直角梯形CBED全等，故BEFBED45，在直角梯形中，過B作，垂足為T，則四邊形ABTF為矩形，且ABTE為以BTE為直角的等腰直角三角形，故EFFTTEABBTABAF12，平面RAF平面，平面RAF平面ABEFAF，AFAB,平面，故AB平面RAF，取的中點為M，的中點為U，CD的中點為V，連接RM,MU,SU,UV，則//RS，同理可證RM平面，而RM平面，故平面平面，同理平面VUS平面，而平面RMUS平面VUSSU，故SU平面，1故RM//SU，故四邊形為平行四邊形，故MURS81210.2在平面ABHR中過B作BH//AR，交于H，連接.則四邊形ABHR為平行四邊形，且RH//AB,RH=AB，故RH//FT,RH=FT，故四邊形RFTH為平行四邊形，而BHAB,BTAB,BTBHB,BT,BH平面，故AB平面，故平面ARF//平面，而ARBH,RFHT,AFBT，故△ARF△BHT，故幾何體ARFBHT為直棱柱，2S15V8324而443，故,ARFBHTAARF22因為AB//EF，故平面ARF，而平面，故平面ARF平面，在平面ARF中過A作AGRF，垂足為G，同理可證AG平面，1AGRF1211215AGV而3，故，故246，BHTES253522由對稱性可得幾何體的體積為224660，故答案為：.15．②③【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構造函數(shù)并驗證后可判斷②③的正誤.【詳解】對于①，若存在R上的增函數(shù)fx，滿足fxf2xx，則f0f200即f00，故x0時，f4xf2xfx0，故f(4x)f(2x)f(x)f(2x)，故2xx即x0，矛盾，故①錯誤；1對于②，取fxx，該函數(shù)為R上的減函數(shù)且fxf2xx，3故該函數(shù)符合，故②正確；1對于③，取，fxcosxmx,mR2此時fxfxcosx，由mR可得fx有無窮多個，故③正確；對于④，若存在fx，使得fxfxcosx，令x0，則0cos0，但cos01，矛盾，故滿足fxfxcosx的函數(shù)不存在，故④錯誤.故答案為：②③16．(1)6(2)答案見解析1）由平方關系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得,C都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關系求得，sinB,cosBADcsinBABC，進一步由求得高，并說明此時三角形存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得b，再根據(jù)余弦定理可求得a，由此可說明三角形ABC存在，且可由等面積法求解AD.12221）因為，所以，cosA,AπsinA1cosA33由正弦定理有sinsin2242，解得；

aCcAcc63（2）如圖所示，若VABC存在，則設其邊上的高為AD，1若選①，a6，因為c6，所以CA，因為cosA0，這表明此時三角形ABC有3兩個鈍角，而這是不可能的，所以此時三角形ABC不存在，故邊上的高也不存在；若選②，bsinC102，由正弦定理有bsinCcsinB6sinB102，解得sin52B339，5031此時cos1，ADcB，Bsin65210281993而cosDABsinB,sinDABcosB，cosA1，sin22，

A33所以cosCADcosCABBAD，可以唯一確定，

sinCAD1cos2CAD所以此時,CD也可以唯一確定，這表明此時三角形ABC是存在的，且邊上的高102；

AD31122若選③，VABC的面積是102，則SbcsinAb6102，AABC223解得b5，由余弦定理可得222cos253625619可以唯一確

3abcbcA定，進一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一確定，即B,C可以唯一確定，19這表明此時三角形ABC是存在的，且邊上的高滿足：SaADAD102，AABC22即202.

AD917．(1)證明過程見解析(2)331）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，只需證明FG∥MN即可；（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.1）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，AVABCADC90，BAC90ACD與為等腰直角三角形不妨設ADCDACAB221BC4E、F分別為BC、PD的中點，F(xiàn)NADBE2，2GM1，DAC45,ACB45AD∥BC，F(xiàn)N∥GM，∴四邊形FGMN為平行四邊形，F(xiàn)G∥MN，F(xiàn)GMNFG∥

面PAB，面PAB，面PAB；（2面ABCD以A為原點，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設ADCD2，則(0,0),B(0,22,0),C(22,0)D(2,2,0),P(0,22)AB(0,22,0),DC(2,2,0),CP(22,0,22)設面PCD的一個法向量為n(x,y,z)DCn02x2y0,CPnxz022220取xyzn設AB與面PCD成的角為

ABn|0122(01|223sin|cosAB,n|則|ABn|221(12233222即AB與平面PCD成角的正弦值為3.318．(1)45(2)0.35，EX1.55(3)121）用頻率估計概率后可得從甲校隨機抽取1人做對該題目的概率；（2）利用獨立事件可求恰有1人做對的概率及X的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設可得關于1,p2的方程，求出其解后可得它們的大小關系.8041）用頻率估計概率，從甲校隨機抽取1人，做對題目的概率為.1005（2）設A為“從甲校抽取1人做對，則PA0.8，則PA0.2，設B為“從乙校抽取1人做對，則PB0.75，則PA0.25，設C為“恰有1人做對，故PCPABPABPAPBPAPB0.35，而X可取2，PX0PAB0.05PX0.35PX20.80.750.6，，，故X的分布列如下表：X012P0.050.350.6故EX10.3520.61.55.（3）設D為“甲校掌握該知識的學生，因為甲校掌握這個知識點則有100%的概率做對該題目，未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個，1111故即p1p0.8，故，PD1P(D)0.8p111441515同理有，故，0.85p1p0.75p22246故12.19．(1)xy22142(2)SOA1SOB21）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出,c，再根據(jù)a,b,c的關系求出b，即可得到橢圓方程；OASAM1（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點,B坐標，即可求出，再根據(jù)，即可得出OBSBM2它們的大小關系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關系得到AOMBOM，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.1）由橢圓可知，2a4，所以a2，又c2，所以，ec2a2b2a2c22，xy22故橢圓方程為1；42240xxyy20042yy（2）聯(lián)立，消去得，2y4，22x02xy1x042整理得，①，2x4yy16yy164x022220000xy222x24y28164x28y2又001，所以，，000042故①式可化簡為8y216yy8y20，即00，所以yy，yy2000所以直線0x2y0y40與橢圓相切，M為切點.SOA設，易知，當時，由對稱性可知，．xx1

A1,1,B2,y212

2SOBSAMxxxx故設201，易知，11010SBMxxxx220020x2y0y4044yx0y,2聯(lián)立，解得，11y2x00x2y0y4044yx0y,2聯(lián)立，解得，22y2x0所以44y0xSxxx44yx02110000Sxxxxy44y2442020000x02y4y2y200022y4y2y000，244y4022222OAx414142y4y42yyxyy00000000OByyxyyyyy22222244241414244000040000x0，SOA1故．SOB2SOA法二：不妨設，易知，當時，由對稱性可知，．xx1AxyBxy1,1,2,212

2SOB故設201，02040xxyy44yx0y聯(lián)立，解得，,211y2x002040xxyy44yx0,y2聯(lián)立，解得，22y2x012xxy2xxyk00k200k0則，，,OAx44y22yx44y22yxOBOM1002000xy22又，所以02y04，0012242tan所以xy00kk22yxAOMOAOM0011kkxy00OAOM22yx00xyyy22224220000xy2xy2x00000，yx00kkxyxyyy222242222tanBOMOMOB0000001kkyxxy2xy2xOMOB00000100x22y00，則tanAOMtanBOM，即AOMBOM，SsinOAOMAOMOA1所以.SOBOMsinBOMOB220．(1)1e(2)證明見解析e12(3)[e121）利用導數(shù)判斷其單調性，即可求出最大值；（2）求出直線1的方程，再構造函數(shù)hx，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；2axx（3）求出直線l2的方程，即可由題意得到1,x2的表示，從而用字母a表示出，12xx21從而求出范圍.1

1x1x11x

1）設gxfx，，1xgx221x1x由gx0可得xe1，當x1,e時，gx0，gx單調遞增，當xe時，gx0，gx單調遞減，所以fx的最大值為e1.

fe（2）因為1，所以直線l的方程為1a，即afayfaxa11a1a1ayxafa，1a設1，，a11xahxfxxafahxfxfa1a1x1a由（1）可知，fx在x1,e上單調遞增，而1a0，所以，當1xa時，hx0，hx單調遞減，當0xa時，hx0，hx單調遞增，且faf00，而當x0時，10，所以總有，單調遞增fxxfxfahx1x故hxha，從而命題得證；（3）由1可設，又，所以，即fxx1x2fxCf00C01x21x2fx，2因為直線1的方程為，易知，1aln21aa0yxa1a21a12a所以直線l2的方程為,yxa1a2xa11a1a213axa，.2a21所以1a1aln31aaaa222axx2211112xxaa11111322aaa2121a21a2111222aga11a1ga1ga22211a21,由（1）知,當x0時，gx(0,]，所以e1ga(0,]2,e22axxe1212[所以.xxe122121．(1)7或7,6(2)不能，理由見解析(3)證明過程見解析1）根據(jù)新定義即可得解；（2）假設2)與(4,4)能同時在中，導出矛盾，從而得出2)與(4,4)不能同時在中的結論；（3）假設全體元素構成一個k列，通過構造導出矛盾，從而得到要證明的結論.xx3xx4i1ii1i1）根據(jù)題目定義可知，或，

yy4yy3i1ii1i若第一項為3，顯然x或1不符合題意（不在集合A7或207,6；（2）假設二者同時出現(xiàn)在中，由于k列取反序后仍是k列，故可以不妨設2在4之前.顯然，在k列中，相鄰兩項的橫縱坐標之和的奇偶性總是相反的，所以從2到4必定要向下一