重難專攻（四）函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角式及絕對(duì)值

式等結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）問(wèn)題的一般思路：（1）

可轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)的圖象與

x

軸（或直線

y

＝

k

）在該區(qū)間

上的交點(diǎn)問(wèn)題；（2）證明有幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，確定函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的極值（最

值）、端點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，再利用函數(shù)零

點(diǎn)存在定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明

f

（

a

）·

f

（

b

）＜0.

【例1】

（1）

已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

e

x

＋e

x

，討論函數(shù)

g

（

x

）＝

f

（

x

）－

a

（

a

∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點(diǎn)解：函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)镽，且f'（

x

）＝（

x

＋2）e

x

，所以當(dāng)

x

∈（－∞，－2）時(shí)，f'（

x

）＜0，

f

（

x

）在（－∞，

－2）上單調(diào)遞減，當(dāng)

x

∈（－2，＋∞）時(shí)，f'（

x

）＞0，

f

（

x

）在（－2，＋∞）

上單調(diào)遞增，

令

f

（

x

）＝0，得

x

＝－1，當(dāng)

x

＜－1時(shí)，

f

（

x

）＜0；

函數(shù)

g

（

x

）＝

f

（

x

）－

a

（

a

∈R）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

y

＝

f

（

x

）的圖象與直線

y

＝

a

的交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)

x

→＋∞時(shí)，

f

（

x

）→＋∞，f'（

x

）→＋∞，根據(jù)以上信

息，畫(huà)出

f

（

x

）大致圖象如圖所示.

（2）已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

－

a

（

x

＋2），若

f

（

x

）有兩個(gè)零點(diǎn)，求

a

的取值范圍.

當(dāng)

x

∈（－∞，－1）時(shí)，φ'（

x

）＞0；當(dāng)

x

∈（－1，＋∞）時(shí)，φ'（

x

）＜0，所以φ（

x

）在（－∞，－1）上單調(diào)遞增，在（－1，＋∞）上

單調(diào)遞減，又φ（

x

）max＝φ（－1）＝e，且

x

→－∞時(shí)，φ（

x

）→－∞；

x

→＋∞時(shí)，φ（

x

）→0，作出φ（

x

）的大致圖象如圖，

解題技法

含參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，若能分離參

數(shù)，可將參數(shù)分離出來(lái)后，用自變量

x

表示不含參數(shù)的函數(shù)，作出該

函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)范圍.

若函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

（

x

2－2

x

＋1－

a

）－

x

恒有2個(gè)零點(diǎn)，求

a

的取

值范圍.

所以

g

（

x

）在（－∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞

減，

作出函數(shù)

y

＝

x

2－2

x

＋1－

a

＝（

x

－1）2－

a

與

y

＝

g

（

x

）的圖象，如圖所示，

函數(shù)性質(zhì)法研究函數(shù)的零點(diǎn)

（2）已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

－

ax

＋e2.若

f

（

x

）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求

a

的取值范圍.解：因?yàn)閒'（

x

）＝e

x

－

a

，當(dāng)

a

≤0時(shí)，有f'（

x

）＞0，

f

（

x

）在R上是增函數(shù)，此時(shí)

f

（

x

）無(wú)兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)

a

＞0時(shí)，

x

＜lna

，f'（

x

）＜0，

f

（

x

）單調(diào)遞減；

x

＞lna

，f'

（

x

）＞0，

f

（

x

）單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)

x

→－∞時(shí)，

f

（

x

）→＋∞；當(dāng)

x

→＋∞時(shí)，

f

（

x

）→＋∞，所以要使函數(shù)

f

（

x

）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，只需

f

（

x

）min＝

f

（lna

）＜0，即

a

－

a

lna

＋e2＜0，不妨設(shè)

h

（

a

）＝

a

－

a

lna

＋e2，函數(shù)定義域?yàn)椋?，＋∞），可得h'（

a

）＝1－lna

－1＝－lna

，當(dāng)0＜

a

＜1時(shí)，h'（

a

）＞0，

h

（

a

）單調(diào)遞增；當(dāng)

a

＞1時(shí)，h'（

a

）＜0，

h

（

a

）單調(diào)遞減，且當(dāng)0＜

a

＜1時(shí)，

h

（

a

）＝

a

（1－lna

）＋e2＞0，又

h

（e2）＝0，所以當(dāng)

a

＞e2時(shí)，

h

（

a

）＜0，綜上，

a

的取值范圍為（e2，＋∞）.解題技法

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

性、最值或極值的符號(hào)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此類問(wèn)題在求解過(guò)程中

可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點(diǎn)的條件.

已知函數(shù)

h

（

x

）＝

x

2＋4－4（

x

sin

x

＋cos

x

），試證明

h

（

x

）在

R上有且僅有三個(gè)零點(diǎn).證明：

h

（

x

）＝

x

2＋4－4

x

sin

x

－4cos

x

，∵

h

（－

x

）＝

x

2＋4－4

x

sin

x

－4cos

x

＝

h

（

x

），∴

h

（

x

）為偶函數(shù).又∵

h

（0）＝0，∴

x

＝0為函數(shù)

h

（

x

）的零點(diǎn).下面討論

h

（

x

）在（0，＋∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)

解題技法

涉及函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題，主要利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以

及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍.

已知

f

（

x

）＝

ax

2（

a

∈R），

g

（

x

）＝2lnx

.（1）討論函數(shù)

F

（

x

）＝

f

（

x

）－

g

（

x

）的單調(diào)性；

課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.已知函數(shù)

g

（

x

）＝e

x

（

x

－2）－

m

有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

m

的取值

范圍.解：函數(shù)

g

（

x

）＝e

x

（

x

－2）－

m

有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)

u

（

x

）＝e

x

（

x

－2）的圖象與直線

y

＝

m

有兩個(gè)交點(diǎn)，u'（

x

）＝e

x

·（

x

－2）＋e

x

＝e

x

（

x

－1），當(dāng)

x

∈（－∞，1）時(shí)，u'（

x

）＜0，∴

u

（

x

）在（－∞，1）上單

調(diào)遞減；123456當(dāng)

x

∈（1，＋∞）時(shí)，u'（

x

）＞0，∴

u

（

x

）在（1，＋∞）上單

調(diào)遞增，∴當(dāng)

x

＝1時(shí)，

u

（

x

）取得最小值

u

（1）＝－e.又當(dāng)

x

→＋∞時(shí)，

u

（

x

）→＋∞，當(dāng)

x

＜2時(shí)，

u

（

x

）＜0，∴－e＜

m

＜0，∴實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為（－e，0）.1234562.已知函數(shù)

f

（

x

）＝ln

x

－

a

e

x

＋1（

a

∈R），討論函數(shù)

f

（

x

）的零

點(diǎn)個(gè)數(shù).

123456所以

h

（

x

）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，而

h

（1）＝0，故當(dāng)

x

∈（0，1）時(shí)，

h

（

x

）＞0，即g'（

x

）＞0，

g

（

x

）單

調(diào)遞增；當(dāng)

x

∈（1，＋∞）時(shí)，

h

（

x

）＜0，即g'（

x

）＜0，

g

（

x

）單調(diào)

遞減.

123456

1234563.已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

－（

k

＋1）ln

x

＋2sinα.（1）若函數(shù)

f

（

x

）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)

k

的取

值范圍；123456

123456（2）當(dāng)

k

＝0時(shí)，證明：函數(shù)

f

（

x

）無(wú)零點(diǎn).

123456

123456

解：因?yàn)閒'（

x

）＝

x

2＋3

x

＋2＝（

x

＋1）（

x

＋2），令f'（

x

）＝0，得

x

1＝－1，

x

2＝－2，當(dāng)

x

變化時(shí)，f'（

x

），

f

（

x

）的變化如表所示：

x

（－∞，－2）－2（－2，－1）－1（－1，＋∞）f'（

x

）＋0－0＋

f

（

x

）↗極大值↘極小值↗123456

123456（2）令

g

（

x

）＝f'（

x

）＋

k

e

x

－1，若

y

＝

g

（

x

）的函數(shù)圖象與

x

軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

k

的取值范圍.

123456

123456

1234565.（2024·蘇州一模）已知函數(shù)

f

（

x

）＝（2－

a

）（

x

－1）－2ln

x

（

a

∈R）.（1）當(dāng)

a

＝1時(shí)，求

f

（

x

）的單調(diào)區(qū)間；

123456