第頁第03講用空間向量研究距離、夾角問題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值②會用向量法求點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.1、能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具進(jìn)行空間中的距離與夾角（三角函數(shù)值）的求解.2、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升平面向量、空間向量的知識相結(jié)合的綜合能力，準(zhǔn)確將平面向量、空間向量的概念，定理等內(nèi)容與平面幾何、空間立體幾何有機(jī)的隔合在一起，提升解決問題的能力，將形與數(shù)，數(shù)與量有機(jī)的結(jié)合起來，為提升數(shù)學(xué)能力奠定基礎(chǔ).知識點(diǎn)01：點(diǎn)到線面距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點(diǎn)，是直線外一點(diǎn).設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：2、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點(diǎn)，是平面外一點(diǎn).過點(diǎn)作平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則是直線的方向向量，且點(diǎn)到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.【即學(xué)即練1】如圖，在圓錐中，是底面圓的直徑，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A．B．C．D．知識點(diǎn)02：用向量法求空間角1、用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則①②.【即學(xué)即練2】如圖，在正方體中，為體對角線上一點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A．B．C．D．2、用向量運(yùn)算求直線與平面所成角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有①②.（注意此公式中最后的形式是：）【即學(xué)即練3】如圖，在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為______．3、用向量運(yùn)算求平面與平面的夾角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則∠AEB為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分別為面，的法向量①②根據(jù)圖形判斷二面角為銳二面角還是頓二面角；若二面角為銳二面角（取正），則；若二面角為頓二面角（取負(fù)），則；題型01利用空間向量求點(diǎn)線距【典例1】如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)到直線的距離為（

）A．B．C．D．【變式1】如圖，已知正方體的棱長為1，為正方形的中心，若為平面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，則到直線的距離的最小值為（

）A．B．C．D．題型02利用空間向量求點(diǎn)面距【典例1】如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，是的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）

A．B．C．D．【例2】在直角梯形中，，為中點(diǎn)，如圖（1）．把沿翻折，使得平面平面，如圖（2）．(1)求證：；(2)若為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．【變式1】在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)，，點(diǎn)為上一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．B．C．1D．題型03轉(zhuǎn)化與化歸思想在求空間距離中的應(yīng)用【典例1】如圖，在長方體中，，，??分別是??的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為___________.【例2】如圖，在三棱錐中，底面，，點(diǎn)、分別為棱，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求直線到平面的距離.【變式1】在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為______．題型04利用向量方法求兩異面直線所成角（定值）【例1】已知正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則直線和所成角的余弦值為（

）

A．B．C．D．【變式1】在正四棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．題型05利用向量方法求兩異面直線所成角（最值或范圍）【例1】三棱錐中，兩兩垂直且相等，點(diǎn)分別是線段和上移動，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是（

）A．B．C．D．【變式1】在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，為線段EF上的一動點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是（

）A．B．C．D．題型07利用向量方法求直線與平面所成角【典例1】在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A．B．C．D．【例2】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【變式1】如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若，求直線與面所成角的正弦值．第03講用空間向量研究距離、夾角問題課后練習(xí)一、單選題1．在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．2．已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為（

）A．10B．3C．D．3．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面所成的二面角的正弦值為（

）A．B．C．D．4．如圖在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，P是底面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，若直線平面平行，則線段的最小值為（

）A．B．1C．D．5．在四棱錐中，底面ABCD為菱形，底面ABCD，，，則的重心到平面PAD的距離為（

）A．B．C．D．6．如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（

）．

A．B．C．D．7.如圖，在棱長為4的正方體中，M是棱上的動點(diǎn)，N是棱的中點(diǎn).當(dāng)平面與底面所成的銳二面角最小時(shí)，___________.8.如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.第03講用空間向量研究距離、夾角問題隨堂檢測1.如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，，，，是棱上的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積；(2)求平面與平面夾角的余弦值.2.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，，點(diǎn)在棱上．

(1)證明：平面平面PBC；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．3.在直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，平面平面.(1)求證：；(2)若，探