全概率公式的試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.設\(B_1,B_2\)是樣本空間\(\Omega\)的一個劃分，\(P(B_1)=0.4\)，\(P(A|B_1)=0.3\)，\(P(A|B_2)=0.5\)，則\(P(A)\)等于（）A.0.3B.0.4C.0.42D.0.5答案：C2.已知事件\(B_1,B_2,B_3\)構成完備事件組，\(P(B_1)=\frac{1}{2}\)，\(P(B_2)=\frac{1}{3}\)，\(P(B_3)=\frac{1}{6}\)，\(P(A|B_1)=0.2\)，\(P(A|B_2)=0.3\)，\(P(A|B_3)=0.4\)，則\(P(A)\)為（）A.0.25B.0.27C.0.3D.0.33答案：B3.設\(B_1,B_2\)是兩個互斥事件且\(P(B_1)+P(B_2)=1\)，\(P(A|B_1)=0.6\)，\(P(A|B_2)=0.8\)，\(P(B_1)=0.3\)，則\(P(A)\)是（）A.0.66B.0.7C.0.74D.0.8答案：C4.若\(B_1,B_2,B_3\)是樣本空間的一個劃分，\(P(B_1)=0.2\)，\(P(B_2)=0.3\)，\(P(B_3)=0.5\)，\(P(A|B_1)=0.4\)，\(P(A|B_2)=0.5\)，\(P(A|B_3)=0.6\)，那么\(P(A)\)的值為（）A.0.5B.0.52C.0.54D.0.56答案：C5.設事件\(B_1,B_2\)滿足\(P(B_1)+P(B_2)=1\)，\(P(A|B_1)=0.7\)，\(P(A|B_2)=0.9\)，\(P(B_1)=0.4\)，則\(P(A)\)等于（）A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84答案：A6.已知\(B_1,B_2\)是樣本空間的一個劃分，\(P(B_1)=0.5\)，\(P(A|B_1)=0.4\)，\(P(A|B_2)=0.6\)，則\(P(A)\)為（）A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7答案：B7.設\(B_1,B_2,B_3\)構成完備事件組，\(P(B_1)=\frac{1}{4}\)，\(P(B_2)=\frac{1}{4}\)，\(P(B_3)=\frac{1}{2}\)，\(P(A|B_1)=0.3\)，\(P(A|B_2)=0.4\)，\(P(A|B_3)=0.5\)，那么\(P(A)\)是（）A.0.4B.0.425C.0.45D.0.475答案：B8.若\(B_1,B_2\)是互斥事件且\(P(B_1)+P(B_2)=1\)，\(P(A|B_1)=0.5\)，\(P(A|B_2)=0.7\)，\(P(B_1)=0.6\)，則\(P(A)\)的值是（）A.0.58B.0.6C.0.62D.0.64答案：A9.設事件\(B_1,B_2\)是樣本空間的一個劃分，\(P(B_1)=0.3\)，\(P(A|B_1)=0.6\)，\(P(A|B_2)=0.8\)，則\(P(A)\)為（）A.0.72B.0.74C.0.76D.0.78答案：B10.已知\(B_1,B_2,B_3\)是完備事件組，\(P(B_1)=0.1\)，\(P(B_2)=0.3\)，\(P(B_3)=0.6\)，\(P(A|B_1)=0.2\)，\(P(A|B_2)=0.4\)，\(P(A|B_3)=0.5\)，那么\(P(A)\)等于（）A.0.41B.0.43C.0.45D.0.47答案：B多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于全概率公式的說法正確的有（）A.全概率公式中事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)需構成樣本空間\(\Omega\)的一個劃分B.全概率公式用于計算復雜事件\(A\)的概率C.\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)D.全概率公式的前提是事件\(B_i\)兩兩互斥答案：ABCD2.設\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)是樣本空間\(\Omega\)的一個劃分，對于全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)，以下說法正確的是（）A.\(P(B_i)\geq0\)，\(i=1,2,\cdots,n\)B.\(\sum_{i=1}^{n}P(B_i)=1\)C.\(A\)是任意事件D.\(P(A|B_i)\)表示在\(B_i\)發(fā)生的條件下\(A\)發(fā)生的概率答案：ABCD3.下列情況中可以使用全概率公式的有（）A.已知一批產品來自三個不同的工廠，各工廠產品的次品率不同，求這批產品的次品率B.一個人從三種不同交通方式中選擇一種出行，每種交通方式按時到達的概率不同，求按時到達的概率C.盒子里有不同顏色的球，每次取球后放回，求多次取球后某種顏色球出現(xiàn)的概率D.已知某疾病在不同年齡段的發(fā)病率不同，求人群中該疾病的發(fā)病率答案：ABD4.關于全概率公式，以下表述正確的是（）A.它是把一個復雜事件分解為若干個互斥的簡單事件來計算概率B.事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)必須是等概率事件C.當\(n=2\)時，全概率公式也成立D.全概率公式在實際生活中有廣泛應用答案：ACD5.若\(B_1,B_2,B_3\)構成完備事件組，對于全概率公式\(P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+P(B_3)P(A|B_3)\)，正確的是（）A.\(P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)=1\)B.\(P(B_1),P(B_2),P(B_3)\)都大于0C.\(A\)與\(B_1,B_2,B_3\)相互獨立D.該公式可推廣到更多個事件構成完備事件組的情況答案：ABD6.全概率公式的應用條件包括（）A.事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)兩兩互斥B.\(\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega\)C.已知\(P(B_i)\)和\(P(A|B_i)\)，\(i=1,2,\cdots,n\)D.事件\(A\)與\(B_i\)相互獨立答案：ABC7.下列選項中能運用全概率公式求解的有（）A.某射手在不同天氣條件下的射擊命中率不同，求他一次射擊的命中率B.不同班級學生的優(yōu)秀率不同，求全校學生的優(yōu)秀率C.已知某產品在不同生產環(huán)節(jié)的合格率不同，求產品最終的合格率D.拋硬幣多次，求正面朝上的概率答案：ABC8.關于全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)，說法正確的是（）A.\(n\)可以為有限個也可以為可列無窮個B.\(P(B_i)\)表示先驗概率C.\(P(A|B_i)\)是條件概率D.全概率公式體現(xiàn)了“由因求果”的思想答案：ABCD9.全概率公式在以下哪些領域有應用（）A.保險精算B.質量控制C.市場預測D.密碼學答案：ABC10.設事件\(B_1,B_2\)是樣本空間的一個劃分，應用全概率公式求\(P(A)\)時，需要知道（）A.\(P(B_1)\)B.\(P(B_2)\)C.\(P(A|B_1)\)D.\(P(A|B_2)\)答案：ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.全概率公式中事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)可以不兩兩互斥。（×）2.若\(B_1,B_2\)是樣本空間\(\Omega\)的一個劃分，那么\(P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)\)。（√）3.全概率公式只能用于計算有限個事件構成完備事件組的情況。（×）4.已知\(B_1,B_2,B_3\)構成完備事件組，\(P(B_1)=0.2\)，\(P(B_2)=0.3\)，\(P(B_3)=0.5\)，\(P(A|B_1)=0.4\)，\(P(A|B_2)=0.5\)，\(P(A|B_3)=0.6\)，則\(P(A)=0.5\)。（×）5.全概率公式體現(xiàn)了“由果溯因”的概率計算思想。（×）6.只要知道事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)的概率，就可以用全概率公式計算\(P(A)\)。（×）7.若\(B_1,B_2\)是樣本空間的一個劃分，且\(P(B_1)=0.6\)，\(P(A|B_1)=0.7\)，\(P(A|B_2)=0.9\)，則\(P(A)=0.78\)。（√）8.全概率公式在解決實際問題時，關鍵是找出完備事件組。（√）9.事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)構成完備事件組，當\(P(B_i)\)都相等時，全概率公式更簡單。（√）10.全概率公式對任何事件\(A\)和劃分\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)都適用。（√）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述全概率公式。答案：若\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)構成樣本空間\(\Omega\)的一個劃分，即\(B_i\)兩兩互斥且\(\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega\)，對于任意事件\(A\)，有\(zhòng)(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)。2.全概率公式的應用步驟是什么？答案：首先確定樣本空間并找出完備事件組\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)；接著計算\(P(B_i)\)和\(P(A|B_i)\)；最后將它們代入全概率公式\(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)計算\(P(A)\)。3.舉例說明全概率公式在生活中的應用。答案：比如計算某商場一天的顧客購買商品的概率。商場不同時間段顧客流量不同（構成完備事件組），每個時間段顧客購買商品的概率也不同，用全概率公式就能算出一天顧客購買商品的概率。4.全概率公式中完備事件組的作用是什么？答案：完備事件組將復雜事件\(A\)發(fā)生的情況進行了分解。通過分別計算在各個完備事件組事件\(B_i\)發(fā)生的條件下\(A\)發(fā)生的概率\(P(A|B_i)\)，再結合\(P(B_i)\)，利用全概率公式算出\(P(A)\)。討論題（每題5分，共4題）1.在實際問題中，如何準確找到完備事件組來應用全概率公式？答案：要全面分析問題的各種可能情況。例如在產品質量問題中，考慮產品來自不同生產線；出行問題中，考慮不同交通方式。從這些不同來源或方式中確定互斥且能涵蓋所有可能的事件作為完備事件組。2.全概率公式與條件概率有什么聯(lián)系？答案：全概率公式中\(zhòng)(P(A|B_i)\)是條件概率。全概率公式通過條件概率\(P(A|B_i)\)以及\(P(B_i)\)來計算\(P(A)\)，它基于條件概率，將在不同條件下\(A\)發(fā)生的概率以\(P(B_i)\)為權重進行求和，從而得出\(A\)發(fā)生的總概率。3.全概率公式在風險評估方面有哪些應