專題23等差、等比數列及其前n項和（六大題型+模擬精練）目錄：01等差、等比數列的基本量計算及其性質02比較大小、判斷符號03求參數（范圍）綜合04高考新方向—數列的應用05解答題06數列與統計概率01等差、等比數列的基本量計算及其性質1．（22-23高二下·廣西柳州·階段練習）已知等差數列的前項和為，且，，則（

）A． B．1 C． D．2．（2024·河南周口·模擬預測）設為等差數列的前項和，已知，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．183．（2024·新疆·二模）已知等差數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．4．（2024·海南·模擬預測）已知首項為1的等比數列的前項和為Sn，若，則（

）A．24 B．12 C．20 D．155．（2024·新疆烏魯木齊·三模）數列an是等差數列，是數列an的前項和，是正整數，甲：，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．（22-23高三上·貴州黔東南·開學考試）已知數列滿足，且對任意的，都有，則該數列的前10項和（

）A．32 B．150 C．185 D．2507．（2025·廣東·一模）已知等比數列為遞增數列，.記分別為數列的前項和，若，則（

）A． B．C． D．02比較大小、判斷符號8．（2024·新疆·二模）設是等差數列，下列結論中正確的是（

）A．若a1+a2>0，則aC．若0<a1<a2，則a9．（2024·湖北·模擬預測）已知數列為等差數列，為等比數列，，則（

）A． B．C． D．10．（24-25高三上·湖北武漢·開學考試）已知數列的前項和為，則（

）A．若為等差數列，且，則B．若為等差數列，且，則C．若為等比數列，且，則D．若為等比數列，且，則03求參數（范圍）綜合11．（2024·廣東·二模）設數列an的通項公式為，其前n項和為，則使的最小n是（

）A．5 B．6 C．7 D．812．（23-24高二下·山西晉城·期末）已知等比數列滿足，公比，且，，則當最小時，（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．202313．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）設為正項等比數列的前項和，，當時，恒成立，則數列的公比的取值范圍為（

）A． B． C． D．14．（24-25高三上·全國·單元測試）已知等差數列的前項和為，且對任意的，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．15．（2024·河南濮陽·模擬預測）已知是遞增的等比數列，且，等差數列滿足，，．設m為正整數，且對任意的，，則m的最小值為（

）A．8 B．7 C．5 D．404數列的應用16．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）中國載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務．運送“神十八”的長征二號運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加，在達到離地面的高度時，火箭開始進入轉彎程序．則從點火到進入轉彎程序大約需要的時間是（

）秒．A．10 B．11 C．12 D．1317．（2024·湖南·二模）張揚的父親經營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數列．有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上標記了兩個缺貨尺寸．幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標記缺貨尺寸的進貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼．現在問題是，另外一個缺貨尺寸是（

）A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼18．（2024·遼寧·模擬預測）2024年春節(jié)前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯”的促銷活動，活動規(guī)則如下：將一天內購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯1對，否則不能獲得春聯．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯的人數為（

）A．167 B．168 C．169 D．17019．（22-23高三上·江西撫州·期中）我國天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（

）

A．相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為十寸B．秋分的晷長為75寸C．立秋的晷長比立春的晷長長D．立冬的晷長為一丈五寸20．（2024·河南洛陽·模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追溯到公元583年，民間傳統折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質地的紙張進行創(chuàng)作的手工藝．其以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折疊造型后再以剪、刻、畫手法為輔助手段，創(chuàng)作出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內容的立體幾何造型作品．隨著一代代折紙藝人的傳承和發(fā)展，現代折紙技術已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如生的折紙作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統文化，歷史悠久，內涵博大精深，世代傳承．在一次數學實踐課上某同學將一張腰長為l的等腰直角三角形紙對折，每次對折后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（

）A． B． C． D．21．（23-24高三上·湖南·階段練習）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現代數學的基礎，著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.設第次操作去掉的區(qū)間長度為，數列滿足：，則數列中的取值最大的項為（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項22．（20-21高二下·陜西漢中·期中）5G是第五代移動通信技術的簡稱，其意義在于萬物互聯，即所有人和物都將存在有機的數字生態(tài)系統中，它把以人為中心的通信擴展到同時以人與物為中心的通信，將會為社會生活與生產方式帶來巨大的變化.目前我國最高的5G基站海拔6500米.從全國范圍看，中國5G發(fā)展進入了全面加速階段，基站建設進度超過預期.現有8個工程隊共承建10萬個基站，從第二個工程隊開始，每個工程隊承建的基站數都比前一個工程隊少，則第一個工程隊承建的基站數（單位：萬個）約為（

）A． B． C． D．23．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）如圖是瑞典數學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個正三角形開始，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復進行這一過程，就得到一個“雪花”狀的圖案.設原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①、②、③、④……中圖形的周長依次記為，得到數列.設數列的前項和為，若時，則的最小值為（

）（參考數據：，）

A．5 B．8 C．10 D．1205解答題24．（23-24高三上·廣東江門·開學考試）已知各項均為正數的等比數列滿足.(1)求的通項公式；(2)令，求數列的前項和.25．（2024·內蒙古鄂爾多斯·二模）已知為數列的前項和，若.(1)求證：數列為等比數列；(2)令，若，求滿足條件的最大整數.26．（2024·福建龍巖·三模）若數列是公差為1的等差數列，且，點在函數的圖象上，記數列的前項和為.(1)求數列的通項公式;(2)設，記數列的前項和為，證明:.27．（2024·湖南·模擬預測）已知數列的前項和為，正項等差數列滿足，且成等比數列.(1)求和的通項公式；(2)證明：.28．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知數列的各項均為正數，為的前項和，且．(1)求的通項公式；(2)設，記的前項和為，求證：．06數列與統計概率29．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復．(1)求該同學第2天選擇綠豆湯的概率；(2)記該同學第天選擇綠豆湯的概率為，證明：為等比數列；(3)求從第1天到第10天中，該同學選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數．30．（2024·貴州遵義·二模）商場對某種商品進行促銷，顧客只要在商場中購買該商品，就可以在商場中參加抽獎活動．規(guī)則如下：先賦予參加抽獎的顧客5分的原始分，然后從裝有4個紅球，2個白球，2個黑球的盒中有放回地隨機取球若干次，每次取出一個球，若為紅球，則加1分，否則扣1分，過程中若顧客持有分數變?yōu)?分，抽獎結束；若顧客持有分數達到15分，則獲得一等獎，抽獎結束．(1)求顧客3次取球后持有分數的數學期望；(2)設顧客在抽獎過程中持有分數為分最終獲得一等獎的概率為；①證明：是等差數列；②求顧客獲得一等獎的概率．一、單選題1．（2024·河南周口·模擬預測）設為等差數列的前項和，已知，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．182．（2024·貴州·模擬預測）已知數列滿足，則“數列是遞增數列”的充要條件是（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·二模）記Sn為非零數列an的前項和，若，則（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2023·陜西榆林·模擬預測）已知數列，都是等差數列，記，分別為，的前n項和，且，則（

）A． B． C． D．5．（2024·四川·模擬預測）南宋數學家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列．以高階等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列．若某個二階等差數列的前4項為，則該數列的第18項為（

）A．188 B．208 C．229 D．2516．（2024·浙江·模擬預測）已知且，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江·模擬預測）已知實數構成公差為d的等差數列，若，，則d的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）數列的各項均不為0，前1357項均為正數,且有：,則的可能取值個數為（

）A．665 B．666 C．1330 D．1332二、多選題9．（2023·廣東佛山·模擬預測）已知數列，下列結論正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則數列是等比數列D．若為等差數列的前項和，則數列為等差數列10．（2024·湖南長沙·三模）設無窮數列an的前項和為，且，若存在，使成立，則（

）A．B．C．不等式的解集為D．對任意給定的實數，總存在，當時，11．（2024·浙江紹興·二模）已知數列與滿足，且，.若數列保持順序不變，在與項之間都插入個后，組成新數列，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知數列的前三項依次為的前項和，則．13．（2025·廣東廣州·模擬預測）已知數列滿足，設數列的前項和為，則滿足的實數的最小值為．14．（2024·四川成都·模擬預測）高斯是德國著名數學家，近代數學的奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用他名字定義的函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數，如，已知數列滿足，，若為數列的前項和，則．四、解答題15．（2024·陜西安康·模擬預測）設等比數列的前項和為，已知.(1)求數列的通項公式.(2)求數列的前項和.16．（2024·全國·模擬預測）已知數列的前項和為．(1)求．(2)若，則當取最小值時，求的值．17．（2024·浙江麗水·二模）設等差數列的公差為，記是數列的前項和，若，.(1)求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和為，求證：.18．（2024·廣西南寧·三模）夏日天氣炎熱，學校為高三備考的同學準備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同學每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學第1天選擇綠豆湯的概率是，若前一天選擇綠豆湯，后一天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為，如此往復．(1)求該同學第2天選擇綠豆湯