專題25橢圓（七大題型+模擬精練）目錄：01橢圓的定義02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程03橢圓的焦點(diǎn)、焦距、離心率等04直線與橢圓05焦點(diǎn)弦、弦長問題06中點(diǎn)弦問題07橢圓的綜合應(yīng)用01橢圓的定義1．已知是橢圓：上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】直接根據(jù)橢圓的定義可求得答案.【解析】由橢圓的定義可知，.故選：A.2．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，求解即可.【解析】由橢圓，可得，所以，因?yàn)榉謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，所以，又，所以.故選：C.3．已知、，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓 B．圓 C．直線 D．線段【答案】D【分析】由已知可得出，分析可得結(jié)果.【解析】因?yàn)椤?，動點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡為線段.故選：D.4．已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，為該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．5 C．7 D．13【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義直接計(jì)算即可.【解析】因?yàn)闄E圓方程為，所以，又所以，故，故選：.5．已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此橢圓上，則的周長等于（

）A．16 B．20 C．18 D．14【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出長軸長及焦距即可.【解析】橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，由橢圓定義知，焦距，所以的周長等于.故選：A02橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】可設(shè)橢圓方程，再利用待定系數(shù)法來求解即可.【解析】根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入兩點(diǎn)得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.7．若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為【答案】8【分析】分別求出拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)，得，即可求解．【解析】因?yàn)閽佄锞€（）的焦點(diǎn)為，且橢圓的右頂點(diǎn)為，由題意可得：，解得．故答案為：8.8．若為橢圓上一點(diǎn)，，為的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義得到，再由平方差公式求出，即可求出.【解析】對于橢圓，則，所以，所以①，又，即，所以②，由①②解得.故答案為：9．已知為橢圓的兩焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若的最大值為3，且焦距為2，則橢圓C的方程為【答案】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可列式求解.【解析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意知，從而又因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，解得，則，從而橢圓C的方程為故答案為：10．經(jīng)過橢圓M：的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線記為l.若橢圓M的中心到直線l的距離等于2，且短軸長是焦距的2倍，則橢圓M的方程為.【答案】【分析】根據(jù)直線的截距式方程，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【解析】因?yàn)榻?jīng)過橢圓M：的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線記為l，所以直線l的方程可設(shè)為，因?yàn)閳AM的中心到直線l的距離等于2，所以，因?yàn)槎梯S長是焦距的2倍，所以，因此有，所以橢圓M的方程為，故答案為：11．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第二象限．若為等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先根據(jù)方程求，由題意分析可得，列方程求解即可.【解析】由題意可知：，設(shè)，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)且在第二象限，則，，又因?yàn)闉榈妊切?，且，則，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：,12．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，P為C上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)在橢圓上，即求.【解析】由題意，，設(shè)，則，解得，即.故答案為：.03橢圓的焦點(diǎn)、焦距、離心率等13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為為上一動點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），設(shè)的周長為，若，則的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件列方程，求得與的關(guān)系式，從而求得雙曲線的離心率.【解析】依題意，，則，所以離心率.故答案為：14．已知橢圓C的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，若為等腰三角形，則C的離心率為．【答案】【分析】利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可.【解析】不妨設(shè)橢圓的長軸、短軸、焦距分別為，則，且根據(jù)橢圓的性質(zhì)易知，所以，顯然若為等腰三角形，則只能有，即，則.故答案為：15．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)，則的周長為．【答案】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，，依題意可得為等邊三角形，從而得到直線過，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及橢圓的定義計(jì)算可得.【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，，依題意可得長半軸長，半焦距，且，所以為等邊三角形，則直線過，所以，即的周長為.故答案為：16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為上一動點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)橢圓、、之間的關(guān)系，求出，再根據(jù)橢圓的定義，把換成，最后根據(jù)，代入即可.【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，因?yàn)椋?，所以，?故答案為：.17．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)且，則的面積為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義求得三邊長，根據(jù)三角形面積公式求解即可.【解析】由橢圓可知，故，結(jié)合，可得，而，故為等腰三角形，其面積為.故答案為：.18．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上，且，則．【答案】40【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合橢圓定義即可求解.【解析】由題意可得，在中，，由余弦定理，得，得，得，所以．故答案為：40．19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過作的垂線，與軸交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．【答案】/0.5【分析】設(shè)，，得到直線的方程為，解得，再利用勾股定理即可求解．【解析】設(shè)，，，則直線的斜率為，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即，因?yàn)?，所以，即，解得．故答案為?0．已知橢圓：的離心率為，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，的最大值為．設(shè)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】首先根據(jù)題目條件求出和，然后根據(jù)橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，求出的最小值.【解析】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意，得，，所以，．設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以．故答案為：．21．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，長軸長為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)，且，則=．【答案】或【分析】本題先是利用直線的斜率求出，再由以及橢圓定義求出的長，最后利用余弦定理即可求得結(jié)果．【解析】直線的斜率為，，；又，設(shè)，，又，；在中，由余弦定理得，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案為：或．22．已知直線：與橢圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，令判別式大于0求解即可.【解析】將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去得①，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以方程①有實(shí)數(shù)根，則，得.故選：B．04直線與橢圓23．直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【分析】判斷出直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在橢圓內(nèi)可得答案.【解析】將直線l：變形為l：，由得，于是直線l過定點(diǎn)，而，于是點(diǎn)在橢圓C：內(nèi)部，因此直線l：與橢圓C：相交．故選：A．

24．已知直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線所過定點(diǎn)以及方程表示橢圓來求得的取值范圍.【解析】直線過定點(diǎn)，所以，解得①.由于方程表示橢圓，所以且②.由①②得的取值范圍是.故選：C25．若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，求得點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)切于橢圓，得到點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，即可求解.【解析】因?yàn)橹本€和圓沒有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.05焦點(diǎn)弦、弦長問題26．橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上且軸，則到直線的距離為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】先求出、的坐標(biāo)，再由軸，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面積法可求得結(jié)果.【解析】由，得，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)檩S，所以，所以，設(shè)到直線的距離為，因?yàn)?，所以，解得，故選：A27．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是是坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上，且，則的面積是（

）A． B．4 C． D．8【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)，利用條件直接求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，又易知，從而可求出結(jié)果.【解析】設(shè)，因點(diǎn)在橢圓上，且，則有，消去，得到，所以，又，故的面積是．故選：A.28．已知斜率為1的直線過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，則弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得直線l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長公式即可得出答案.【解析】解：由橢圓得，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦長為.故選：C.29．過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作弦，若，，則的數(shù)值為（

）A． B． C． D．與弦斜率有關(guān)【答案】B【分析】不妨設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，，，利用橢圓的右焦半徑公式，，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，將式子化簡整理可得．【解析】令，設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由，解得，則，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，整理得：，所以，，又，，所以，綜上，.故選：B.30．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．△ABF2的周長為定值 B．AB的長度最小值為2C．若AB⊥AF2，則 D．λ的取值范圍是【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合橢圓焦點(diǎn)弦的幾何意義，可判斷A,B兩個(gè)選項(xiàng)，再設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立．利用韋達(dá)定理求解參數(shù)的值或取值范圍，即可判斷CD選項(xiàng)．【解析】因?yàn)椋?，，三點(diǎn)共線，△周長是定值，所以A正確．根據(jù)橢圓的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)經(jīng)過焦點(diǎn)的弦最短，故，所以B正確．(證明如下：設(shè)，,，,．聯(lián)立，整理得，即，，，由于，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值2，此時(shí))，因?yàn)?，在上下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，則，聯(lián)立得．解得或，，，所以C正確．設(shè)，,，,．聯(lián)立，整理得．即，，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以，所以D錯(cuò)誤．故選：D．06中點(diǎn)弦問題31．已知過橢圓左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為，過點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，若恰好是的中點(diǎn)，則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由過橢圓左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為，可得；由過點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，可得.綜上可得，后可得答案.【解析】由題可得，其中，且.又由橢圓對稱性可知，在正上方且位于橢圓上的點(diǎn)到F距離為，即此點(diǎn)坐標(biāo)為.將其代入橢圓方程有：，又，可知；設(shè)，因過點(diǎn)且斜率為-1的直線與相交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則.又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則.兩式相減得：又，得.又，則，又，且，則.故橢圓方程為：，.設(shè)，其中.則..因，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即M為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)取等號.則橢圓上一點(diǎn)到的距離的最大值為.故選：D32．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，是橢圓A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理求出的關(guān)系計(jì)算即得.【解析】依題意，直線的斜率，直線的方程為，即，由消去并整理得：，則，即，設(shè)，則，而弦的中點(diǎn)為，即，于是，解得，此時(shí)所以橢圓的離心率.故選：C33．不與坐標(biāo)軸垂直的直線過點(diǎn)，，橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于對稱，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求出，再結(jié)合進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓中，設(shè)，則，所以，因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以，所以，由線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為x1,y1，得出所以，又，∴，即，又，∴，所以所求離心率為.故選：C．34．已知橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，若M為直線AB上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率求橢圓方程，由已知得為線段中點(diǎn)，根據(jù)弦中點(diǎn)求直線斜率并寫出直線方程，最后由點(diǎn)線距離公式求最小值.【解析】由題設(shè)，，即，可得，過的直線與橢圓C交A，B且滿足，則為線段中點(diǎn)，所以，，又，，則，即，所以，故直線為，即，所以最小值為.故選：B35．橢圓，M，N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩動點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，求得的關(guān)系式，利用基本不等式求得正確答案.【解析】設(shè)，則，兩式相減并化簡得，而，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選：A36．已如橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，其中，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若的中點(diǎn)為M，則C．的最小值為D．，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】B【分析】依題意，l過橢圓的左焦點(diǎn)，作圖，逐項(xiàng)分析即可.【解析】依題意，l過，作上圖，對于A，由橢圓的定義知：，錯(cuò)誤；對于B，聯(lián)立方程，得，由韋達(dá)定理得：，所以，正確；對于C，顯然，當(dāng)軸時(shí)，最短，此時(shí)，但由于k是存在的，不會垂直于x軸，不存在最小值，錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則有，，即A點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2c為半徑的圓上，因此，原題等價(jià)于有解，解得，則必有，即，即，錯(cuò)誤；故選：B.07橢圓的綜合應(yīng)用37．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為，且該橢圓過點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程；(3)若直線l方程為，過A、B作直線的垂線，垂足分別為P、Q，點(diǎn)R為線段PQ的中點(diǎn)，求證：四邊形ARQF為梯形.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的方程.（2）利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（3）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算，以及AF與RQ，從而判斷出四邊形ARQF為梯形.【解析】（1）由題得，將代入得：，橢圓E的方程為.（2）設(shè)Ax1,且，兩式相減得：，可得，l方程為，即.（3）由得：，且，，∴，又直線的斜率存在，AF與RQ不平行，∴四邊形ARQF為梯形.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件求得，和是兩個(gè)未知參數(shù)，要求出兩個(gè)參數(shù)的值，需要兩個(gè)已知條件，如本題中“橢圓的右焦點(diǎn)以及橢圓所過點(diǎn)”兩個(gè)已知條件，再結(jié)合即可求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.38．已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).(1)設(shè)直線的斜率為，已知，求證：；(2)直線不與坐標(biāo)軸重合且經(jīng)過的左焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用點(diǎn)差法表示直線和直線的斜率關(guān)系，再利用點(diǎn)在橢圓內(nèi)，建立不等式，即可求解；（2）首先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示弦長AB，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，并得到直線的方程，并求解弦長，根據(jù)條件得到代入公式，即可求解.【解析】（1）設(shè)Ax由，得，變形得，即，故，又，解得，故.（2）由題意，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，設(shè)Ax1,可得.，則弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，故的方程為.聯(lián)立，得，由對稱性，不妨設(shè)，則，其中.可得.由題意，且，故，即代入，得，解得，故直線的方程為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是將條件等式轉(zhuǎn)化為，從而利用韋達(dá)定理表示弦長AB和.39．已知橢圓的焦距為2，不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，為線段PQ的中點(diǎn)，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，直線PB與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線QB與的另一個(gè)交點(diǎn)為，其中，均不為橢圓的頂點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦距求出，再設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，A（2）設(shè)直線的方程為，，，表示直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元求出，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的斜率為得到，即可求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由橢圓的焦距為得，，則.設(shè)Px1,y1，Qx2兩式作差得，，所以，即，所以，所以，所以，則，解得，.故橢圓的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，直線的方程為，將其代入得，，顯然，則，所以，將代入直線的方程，解得，所以，同理得，所以，得，即，整理得，所以，因此直線的方程為，令，即，則，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.一、單選題1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若橢圓的長軸長為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程確定焦點(diǎn)位置，求出值，依題得到的值，利用二倍角公式計(jì)算即得的值.【解析】由題意，橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，則，即，于是，.故選：B.2．（2024·江蘇南京·二模）設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與以為圓心、為半徑的圓切于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓相切，利用勾股定理可以求出的長度，進(jìn)而通過，可以得到的長度，再次應(yīng)用勾股定理，求出的長度，最后根據(jù)為橢圓上一點(diǎn)，運(yùn)用橢圓的定義，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可.【解析】由題意，，，因?yàn)橹本€與以為圓心、為半徑的圓切，所以，因此由勾股定理可知，又，所以，因此，由勾股定理可得，根據(jù)橢圓定義，，.故選：B3．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的射線分別與橢圓和圓相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，得到，由橢圓的定義得到，則，得到為的中點(diǎn)，結(jié)合中位線定理，即可求解.【解析】由橢圓，可得，則，又由圓可化為，可得圓心，半徑，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，因?yàn)椋傻脼榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得.故選：C.4．（2024·浙江紹興·三模）已知，為曲線：的焦點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則曲線的離心率B．若，則曲線的離心率C．若曲線上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得，則D．若，則曲線上存在四個(gè)不同的點(diǎn)，使得【答案】C【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，離心率，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線，離心率，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓，其短半軸長，半焦距，顯然以線段為直徑的圓恰過這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的可以是8，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，則，以線段為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，D正確.故選：C5．（2023·安徽合肥·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：，平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A，，在橢圓上，若直線和的斜率乘積為，四邊形的面積為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角換元設(shè)，，代入橢圓方程可得，再根據(jù)三角形面積的向量公式及斜率之積計(jì)算即可.【解析】先證三角形面積公式的向量形式：在中，，則，而設(shè)，，由題意可知;，所以，將坐標(biāo)代入橢圓方程有，則所以四邊形的面積為，即，又根據(jù)和的斜率乘積為知，所以，解之得：，．故選：B6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，M為的上頂點(diǎn)，P，N是橢圓上不同于M的兩點(diǎn)，若是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則滿足條件的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】設(shè)出直線的方程，求出，由建立方程，確定方程解的個(gè)數(shù)即得答案.【解析】顯然，直線MN的斜率存在，由對稱性，不妨設(shè)直線MN的方程為，由消去y得，得點(diǎn)橫坐標(biāo)，則，同理，由得，化簡得，即，由，得，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，因此當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)不等的實(shí)根，所以滿足條件的有3個(gè).故選：C．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：確定圖形個(gè)數(shù)問題，選定一個(gè)變量，結(jié)合題設(shè)條件建立方程，轉(zhuǎn)化為分析判斷方程解的個(gè)數(shù)作答.7．（2023·江西九江·二模）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個(gè)橢圓圍成.經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)兩橢圓的長軸長之比與短軸長之比相等.現(xiàn)不慎掉落一根質(zhì)地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切，設(shè)切點(diǎn)為，盤子的中心為，筷子與大橢圓的兩交點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為．給出下列四個(gè)命題：①兩橢圓的焦距長相等；②兩橢圓的離心率相等；③；④與小橢圓相切.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為，設(shè)點(diǎn)、、，建立平面直角坐標(biāo)系，利用橢圓的幾何性質(zhì)可判斷①②；利用直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷③的正誤；取以及，可判斷④的正誤.【解析】設(shè)大、小橢圓的長軸長之比與短軸長之比均為，設(shè)點(diǎn)、、，以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的長軸、短軸所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小橢圓的方程為，則大橢圓的方程為，對于①，大橢圓的焦距長為，兩橢圓的焦距不相等，①錯(cuò)；對于②，大橢圓的離心率為，則兩橢圓的離心率相等，②對；對于③，當(dāng)直線與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，則點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，合乎題意，當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，可得，此時(shí)，，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，綜上所述，，③對；對于④，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，將代入可得，不妨取點(diǎn)、，則，若，則直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓不相切，④錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問題的兩種方法：（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.8．（2024·湖南長沙·二模）設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦距，它們的離心率分別為，，橢圓的焦點(diǎn)為，，，在第一象限的交點(diǎn)為，若點(diǎn)在直線上，且，則的值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，先根據(jù)題意得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將點(diǎn)P分別代入橢圓和雙曲線的方程中，求離心率，即可得解.【解析】設(shè)橢圓與雙曲線相同的焦距為，則，又，所以，又點(diǎn)P在第一象限，且在直線上，所以，又點(diǎn)P在橢圓上，所以，即，整理得，兩邊同時(shí)除以，得，解得，因?yàn)椋?，同理可得點(diǎn)P在雙曲線上，所以，即，解得，所以，故選：A.二、多選題9．（2024·四川·一模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．當(dāng)不共線時(shí)，的周長為D．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則【答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓方程、焦點(diǎn)弦性質(zhì)和橢圓定義可知ABC正誤；設(shè)Px【解析】對于A，由題意知：，，，，A錯(cuò)誤；對于B，為橢圓的焦點(diǎn)弦，，B正確；對于C，，的周長為，C正確；對于D，作垂直于直線，垂足為，設(shè)Px0,，，，，D正確.故選：BCD.10．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為，．若P為C上與點(diǎn)A，B不重合的動點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，則（

）A．C的方程為 B．面積的最大值為2C．坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為 D．【答案】BCD【分析】先由已知條件待定，求出橢圓方程，結(jié)合圖形運(yùn)算容易判斷選項(xiàng)ABC；D項(xiàng)，設(shè)出點(diǎn)，分別表示直線方程，求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)則可得距離，進(jìn)而可求出乘積.【解析】A項(xiàng)，由橢圓上頂點(diǎn)為得，，由知，由對稱性可得，所以，即，則，橢圓方程為，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知，為定值，故當(dāng)點(diǎn)到距離最大時(shí)，面積最大，即當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)取最大值，最大值為，故B正確；C項(xiàng)，在中，，設(shè)為斜邊上的高，由，可得點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；D項(xiàng)，設(shè)，由，所以直線方程為，令，可得，直線方程為，令，.由點(diǎn)在橢圓上，則，，則，故D正確.故選：BCD.11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，直線交于點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，△的面積最大值為12，則（

）A．B．若，則的最大值為C．在圓上運(yùn)動D．【答案】ABD【分析】判斷出點(diǎn)的軌跡即可求出△的面積最大值，進(jìn)而求出；根據(jù)橢圓的定義即可求出的最大值；設(shè)出直線的方程，且點(diǎn)在橢圓上，即可求出，最后聯(lián)立直線的方程即可求得點(diǎn)的軌跡方程；設(shè)出直線的方程，并與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求解.【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以邊上高為半徑時(shí)，△的面積最大值，即，又因?yàn)椋?，所以，解得，故A正確；由選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知，，則，所以，,當(dāng)在直線上時(shí)，等號成立．故正確；由選項(xiàng)，因?yàn)?，所以設(shè)直線，直線，直線，因?yàn)闄E圓方程為，所以Px0,y0滿足，所以，所以聯(lián)立直線的方程得，解得，所以在直線上運(yùn)動，故C錯(cuò)誤；設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線和橢圓聯(lián)立，消去整理得，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以,所以，同理可知，所以，故選項(xiàng)正確；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查考生運(yùn)算求解能力、推理論證能力、函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想．三、填空題12．（2024·山東·二模）已知橢圓的焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，如果，那么點(diǎn)到軸的距離是.【答案】【分析】設(shè)，從而根據(jù)可得，聯(lián)立橢圓的方程可解出的值，從而得出點(diǎn)到軸的距離．【解析】由橢圓方程得，，，設(shè)，則：，；由得：

（1）；又點(diǎn)在橢圓上，可得（2）；（1）（2）聯(lián)立消去得，；即；故點(diǎn)到軸的距離是．故答案為：．13．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，的最大值為．設(shè)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】/【分析】首先根據(jù)題目條件求出和，然后根據(jù)橢圓定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，求出的最小值.【解析】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意，得，，所以，．設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以．故答案為：．14．（2024·山東淄博·二模）“若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一．已知橢圓，點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線為直線，過左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．若是曲線上一點(diǎn)，已知點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】先由已知橢圓的性質(zhì)結(jié)合橢圓定義可得軌跡，再利用圓的性質(zhì)在軸上找一定點(diǎn)，滿足，從而將轉(zhuǎn)化為最值問題求解可得.【解析】由橢圓方程，知.如圖，延長、交于點(diǎn)，由題意可知，又因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，且，所以，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則.故點(diǎn)的軌跡為以為原點(diǎn)，為半徑的圓，圓的方程為.設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得圓上任意一點(diǎn)，滿足，由，則，化簡得，又∵，代入得，要使等式恒成立，則，即.∴存在定點(diǎn)，使圓上任意一點(diǎn)滿足，則，當(dāng)三點(diǎn)共線（位于兩側(cè)）時(shí)，等號成立.由，則，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線（位于兩側(cè)）時(shí)等號成立.如圖，連接，線段與圓的交點(diǎn)即為取最值時(shí)的點(diǎn)，此時(shí)取到最小值.故答案為：5.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：借助阿氏圓探究最值問題：若為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為直線；當(dāng)且時(shí)，動點(diǎn)的軌跡為圓，此圓稱之為阿波羅尼斯圓，也稱阿氏圓.借助阿波羅尼斯圓，可以轉(zhuǎn)化動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，化系數(shù)為，從而轉(zhuǎn)化為到另一定點(diǎn)的距離進(jìn)而由幾何性質(zhì)等求解最值.四、解答題15．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程：(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l：的距離的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．【解析】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．16．（2024·廣東·二模）已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，其漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)若為雙曲線上的兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線過的中點(diǎn)，求直線的斜率.【答案】(1)(2)1【分析】（1）先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)漸近線方程可求基本量，從而可得雙曲線的方程.（2）利用點(diǎn)差法可求直線的斜率，注意檢驗(yàn).【解析】（1）橢圓的焦點(diǎn)為，故，由雙曲線的漸近線為，故，故，故雙曲線方程為：.（2）設(shè)Ax1,y1因?yàn)樵谥本€，故，而，，故，故，由題設(shè)可知AB的中點(diǎn)不為原點(diǎn)，故，所以，故直線的斜率為.此時(shí)，由可得，整理得到：，當(dāng)即或，即當(dāng)或時(shí)，直線存在且斜率為1.17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出的值，然后由橢圓的離心率計(jì)算，再由平方關(guān)系得到，可寫出橢圓的方程；（2）設(shè)的坐標(biāo)，點(diǎn)差法計(jì)算出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)所在直線可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）