第十一講函數(shù)的概念及表示1.初中時你學(xué)過哪些函數(shù)？y＝kx＋b，(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c，(a≠0)， (k≠0)分別叫

，

，

.2.函數(shù)y＝kx＋b，已知kb＜0，則函數(shù)的圖象經(jīng)過第象限.3.函數(shù)y＝2x2＋3x＋1.當(dāng)x＝－1時的函數(shù)值為

問題導(dǎo)入第一部分函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義(1)給定兩個非空數(shù)集A和B，如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng)，那么就把對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在集合A上的函數(shù)，記作

f：A→B或

y＝f(x)，x∈A.(2)函數(shù)的定義域與值域?qū)τ诤瘮?shù)y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自變量集合A，

叫做函數(shù)的定義域，集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.概念形成定義名稱符號幾何表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間

{x|a＜x＜b}開區(qū)間

{x|a≤x＜b}左閉右開區(qū)間

{x|a＜x≤b}左開右閉區(qū)間

2.區(qū)間的概念設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a＜b，［a，b］(a，b)［a，b)(a，b］定義{x|x∈R}{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號

3.無窮大概念(1)實數(shù)集R用區(qū)間表示為

，“∞”讀作

，“－∞”讀作負(fù)無窮大，“＋∞”讀作正無窮大.(2)無窮區(qū)間的表示(－∞，＋∞)無窮大(－∞，＋∞)［a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a］(－∞，a)1.什么樣的對應(yīng)可以構(gòu)成函數(shù)？【提示】

函數(shù)的定義中“任一x”與“有唯一確定的y”說明函數(shù)中兩變量x、y是“一對一”或“多對一”時可以構(gòu)成函數(shù).2.f(x)與f(a)的含義有何不同？【提示】

f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，表示的是變量.思考

如圖是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖象(收支差額＝車票收入－支出費用)，由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議(Ⅰ)是不改變車票價格，減少支出費用；建議(Ⅱ)是不改變支出費用，提高車票價格.下面給出四個圖象：例題分析在這些圖象中(

)A.①反映了建議(Ⅱ)，③反映了建議(Ⅰ)B.①反映了建議(Ⅰ)，③反映了建議(Ⅱ)C.②反映了建議(Ⅰ)，④反映了建議(Ⅱ)D.④反映了建議(Ⅰ)，②反映了建議(Ⅱ)【思路點撥】解答本題應(yīng)從y與x的關(guān)系出發(fā)，分析出票價與斜率的關(guān)系，然后就(Ⅰ)，(Ⅱ)兩種建議分別描出圖象，與題中①、②、③、④對應(yīng)便可求解.【解析】

由題可知直線與y軸交點的縱坐標(biāo)的相反數(shù)表示支出，斜率表示票價，建議(Ⅰ)中票價不變，即直線的斜率不變；減少支出即直線與y軸交點縱坐標(biāo)變大，對應(yīng)①.建議(Ⅱ)中，直線與y軸交點的縱坐標(biāo)不變，斜率變大，對應(yīng)③.【答案】B(1)解答此類題目的關(guān)鍵在于借助變量間的圖象分析實際問題中所隱含的東西，然后結(jié)合已學(xué)知識加以綜合分析，從而把問題解決.(2)判斷兩變量之間是否為函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看變量之間的關(guān)系是否為確定的關(guān)系，如③中收入與消費支出的關(guān)系是一種趨勢而非確定關(guān)系，而其余均為確定關(guān)系.

下列各組中的兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù).【思路點撥】逐一考查兩個函數(shù)的定義域，對應(yīng)關(guān)系和值域.【解析】

(1)兩個函數(shù)定義域顯然不同，故兩個函數(shù)不表示同一函數(shù).(2)兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系顯然不同，故兩個函數(shù)不表示同一函數(shù).(3)兩個函數(shù)的定義域顯然不同，故兩個函數(shù)不表示同一函數(shù).(4)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同，兩個函數(shù)表示同一函數(shù).(5)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同，兩個函數(shù)表示同一函數(shù).(6)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域均相同，兩個函數(shù)表示同一函數(shù).

只有定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系都相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，三者中只要有一個不同就不是同一函數(shù).容易知道，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同的兩個函數(shù)的值域也一定相同.

求下列函數(shù)的定義域【思路點撥】定義域的求法：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不為0的實數(shù)的集合；(3)如果f(x)為偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合.(5)如果函數(shù)有實際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實際情況.函數(shù)定義域要用集合或區(qū)間形式表示，這一點初學(xué)者易忽視.【思路點撥】

直接將自變量x的取值代入函數(shù)解析式進(jìn)行計算.

(1)當(dāng)x的取值用字母表示時，對應(yīng)的函數(shù)值也用字母表示，但要注意化簡.(2)當(dāng)求多重函數(shù)值時，一般要由里到外逐步計算.1.下列各組中兩個變量之間是否存在依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？①球的體積和它的半徑；②速度不變的情況下，汽車行駛的路程與行駛時間；③家庭收入愈多，其消費支出也有增長的趨勢；④正三角形的面積和它的邊長.【解析】

①②③④中兩個變量間都存在依賴關(guān)系，其中①②④是函數(shù)關(guān)系.隨堂練習(xí)2.試判斷以下各組函數(shù)是否是相等函數(shù)：【解析】

(1)定義域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它們的解析式不同，也就是對應(yīng)關(guān)系不同，故不相等.(2)f(x)＝＝x＋3(x≠3)，它與g(x)＝x＋3的定義域不同，故不是相等函數(shù).(3)定義域相同，都是R，但是它們的解析式不同，也就是對應(yīng)關(guān)系不同，故不相等.(4)f(x)的定義域是{x|x≠1}，g(x)的定義域是R，它們的定義域不同，故不相等.3.求下列函數(shù)的定義域：【解析】

(1)由題意知4＋x≥0，∴x≥－4，故f(x)的定義域是{x|x≥－4}.(2)由1－x≥0且1＋x≠0，得x≤1且x≠－1，故f(x)的定義域是{x|x≤1且x≠－1}.1.兩個函數(shù)相同是指它們的

相同，且

完全一致.2.在函數(shù)定義域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一確定的f(x)與之對應(yīng).這可概述為：

和

.3.的定義域為定義域?qū)?yīng)關(guān)系存在性唯一性問題導(dǎo)入必修一第二章第二節(jié)列表法

用

的形式表示兩個變量之間

關(guān)系的方法圖象法

用

把兩個變量間的

關(guān)系表示出來的方法解析法一個函數(shù)的

可以用自變量的

(簡稱

)表示出來的方法1.函數(shù)的表示法2.分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，如果對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，那么這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).圖象函數(shù)對應(yīng)關(guān)系解析表達(dá)式解析式表格概念形成必修一第二章第二節(jié)每個函數(shù)都可以用列表法、圖象法、解析式法三種形式表示嗎？【提示】

不一定，如函數(shù)y＝x，x∈R，就無法用列表法表示.問題思考必修一第二章第二節(jié)求函數(shù)解析式求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x).【思路點撥】

(1)(2)小題可以用換元法或配湊法，求a，b，c，利用條件例題分析必修一第二章第二節(jié)必修一第二章第二節(jié)

(1)中解法為直接變換法或稱為配湊法，通過觀察、分析，將右端“x2－3x＋2”變?yōu)榻邮軐ο蟆皒＋1”的表達(dá)式，即變?yōu)楹?x＋1)的表達(dá)式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求.(2)中解法稱為換元法，所謂換元法即將接受對象“＋1“換作另一個字母“t”，然后從中解出x與t的關(guān)系，代入原式中便可求出關(guān)于“t”的函數(shù)關(guān)系，此即為所求函數(shù)解析式.但在利用這種方法時要注意自變量的取值范圍的變化情況，否則就得不到正確的表達(dá)式.(3)中解法稱為待定系數(shù)法，我們只要清楚所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，只要想法確定其系數(shù)即可求出結(jié)果.題后感悟必修一第二章第二節(jié)1.求下列函數(shù)的解析式：例題分析必修一第二章第二節(jié)必修一第二章第二節(jié)必修一第二章第二節(jié)作函數(shù)的圖象作出下列函數(shù)的圖象.【思路點撥】

初中階段我們已經(jīng)知道，一次函數(shù)的圖象是直線，二次函數(shù)圖象是拋物線，反比例函數(shù)圖象是雙曲線.現(xiàn)在我們只要結(jié)合定義域，找到一些關(guān)鍵點，便可畫出函數(shù)的大致圖象.必修一第二章第二節(jié)【解析】

(1)當(dāng)x＝1時，y＝1，所畫函數(shù)圖象如圖1；(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，且x＝1,3時，y＝0；當(dāng)x＝2時，y＝－1，所畫函數(shù)圖象如圖2.

圖1圖2必修一第二章第二節(jié)1.兩個函數(shù)相同是指它們的

相同，且

完全一致.2.在函數(shù)定義域中，任意的x∈A，在f的作用下，在B中都有唯一確定的f(x)與之對應(yīng).這可概述為：

和

.3.的定義域為定義域?qū)?yīng)關(guān)系存在性唯一性問題導(dǎo)入必修一第二章第二節(jié)第二部分函數(shù)的表示方法圖3(1)圖象法是表示函數(shù)的方法之一，畫函數(shù)圖象時，以定義域、對應(yīng)關(guān)系為依據(jù)，采用列表、描點法作圖.當(dāng)已知式是一次或二次式時，可借助一次函數(shù)或二次函數(shù)的圖象幫助作圖.(2)作圖象時，應(yīng)標(biāo)出一些關(guān)鍵點.例如，圖象的頂點、端點、與坐標(biāo)軸的交點等.要分清這些關(guān)鍵點是實心點，還是空心點.必修一第二章第二節(jié)2.作出下列函數(shù)的圖象.【解析】

(1)此函數(shù)圖象是直線y＝x的一部分.必修一第二章第二節(jié)(2)此函數(shù)的定義域為{－2，－1,0,1,2}，所以其圖象由五個點組成，這些點都在直線y＝1－x上.(這樣的點叫做整點)必修一第二章第二節(jié)求分段函數(shù)的函數(shù)值【思路點撥】必修一第二章第二節(jié)【解析】

∵－1＜0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求得.(2)象本題中含有多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.必修一第二章第二節(jié)【解析】

(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3＜0，∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1，又∵0＜1＜4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1(2)當(dāng)a＋4＝－1時，a＝－5＜0，∴a＝－5符合題意，當(dāng)a2－2a＝－1時，a＝1，∵0＜1＜4，∴a＝1符合題意；當(dāng)－a＋2＝－1時，a＝3＜4，∴a＝3不符合題意.∴a＝－5或a＝1.必修一第二章第二節(jié)優(yōu)點缺點解析法一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是通過解析式可以求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來列表法不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值它只能表示自變量取較少的有限值的對應(yīng)關(guān)系圖象法能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況只能近似地求出自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值，而且有時誤差較大1.函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點比較小結(jié)反思必修一第二章第二節(jié)2.關(guān)于分段函數(shù)(1)分段函數(shù)雖由幾部分構(gòu)成，但代表的是一個函數(shù).只不過在定義域內(nèi)的不同部分取值時，函數(shù)對應(yīng)關(guān)系不同.其值域也是各段上的函數(shù)值集合的并集.(2)求分段函數(shù)的有關(guān)函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)作分段函數(shù)的圖象時，則應(yīng)分段分別作出其圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，用虛線作出其圖象，再用實線保留定義域內(nèi)的一段圖象即可.必修一第二章第二節(jié)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式.【錯解】

∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，設(shè)t＝x2＋2，則f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.【錯因】

本題錯解的原因是忽略了函數(shù)f(x)的定義域.上面的解法，似乎是無懈可擊，然而從其結(jié)論，即f(x)＝x2－4來看，并未注明f(x)的定義域，那么按一般理解，就應(yīng)認(rèn)為其定義域是全體實數(shù).但是f(x)＝x2－4的定義域不是全體實數(shù).事實上，任何一個函數(shù)都由定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系f三要素組成.所以，當(dāng)函數(shù)f(g(x))一旦給出，則其對應(yīng)關(guān)系f就已確定并不可改變，那么f的“管轄范圍”(即g(x)的值域)也就隨之確定.因此，我們由f(g(x))求f(x)時，求得的f(x)的定義域就理應(yīng)與f(g(x))中的f的“管轄范圍”一致才妥.誤區(qū)警示必修一第二章第二節(jié)1.數(shù)集A中

元素在數(shù)集B中都有

確定的元素f(x)和它對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系叫集合A到集合B的映射，體現(xiàn)多對一或一對一.2.函數(shù)的表示方法為

、

、

.任何一個唯一解析法圖象法列表溫故知新必修一第二章第二節(jié)1.映射(1)映射的含義兩個

集合A與B間存在著對應(yīng)關(guān)系f，而且對A中的

元素x，B中總有

的一個元素y與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作

.(2)象與原象的概念在映射f：A→B中，

稱為原象，

稱為x的象，記作

.(3)一一映射f：A→B的概念一一映射是一種特殊的映射，它滿足：①A中每一個元素在B中都有

與之對應(yīng)；②A中的不同元素的象也不同；非空每一個唯一f：A→BA中的元素xB中的對應(yīng)元素yf：x→y唯一的象新知講解必修一第二章第二節(jié)第三部分映射③B中的每一個元素都有

.2.函數(shù)與映射設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集，f是A到B的一個

，那么映射

就叫作A到B的函數(shù).即函數(shù)是一種特殊的映射，是從

到

的映射.原象映射f：A→B非空數(shù)集非空數(shù)集必修一第二章第二節(jié)1.函數(shù)是映射嗎？【提示】

對比函數(shù)定義與映射定義可知，函數(shù)是特殊的映射，是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射.2.在映射f：A→B中，B中的元素都有原象與之對應(yīng)嗎？【提示】不一定，如在映射f：A→B如圖所示：B集合中的元素5，在A集合中無原象與之對應(yīng).問題思考必修一第二章第二節(jié)映射的判定

判斷下列對應(yīng)f是否是從集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝x；(3)A＝{x||x|≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【思路點撥】先從映射定義出發(fā)，觀察A中任何一個元素在B中是否都有唯一元素與之對應(yīng).例題分析必修一第二章第二節(jié)【解析】

(1)集合A＝N中元素1在對應(yīng)關(guān)系f：x→|x－1|下為0，而0N＋，即A中元素1在對應(yīng)關(guān)系下B中沒有元素與之對應(yīng)，故不是映射.(2)A中元素6在對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x下為3.而3B，故不是映射.(3)對A＝{x||x|≥3.x∈N}中的任意元素，總有整數(shù)x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B與之對應(yīng).故是A到B的映射.

要判斷對應(yīng)f：A→B是否是A到B的映射，必須做到兩點：①明確集合A、B中的元素；②根據(jù)映射定義判斷A中每個元素是否能在B中找到唯一確定的對應(yīng)元素.必修一第二章第二節(jié)1.下列對應(yīng)是不是從A到B的映射，能否構(gòu)成函數(shù)？

【解析】

(1)當(dāng)x＝－1時，y的值不存在，∴不是映射，更不是函數(shù).(2)是映射，也是函數(shù)，因A中所有的元素的倒數(shù)都是B中的元素.(3)當(dāng)A中的元素不為零時，B中有兩個元素與之對應(yīng)，所以不是映射，更不是函數(shù).(4)是映射，但不是函數(shù)，因為A，B不是數(shù)集.必修一第二章第二節(jié)象與原象

已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y).(1)求A中元素(5,5)的象；(2)求B中元素(5,5)的原象.例題分析必修一第二章第二節(jié)(1)解答此類問題的關(guān)鍵是：①分清原象和象；②搞清楚由原象到象的對應(yīng)關(guān)系；(2)對A中元素，求象只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系即可，對于B中元素求原象，可先設(shè)出它的原象，然后利用對應(yīng)關(guān)系列出方程組求解.必修一第二章第二節(jié)2.若本例的條件不變，問集合A中是否存在這樣的元素(a，b)使它的象仍是自身？若存在，求出這個元素，若不存在，請說明理由.必修一第二章第二節(jié)函數(shù)的實際應(yīng)用

某市空調(diào)公共汽車的票價如下：①5公里以內(nèi)(包括5公里)，票價2元；②5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里的按5公里計算).已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點站和終點站)有21個汽車站，請根據(jù)題意寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.【思路點撥】

解答本題可根據(jù)題意寫出相應(yīng)區(qū)間上的解析式，并注意變量的分界點問題.例題分析必修一第二章第二節(jié)必修一第二章第二節(jié)

該類問題屬于函數(shù)建模問題，解答此類問題的關(guān)鍵在于先將實際問題數(shù)學(xué)模型化，然后結(jié)合題設(shè)選擇合適的函數(shù)類型去擬合.解答過程中要密切關(guān)注實際問題中的隱含條件.即題后感悟必修一第二章第二節(jié)3.某同學(xué)為了援助失學(xué)兒童，每月將自己的零用錢以相等的數(shù)額存入儲蓄盒里，準(zhǔn)備湊夠200元時一并寄出，儲蓄盒里原有60元，2個月后盒內(nèi)有100元.(1)寫出盒內(nèi)的錢數(shù)(元)與存錢月份數(shù)的函數(shù)解析式，并畫出圖象；(2)幾個月后這位同學(xué)可以第一次匯款？變式訓(xùn)練其圖象如圖所示：(2)因為當(dāng)x＝7時，y＝60