北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊：4.3.1《二倍角公式》聽評課記錄x一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師姓名為李明，學(xué)科/課程名稱為數(shù)學(xué)，班級/年級為高二年級，教學(xué)主題或章節(jié)為北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊：4.3.1《二倍角公式》。

聽課人姓名為王華，聽課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長，聽課目的為教學(xué)研究，通過觀摩《二倍角公式》的課堂教學(xué)，探討如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升。本課時內(nèi)容是二倍角公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，屬于三角函數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容，對后續(xù)學(xué)習(xí)三角恒等變換和解三角形具有重要意義。教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解二倍角公式的推導(dǎo)過程，并能靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題，同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備：教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，包括理解二倍角公式的推導(dǎo)過程、掌握公式的應(yīng)用、并能解決相關(guān)實(shí)際問題。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材內(nèi)容突出重點(diǎn)，教具包括三角函數(shù)圖像板和計(jì)算器，多媒體課件展示了公式的推導(dǎo)過程和典型例題，為教學(xué)提供了直觀支持。教師提前預(yù)設(shè)了課堂可能出現(xiàn)的問題，如學(xué)生對公式記憶的困難、應(yīng)用公式的靈活性不足等，并準(zhǔn)備了相應(yīng)的解決方案，如通過變式練習(xí)和小組討論幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

2.教學(xué)過程：

開始階段：教師通過復(fù)習(xí)已學(xué)的三角函數(shù)公式，如余弦的平方公式和正弦的平方公式，引導(dǎo)學(xué)生思考如何推導(dǎo)二倍角的余弦公式。導(dǎo)入方式采用問題驅(qū)動法，提出“如何將sin2α和cos2α表示為sinα和cosα的函數(shù)”的問題，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。效果較好，大部分學(xué)生能夠積極參與思考，并嘗試用已學(xué)知識解決問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

展開階段：教師采用講授與討論相結(jié)合的方法，首先講解二倍角余弦公式的推導(dǎo)過程，通過幾何法和代數(shù)法兩種方式展示推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生理解公式的來源。隨后，教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生嘗試推導(dǎo)二倍角正弦公式和正切公式，培養(yǎng)學(xué)生的合作學(xué)習(xí)和探究能力。在推導(dǎo)過程中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生思考公式的內(nèi)在聯(lián)系，如二倍角公式與和差角公式的關(guān)系，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系。此外，教師通過多媒體課件展示了公式的應(yīng)用，如求解三角函數(shù)值、化簡三角表達(dá)式等，并通過典型例題講解公式的應(yīng)用技巧，如角的變換、公式的選擇等。在例題講解過程中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生分析問題的思路，如如何將復(fù)雜問題分解為簡單問題、如何選擇合適的公式進(jìn)行求解等，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力。

結(jié)束階段：教師通過總結(jié)歸納的方式，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括二倍角公式的推導(dǎo)過程、應(yīng)用技巧等。同時，教師布置了適量的作業(yè)，包括基礎(chǔ)題和拓展題，基礎(chǔ)題鞏固學(xué)生對公式的記憶和應(yīng)用，拓展題則提升學(xué)生的綜合運(yùn)用能力。作業(yè)設(shè)計(jì)合理，難度梯度明顯，能夠滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。此外，教師還鼓勵學(xué)生課后進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，如通過閱讀教材、查閱資料等方式進(jìn)一步拓展知識面，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

3.師生互動：師生交流頻率較高，教師通過提問、引導(dǎo)、鼓勵等方式與學(xué)生進(jìn)行互動，如“如何將sin2α表示為sinα和cosα的函數(shù)？”、“二倍角公式與和差角公式有什么聯(lián)系？”等問題，激發(fā)了學(xué)生的思考。學(xué)生參與度較高，能夠積極回答問題、參與討論，部分學(xué)生還能提出自己的見解。反應(yīng)情況良好，大部分學(xué)生能夠跟上教師的思路，對二倍角公式的理解逐漸深入。教師注重傾聽學(xué)生的回答，并對學(xué)生的回答進(jìn)行評價和指導(dǎo)，如對學(xué)生的錯誤回答進(jìn)行糾正、對學(xué)生的正確回答給予肯定等，促進(jìn)了學(xué)生的思維發(fā)展。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，能夠主動參與課堂活動，對二倍角公式的推導(dǎo)和應(yīng)用表現(xiàn)出濃厚的興趣。專注度較好，大部分學(xué)生能夠集中注意力聽講，認(rèn)真做筆記，對教師的講解內(nèi)容能夠理解并吸收。合作學(xué)習(xí)情況良好，學(xué)生在小組討論中能夠積極交流、互相幫助，共同解決問題。部分小組還能提出創(chuàng)新性的解題方法，如用幾何法推導(dǎo)二倍角公式，展現(xiàn)了學(xué)生的探究精神和創(chuàng)造力。

5.課堂管理：課堂紀(jì)律狀況良好，學(xué)生能夠遵守課堂規(guī)則，認(rèn)真聽講，不隨意說話或做小動作。時間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，展開環(huán)節(jié)25分鐘，結(jié)束環(huán)節(jié)10分鐘，能夠保證教學(xué)內(nèi)容的完整性和學(xué)生的參與度。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，教師通過提問、講解、討論等方式調(diào)節(jié)課堂節(jié)奏，避免了長時間的講授或沉悶的討論，保證了課堂的生動性和有效性。

6.教學(xué)技術(shù)使用：教師有效利用了現(xiàn)代教育技術(shù)和工具，如多媒體課件、計(jì)算器等，為教學(xué)提供了直觀支持。多媒體課件展示了公式的推導(dǎo)過程和典型例題，幫助學(xué)生理解公式的來源和應(yīng)用；計(jì)算器則用于求解復(fù)雜的三角函數(shù)值，提高了計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率。技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用明顯，如多媒體課件能夠?qū)⒊橄蟮墓睫D(zhuǎn)化為直觀的圖像，幫助學(xué)生理解公式的含義；計(jì)算器則能夠?qū)W(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解放出來，更專注于數(shù)學(xué)思維和問題解決能力的培養(yǎng)。教師還鼓勵學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，如查閱相關(guān)資料、觀看教學(xué)視頻等，拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)渠道，培養(yǎng)了學(xué)生的信息素養(yǎng)。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成：教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高二學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。本課時主要教學(xué)目標(biāo)包括理解二倍角公式的推導(dǎo)過程、掌握公式的形式和變形、能夠運(yùn)用二倍角公式解決簡單的三角函數(shù)問題，并初步體會三角恒等變換的簡潔美。從課堂觀察和學(xué)生反饋來看，學(xué)生基本達(dá)到了預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)。在理解推導(dǎo)過程方面，通過教師的幾何法和代數(shù)法講解以及小組討論，大部分學(xué)生能夠理解二倍角余弦公式的推導(dǎo)思路，部分學(xué)生還能自主推導(dǎo)出二倍角正弦和正切公式，表明學(xué)生對公式的內(nèi)涵有了較好的把握。在掌握公式形式和變形方面，學(xué)生在例題講解和隨堂練習(xí)中，能夠熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行化簡和求值，如將sin4α表示為cos2α的函數(shù)，或求解sin2α/cos2α的值，顯示出學(xué)生對公式的形式記憶和應(yīng)用能力較強(qiáng)。在運(yùn)用公式解決問題方面，學(xué)生能夠?qū)⒍督枪綉?yīng)用于解三角形、求三角函數(shù)值等問題，如利用二倍角公式求解△ABC中角B的余弦值，或化簡sin^4α-cos^4α等，表明學(xué)生初步掌握了公式的實(shí)際應(yīng)用能力。盡管部分學(xué)生在應(yīng)用公式的靈活性和技巧性上仍有不足，但總體來看，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度較高，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角恒等變換和解三角形打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.知識掌握：學(xué)生對知識點(diǎn)的理解和記憶情況良好。通過課堂提問和隨堂練習(xí)，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確復(fù)述二倍角公式的三種形式（余弦、正弦、正切），并能解釋公式推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵步驟，如對余弦平方公式的變形應(yīng)用、對角的變換的理解等。在記憶方面，學(xué)生能夠通過對比和聯(lián)想記憶公式，如將二倍角余弦公式與和差角公式進(jìn)行對比，幫助學(xué)生理解公式的內(nèi)在聯(lián)系，提高了記憶效率。對技能的掌握程度也較為理想。在公式變形方面，學(xué)生能夠根據(jù)題目要求選擇合適的公式形式，如將cos2α表示為-sin^2α+cos^2α，或?qū)in2α表示為2sinαcosα，顯示出學(xué)生對公式的靈活運(yùn)用能力。在計(jì)算方面，學(xué)生能夠準(zhǔn)確進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，如化簡sin^2α(1+cot^2α)為sin^2α，或求解cos2α-sin^2α的值，表明學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到了鍛煉。但在一些復(fù)雜問題中，部分學(xué)生仍存在計(jì)算錯誤或公式選擇不當(dāng)?shù)膯栴}，如將sin3α表示為3sinα-4sin^3α（這是三倍角公式，與二倍角公式混淆），反映出學(xué)生在知識的綜合運(yùn)用和細(xì)節(jié)處理上仍需加強(qiáng)。此外，部分學(xué)生對于公式的逆向運(yùn)用（如已知sin2α求cosα）掌握不夠熟練，需要更多的練習(xí)和引導(dǎo)?？傮w而言，學(xué)生對二倍角公式的理解和記憶達(dá)到了預(yù)期水平，但技能的熟練度和靈活性仍有提升空間，需要教師在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)針對性訓(xùn)練。

3.情感態(tài)度價值觀：本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展方面取得了一定成效。首先，教師通過問題驅(qū)動和小組討論的方式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，部分學(xué)生在課堂上提出了自己的見解和創(chuàng)新性的解題方法，如用幾何法推導(dǎo)二倍角公式，展現(xiàn)了學(xué)生的積極探索精神。這種積極的情感體驗(yàn)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和自信心。其次，教師在課堂中強(qiáng)調(diào)公式的內(nèi)在聯(lián)系和數(shù)學(xué)美，如將二倍角公式與和差角公式進(jìn)行對比，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的和諧統(tǒng)一，培養(yǎng)了學(xué)生的審美情趣和數(shù)學(xué)文化意識。此外，教師在例題講解中注重分析問題的思路和方法，如如何將復(fù)雜問題分解為簡單問題、如何選擇合適的公式進(jìn)行求解等，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和問題解決能力。這種注重思維訓(xùn)練的教學(xué)方式，有助于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和科學(xué)態(tài)度。最后，教師在課堂管理中注重公平性和包容性，鼓勵所有學(xué)生參與課堂活動，并對學(xué)生的回答給予積極的評價和指導(dǎo)，營造了良好的課堂氛圍，促進(jìn)了學(xué)生的情感發(fā)展和人際交往能力。盡管部分學(xué)生在課堂上仍存在緊張或不敢發(fā)言的情況，但教師的鼓勵和引導(dǎo)逐漸幫助學(xué)生克服了心理障礙，敢于表達(dá)自己的觀點(diǎn)?？傮w而言，本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生的情感態(tài)度價值觀方面取得了積極成效，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定了良好的基礎(chǔ)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價：本節(jié)課總體印象良好，教學(xué)設(shè)計(jì)科學(xué)合理，教學(xué)過程流暢自然，教學(xué)效果顯著，較好地完成了教學(xué)目標(biāo)。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教師能夠有效運(yùn)用問題驅(qū)動法激發(fā)學(xué)生思考，通過小組討論和合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和合作精神。教師的教學(xué)語言清晰流暢，多媒體課件制作精良，能夠?qū)⒊橄蟮墓睫D(zhuǎn)化為直觀的圖像和動畫，幫助學(xué)生理解公式的內(nèi)涵和應(yīng)用。此外，教師注重課堂互動，通過提問、引導(dǎo)、鼓勵等方式與學(xué)生進(jìn)行有效交流，營造了積極向上的課堂氛圍，促進(jìn)了學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和深度參與。在知識傳授方面，教師能夠由淺入深，從二倍角余弦公式的推導(dǎo)到正弦、正切公式的介紹，再到公式的應(yīng)用，層次分明，邏輯清晰，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在能力培養(yǎng)方面，教師不僅注重學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的提升，還注重學(xué)生邏輯推理和問題解決能力的培養(yǎng)，通過典型例題的講解和分析，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題思路和方法。在情感態(tài)度價值觀方面，教師通過展示數(shù)學(xué)知識的和諧統(tǒng)一和簡潔美，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和審美情趣，培養(yǎng)了學(xué)生的理性精神和科學(xué)態(tài)度?？傮w而言，本節(jié)課是一節(jié)成功的示范課，值得學(xué)習(xí)和借鑒。

2.改進(jìn)建議：盡管本節(jié)課已經(jīng)取得了較好的教學(xué)效果，但仍存在一些可以改進(jìn)的地方。首先，在知識點(diǎn)的講解上，部分學(xué)生對于公式的逆向運(yùn)用（如已知sin2α求cosα）掌握不夠熟練，需要教師在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)針對性訓(xùn)練。建議教師可以設(shè)計(jì)一些逆向運(yùn)用的練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固公式的逆向應(yīng)用能力。其次，在課堂互動方面，雖然教師已經(jīng)注重與學(xué)生進(jìn)行交流，但仍可以進(jìn)一步增加學(xué)生的參與度，特別是對于那些比較內(nèi)向或不敢發(fā)言的學(xué)生。建議教師可以采用更多的互動方式，如小組競賽、角色扮演等，激發(fā)學(xué)生的參與熱情。此外，在課堂管理方面，雖然課堂紀(jì)律狀況良好，但部分學(xué)生仍存在注意力不集中的情況，需要教師進(jìn)一步加強(qiáng)對課堂紀(jì)律的管理。建議教師可以采用更多的教學(xué)手段，如眼神交流、走動觀察等，及時發(fā)現(xiàn)并糾正學(xué)生的不良行為。最后，在教學(xué)技術(shù)使用方面，雖然教師已經(jīng)有效利用了多媒體課件和計(jì)算器等現(xiàn)代教育技術(shù)和工具，但仍可以進(jìn)一步探索更多的技術(shù)應(yīng)用方式，如利用在線平臺進(jìn)行互動練習(xí)、利用虛擬仿真軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)等，以提升教學(xué)效果。建議教師可以積極參加相關(guān)的培訓(xùn)和學(xué)習(xí)，提升自身的現(xiàn)代教育技術(shù)應(yīng)用能力。

3.后續(xù)跟蹤：建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)改進(jìn)情況，以評估教師的改進(jìn)效果和教學(xué)成長。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長：首先，安排