人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊2.4.2《圓的一般方程》聽評課記錄一.基本信息

2023年10月26日，上午第二節(jié)課，聽課教師張明，學科為高中數(shù)學，授課班級為高一（7）班，教學主題為《圓的一般方程》。本次聽課旨在通過觀摩《圓的一般方程》的教學實踐，探討如何在高中數(shù)學教學中有效落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，特別是數(shù)學抽象和邏輯推理能力的提升。該課時內容屬于人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊2.4.2節(jié)，主要引導學生理解圓的一般方程的定義，掌握其標準形式與一般形式之間的轉化，并能運用一般方程解決實際問題。通過本次聽課，可以深入了解教師在處理教材難點時的策略以及學生對該知識點的掌握情況。

二.課堂觀察記錄

1.教學準備

教師的教學計劃清晰，教學目標明確，圍繞“理解圓的一般方程，掌握其與標準方程的轉化”展開。教學資源準備充分，包括教材、多媒體課件、幾何畫板軟件等。教材中相關例題和習題的標注清晰，多媒體課件直觀展示了圓的幾何特征與代數(shù)方程的對應關系，幾何畫板則用于動態(tài)演示圓的方程變化，這些資源有效支持了教學內容的呈現(xiàn)和學生認知的發(fā)展。教師提前在黑板上演算了幾個典型例題，為課堂講解做了鋪墊，體現(xiàn)了對教學細節(jié)的重視。

2.教學過程

開始階段，教師通過復習圓的標準方程導入新課。他先在黑板上畫了一個圓，并寫出其標準方程（x-1）2+(y+2)2=5，然后提問：“如果不用圓心（1，-2）和半徑√5來表示，而是用其他變量，如何用代數(shù)式描述這個圓？”學生經(jīng)過短暫思考后，部分人嘗試將方程展開得到x2+y2-2x+4y-1=0，教師對此給予肯定，并順勢引出“圓的一般方程”的概念。導入過程自然流暢，激發(fā)了學生的求知欲，效果良好。

展開階段，教師采用講授與討論相結合的方法展開教學。首先，他通過多媒體課件展示了圓的一般方程的定義：x2+y2+Dx+Ey+F=0，并強調D2+E2-4F>0是方程表示圓的充要條件。接著，通過例1“將圓的一般方程x2+y2-6x+4y-12=0化為標準方程”進行講解，教師逐步引導學生完成配方過程：（x-3）2+(y+2)2=25，并解釋了配方在代數(shù)變形中的作用。隨后，教師組織學生分組討論“如何由標準方程求一般方程”，各小組在黑板上演算并展示結果，教師巡視指導，對錯誤的做法及時糾正。這一環(huán)節(jié)中，教師還穿插了“隨堂練習”，讓學生判斷方程x2+y2-4x+6y+9=0是否表示圓，并說明理由。部分學生因對“D2+E2-4F”條件理解不透徹而出現(xiàn)錯誤，教師通過反例（如x2+y2-4x+6y+10=0）進行辨析，幫助學生深化理解。

在技術應用方面，教師利用幾何畫板動態(tài)演示了圓心位置和半徑大小的變化，當學生完成例2“求過點（1，2）、（3，0）、（-1，-4）的圓的一般方程”后，教師通過軟件驗證了結果的正確性，直觀性極強。此外，教師還利用課件中的互動答題功能，隨機展示練習題，學生通過平板電腦提交答案，教師即時反饋，增強了課堂的趣味性和競爭性。

結束階段，教師帶領學生總結本節(jié)課的核心內容：圓的一般方程的形式、判別條件以及與標準方程的互化方法。通過提問“為什么D2+E2-4F>0是必要條件？”引導學生從代數(shù)角度思考，部分學生能結合判別式與二次函數(shù)圖像進行解釋，教師對此給予高度評價。最后，布置作業(yè)時，教師將題目分為基礎題和拓展題，基礎題要求學生寫出給定圓的標準方程，拓展題則要求學生證明“過定點（a，b）的圓的一般方程中，D、E、F滿足的關系式”，分層設計體現(xiàn)了因材施教的理念。

3.師生互動

課堂中師生交流頻繁，教師通過提問、追問、點評等方式與學生互動。例如，在講解配方時，教師會問“如何將-6x轉化為(x-3)2的一部分？”，在討論分組時，教師會巡視并參與小組討論，對學生的思路進行引導。學生的反應積極，大部分能跟上教師的節(jié)奏，但仍有少數(shù)學生在理解“D2+E2-4F”時表現(xiàn)出遲疑，教師通過個別輔導和類比解析幫助他們克服困難。在互動答題環(huán)節(jié)，學生的參與度極高，正確率也在80%以上，教師通過“搶答”和“積分”等形式調動了課堂氣氛。

4.學生學習狀態(tài)

學生的學習積極性較高，尤其是在幾何畫板演示和互動答題環(huán)節(jié)，學生表現(xiàn)出濃厚的興趣。課堂專注度整體良好，但部分學生在書寫方程時出現(xiàn)筆誤，反映出對細節(jié)的忽視。合作學習方面，小組討論時學生分工明確，有的負責計算，有的負責講解，但個別小組因分工不均導致效率較低。教師通過表揚優(yōu)秀小組和示范合理分工的方式，逐步提升了學生的合作能力。

5.課堂管理

課堂紀律良好，學生能遵守課堂規(guī)則，教師通過眼神示意和手勢引導維持秩序。時間分配合理，導入5分鐘，展開30分鐘，結束5分鐘，互動答題環(huán)節(jié)占5分鐘，符合教學計劃。課堂節(jié)奏控制得當，教師能在關鍵節(jié)點調整語速，如講解判別式時放慢語速，確保學生理解。但個別練習時間略顯倉促，教師應在后續(xù)教學中優(yōu)化時間分配。

6.教學技術使用

現(xiàn)代教育技術的應用較為充分，多媒體課件直觀展示了圓的幾何特征，幾何畫板動態(tài)演示了方程變化，互動答題系統(tǒng)增強了課堂互動性。技術對教學效果的支持顯著，特別是幾何畫板的應用，使學生能直觀理解抽象概念，提高了學習效率。教師應繼續(xù)探索更多技術工具，如在線測試平臺，以進一步優(yōu)化教學。

三.教學效果評價

1.目標達成

本節(jié)課的教學目標明確且適切，聚焦于“理解圓的一般方程及其與標準方程的互化”這一核心內容，同時兼顧了數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。從課堂觀察來看，目標達成度較高。首先，在知識層面，學生能夠準確復述圓的一般方程的形式x2+y2+Dx+Ey+F=0，并理解D2+E2-4F>0是方程表示圓的充要條件。通過例題和隨堂練習，大部分學生掌握了將一般方程化為標準方程的配方法，以及由標準方程求一般方程的代數(shù)變形。例如，在例1講解后，當教師提出“將x2+y2-6x+4y-12=0化為標準方程”的隨堂練習時，約80%的學生能夠獨立完成配方過程，并在黑板或練習本上正確寫出（x-3）2+(y+2)2=25。在例2中，要求學生求過三點（1，2）、（3，0）、（-1，-4）的圓的一般方程，部分學生能正確列出方程組并求解，暴露出少數(shù)學生在解三元一次方程組時的計算錯誤，但教師及時糾正，體現(xiàn)了對細節(jié)的關注。從互動答題環(huán)節(jié)的數(shù)據(jù)來看，基礎題的正確率超過85%，表明學生對核心知識點的掌握較為扎實。

在能力層面，學生的邏輯推理能力和數(shù)學運算能力得到鍛煉。特別是在討論“如何由標準方程求一般方程”時，部分學生能主動思考并表達自己的思路，如學生A提出“將(x-a)2+(y-b)2=r2展開即可”，教師對此給予肯定，并引導學生總結出“標準方程與一般方程的互化本質是代數(shù)變形”。在判別式條件的討論中，學生B能結合二次函數(shù)圖像解釋“為什么D2+E2-4F>0”，顯示出一定的邏輯思維深度。然而，仍有部分學生在應用判別式時出現(xiàn)混淆，如將“>0”誤記為“<0”，反映出對概念的理解不夠透徹，需要教師在后續(xù)教學中加強辨析。

在素養(yǎng)層面，本節(jié)課通過幾何畫板的動態(tài)演示，幫助學生建立了幾何直觀與代數(shù)表達的聯(lián)系，促進了數(shù)學抽象能力的提升。例如，當教師演示圓心位置隨D、E變化時，學生能直觀理解一般方程中D、E對圓心坐標的影響，這種具身認知的方式有效降低了理解難度。此外，通過小組討論和互動答題，學生的合作意識和表達能力得到提升，部分內向的學生在同伴鼓勵下也積極參與到課堂活動中?？傮w而言，教學目標基本達成，但部分學生的高階思維能力仍需加強。

2.知識掌握

學生對圓的一般方程的知識點掌握較好，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

首先，概念理解較為清晰。通過教師的講解和例題的示范，學生能夠區(qū)分圓的一般方程與標準方程的區(qū)別，并記住一般方程的特殊條件D2+E2-4F>0。在隨堂練習中，當教師提問“方程x2+y2-4x+6y+9=0是否表示圓”時，多數(shù)學生能正確判斷為否，并說明理由（因為42+62-4×9=0，不滿足>0）。這表明學生對判別式的應用已初步掌握。

其次，技能掌握較為熟練。將一般方程化為標準方程的配方法是本節(jié)課的重點技能，大部分學生能夠獨立完成。例如，在例1的練習中，學生C能按照步驟寫出（x-3）2+(y+2)2=25，并在括號內注明圓心（3，-2）和半徑5。然而，部分學生在配方過程中出現(xiàn)符號錯誤，如將-6x誤配為（x+3）2，反映出對平方差公式和變形技巧的掌握不夠牢固。教師通過點撥“注意展開后的系數(shù)匹配”幫助學生糾正，但這類問題仍需在后續(xù)練習中加強鞏固。

再次，應用能力有待提升。雖然學生能夠進行方程的互化，但在解決實際問題時，部分學生仍感吃力。例如，在拓展題“證明過定點（a，b）的圓的一般方程中，D、E、F滿足的關系式”中，僅少數(shù)學生能嘗試代入并推導，多數(shù)學生缺乏將幾何問題轉化為代數(shù)證明的思路。這表明學生在知識的遷移應用方面存在短板，需要教師在教學中增加相關訓練。此外，在幾何畫板演示環(huán)節(jié)，雖然學生能觀察到圓心位置的變化，但只有少數(shù)學生能主動提出“若圓心在x軸上，則E=0”等結論，說明學生的觀察總結能力仍需培養(yǎng)。

總體而言，學生掌握了圓的一般方程的基本形式和判別條件，并能進行簡單的互化，但對復雜應用和深度理解的掌握程度不足，需要教師在后續(xù)教學中注重分層遞進和思維訓練。

3.情感態(tài)度價值觀

本節(jié)課在促進學生全面發(fā)展方面取得了一定成效，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

首先，學生的學習興趣得到激發(fā)。教師通過動態(tài)演示、互動答題和分層作業(yè)等方式，使課堂充滿趣味性。特別是幾何畫板的應用，讓學生直觀感受到數(shù)學的動態(tài)美，部分學生在操作過程中表現(xiàn)出濃厚的探究欲。在互動答題環(huán)節(jié)，學生的搶答和積分競爭進一步調動了積極性，課堂氛圍活躍，這表明學生在情感上對數(shù)學學習產(chǎn)生了正向態(tài)度。

其次，學生的學習習慣得到培養(yǎng)。教師通過強調書寫規(guī)范、要求詳細說明解題步驟等方式，引導學生養(yǎng)成良好的學習習慣。例如，在例1講解時，教師特意指出“配方過程要寫清變形依據(jù)”，并在學生練習中檢查格式，部分學生因此開始注重細節(jié)。此外，小組討論時的分工合作也培養(yǎng)了學生的責任感和團隊精神，如學生D在討論例2時主動承擔計算任務，并負責向全班匯報結果。這些細節(jié)反映出學生在態(tài)度上更加認真投入。

再次，學生的思維品質得到提升。通過判別式條件的辨析、拓展題的挑戰(zhàn)等環(huán)節(jié)，學生的批判性思維和探究精神得到鍛煉。例如，在互動答題中，有學生質疑“為什么D2+E2-4F=0時方程不表示圓？”，教師對此給予肯定，并引導全班討論，最終得出“此時方程退化為一點”的結論。這一過程不僅鞏固了知識，更培養(yǎng)了學生的質疑意識和創(chuàng)新思維。此外，在小組討論中，教師鼓勵學生“從不同角度思考問題”，如學生E提出“除了代數(shù)法，是否可以用幾何法判斷圓的存在？”，雖然想法不成熟，但教師及時鼓勵，保護了學生的探索熱情。

最后，學生的價值觀得到引導。教師通過分層作業(yè)的設計，體現(xiàn)了對個體差異的尊重，讓每個學生都能在原有基礎上獲得進步；通過強調合作學習，培養(yǎng)了學生的集體榮譽感；通過幾何畫板的應用，讓學生感受到數(shù)學與科技的結合，激發(fā)了追求科學的精神。這些元素共同促進了學生的全面發(fā)展。

總體而言，本節(jié)課在情感態(tài)度價值觀方面取得了良好效果，但仍有提升空間。例如，部分學生因基礎薄弱而缺乏自信，教師應在課堂中增加更多鼓勵性評價；部分學生習慣于被動接受知識，教師應設計更多開放性問題，引導學生主動探究。這些方面需要在后續(xù)教學中持續(xù)關注和改進。

四、總結與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)較為成功的高中數(shù)學課。教師教學設計思路清晰，目標明確，能夠圍繞“圓的一般方程”這一核心知識點展開教學，并注重與標準方程的互化以及判別式條件的理解和應用。課堂節(jié)奏把握較為得當，時間分配合理，教學環(huán)節(jié)過渡自然，從導入、展開到結束，邏輯性強，符合學生的認知規(guī)律。最突出的優(yōu)點在于教師能夠有效利用現(xiàn)代教育技術手段輔助教學，特別是幾何畫板的動態(tài)演示和互動答題系統(tǒng)的應用，極大地豐富了教學形式，提升了學生的參與度和直觀理解能力。幾何畫板的應用將抽象的代數(shù)方程與直觀的幾何圖形結合起來，幫助學生建立了知識間的聯(lián)系，促進了數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)；互動答題系統(tǒng)則增加了課堂的趣味性和即時反饋性，有效激發(fā)了學生的學習興趣，并便于教師掌握學情。此外，教師的教學語言規(guī)范、簡潔，能夠結合實例進行講解，并注重啟發(fā)式教學，引導學生思考和探究。例如，在討論判別式條件時，教師沒有直接給出結論，而是通過反例和追問引導學生逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種教學方式有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。在小組討論環(huán)節(jié)，教師巡視指導，關注到每個小組的討論情況，體現(xiàn)了對學生個體學習的重視?？傮w而言，本節(jié)課教學目標達成度較高，教學效果顯著，體現(xiàn)了教師較強的專業(yè)素養(yǎng)和教學能力。

2.改進建議

盡管本節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)秀，但為了進一步提升教學質量，仍有一些方面可以改進：

首先，在知識深度挖掘方面，可以適當增加拓展延伸。本節(jié)課主要聚焦于圓的一般方程的基本形式和判別條件，對于一些更深入的內容，如“圓系方程”的引入或“一般方程與標準方程互化的幾何意義”的探討，可以適當涉及，以激發(fā)學生的探究欲望，培養(yǎng)更高階的思維能力。例如，在講解完例2后，可以簡要提及“過三點確定的圓是唯一的，但方程形式可能不同”，為后續(xù)學習圓系方程埋下伏筆。此外，在判別式條件的討論中，可以引導學生思考“為什么D2+E2-4F>0時表示圓？”，結合二次函數(shù)圖像進行解釋，加深學生對判別式幾何意義的理解。

其次，在學生差異化關注方面，可以進一步加強分層教學。雖然教師布置了分層作業(yè)，但在課堂互動和練習環(huán)節(jié)，仍以中等水平學生的需求為主，對基礎薄弱和學有余力的學生關注不夠充分。例如，在隨堂練習中，大部分題目難度適中，對于基礎較差的學生可能存在困難，對于學有余力的學生則挑戰(zhàn)性不足。建議教師設計更多彈性化的練習題或思考題，如為后進生提供“判斷方程是否表示圓的簡化版本”，為優(yōu)等生設置“求過定點且滿足特定條件的圓的方程”等。在小組討論時，可以采用異質分組，并明確不同層次學生的任務，如讓基礎較好的學生負責計算，基礎較弱的學生負責檢查和記錄，確保每個學生都能參與其中并獲得進步。此外，教師可以在巡視時對后進生進行更有針對性的輔導，如單獨講解易錯點，或提供提示性的引導問題。

再次，在技術應用方面，可以更注重技術的深度整合。雖然幾何畫板和互動答題系統(tǒng)得到了應用，但技術的融入仍可以更自然、更深入。例如，在講解判別式時，除了動態(tài)演示圓的大小變化，還可以利用軟件繪制多個不同D2+E2-4F值的方程圖像，進行對比分析，讓學生直觀感受條件對圖形的影響。在互動答題環(huán)節(jié)，可以設計一些需要協(xié)作才能完成的題目，如要求小組共同提交一個正確答案，以促進團隊協(xié)作。此外，教師可以探索更多技術工具，如在線數(shù)學平臺，讓學生課后也能進行練習和探究，形成線上線下混合式學習模式。

最后