第十四講數(shù)學(xué)廣角—搭配（二）知識(shí)點(diǎn)一.解決搭配問題的方法一般有以下兩種：（1）一一列舉法：按一定的順序?qū)⑺星闆r一一列舉，再數(shù)一數(shù)一共列了多少種，就有多少種方法。（2）連線法：按一定的順序把要搭配的事物兩兩連線，再數(shù)一數(shù)連了多少條線，就有多少種方法。典例精講考點(diǎn)1：列舉法解決搭配問題【典例1】（2020秋?濟(jì)南期末）今年“國(guó)慶七日長(zhǎng)假”，陸老師想?yún)⒓印扒u湖雙日游”，哪兩天去呢，陸老師共有多少種不同的選擇？（）A．5種 B．6種 C．4種【分析】度假的這兩天是相鄰的兩天，只要不把第一天放在10月7日（最后一天）即可．【解答】解：陸老師可以選擇以下的兩天去旅游：10月1日和10月2日；10月2日和10月3日；10月3日和0月4日；10月4日和10月5日；10月5日和10月6日；10月6日和10月7日．共6種選擇．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題只要理解這兩天是相鄰的兩天，問題不難解決．【典例2】（2020秋?登封市期中）小李有5元和2元面值的人民幣各5張。如果要買一本20元的書，有幾種恰好付給20元的方式？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】2元面值的人民幣最多可以付：2×5＝10（元），5元面值的人民幣最多可以付：5×5＝25（元），現(xiàn)在要買一本20元的字典，所以，至少要用5元面值的人民幣支付：20﹣10＝10（元），最多可以用5元面值的人民幣支付20元，據(jù)此討論即可?！窘獯稹拷猓?元面值的人民幣最多可以付：2×5＝10（元）5元面值的人民幣最多可以付：5×5＝25（元）要買一本20元的字典，至少要用5元面值的人民幣支付：20﹣10＝10（元）最多可以用5元面值的人民幣支付20元，10÷5＝220÷5＝4所以，5元面值的人民幣至少用2張，最多用4張，①當(dāng)5元面值的用2張時(shí)，2元面值需要支付：20﹣5×2＝20﹣10＝10（元）需要2元面值的張數(shù)：10÷2＝5（張）②當(dāng)5元面值的用3張時(shí)，2元面值需要支付：20﹣5×3＝20﹣15＝5（元）需要2元面值的張數(shù)：5÷2＝2.5（張）不是整數(shù)，不符合題意；③當(dāng)5元面值的用4張時(shí)，5×4＝20剛好夠。答：一共有2種恰好付20元的方式。故選：B?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了錢幣問題，根據(jù)2元面值的最大支付能力，求出5元面值最少使用的張數(shù)，是本題解題的關(guān)鍵。【典例3】（2020秋?富?？h期末）小欣一家三口到影樓照全家福，攝影師有（）種排列方法.A．3 B．1 C．6【分析】可以設(shè)小欣一家三口為a，b，c，則排列方法可以分為三類有（1）abc，acb；（2）bac，bca；（3）cab，cba。一共有6種。【解答】解：設(shè)小欣一家三口為a，b，c，則排列方法有（1）abc，acb；（2）bac，bca；（3）cab，cba。一共6種。故選：C。【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的排列、組合。按照分類的方式不重不漏數(shù)全即可?？键c(diǎn)2：連線法解決搭配問題【典例1】（2019秋?府谷縣期末）如圖，娜娜要從摩天輪經(jīng)過石山到水上樂園，一共有條路可以走．A．3 B．5 C．6 D．9【分析】一共分兩步完成，先從摩天輪到石山有2條路可走；從石山到水上樂園有3條路，根據(jù)乘法原理解答即可．【解答】解：一共有：（條．答：一共有6條路可以走．故選：．【點(diǎn)評(píng)】乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有種方法不管前面步用哪種方法，第步總有種方法，那么完成這件任務(wù)共有：種不同的方法．【典例2】（2019秋?深圳期末）麥當(dāng)勞新推出了下午茶套餐，一種飲料可以搭配一種小食，請(qǐng)你用連線或畫圖等方法列出下面的飲料和小食一共有幾種套餐搭配方法？一共有8種套餐搭配方法．【分析】飲料有2種選擇，小食有4種選擇，因此根據(jù)乘法原理，用2乘4即可求出搭配的種類．先連線再計(jì)算即可．【解答】解：如圖：（種答：所以一共有8種套餐搭配方法．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．綜合練習(xí)一．選擇題（共6小題）1．（2020秋?德江縣期末）用2、6、0三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)有（）個(gè)。A．2 B．4 C．6【分析】用2、6、0三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)有20；22；26；60；62；66。一共有6個(gè)?！窘獯稹拷猓河?、6、0三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)有20；22；26；60；62；66。一共有6個(gè)。故選：C?！军c(diǎn)評(píng)】考查簡(jiǎn)單的排列、組合。用列舉法一一羅列即可。2．（2019?岳陽模擬）有一把磨損嚴(yán)重的直尺，能看清的只有5個(gè)刻度（如圖），那么，用這把直尺能量出（）種不同的長(zhǎng)度．A．4 B．6 C．9 D．11【分析】根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，和每?jī)蓚€(gè)數(shù)作差的得數(shù)即可得出結(jié)論．只要進(jìn)行列舉即可得出結(jié)論：能量1厘米，4厘米，10厘米，（4﹣1）厘米，（10﹣4）厘米，（10﹣1）厘米；【解答】解：1厘米，2厘米，6厘米，9厘米，6﹣2＝4（厘米），6﹣1＝5（厘米），9﹣6＝3（厘米），9﹣1＝8（厘米），9﹣2＝7（厘米）；共9種不同的長(zhǎng)度；答：用這把直尺能量出9種不同的長(zhǎng)度；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題較簡(jiǎn)單，只要進(jìn)行列舉，然后根據(jù)列舉的數(shù)字進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．類比于數(shù)線段解決問題也可．3．（2016秋?曹縣期中）小華從學(xué)校到少年宮有2條路線，從少年宮到公園有3條路線，那么小華從學(xué)校到公園一共有（）條路線可以走．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】小華從學(xué)校到公園分兩個(gè)步驟完成，第一步小華從學(xué)校到少年宮有2條路線即有兩種方法，第二步從少年宮到公園有3條路線即有3種方法，根據(jù)乘法原理，即可得解．【解答】解：2×3＝6，答：小華從學(xué)校到少年宮有2條路線，從小年宮到公園有3條路線，那么小華從學(xué)校到公園一共有6條路線可以走；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單的排列組合，分步完成用乘法原理．二．填空題4．（2020秋?德江縣期末）用2、4、6三個(gè)數(shù)可以寫出9個(gè)不同的兩位數(shù)?！痉治觥坑?、4、6三個(gè)數(shù)可以寫出不同的兩位數(shù)有：22，24，26；42，44，46；62，64，66。一共是9個(gè)?！窘獯稹拷猓河?、4、6三個(gè)數(shù)可以寫出不同的兩位數(shù)有：22，24，26；42，44，46；62，64，66。一共是9個(gè)。故答案為：9。【點(diǎn)評(píng)】考查簡(jiǎn)單的排列、組合。用列舉法一一羅列即可。5.（2020?泰安）用寫有1、2、3、4的四張數(shù)字卡片可以擺出24個(gè)不同的四位數(shù)．【分析】1、2、3、4的四張數(shù)字卡片沒有0，都可以放在任何位置，擺出不同的四位數(shù)，即把這四張卡片擺在4個(gè)數(shù)位中，分4步完成，第一個(gè)數(shù)位有4種擺法，第二個(gè)數(shù)位有3種擺法，第三個(gè)數(shù)位有2種擺法，第四個(gè)數(shù)位只有1種擺法，用乘法原理，即可得解．【解答】解：4×3×2×1＝24（個(gè)）；答：用寫有1、2、3、4的四張數(shù)字卡片可以擺出24個(gè)不同的四位數(shù)；故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】把4個(gè)位置看成4步，求出每一步中的填法，然后根據(jù)乘法原理求解．6．（2019春?晉州市校級(jí)期末）用0、3、6可以組成6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位小數(shù)，最大的是6.30，最小的數(shù)是0.36．【分析】根據(jù)題意可知，用0、3、6可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位小數(shù)，也就是整數(shù)部分是一位數(shù)，小數(shù)部分是兩位數(shù)，按照整數(shù)部分是0、3、6的順序?qū)懗鋈康膬晌恍?shù)，然后根據(jù)小數(shù)大小比較的方法進(jìn)行比較即可．【解答】解：用0、3、6可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位小數(shù)有：0.36、0.63、3.06、3.60、6.03、6.30．0.36＜0.63＜3.06＜3.60＜6.03＜6.30答：用0、3、6可以組成6個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位小數(shù)，最大的是6.30，最小的是0.36．故答案為：6、6.30、0.36．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的目的是理解掌握簡(jiǎn)單的排列、組合的方法及應(yīng)用，解答此題要按照一定的順序求解，做到不重復(fù)，不遺漏．7．（2019?莘縣）有三把鎖和三把鑰匙，現(xiàn)在用三把鑰匙去打開三把鎖，最多要試6次．【分析】從最壞的情況考慮：每次都到試到最后一把鎖才打開，則拿3把鑰匙開第一把鎖，至少要試3次，進(jìn)一步用剩下的2把鑰匙開第二把鎖，至少要試2次，最后一把只需1次就可打開，由此解決問題．【解答】解：3+2+1＝6（次）．答：最多要試6次．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵在于要考慮最壞的結(jié)果，運(yùn)用類推的方法解答問題．8．（2019?長(zhǎng)沙縣）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟．為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟種植方法有12種．【分析】如下圖所示，滿足條件的情況有6種可能，當(dāng)A或B種在第一壟，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則B或A有3種可能，即種在第八或第九或第十壟；當(dāng)A或B種在第二壟，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則B或A有2種可能，即種在第九或第十壟；當(dāng)A或B種在第三壟，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則B或A有1種可能，即種在第十壟；因此得解．【解答】解：（3+2+1）×2＝6×2＝12（種）；答：則不同的選壟種植方法有12種．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了簡(jiǎn)單的排列、組合．分類完成工作，每一類中的方法可以獨(dú)立完成工作，用加法．9．（2018?岳麓區(qū)）有長(zhǎng)度分別是1cm、2cm、3cm…9cm的小木棒各1根，用它們中的若干根圍成正方形，共有9種不同的方法。【分析】根據(jù)題意，利用列舉法分別列舉出不同邊長(zhǎng)的正方形的圍法，得出結(jié)論?！窘獯稹拷猓海?+9）×9÷2＝10×9÷2＝45（厘米）45÷4＝11（厘米）……1（厘米）所以正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是11厘米①邊長(zhǎng)是11厘米：9+2＝8+3＝7+4＝6+5（圍成1個(gè)正方形）②邊長(zhǎng)是10厘米：9+1＝8+2＝7+3＝6+4（圍成一個(gè)正方形）③邊長(zhǎng)是9厘米：8+1＝7+2＝6+3＝5+4（圍成5個(gè)正方形）④邊長(zhǎng)是8厘米的：7+1＝6+2＝5+3（圍成1個(gè)正方形）⑤邊長(zhǎng)是7厘米：6+1＝5+2＝4+3（圍成1個(gè)正方形）1+1+5+1+1＝9（種）答：共有9種不同的方法。故答案為：9。【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查列舉法解決問題，主要列舉時(shí)要按一定的順序，防止重復(fù)或遺漏。10．（2020秋?沁陽市期中）三（3）班有28名同學(xué)去天鵝湖劃船，如果每條船都坐滿，需要租2條大船，2條小船。大船限坐：8人小船限坐：6人【分析】一條大船和一條小船可以乘坐：8+6＝14（人），14剛好能整除28，據(jù)此計(jì)算即可?！窘獯稹拷猓阂粭l大船和一條小船可以乘坐：8+6＝14（人）28÷14＝2（條）答：需要租2條大船，2條小船。故答案為：2，2?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了篩選與枚舉，根據(jù)兩條船可乘坐的人數(shù)和剛好能整除學(xué)生的人數(shù)來簡(jiǎn)化問題是本題解題的關(guān)鍵，也可采用枚舉法，一一列舉出所有的租船方案，找到剛好能都坐滿的方案。11．一頭母牛，它每年年初生一頭小牛，每頭小牛從第四年年初開始，每年年初也生一頭小牛，到第10年時(shí)，共有39頭牛．【分析】從第一年到第10年的10年時(shí)間內(nèi)，根據(jù)題意的規(guī)律列舉，然后利用高斯求和公式解答即可．【解答】解：第一年：1+1＝2頭第2年：2+1＝3頭第3年：3+1＝4頭第4年：4+1+1＝6頭第5年：6+1+1+1＝9頭第6年：9+1+1+1+1＝13頭從第2年開始依次增加1、2、3、4、5、6…，所以第6年有：3+1+2+3+4+…+8＝3+（1+8）×8÷2＝3+9×4＝39（頭）答：到第10年時(shí)，共有39頭牛．故答案為：39．【點(diǎn)評(píng)】這種類型的問題，常常把窮舉法和找規(guī)律的方法綜合利用，關(guān)鍵是找到規(guī)律．12．現(xiàn)有1克、2克、4克、16克的砝碼各一個(gè)，放在天平上，最多可以稱出22種不同的物體．【分析】首先根據(jù)題意，可得用這4個(gè)砝碼在天平上可以稱出的最小的質(zhì)量是1克，可以稱出的最大的質(zhì)量是23（1+2+4+16＝23）克，然后逐一判斷出用這4個(gè)砝碼在天平上可以稱出1克、2克、3克、…、23克，一共可以稱出23種不同的質(zhì)量，據(jù)此解答即可．【解答】解：1克、2克、4克、16克可以直接稱出，4﹣1＝3（克）2+4﹣1＝5（克）4+2＝6（克）1+2+4＝7（克）16﹣（1+2+4）＝9（克）16﹣（2+4）＝10（克）16﹣（1+4）＝11（克）16﹣4＝12（克）16﹣（1+2）＝13（克）16﹣2＝14（克）16﹣1＝15（克）16+1＝17（克）16+2＝18（克）16+4﹣1＝19（克）16+4＝20（克）16+1+4＝21（克）16+4+2＝22（克）16+1+2+4＝23（克）所以共有22種；答：最多可以稱出22種不同的物體．故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了篩選與枚舉問題的應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，注意不能多數(shù)、漏數(shù)．三．應(yīng)用題13．（2020秋?拜泉縣期末）小紅從下面的書中買了2套不同的書。她可能買了多少本書？【分析】因?yàn)樾〖t從下面的書中買了2套不同的書，則她可能買到的書的本數(shù)有很多種情況。將情況分門別類呈現(xiàn)即可。（1）1套4本的，1套6本的，4+6＝10（本）；（2）1套4本的，1套8本的，4+8＝12（本）；（3）1套6本的，1套8本的，6+8＝14（本）。然后將本數(shù)相同的合并可得最終可能買到本數(shù)?！窘獯稹拷猓海?）1套4本的，1套6本的，4+6＝10（本）；（2）1套4本的，1套8本的，4+8＝12（本）；（3）1套6本的，1套8本的，6+8＝14（本）。所以她可能買了10，12，14本書。答：她可能買了10，12，14本書?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查篩選與枚舉的方法。當(dāng)種類較多時(shí)，可以按照規(guī)律去分類討論。14．（2019?北京模擬）口袋中有20個(gè)形狀、大小相同，顏色不同的球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè)．現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使得白球不少于2個(gè)但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，那么上述取法的種數(shù)有多少種？【分析】紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，然后按紅球有5、4、3、2個(gè)，黑球只能是3、2、1、0個(gè)列表列舉解答即可．【解答】解：根據(jù)分析列舉：所以，共有：4×4＝16（種）答：上述取法的種數(shù)有16種．【點(diǎn)評(píng)】通過把符合要求的一一列舉出來，從而得到答案，這種解答問題的方法叫做“枚舉法”，通常也稱為“窮舉法”，在解答很多有趣的數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常用到這種方法．15．（2018?長(zhǎng)沙）A、B、C、D、E五個(gè)盒子中依次放有9、5、3、2、1個(gè)小球。第一個(gè)小朋友找到放球最少的盒子，然后從其它盒子中各取一個(gè)球放入這個(gè)盒子；第二個(gè)小朋友也先找到放球最少的盒子，然后也從其它的盒子中各取一個(gè)放入這個(gè)盒子…當(dāng)1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五個(gè)盒子中各放有幾個(gè)球？【分析】根據(jù)題意，原來盒子里的小球數(shù)量分別為：9、5、3、2、1；第一個(gè)小朋友取出后盒子里的小球數(shù)分別為：8、4、2、1、5；第二個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：7、3、1、5、4；第三個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：6、2、5、4、3；第四個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：5、6、4、2、2；第五個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：4、5、3、2、6；……分析數(shù)據(jù)，找到這組數(shù)據(jù)的規(guī)律，然后利用規(guī)律完成題目即可?！窘獯稹拷猓涸瓉砗凶永锏男∏驍?shù)量分別為：9、5、3、2、1；第一個(gè)小朋友取出后盒子里的小球數(shù)分別為：8、4、2、1、5；第二個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：7、3、1、5、4；第三個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：6、2、5、4、3；第四個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：5、6、4、2、2；第五個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：4、5、3、2、6；第六個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：3、4、2、5、5；第七個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：2、3、6、5、4；第八個(gè)小朋友取出后盒子里小球的個(gè)數(shù)分別為：6、2、5、4、3；……第八個(gè)小朋友和第三個(gè)小朋友取后的結(jié)果是一樣的，所以每5組一循環(huán)（除前2次外），（1000﹣2）÷5＝998÷5＝199（組）……3（次）所以第1000個(gè)小朋友取出后與第3+2＝5（個(gè)）小朋友取出后的結(jié)果一樣，為：4、5、3、2、6。答：當(dāng)1000位小朋友放完后，A、B、C、D、E五個(gè)盒子中各放有4、5、3、2、6。【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查枚舉法解決問題，關(guān)鍵是利用列舉法找到這組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的規(guī)律，并利用規(guī)律做題。四．解答題16．（2020秋?武侯區(qū)期中）把6塊糖分給3個(gè)小朋友，要求每個(gè)小朋友分到的塊數(shù)都不一樣多，能做到嗎？答：（能不能），3個(gè)小朋友分別分到□、□、□塊?！痉治觥堪?塊糖分給3個(gè)小朋友，也就是把6分解成3個(gè)不同加數(shù)的