/高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中測試卷02第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算【分析】利用代數(shù)形式的復(fù)數(shù)乘法計算得解.【詳解】.故選：B2．已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正方形，則原圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】由直觀圖還原幾何圖形、斜二測畫法中有關(guān)量的計算【分析】根據(jù)直觀圖的平面圖，再求出相關(guān)線段長，即可求出平面圖的面積.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：則，，，所以.故選：D3．在梯形中，設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】向量數(shù)乘的有關(guān)計算、向量加法的法則【分析】利用向量的線性運算求解.【詳解】因為，所以，.故選：A.4．若（，，），且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的除法運算【分析】由復(fù)數(shù)運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等概念可得，然后結(jié)合可得答案.【詳解】因為，所以，所以，解得，.因為，所以，解得或.故選：A.5．已知向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】已知模求數(shù)量積、求投影向量【分析】利用數(shù)量積的性質(zhì)得到，然后求投影向量即可.【詳解】由，得，由，得，則，因此，在上的投影向量為.故選：D.6．已知四面體的4個面為全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四點在同一個球面上，則該球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】多面體與球體內(nèi)切外接問題、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類【分析】先將四面體補形為長方體模型，再應(yīng)用長方體的外接球半徑公式計算半徑，最后應(yīng)用球的表面積公式計算即可.【詳解】依題意可知，．如圖，將四面體ABCD放入長方體中，

設(shè)長方體的共頂點的三條棱的長分別為x，y，z，將四面體補形為長方體模型，則解得

四面體ABCD的外接球也就是該長方體的外接球，其半徑為，故所求表面積為，故選:C．7．美味的火鍋中也充滿了有趣的數(shù)學(xué)知識，如圖將火鍋抽象為乙圖的兩個同心圓柱，大、小圓柱的半徑分別為25cm與5cm，湯料只放在兩圓柱之間，將湯勺視為一條線段，若將湯鍋裝滿，將湯勺置于兩圓柱之間無論如何放置湯料都不會將湯勺淹沒，則湯勺長度最短為：（

）cm.A． B． C． D．【答案】C【知識點】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析【分析】將投影至底面為，是底面大圓的一條弦且與小圓相切（切點為）時最長，求出弦長后由勾股定理求得【詳解】將投影至底面為，是底面大圓的一條弦且與小圓相切（切點為）時最長，所以，所以，故選：C.8．如圖，在平面四邊形中，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【知識點】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值【分析】首先在中，根據(jù)已知條件求出的長度.然后在中，利用余弦定理建立的關(guān)系，最后結(jié)合基本不等式求出的最小值.【詳解】在中，已知，，，即.所以，同時.在中，，根據(jù)余弦定可得：，即.由基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.將代入中，得到.設(shè)，則.解得，即.當(dāng)且僅當(dāng)取得最值.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，若所對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)m的值可以是（

）A． B． C．3 D．4【答案】AB【知識點】在各象限內(nèi)點對應(yīng)復(fù)數(shù)的特征【分析】先把復(fù)數(shù)整理成，根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限列式，求出實數(shù)的取值范圍，再逐一驗證即可.【詳解】整理得，對應(yīng)的點位于第二象限，則，解得．故選：AB10．如果一個幾何體僅有5個面，則這個幾何體可能是（

）A．三棱臺 B．四棱錐 C．三棱柱 D．四棱柱【答案】ABC【知識點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類、棱臺的結(jié)構(gòu)特征和分類【分析】根據(jù)多面體的概念判斷即可．【詳解】因為四棱柱有6個面，所以D項不正確，三棱臺，四棱錐和三棱柱都有5個面，故選：ABC．11．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，下列結(jié)論正確的是（

）A．一定是鈍角三角形 B．C．角的最大值為 D．【答案】ACD【知識點】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理邊角互化的應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理即可判斷A，利用余弦定理結(jié)合已知條件得，再利用以及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡即可判斷B；由余弦定理有結(jié)合已知條件得：，利用基本不等式求最值，再根據(jù)的范圍即可判斷C；通過已知條件利用不等式的性質(zhì)化為，結(jié)合正弦定理即可判斷D.【詳解】對于A，由，得，、、均為正數(shù)，由余弦定理有：，又因為，所以為鈍角，且角為最大角，A正確；對于B，因為，由正弦定理有：，所以，即，整理有：，因為，等式兩邊同除以，得：，所以B錯誤；對于C，由余弦定理有：，又因為，所以，因為、、均為正數(shù)，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，因為，所以，所以角的最大值為，所以C正確；對于D，，所以，，所以，，所以，所以，由正弦定理可得：，所以D正確.故選：ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復(fù)數(shù)，則.【答案】【知識點】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法運算【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運算結(jié)合模長公式即可求解.【詳解】,所以，故答案為：.13．如圖，一個高為1的長方體形狀的容器內(nèi)裝有水，若保持容器底面的一條棱不動，將該容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，發(fā)現(xiàn)此時容器的底面中不被水浸到的面積為底面積的，則容器在原來位置時的水深為.【答案】【知識點】柱體體積的有關(guān)計算【分析】根據(jù)直棱柱的體積公式，可得答案.【詳解】設(shè)長方體的長寬分別為，則由左圖可得水的體積，設(shè)右圖中長方體底面被水浸到的矩形的未知邊為，顯然此時水的形狀為三棱柱，底面為直角邊分別為的直角三角形，高為，則水的體積為，由題意可得，解得，由，解得.故答案為：.14．在邊長為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點，如圖所示．點P為弧上任意一點，向量最大值為．【答案】【知識點】誘導(dǎo)公式五、六、已知向量共線（平行）求參數(shù)、用定義求向量的數(shù)量積【分析】過作交于點，可知當(dāng)與半圓相切時，最大，再利用三角函數(shù)求解即可.【詳解】過作交于點，根據(jù)投影向量的概念可得，設(shè)，所以，當(dāng)與半圓相切時，取得最大值，此時最大，過作交于點，連接，當(dāng)取得最大值時，且，因為，正方形邊長為4，則，，所以，所以，則，所以，得，所以的最大值為.所以最大值為.故答案為：24.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知復(fù)數(shù).(1)若復(fù)數(shù)的實部與虛部之差為0，求m的值；(2)若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求復(fù)數(shù)的實部與虛部、已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)【分析】（1）化簡得，結(jié)合已知可得，求解即可；（2）由題意可得，求解即可.【詳解】（1），則，解得；（2）因為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第一象限，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第四象限于是得，，所以實數(shù)m的取值范圍是.16．（15分）如圖，已知四面體的棱長均為6，棱的中點分別為，用平面截四面體，得到三棱臺.

(1)求三棱臺的體積；(2)若為棱上的動點，求的最小值，并求取最小值時線段的長度.【答案】(1)；(2)最小值為，且取最小值時.【知識點】棱錐的展開圖、臺體體積的有關(guān)計算【分析】（1）作點在平面內(nèi)的射影，連接，根據(jù)題意可知，是等邊三角形的中心，從而求出，利用勾股定理得到，求得結(jié)果；（2）將平面與展開到同一平面，可知，在中，利用余弦定理求得，利用求得，在中，由余弦定理得到，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）作點在平面內(nèi)的射影，連接.

根據(jù)題意可知，是等邊三角形的中心，則，，即四面體的高為.所以，所以.（2）如圖所示，將平面與展開到同一平面，可知.

在中，，由余弦定理得，即.因為，所以所以，在中，設(shè)，由余弦定理得，即，解得或，結(jié)合圖可知.綜上，的最小值為，且取最小值時.17．（15分）如圖，在中，.若是線段上一點，是線段上一點，其中.

(1)若，線段與交于點，求的值，(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、向量模的坐標(biāo)表示、基本不等式求和的最小值【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，求出點坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示求得結(jié)果；（2）先用表示出坐標(biāo)，再用坐標(biāo)表示出向量的模，最后利用基本不等式求最小值.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，因為，所以即，因為，所以從而，聯(lián)立方程組解得因此

（2）因為是線段上一點，，所以，又因為，所以，因此，又,即,由第一問知，所以令因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此的最小值為.18．（17分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若.（i）求；（ii）過邊上一點作的垂線，垂足分別為，求的最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【知識點】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】（1）對所給條件切化弦，結(jié)合三角形內(nèi)角和以及正弦定理化簡可求出，從而求出角的大小；（2）（i）由三角形內(nèi)角和可求出，結(jié)合正弦定理可求出邊；（ii）法一：根據(jù)直角三角形角的關(guān)系可設(shè)，則均可用表示，余弦定理計算，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；法二：由，可知四點共圓，從而表示，轉(zhuǎn)化為求最小值，數(shù)形結(jié)合，當(dāng)時，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最?。环ㄈ阂缘闹悬c為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點坐標(biāo)，利用兩點距離公式可求出最小值.【詳解】（1）在中，.由及正弦定理得，，整理得.由于，則.又，故.（2）（i）如圖1，在中，，且，由正弦定理得，，即，得.（ii）由于，則與互補，故.方法1：單變量法設(shè)，則，，則.當(dāng)時，取得最小值為.方法2：四點共圓如圖1，由，故四點共圓，且為該圓直徑.由正弦定理得，故求的最小值等價于求的最小值.當(dāng)時，最小，此時，故取得最小值為.方法3：建系坐標(biāo)法以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則，，直線，直線.設(shè)，則，直線.聯(lián)立方程得，.當(dāng)時，取得最小值為.19.（17分）早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖暅在求球體積時，就創(chuàng)造性地提出了一個原理“冪勢既同，則積不容異”，意思是夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

(1)如圖一所示，在一個半徑為的半球體中，挖去一個半徑為的球體，求剩余部分的體積.(2)如圖二，由拋物線跟線段圍成一個幾何形，將該幾何形繞軸旋轉(zhuǎn)得到一個拋物線旋轉(zhuǎn)體，請運用祖暅原理求該旋轉(zhuǎn)體的體積.(3)將兩個底面半徑為1，高為3圓柱體按如圖三所示正交拼接在一起，構(gòu)成一個十字型幾何體.求這個十字型的體積，等價于求兩個圓柱公共部分幾何體的體積，請運用祖暅原理求出該公共部分幾何體的體積.【答案】(1)(2)(3)【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、球的體積的有關(guān)計算、求組合體的體積、求旋轉(zhuǎn)體的體積【分析】（1）根據(jù)球的體積公式計算可得；（2）利用祖暅原理求出圖二中陰影部分旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積，而拋物線旋轉(zhuǎn)體是由圓柱減去剛剛的幾何體的體積，從而得解；（3）首先證明“牟合方蓋”的體積公式，利用公式計算可得.【詳解】（1）依題意該幾何體的體積.（2）圖1陰影部分是由長方形（長為，寬為）和拋物線圍成，圖2陰影部分是由半徑為3的半圓和直徑為3的圓圍成的，

將圖1繞軸旋轉(zhuǎn)一周可得一圓柱挖去中間的部分的幾何體記為，將圖2以小圓的直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周可得一個半球挖去一個小球的幾何體記為，將兩個幾何體放在同一水平面上，用與圓柱下底面或與半球大圓距離為的平面截兩個幾何體，可得截面都為圓環(huán)，縱截面圖如下，

幾何體的截面面積為，幾何體的截面面積為，又兩幾何體等高，由祖暅原理可得兩幾何體的體積相等，結(jié)合（1）可知幾何體的體積，而由拋物線跟線段圍成一個幾何形，將該幾何形繞軸旋轉(zhuǎn)得到一個拋物線旋轉(zhuǎn)體，是由一個圓柱（底面半徑為，高為）減去幾何體，所以所求的體積.（3）首先證明“牟合方蓋”的體積公式為（為圓柱的底面半徑）：“牟合方蓋”是一個正方體被兩個圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)