2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版必修聽(tīng)評(píng)課記錄：第三章3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一.基本信息

聽(tīng)課日期為2024年10月15日，聽(tīng)課時(shí)間為上午第二節(jié)課，授課教師姓名為李明，學(xué)科/課程名稱為數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高一（7）班，教學(xué)主題或章節(jié)為第三章3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。

聽(tīng)課人姓名為王華，聽(tīng)課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，聽(tīng)課目的為教學(xué)研究，旨在探討線性規(guī)劃問(wèn)題的引入與解決策略，以及如何通過(guò)實(shí)際問(wèn)題提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備：教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞線性規(guī)劃的基本概念、圖解法和實(shí)際應(yīng)用展開(kāi)，明確了教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生任務(wù)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材重點(diǎn)標(biāo)注了線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)的表示方法，教具包括坐標(biāo)紙和彩色筆，多媒體課件展示了動(dòng)態(tài)的線性規(guī)劃圖解過(guò)程，有助于學(xué)生直觀理解可行域和最優(yōu)解的確定。

2.教學(xué)過(guò)程：

開(kāi)始階段，教師通過(guò)一個(gè)生活實(shí)例（如工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的成本與利潤(rùn)問(wèn)題）引入線性規(guī)劃，通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)方法表示約束條件和目標(biāo)，效果較好，約5分鐘內(nèi)完成了情境創(chuàng)設(shè)。展開(kāi)階段，教師采用講授與討論相結(jié)合的方式，首先講解線性約束條件的幾何意義，隨后學(xué)生分組繪制可行域，并討論最優(yōu)解的判定條件。在圖解過(guò)程中，教師利用多媒體動(dòng)態(tài)演示了直線平移與交點(diǎn)變化，幫助學(xué)生理解目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題。部分學(xué)生提出疑問(wèn)時(shí)，教師及時(shí)調(diào)整講解節(jié)奏，結(jié)合教材中的例題逐步解析，約20分鐘完成了核心內(nèi)容的講解。結(jié)束階段，教師通過(guò)一個(gè)實(shí)際案例（如物資調(diào)運(yùn)問(wèn)題）總結(jié)線性規(guī)劃的應(yīng)用價(jià)值，并布置作業(yè)要求學(xué)生用圖解法解決類(lèi)似問(wèn)題，同時(shí)鼓勵(lì)課后拓展到更復(fù)雜的線性規(guī)劃模型。

3.師生互動(dòng)：師生交流頻率較高，教師通過(guò)提問(wèn)和追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考，如“如何確定可行域的邊界條件？”、“最優(yōu)解一定在頂點(diǎn)處嗎？”，學(xué)生參與度較高，約60%的學(xué)生能主動(dòng)回答問(wèn)題。在討論環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生展示不同解法的差異，如有的小組采用暴力枚舉法驗(yàn)證結(jié)果，有的小組直接利用圖解法優(yōu)化，教師通過(guò)點(diǎn)評(píng)提升了學(xué)生的思維深度。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其是在繪制可行域時(shí)表現(xiàn)出濃厚的興趣，部分學(xué)生自發(fā)討論如何避免錯(cuò)誤，如坐標(biāo)軸刻度的標(biāo)注方法。專(zhuān)注度整體較好，約85%的學(xué)生全程跟隨教師講解，但仍有少數(shù)學(xué)生出現(xiàn)走神現(xiàn)象，教師通過(guò)提問(wèn)“這位同學(xué)，你能說(shuō)出這個(gè)直線的斜率代表什么嗎？”的方式及時(shí)糾正。合作學(xué)習(xí)方面，小組討論時(shí)分工明確，有的負(fù)責(zé)計(jì)算，有的負(fù)責(zé)繪圖，但部分小組在確定最優(yōu)解時(shí)存在分歧，教師通過(guò)提供“頂點(diǎn)法”的判定標(biāo)準(zhǔn)解決了爭(zhēng)議。

5.課堂管理：課堂紀(jì)律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，教師通過(guò)“舉手示意”的方式控制發(fā)言秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，展開(kāi)階段25分鐘，總結(jié)作業(yè)布置5分鐘，剩余5分鐘用于答疑，課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，未出現(xiàn)拖沓或趕進(jìn)度的情況。

6.教學(xué)技術(shù)使用：現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體課件動(dòng)態(tài)演示了線性規(guī)劃圖解的演變過(guò)程，學(xué)生普遍反映比傳統(tǒng)板書(shū)更直觀。教師還利用平板電腦批注學(xué)生繪圖的錯(cuò)誤，如某小組的可行域邊界線畫(huà)錯(cuò)，教師通過(guò)即時(shí)反饋糾正了問(wèn)題。技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持明顯，尤其是在復(fù)雜約束條件的多重交點(diǎn)分析時(shí)，動(dòng)態(tài)演示避免了抽象推理的難度，提升了學(xué)生理解效率。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成：教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞“理解線性規(guī)劃的基本概念”、“掌握?qǐng)D解法求解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題”和“體會(huì)線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值”三個(gè)維度展開(kāi)。通過(guò)課堂觀察和隨堂練習(xí)，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生達(dá)到了預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)。在概念理解上，90%以上的學(xué)生能夠準(zhǔn)確描述線性約束條件、可行域、最優(yōu)解等核心術(shù)語(yǔ)，并能結(jié)合實(shí)例解釋其意義。圖解法掌握方面，85%的學(xué)生能夠獨(dú)立完成包含兩條直線約束條件的線性規(guī)劃問(wèn)題，正確繪制可行域并找到最優(yōu)解。實(shí)際應(yīng)用層面，部分學(xué)生在討論環(huán)節(jié)提出類(lèi)似生產(chǎn)計(jì)劃的優(yōu)化問(wèn)題，顯示初步具備了將數(shù)學(xué)模型與生活情境聯(lián)系的能力。目標(biāo)達(dá)成效果較好的原因是教師通過(guò)生活實(shí)例引入，結(jié)合動(dòng)態(tài)演示強(qiáng)化直觀理解，并通過(guò)分層任務(wù)確保不同水平學(xué)生都能達(dá)成基礎(chǔ)目標(biāo)。

2.知識(shí)掌握：學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解較為深入，特別是對(duì)線性約束條件的代數(shù)與幾何雙重表示法掌握較好。在繪制可行域時(shí)，學(xué)生普遍能準(zhǔn)確標(biāo)注不等式對(duì)應(yīng)的直線位置，如“大于等于”約束用實(shí)線，“小于等于”用虛線，且多數(shù)學(xué)生能解釋為何要取半平面。目標(biāo)函數(shù)的極值判定方面，學(xué)生通過(guò)小組討論形成了“最優(yōu)解必在可行域頂點(diǎn)處取到”的共識(shí)，但對(duì)“為什么”的理解深度存在差異——約70%的學(xué)生能結(jié)合案例說(shuō)明，而剩余部分需要教師補(bǔ)充“檢驗(yàn)法”的證明思路。技能掌握方面，學(xué)生在坐標(biāo)系定位、直線方程求解和計(jì)算能力上表現(xiàn)均衡，但部分學(xué)生在處理精確度要求高的題目時(shí)出現(xiàn)誤差，如計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)忽略小數(shù)點(diǎn)后兩位。教師通過(guò)提供“頂點(diǎn)坐標(biāo)法”簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，提升了技能應(yīng)用的效率。知識(shí)記憶方面，通過(guò)課堂提問(wèn)發(fā)現(xiàn)，72%的學(xué)生能回憶起“線性規(guī)劃”的定義，且在作業(yè)中能正確應(yīng)用相關(guān)符號(hào)。對(duì)技能的掌握程度與教師提供的結(jié)構(gòu)化支架（如步驟清單、模板）密切相關(guān)，尤其是對(duì)于高一學(xué)生，圖形化工具的輔助記憶效果顯著。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀：本課時(shí)較好地促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。情感層面，通過(guò)解決工廠生產(chǎn)、物資調(diào)運(yùn)等貼近生活的案例，約80%的學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的興趣，部分學(xué)生在解決爭(zhēng)議時(shí)展現(xiàn)了探究熱情。教師對(duì)小組合作成果的即時(shí)反饋（如表?yè)P(yáng)“這個(gè)小組的可行域繪制最規(guī)范”）有效提升了學(xué)生的成就感。態(tài)度層面，學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜約束條件時(shí)（如三條不等式圍成的可行域），多數(shù)能保持耐心嘗試，雖然部分小組因計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果偏差，但教師引導(dǎo)其分析錯(cuò)誤原因時(shí)，學(xué)生未出現(xiàn)消極情緒，反而形成了“錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)”的態(tài)度轉(zhuǎn)變。價(jià)值觀層面，通過(guò)討論“如何平衡成本與利潤(rùn)最大化”，部分學(xué)生提出“企業(yè)決策需考慮資源限制”的思考，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模中的人文關(guān)懷。不足之處在于，對(duì)線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等領(lǐng)域更廣泛應(yīng)用的拓展不足，若能補(bǔ)充相關(guān)背景材料，可能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)科認(rèn)同感。教師通過(guò)布置“嘗試用線性規(guī)劃分析班級(jí)活動(dòng)經(jīng)費(fèi)分配”的開(kāi)放性作業(yè)，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與集體決策結(jié)合，間接培養(yǎng)了責(zé)任意識(shí)。整體而言，課堂氛圍積極，學(xué)生展現(xiàn)了較強(qiáng)的合作意愿和問(wèn)題解決意愿，符合新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“應(yīng)用意識(shí)”和“創(chuàng)新意識(shí)”的培養(yǎng)要求。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)：本節(jié)課整體印象良好，教學(xué)設(shè)計(jì)科學(xué)，實(shí)施流暢，較好地達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于情境創(chuàng)設(shè)貼近生活，通過(guò)工廠生產(chǎn)、物資調(diào)運(yùn)等實(shí)例有效激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使抽象的線性規(guī)劃概念變得具體可感。教師對(duì)圖解法的講解層次分明，從單一約束到多重約束逐步推進(jìn)，利用多媒體動(dòng)態(tài)演示可行域的形成與變化，強(qiáng)化了學(xué)生的直觀理解。教學(xué)過(guò)程中，教師注重啟發(fā)式提問(wèn)，如“如果增加一個(gè)約束條件，可行域會(huì)如何變化？”、“最優(yōu)解是否一定存在？”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維能力。此外，小組合作學(xué)習(xí)的較為有效，學(xué)生通過(guò)分工合作完成了復(fù)雜圖形的繪制和討論，促進(jìn)了生生互動(dòng)。課堂時(shí)間分配合理，各環(huán)節(jié)過(guò)渡自然，體現(xiàn)了教師良好的課堂掌控能力。

2.改進(jìn)建議：針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)措施。首先，在知識(shí)掌握層面，部分學(xué)生對(duì)“最優(yōu)解必在頂點(diǎn)處”的理解停留在經(jīng)驗(yàn)層面，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明意識(shí)。建議在后續(xù)教學(xué)中增加“頂點(diǎn)檢驗(yàn)法”的完整證明過(guò)程，或引入簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃模型求解器，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比理解代數(shù)解法的必要性。其次，在技能訓(xùn)練方面，學(xué)生對(duì)直線方程的求解和頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算仍存在基礎(chǔ)性錯(cuò)誤。建議在課前補(bǔ)充坐標(biāo)系定位和計(jì)算專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，或設(shè)計(jì)“坐標(biāo)計(jì)算小測(cè)驗(yàn)”，確?；A(chǔ)技能達(dá)標(biāo)。再次，情感態(tài)度價(jià)值觀的培養(yǎng)可進(jìn)一步深化。例如，在討論實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生分析模型假設(shè)的局限性（如資源無(wú)限、成本固定等），培養(yǎng)批判性思維。同時(shí)，可增加與其他學(xué)科的聯(lián)系，如展示線性規(guī)劃在計(jì)算機(jī)科學(xué)（如路徑規(guī)劃）或物理學(xué)（如最優(yōu)資源配置）中的應(yīng)用案例，拓寬學(xué)生視野。最后，課堂時(shí)間分配上，討論環(huán)節(jié)略顯倉(cāng)促，部分小組未能充分展示成果。建議適當(dāng)延長(zhǎng)討論時(shí)間，或?qū)⒂懻摲譃椤俺醪秸故尽焙汀吧疃赛c(diǎn)評(píng)”兩個(gè)階段，確保學(xué)生間的思維碰撞。

3.后續(xù)跟蹤：建議進(jìn)行后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)，重點(diǎn)觀察教師如何落實(shí)上述改進(jìn)措施。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)。首先，專(zhuān)題教研活動(dòng)，邀請(qǐng)高校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家進(jìn)行線性規(guī)劃教學(xué)法的理論培訓(xùn)，特別是對(duì)“數(shù)學(xué)建模思想”的滲透進(jìn)行深入研討。其次，建立“同課異構(gòu)”機(jī)制，安排其他教師基于本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行二次教學(xué)，通過(guò)對(duì)比反思促進(jìn)教學(xué)創(chuàng)新。再次，提供教