專題4.2角【十大題型】

【北師大版】

【逑型I角的概念及角的度星】.................................................................2

【題型2角的單位及其換算】....................................................................3

【題型3角的計數(shù)問題】........................................................................6

【題型4鐘面上角的特征】......................................................................8

【題型5方向角】.............................................................................10

【題型6與角平分線相關的角的運算】...........................................................13

【題型7與角n等分線相關的隹的運算】........................................................21

【題型8在三角板中的角的運算】..............................................................29

【題型9多邊形及其對角線】..................................................................37

【題型10圓及扇形面積1...............................................39

”短聲*三

【知識點1角的概念】

定義一：有公共端點的兩條射線組成的圍形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊.

定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部.

【知識點2角的表?示方法】

表示方法圖例記法適用范圍

用三個大寫字母NAOB任何情況下都適應.表示端點的字

0___A

表示或NBOA母必須寫在中間.

B

用一個大寫字母

AZA以這個點為頂點的角只有一個.

表示

用數(shù)字表示Z1任何情況下都適用.但必須在靠近

頂點處加上弧線表示角的范圍，

用希臘字母表示Za并注上數(shù)字或希臘字母.

【題型1角的概念及角的度量】

［例I］（2022?甘肅蘭州?七年級期末）下列說法中正確的是（）

A.由兩條射線組成的圖形叫做角

B.角的大小與角的兩邊長度有關

C.角的兩邊是兩條射線

D.用放大鏡看一個角，角的度數(shù)變大了

【答案】C

【分析】根據(jù)角的定義和性質解答即可.

【詳解】A.由公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，故原說法不正確；

B.角的大小與角的兩邊長度無關，故原說法不正確；

C.角的兩邊是兩條射線，正確；

D.用放大鏡看一個角，角的度數(shù)不變，故原說怙不正確；

故選C.

【點睛】本題考查角的概念，具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點,

這兩條射線叫做角的兩條邊.角的大小與邊的長短沒有關系.

【變式（2022?山東淄博?期中）乙4c8的兩邊分別是（）

A.射線AC、BCB.射線CA,CBC.線段AC,BCD.直線C4,CB

【答案】B

【分析】根據(jù)角的定義可進行求解.

【詳解】解：/AC8的兩邊分別是射線CA,CB,

故選B.

【點睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵.

【變式1-2］（2022?全國?七年級專題練習）如圖，用量角器度量MOB,可以讀出姐OB的度數(shù)為，

【答案】120

【分析】根據(jù)角的定義即可得到結論.

【詳解】解：看內(nèi)圈的數(shù)字可得：財。氏120。，

故答案為:120.

【點睛】本題主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關鍵.

【變式1-3］（2022?全國?七年級專題練習）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.乙4OB也可用，。來表示

B.4s與乙BOC是同一個角

C.圖中共有三個角："OB,AA0C,乙BOC

D.N1與乙4。8是同一個角

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要

寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母

究竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母（如團如明，町、…）表示，或用阿拉伯數(shù)字（01,圖2...）表示

進行分析即可.

【詳解】解：A、m與財。8是同一個角，不可用回。來表示，說法錯誤；

B、幽與（3BOC是同一個角，說法正確；

C、圖中共有三個角：（MOB,（MOC,05OC,說法正確；

D、（31與財OB是同一個角，說法正確；

故選:A.

【點睛】此題主要考查了角的概念，關鍵是掌握角的表示方法.

【題型2角的單位及其換算】

【例2】（2022?山東煙臺?期中）若，1=25。15',42=25。13'30〃，43=25.35。,則（）

A.z.3>z.1>Z.2B.z.2>zl>z.3C.^1>z.3>z.2D.z.1>z.2>z.3

【答案】A

（2）根據(jù)度分秒之間的進率即可解答;

（3）先計算乘法，再計算加法即可.

（1）

解：45°10,-21°35,20,=23°34,40/,.

（2）

解：48°39,+67°31/-21017,

=116°10,-21017/

=94。53'.

（3）

解：42°16'+18°23'x2

=42°16/+36°46,

―7902、

【點睛】本題考查度分秒的計算，1。=60',1'=60〃，掌握度分秒之間的進率是解答本題的關鍵.

【變式2-3］（2022?天津南開?七紜級期末）如圖1是一個;的圓（13AOB=90。），芳芳第一次在圖1中畫了一

條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分成4份，第三次由加了四條線，將圖1等分

成8份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16份，如圖2所示，則第n（n>l）次可將圖1等分成

份，當n=5時，圖1中的每份的角度是（用度，分，秒表示）

【分析】從特殊到一般，探究規(guī)律后即可解決問題.

【詳解】第一次在圖1中畫了一條線，將圖1等分成2份，第二次又加了兩條線，將圖1等分4=22份，第

三次由加了四條線，將圖1等分成8=23份，第四次又加了八條線，將圖1等分成16=24份，第〃（〃>1）次

可將圖1等分成2〃份.

當n=5時，圖1中的每份的角度是90、募=2。48,45".

故答案為2〃，2°48'45〃.

【點睛】本題考查了度分秒的換算、規(guī)律型：圖形變化類等知識，解題的關鍵是掌握從特殊到一般的探究

方法，屬于中考常考題型.

【題型3角的計數(shù)問題】

【例3】（2022?福建龍巖?七年級期末）在銳角SA08內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條

不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角.照此規(guī)律，畫19條不同的

射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件得出規(guī)律為從一個角的內(nèi)部引出〃條射線所得到的銳角的個數(shù)是與九+1）5+2），

代人即可得到答案.

【詳解】在銳角0AO8內(nèi)部，

畫出1條射線，可以畫出3個銳角；

畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角：

畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角；

???從一個角的內(nèi)部引出〃條射線所得到的銳角的個數(shù)是

1+2+3+…+（幾+1）=+l）（n+2）

---畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為gx（19+1）x（19+2）-210

故選：D.

【點睛】本題考查了角的概念，解題的關鍵是找到規(guī)律.

【變式3?1】（2022?山東?泰安市泰山區(qū)樹人外國語學校期中）如圖所示，乙103=90。，則圖中銳角有（）

BC

D

oA

A.12個B.14個C.15個D.16個

【答案】B

【分析】根據(jù)角的分類求解即可，順時針方向數(shù)，以0B為邊可得4個銳角，以0C為邊可得4個銳角，以0D

為邊可得3個銳角，以。E為邊可得2個銳角，以。F為邊可得1個銳角，即可求得答案

【詳解】解：順時針方向數(shù)，以08為邊可得4個銳角，

以0C為邊可得4個銳角，

以00為邊可得3個銳角，

以0E為邊可得2個銳知，

以0尸為邊可得1個銳角，共有銳角4+4+3+2+1=14個

故選B

【點睛】本題考查了交點分類，角的個數(shù)，分類討論是解題的關鍵，注意數(shù)角的個數(shù)時，不要將直角算進

去.

【變式3-2］（2022?黑龍江牡丹江?七年級期末）如圖，線段條數(shù)為m,小于平角的角的個數(shù)為m則九-租的

值為（）

AD

A7

BEC

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)線段的定義和小于平角的角的性質得出m,n的值，再代入求解即可.

【詳解】由題意得m=7,n=8

故n—m=8-7=1

故答案為：D.

【點睛】本題考查了線段和平角的問題，掌握線段的定義和平角的定義是解題的關鍵.

【變式3-3］（2022?湖南婁底?七年級期末）在一幅七巧板中，有我們學過的（）

A.8個銳角，6個直角，2個鈍角B.12個銳角，9個直角，2個鈍角

C.8個銳角，10個直角，2個鈍角D,6個銳角，8個直角，2個鈍角

【答案】B

【分析】根據(jù)一副七巧板圖形，查出銳角，直角和鈍角的個數(shù)即可.

【詳解】5個等腰直角三角形，5個直角，10個銳角，1個正方形，4個直角，1個平行四邊形，2個鈍角,

2個銳角，

在一幅七巧板中根據(jù)12個銳角，9個直角，2個鈍角.

故選擇B.

【點睛】本題考查角的分類，平面圖形，掌握角的分類，平面圖形是解題關鍵.

【知識點3鐘表上有關夾角問題】

鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應30。的角，分針1分鐘轉6。，時針每小時轉30。，時

針1分鐘轉0.5。，利用這些關系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題.

【題型4鐘面上角的特征】

【例4】（2022?貴州?仁懷市周林學校七年級階段練習）下列說法中正確的是（）

A.3時30分，時針與分針的夾角是90°B.6時30分，時針與分針重合

C.8時45分，時針與分針的夾角是30°D.9時整，時針與分針的夾角是90。

【答案】D

【分析】根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案.

【詳解】解：A、3時30分時?，時針在3與4中間位置，分針在6上，可以得出分針與時針的夾角是2.5大

格，所以分針與時針的夾角是2.5x30=75。，故本選項錯誤；

B、6時30分，時針與分針的夾角等于15。，故本選項錯誤；

C、8時45分，時針與分針的夾角是30x97.5。，故本選項錯誤；

4

D、9時整，鐘面上的時針與分針的夾角=3x30=90。，故本選項正確；

故選:D.

【點睛】本題考查了鐘面角，確定時針與分針相距的份數(shù)是解題關鍵.

【變式4-1］（2022?河南洛陽?七年級期末）時鐘的分針從8點整轉到8點20分，分針旋轉了（）度.

A.20B.120C.90D.150

【答案】B

【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30。，進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

4x30°=120°,

那寸鐘的分針從8點整轉到8點20分，分針旋轉了120度，

故選：B.

【點睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30。是解題的關鍵.

【變式4-2］（2022?山東煙臺?期中）當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的角，此時的時刻是.

【答案】8點鐘或4點鐘

【分析】根據(jù)鐘表上每一個大格之間的夾角是30。，當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的珀，應

該得出，時針距分針應該是4個格，應考慮兩種情況.

【詳解】解：團鐘表上每一個大格之間的夾角是30。，

回當分針指向12,時針這時恰好與分針成120。的角時，距分針成120。的角時針應該有兩種情況，即距時針4

個格，

（3只有8點鐘或4點鐘是符合要求.

故答案為：8點鐘或4點鐘.

【點睛】本題主要考查了鐘面角的有關知識.距分針成120。的角時針應該有兩種情況，分類討論的應用是

解決問題的關鍵.

【變式4-3］（2022?全國?七年級單元測試）鐘面角是指時鐘的時針與分針所成的角.一天24小時中，當鐘

面角為0°時，時針與分針重合次.

【答案】22

【分析】求出相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時間，即可得出答案.

【詳解】鐘面上，分針轉一圈即360。需要60分鐘，即分針的速度是每分鐘6。，時針轉一圈需要12個小時,

時針的速度是每分鐘潛；=0.5。，

60x12

則相鄰兩次鐘面角為0之間間隔的時間是：?65.45（分鐘），

6—

一天有24x60=1440（分鐘），

則鐘面角為0的次數(shù)為:1440?22.0015,

65.45

故答案為：22.

【點睛】本題考查了鐘面角問題.求出相鄰兩次鐘面角為。之間間隔的時間是解答本題的關鍵.

【知識點4方向角】

在抗行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角.例如，圖中射線OA的方向是北偏東60。；射線OB的

方向是南偏西30".這里的“北偏東6U?！焙汀澳掀?0。”表示方向的角，就叫做方向角.

【題型5方向角】

【例5】（2022?山東煙臺?期末）如圖，某海域中有A,8兩個小島，其中B在A的北偏東40。方向，那么小

島A相對于小島8的方向是（

C.南偏西40°D.北偏西50°

【答案】C

【分析】根據(jù)B在A的北偏東40。方向，即可得出直線4B與8點正南方向的夾角為40。，再根據(jù)4的位置即

可得到答案.

【詳解】解：B在人的北偏東40。方向,

團小島A相對于小島B的方向是南偏西40。,

故選:C.

【點睛】本題考查位置和方向，解題的關鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法.

【變式5-1］（2022?全國?七年級課時練習）如圖，甲從A點出發(fā)向北偏東70。方向走到點B,乙從點A出發(fā)

向南偏西15。方向走到點C,貝附BAC的度數(shù)是（)

【答案】C

【分析】首先求得AB與正東方向的夾角的度數(shù)，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意得:0BAC=（90°-70°）+15°+90°=125°,

故選：C.

【點睛】本題考查了方向角，正確理解方向角的定義是關鍵.

【變式5-2］（2022?全國?八年級課時練習）如圖，漁船A的方向可以由距小島20km和在小島的西南方向

這兩個數(shù)據(jù)來確定.問：

⑴漁船B相對小島的位置應怎樣表述？

⑵小島的北偏東30。方向，距離小島30km處是哪艘漁船？

【答案】（1）漁船B在小島南偏東60。方向的25km處（2）漁船D

【分析】（1）根據(jù)漁船B和小島的位置，距離關系即可解答.

（2）根據(jù)圖像查找即可解答.

【詳解】（1）根據(jù)題中給的形式可得漁船8在小島南偏東60。方向的25km處.

（2）根據(jù)圖像可得小島的北偏東30。方向，距離小島30km處是漁船D.

【變式5-3］（2022?重慶黎江?七年級期中）某部隊在大西北戈壁灘上進行軍事演習，部隊司令部把部隊分

為“藍軍〃、"紅軍〃兩方.藍軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地3地，A地在8地的正西邊（如圖）.部隊

司令部在C地.。在A的北偏東60。方向上、在3的北偏東30。方向上.

（1）LBAC=。；

⑵演習前.，司令部要藍軍、紅軍派人到C地匯報各自的準備情況.紅軍一輛吉普車從B地出發(fā)、藍軍一部越

野車在吉普車出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時到達。地.已知吉普車行駛了18分鐘.A到C的距離是

8到C的距離的1.7倍.越野車速度比吉普車速度的2倍多4千米.求越野車、吉普車的速度及8地到C

地的距離（速度單位用：千米/時）.

【答案】⑴30

⑵越野車為204千米/時、吉普車的速度為100千米/時，3地到。地的距離為30千米

【分析】（1）NB4C=90°-60°；

（2）設吉普車的速度為4千米/時，越野車的速度為（2x+4）千米/時，8到C距離為詈x千米，A到C的距

60

離為1.7x^為千米，根據(jù)題意列出方程并計算即可.

60

（1）

解：Z.BAC=90°-60°=30°.

故答案為：30

（2）

解：設吉普車的速度為x千米/時，則越野車的速度為⑵+4）=米/時，8到C距離為普“千米，A到。的

60

距離為1.7x啜％千米，

60

由題意，得1.7x普“一（2%+4）X等，

6060

解得x=100,

則2x+4=204,—%=30,

60

答：越野車為204千米/時、吉普車的速度為100千米/時，3地到C地的距離為30千米.

【點睛】本題考查了方位角和一次方程的實際應用，設出合適未知數(shù)，找到等量關系列出方程是解題關鍵.

【知識點5角的比較與運算】

角的比校：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種.

方法1:度量比較法.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.

方法2:疊合比較法.把其中的一個角移到另一個角上作比較.

如比較NAOB和NA9B，的大?。喝缦聢D，由圖(1)可得NAOBVNA9B，；由圖(2)可得NAOB=N

A，(rB，；由圖(3)可得NAOB>NA'€TB，.

■0)(2)6■

【知識點6角的和、差關系】

如同所示，NAOB是N1與N2的和，記作；NAOD-N1+N2;N1是NAOB與N2的差，記作：Nl-

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.如圖所示，OC是NAOR

的角平分線，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

ZAOC=ZBOC=*AOB.

【題型6與角平分線相關的角的運算】

【例6】(2022?江西省遂川縣教育局教學研究室七年級期末)如圖，4108=90。，zBOC=a(03<a<180°),

OD,0E分別是乙4。3,乙8。。的平分線.

BBB

圖1備用圖

⑴如圖1,當OC在OB左側，且a=80°時，4OOE的度數(shù)是；

⑵當。。的位置不確定時，請利用備用圖，畫出相關圖形，探究ZOOE的大小與。的數(shù)量關系;

⑶當乙DOE的度數(shù)為36。時，請直接寫出a的度數(shù).

【答案】(1)85。

(2)NDOE=45°+；a或4/50E=45。一；a或40OE=1a-45°

⑶18°或162°

【分析】(1)利用角平分線的定義和角的和差關系求解；

(2)分OC在OB左側，0c在乙408內(nèi)部，0c在。A下方三種情況，利用角的和差關系分別計算即可求解;

(3)將々DOE=36。代入(2)中結論即可求解.

(1)

解：由題意得，乙408=90。，乙80C=a=80。，

團OD,0E分別是乙40B,乙BOC

團乙。。8二：乙八OB=45。，Z.EOB=^BOC=40°,

22

團NDOE=ZDOB+NEOB=450+40°=85。，

即，DOE的度數(shù)是85。；

(2)

解：分三種情況討論，當OC在04左側時，如下圖所示：

乙DOE=cDOB+乙EOB=-Z.AOB+-Z.BOC=45°+-a；

當OC在iA08內(nèi)部時，如下圖所示：

乙DOE=cDOB—乙EOB=1^AOB-；48。。=45°—1a；

當。。在04下方時，如下圖所示：

乙DOE=^EOB—乙DOB=|LBOC-\Z-AOB=|a-45°；

LL乙

綜J_可知，4。OE=450十\a或4C0E=45°一1a或△。0E=1a-45".

（3）

解：由（2）可知，4。0￡=36。時，

45c-1a=36°,或"一45。=36。，或36。=45。+"

解得a=18。，或a=162。，或a=-18。（舍去），

即a的度數(shù)為18?；?62。.

【點睛】本題考查角平分線的定義和角的和差關系，需要注意X的位置有多種可能，掌握分類討論思想是

解題的關鍵.

【變式6-1］（2022?山東煙臺?期末）有公共頂點的兩個角，乙403="。。，且?！隇橐褺OC的角平分線.

ACA

BE

⑴如圖1,請?zhí)剿鱊40E和4DOE的大小關系，并說明理由；

⑵如圖2,和40?！晔欠袢匀粷M足(1)中關系？請說明理由；

(3)若4103=90°,Z.AOC=64°,求出N80E的度數(shù).

【答案】⑴魴0￡=團。?！?理由見解析

(2)兇。E=團。0￡理由見解析

⑶Z80E的度數(shù)為13?；?7。

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義，由。七為mBOC的角平分線，得團BOEFCOE,進而推出豳OE=W)OE；

(2)與(1)同理；

(3)分兩種情況，MOC在加(用的內(nèi)部或0AOC在0/108的外部，根據(jù)角的和差關系，由EL4OB=90。，(M0C

=64。，得明0。=西。8-財0。=26?；驁F8000404+財0。=154。，然后根據(jù)角平分線的定義，由OE為團BOC

的角平分線，得財。E=糊。。=13?；螋?。七=拂0c=77。.

(1)

解：^AOE=WOE,理由如下：

回OE為團BOC的角平分線，

團團8OE=I3COE,

^OB=^COD,

團0AOB+WOE=^COD+團CO￡,

^OE=BDOE.

(2)

\MOE=^DOE,理由如下:

團0E為團BOC的角平分線，

^BOE=BCOE,

^OB=BCOD,

^OB-^BOE=^COD-^COE,

^OE=^DOE.

(3)

解：當財OC在財OB的內(nèi)部時，，如圖所示:

O

豳408=90°,0AOC=64°,

隴BOCMMOB-0AOC=26°,

(30E為(3BOC的角平分線，

^BOE=^BOC=13°；

當IL4OC在0AOA的外部時.如圖所示:

回斯08=90°,MOC=64°,

回回。0。=酎。4+財0。=154°,

團0E為08OC的角平分線，

^BOE=^BOC=77°；

綜上分析可知，“0E的度數(shù)為13?；?7。.

【點睛】本題主要考查角的和差關系、角平分線的定義，熟練掌握角的和差關系、角平分線的定義，是解

決本題的關鍵.

【變式6-2]（2022?山東濟南?七年級期末）如圖1,已知0Ao8=60。，OM平分酎08.

備用圖

(1)姐OM=

（2）若在圖1中畫射線OC,使得團次?。=20。，ON平分（33OC,求SA/ON的大小;

（3）如圖2,若線段OA與08分別為同一鐘表上某一時刻的時針與分針，0408=60。，在時針與分針轉動過

程中，OM始終平分M。8,則經(jīng)過多少分鐘后，E1B0M的度數(shù)笫一次等于50。.

【答案】（1）30。

（2）20?；?0°

⑶牌分鐘

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得出答案；

（2）根據(jù)題意分類討論，分為射線OC在冊OB內(nèi)部和外部兩種情況計算即可；

（3）根據(jù)鐘表轉動求出時針和分針轉動的速度，再根據(jù)分針轉動的角度-時針轉動的角度=財。3增加的度

數(shù)，建立方程解出答案即可.

（1）

解：物408=60°,OM平分財。8,

團乙BOM=-/-AOB=-X600=30°；

22

(2)

當射線OC在內(nèi)部時，如圖所示,

A

M

--------------B

隴80C=20°,ON^^BOC,

5°"那”=卜2。。=1。，

⑦乙MON=乙BOM-乙BON=30°-10°=20°；

當射線OC在勖106外部時，如圖所示，

W0C=20°,ON平分（38OC,

回ZB0N=-Z-BOC=-x200=10。

22

國NMON=乙BOM+乙BON=30。+10°=40°：

綜上所述，E1MON的度數(shù)為20?；?0。；

（3）

目OM平分（MOB,a8OM=50°

SOB=2乙BOM=100°

設經(jīng)過x分鐘后，回BOM的度數(shù)第一次等于50。，

團分針。8的運動速度為每分鐘轉動：翳=6。，

時針04的運動速度為每分鐘轉動：若;=0.5。，

12X60

團69-0.5。%=100°-60°,

解得力等

所以經(jīng)過書分鐘后，（38OM的度數(shù)第?次等于50。.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，分類討論思想，一元一次方程的應用之行程問題，分類討論思想和

方程思想是本題的關鍵.

【變式6-3］（2022?內(nèi)蒙占?察哈爾右翼前旗教學研究室七年級期末）已知zlAOB內(nèi)部有三條射線，其中，OE

平分NB0C,。尸平分Z/1OC.

(1)如圖1,若4108=90。，Z.AOC=30°,求"OF的度數(shù)；

(2)如圖2,若4103=%求乙EOF的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(3)若將題中的"平分"條件改為"3"08="。氏3乙COF=24COA“，且=a,用含a的式子表示

乙EOF的度數(shù)為.

【答案】(1)0EOF=450,(2)0EOF=1a,(3)0EOF=|a.

【分析】(1)首先求得mBOC的度數(shù)，然后根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得：團EOF=(11EOC+mCOF即可

求解;

⑵根據(jù)角的平分線的定義和角的和差可得團EOF也EOC+團COF=凱BOC+凱AOC=1((3BOC+0AOC),即可求解；

⑶根據(jù)角的等分線的定義可得：0EOF=0EOC+SCOF=細BOC+細AOC=-(0BOC+0AOC)=^1AOB,即可求解.

3333

【詳解】解：(1)團BOCWAOB-?1AOC=900-30°=60°,

130E平分回BOC,OF平分團AOC,

回(3EOC=SBOC=2x6(T=3(r,0COF=^AOC=-x30°=15°,

2222

00EOF=0EOC+0COF=3O0+15O=45°；

(2)(30E平分(3B0C,OF平分(3A0C,

00EOC=-^BOC,I3COF=.OC,

22

00EOF=(3EOC+0COF=%BOC+^3A0C=-(0BOC+SAOC)=為AOB=-a；

22222

(3)30EOB=[?)COB,3ECOF=20COA

即便E0B=%2B0C,0COF=%1AOC,

33

2

皿EOC=產(chǎn)。C

9?

隨EOFWEOC+團COF:手BOC+FAOC=-（BBOC+SAOCv）=^AOB=-a.

333

【點睛】本題主要考查角的計算及角平分線的定義，角的等分線的定義，注意運算的準確性.

【題型7與角n等分線相關的角的運算】

【例7】（2022?貴州畢節(jié)?七年級階段練習）如圖，點A、C、8三點在一直線上，從點C引射線CO、CE、

CF.^DCE=^\ECA,EFCE=、iECB.

33

（1）求（3ZXT的大小，并說明理由；

（2）當（3OCE=與EC4,（3/CE=%EC8時，直接寫出（3OC產(chǎn)的大?。ㄓ煤ǖ拇鷶?shù)式表示）.

nn

【答案】⑴EDCr=60。,理由見解析

（2）0DCF=—.

【分析】（1）利用角的和與角的差，平角的定義來計算即可；

（2）根據(jù)（1）的計算模式，把;換成二就可得出結果.

3n

（1）

解：（3點A、C、B三點在一直線上，從點C引射線CO、CE、CF,^DCE=^ECA,^FCE^ECB,

o

^WCF=^DCE+^FCE=-3C^ECA+^ECB）=-3xl80=60°；

（2）

解：（3點八、C、8三點在一直線上，從點C引射線C。、CE.CF,回。。氏細EC4,gFCE=與ECB,

nn

00DCF=aDCE+0FC￡=-n（0ECA+0ECB）=-nxl800=—n.

【點睛】本題考查了角的計算、列代數(shù)式，解題關鍵是掌握角的計算和根據(jù)題意列代數(shù)式.

【變式7-1］（2022?湖南長沙?七年級期末）如圖，在財08的內(nèi)部有3條射線OC、OD、0E,若a400=70。,

財。七=如。c,魴。。=涉。從則回。。4-------。.（用含〃的代數(shù)式表示）

【答案】廣

【分析】根據(jù)角的和差即可得到結論.

【詳解】解：羽80E=/80C,

n

團團80C=〃團BOE,

回財O8=MOC+團BOC=70°+/日BOE,

^BOD=^AOB=—+^BOE,

nn

^DOE=^BOD-^BOE=^,

故答案為：-.

n

【點睛】本題考查了角的計算，正確的識別圖形是解題的關鍵.

【變式7-2］（2022?全國?七年級單元測試）已知:乙40B和NC。。是直角.

（1）如圖，當射線。8在“。。內(nèi)部時，請?zhí)骄俊?D和NB0C之間的關系;

（2）如圖2,當射線0A,射線08都在匕C00夕卜部時，過點0作射線CE,射線0F,滿足乙8?！?〃BOC,乙DOF=

;乙q。。，求4EOF?的度數(shù).

?5

（3）如圖3,在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在射線0G,使得乙GOBxGOE=2:3,若不存在，請說明

理由，若存在，求出4G。尸的度數(shù).

D

【答案】（1）乙4。。+ZBOC=180。，詳見解析；（2）150°；（3）/GO/的度數(shù)是60?；?4。

【分析】（1）根據(jù)角與角之間的關系進行轉換，證明乙4。。+48。。=180。；

（2）利用角度之間的倍數(shù)關系，設MB0E=a,然后用a表示必?！?、〃0B、^AOF,最后加起來就可以算

出/EOF；

（3）分情況討論，射線OG在內(nèi)部或者外部，再根據(jù)比例關系求出NGO尸的度數(shù).

【詳解】解：（1）Z.AOD+Z.BOC=180°,

證明：???4力。8和乙C。。是直角，

￡AOB=乙COD=90°,

?:乙BOD+乙BOC=乙COD,

」BOD=900—乙BOC,

同理：AAOC=90°-zBOC,

:./.AOD=Z.AOB+乙BOD=90°+90°-乙BOC=180°-乙BOC,

Z.AOD+乙BOC=180°；

(2)解：設NBOE=a,則48OC=3a,

???Z.BOE+Z.EOC=乙BOC,

:.Z.EOC=Z.BOC—乙BOE=2a,

vZ.AOD+乙COD+乙BOC+Z-AOB=360°,

:.Z.AOD=360°-乙COD-乙BOC-Z-AOB=360°-90°-3a-90°=180°-3a,

2

???/DOF=：乙4。。，

AZDOF=^(180°-3tz>=120。-2a,

￡AOF=^Z.AOD=^(180°-3a)=60。-a,

JJ

Z.EOF=Z-BOE+Z.AOB+Z.AOF=a+90°+60°-a=150°,

答：NE。尸的度數(shù)是150。；

(3)①如圖，當射線OG在4EOF內(nèi)部時，

vZ.GOF:Z.GOE=2:3>

222

乙GOF=—Z-EOF=-/.EOF=-x150°=60°,

2+355

D

②如圖，當射線OG在此。尸外部時，

?:乙GOF:乙GOE=2:3,

:.Z.GOF=總(360。-/.EOF)="360。-150°)=|x210°=84°,

綜上所述，NGOF的度數(shù)是60?；?4。.

【點睛】本題考查角度的計算，解題的關鍵是找到圖象中角與角之間的聯(lián)系，進行列式求解，需要注意最

后一問要進行分類討論.

圖3備用圖

【閱讀理解】

射線OC是EAO8內(nèi)部的一條射線，若兇0。=挪。（7,則稱射線0C是射線OA在朋內(nèi)的一條“友好線如

圖1,若MOB=75。，財0。=25。，則財OC=#）BOC,所以射線OC是射線04在財OB內(nèi)的一條“友好線”.

【解決問題】

⑴在圖1中，若作魴0。的平分線0D,則射線OD（填“是"或"不是〃）射線04在射03內(nèi)的一-條“友

好線”;

（2）如圖2,0AO8的度數(shù)為〃，射線0M是射線08在財08內(nèi)的一條"友好線"，0N平分財08,則12MoN的

度數(shù)為（用含〃的代數(shù)式表示）；

⑶如圖3,射線03先從與射線0A重合的位置出發(fā)，繞點0以每秒1。的速度逆時針旋轉：10秒后射線OC

也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5。的速度逆時針旋轉，當射線OC與射線OA的延長線重合

時，運動停止.問：當射線OC運動時間為多少秒時，射線。4,OB,OC中恰好有一條射線是余下兩條射

線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？

【答案】（1）是

⑶黑?；?5或詈或券秒

【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；

（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；

（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進行計算即可.

（1）

解：???08是NBOC的平分線，

???NBO/）=NC。。，

???NC吁⑶如,

/.NBOD=：NA（）D,

，射線0。是射線08在NAO8內(nèi)的一條“友好線”.

故答案為：是.

（2）

???射線0M是射線0B在NA0B內(nèi)的一條“友好線”，N40B的度數(shù)為〃，

：^BOM^ZAOB=\n,

平分N408,

?“。小=沁呀加

Z.MON=/BON-ZBOM=-n--n=-n.

故答案為：

6

⑶

設運動時間為x秒時，射線04、OB、0C中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”.

???當射線0C與射線0A的延長線重合時，運動停止

360

???x<――=72

如圖，當射線0C是射線0A在N408內(nèi)的一條“友好線”時，當4AOC//BOC時，

根據(jù)題意可得N/08=(10+x)°,/-AOC=5x°,則NBOC=AAOB-Z.AOC=(10+x)°-5x°=(10-4x)°

5x=-(10-4x)

乙

解得％=9

如圖，當射線。C是射線OB在乙4OB內(nèi)的一條“友好線”時，當^N/OC=/80。時，

(A0B=(10+x)°,/.AOC=5x0,LBOC=Z.AOB-Z.AOC=(10+%)°-5%°=(10-4x)°

1

-x5x=10-4x

乙

解得力得

即運動時間為瑞秒時，射線。。是射線OB的“友好線”.

③如圖，當射線04是射線。4在NAOC內(nèi)的一條“友好線”時，則乙

4

Z.A0B=(10+x)°,Z.AOC=5x°,LBOC=Z.AOC-LAOB=5x°-(10+x)°-5x°=(4%-10)。

c

/

OA

所以10+A—(4x-10),

解得x=15(符合題意)，

即運動時間為15秒時，射線08是射線04的“友好線”.

④如圖，當射線04是射線0C在NA0C內(nèi)的一條“友好線”時，則：NA08=NC0B,

Z-A0B=(10+x)°,LAOC=5x°,LBOC=Z.A0C-LAOB=5x°-(10+x)°-5x°=(4%-10)0

:.g(10+x)=4x—10

解得％=日

⑤如圖，?：^AOB=(10+x)0,Z.A0C=(360-5x)°

當，AOC=：匕力。B時

360—Sr=(104-x)

解得：%=詈

當1440c=4408時

;(360—5x)=104-x

乙

解得：%=一

綜上所述，當運動時間為:或工或15或詈或券秒時，符合題意要求.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，角的計算，解決本題的關鍵是利用分類討論思想.

【題型8在三角板中的角的運算】

【例8】(2022?陜西西安市雁塔區(qū)第二中學七年級階段練習)將一副三角板如圖1擺放.-108=60。,“。。=

45c,OM平分4A。。，ON平分/C0B.

圖3

(l)zMON=；

⑵將圖1中的三角板。CD繞點。旋轉到圖2的位置，求/MON；

⑶將圖1中的三角板。CD繞點。旋轉到圖3的位置，求,MON.

【答案】(1)52.5°

(2)52.5°

(3)52.5°

【分析】⑴利用角平分線的性質，分別求出4NOB和乙M08,相加即可求得NMON：

(2)由角平分線分別表示出NM。。和4NOB,貝1J4MON=32/。。+；乙。。8+48。。，將式子變形為4時。可=

：(乙力。0+Z,BOD+乙COB+乙BOD)二：(乙AOB+乙COD),代入數(shù)值計算即可；

(3)同(2)由角平分線分別表示出乙M。。和，N03,貝”乙MON=：乙AOD+：乙COB—乙BOD,將式子變形

為乙MON=-(Z.AOD+乙BOD-乙COB-乙BOD)=-(4/1。0-Z.BOD)+-(Z.COB-乙BOD),代入數(shù)值計算

222

即可.

(1)

解：自0M平分NAOD,ON平分ZCOB,

團NNOB=戛COB=22.5°,乙MOB=-^AOD=30°,

22

0ZWO/V=乙NOB+乙MOB=22.5°+30°=52.5°.

故答案為：52.5°.

(2)

解：回OM平分/力0。，ON平分乙C08,

團乙MOZ)=-￡AOD,乙NOB=-乙COB,

22

團/MON=-Z.AOD+-乙COB+乙BOD

22

1

=-(AAOD+乙COB+2乙BOD)

1

=-(/.AOD+乙BOD+乙COB+乙BOD)

二打力08+2r。0)

=1(60°+45°)

=52.5°；

(3)

解：?OM平分乙4OD,ON平分“OB,

0Z.WOZ)=^AOD,乙NOB=-4COB,

22

團4MON=-AAOD+-乙COB-乙BOD

22

1

=-(^AOD+乙COB-2乙BOD)

/1

=1(/.AOD-乙BOD)+1(乙COB-乙BOD)

=|(Z71OB+ZCOD)

=1x(60°+45°)

=52.5°.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，幾何圖形中角的計算.準確識圖并發(fā)現(xiàn)角度之間的關系是解題關鍵.

【變式8-1](2022?山東棗莊?七年級期中)如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究.

⑴如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是財?shù)钠椒志€，請你猜想此時

是不是團ECQ的平分線，并簡述理由:

(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在?起，若C8始終在回￡＞?！甑膬?nèi)部，請猜想E4CE與