第6章矩陣分析與應(yīng)用6.1矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形6.1.1若爾當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形之所以在實(shí)際中有著重要的應(yīng)用，是因?yàn)樗哂邢旅鎺讉€(gè)特點(diǎn)：其對(duì)角元即為矩陣A的特征值；對(duì)于給定特征值，其對(duì)應(yīng)若爾當(dāng)塊的個(gè)數(shù)等于的幾何重復(fù)度；對(duì)于給定特征值，其所對(duì)應(yīng)全體若爾當(dāng)塊的階數(shù)之和等于的代數(shù)重復(fù)度。調(diào)用格式說(shuō)明J=jordan(A)求矩陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，其中A為一已知的符號(hào)或數(shù)值矩陣[P,J]=jordan(A)返回若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣J與相似變換矩陣P，其中P的列向量為矩陣A的廣義特征向量。它們滿足：P\A*P=J表jordan命令的使用格式6.1.2厄米法線形厄米特矩陣（HermitianConjugateMatrix），又名為“埃爾米特矩陣”或“厄米矩陣”，指的是自共軛矩陣。矩陣中每一個(gè)第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的共軛相等。調(diào)用格式說(shuō)明H=hermiteForm(A)求矩陣A的，其中A為一已知的符號(hào)或數(shù)值矩陣。厄米形式H是一個(gè)上部三角形矩陣。[U,H]=hermiteForm(A)返回厄米法線形式A和一個(gè)幺模變換矩陣U,這樣H=U*A.___=hermiteForm(A,var)假設(shè)A的元素是指定變量var中的單變量A項(xiàng)式。如果A包含其他變量,hermiteForm將這些變量視為符號(hào)參數(shù)。表hermiteForm命令的使用格式6.2矩陣分解6.2.1楚列斯基(Cholesky)分解6.2.2LU分解矩陣的LU分解又稱矩陣的三角分解，它的目的是將一個(gè)矩陣分解成一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，即A=LU。這種分解在解線性方程組、求矩陣的逆等計(jì)算中有著重要的作用。調(diào)用格式說(shuō)明R=chol(A)返回楚列斯基分解因子R[R,p]=chol(A)該命令不產(chǎn)生任何錯(cuò)誤信息，若A為正定陣，則p=0，R同上；若X非正定，則p為正整數(shù)，R是有序的上三角陣[R,p,S]=chol(A)返回置換矩陣S表chol命令的使用格式調(diào)用格式說(shuō)明[L,U]=lu(A)對(duì)矩陣A進(jìn)行LU分解，其中L為單位下三角陣或其變換形式，U為上三角陣[L,U,P]=lu(A)對(duì)矩陣A進(jìn)行LU分解，其中L為單位下三角陣，U為上三角陣，P為置換矩陣，滿足LU=PA表lu命令的使用格式6.2.3與分解對(duì)于n階方陣A，所謂的分解就是將A分解為三個(gè)矩陣的乘積：，其中L、M是單位下三角矩陣，D為對(duì)角矩陣。6.2.4QR分解矩陣A的QR分解也叫正交三角分解，即將矩陣A表示成一個(gè)正交矩陣Q與一個(gè)上三角矩陣R的乘積形式。

表qr命令的使用格式6.2.5SVD分解奇異值分解（SVD）是現(xiàn)代數(shù)值分析（尤其是數(shù)值計(jì)算）的最基本和最重要的工具之一，因此在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。調(diào)用格式說(shuō)明[Q1,R1]=qrdelete(Q,R,j)返回去掉A的第j列后，新矩陣的QR分解矩陣。其中Q、R為原來(lái)A的QR分解矩陣[Q1,R1]=qrdelete(Q,R,j,‘col’)同上[Q1,R1]=qrdelete(Q,R,j,‘row’)返回去掉A的第j行后，新矩陣的QR分解矩陣。其中Q、R為原來(lái)A的QR分解矩陣表qrdelete命令的使用格式調(diào)用格式說(shuō)明[Q1,R1]=qrinsert(Q,R,j,x)返回在A的第j列前插入向量x后，新矩陣的QR分解矩陣。其中Q、R為原來(lái)A的QR分解矩陣[Q1,R1]=qrinsert(Q,R,j,x,‘col’)同上[Q1,R1]=qrinsert(Q,R,j,x,‘row’)返回在A的第j行前插入向量x后，新矩陣的QR分解矩陣。其中Q、R為原來(lái)A的QR分解矩陣表qrinsert命令的使用格式調(diào)用格式說(shuō)明s=svd(A)返回矩陣A的奇異值向量s[U,S,V]=svd(A)返回矩陣A的奇異值分解因子U、S、V[U,S,V]=svd(A,0)返回m×n矩陣A的“經(jīng)濟(jì)型”奇異值分解，若m>n則只計(jì)算出矩陣U的前n列，矩陣S為n×n矩陣，否則同[U,S,V]=svd(A)表svd命令的使用格式6.2.6舒爾(Schur)分解舒爾分解是Schur于1909年提出的矩陣分解，它是一種典型的酉相似變換，這種變換的最大好處是能夠保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定，因此在工程計(jì)算中也是重要工具之一。6.2.7海森伯格(Hessenberg)分解如果矩陣H的第一子對(duì)角線下元素都是0，則H（或其轉(zhuǎn)置形式）稱為上（下）海森伯格矩陣。調(diào)用格式說(shuō)明T=schur(A)返回舒爾矩陣T，若A有復(fù)特征值，則相應(yīng)的對(duì)角元以的塊矩陣形式給出T=schur(A,flag)若A有復(fù)特征值，則flag='complex'，否則flag='real'[U,T]=schur(A,…)返回酉矩陣U和舒爾矩陣T表schur命令的使用格式調(diào)用格式說(shuō)明H=hess(A)返回矩陣A的上海森伯格形式[P,H]=hess(A)返回一個(gè)上海森伯格矩陣H以及一個(gè)為矩陣P，滿足：A=PHP'且P'P=I[H,T,Q,U]=hess(A,B)對(duì)于方陣A、B，返回上海森伯格矩陣H，上三角矩陣T以及酉矩陣Q、U，使得QAU=H且QBU=T

表hess命令的使用格式6.3線性方程組的求解6.3.1線性方程組基礎(chǔ)對(duì)于齊次線性方程組解的個(gè)數(shù)有下面的定理：定理1：設(shè)方程組系數(shù)矩陣A的秩為r，則（1）若r=n，則齊次線性方程組有唯一解；（2）若r<n，則齊次線性方程組有無(wú)窮解。對(duì)于非齊次線性方程組解的存在性有下面的定理：定理2：設(shè)方程組系數(shù)矩陣A的秩為r，增廣矩陣[Ab]的秩為s，則（1）若r=s=n，則非齊次線性方程組有唯一解；（2）若r=s<n，則非齊次線性方程組有無(wú)窮解；（3）若，則非齊次線性方程組無(wú)解。關(guān)于齊次線性方程組與非齊次線性方程組之間的關(guān)系有下面的定理：定理3：非齊次線性方程組的通解等于其一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解之和。6.3.2利用矩陣的逆（偽逆）與除法求解6.3.3利用行階梯形求解6.3.4利用矩陣分解法求解1．LU分解法2．QR分解法3．楚列斯基分解法表null命令的使用格式調(diào)用格式說(shuō)明R=rref(A)利用高斯消去法得到矩陣A的行階梯形R[R,jb]=rref(A)返回矩陣A的行階梯形R以及向量jb[R,jb]=rref(A,tol)返回基于給定誤差限tol的矩陣A的行階梯形R以及向量jb表rref命令的使用格式6.3.5非負(fù)最小二乘解調(diào)用格式說(shuō)明x=lsqnonneg(A,b)利用高斯消去法得到矩陣A的行階梯形Rx=lsqnonneg(A,b,x0)返回矩陣A的行階梯形R以及向量jb表lsqnonneg命令的使用格式6.4操作實(shí)例——“病態(tài)”矩陣問(wèn)題利用MATLAB分析隨機(jī)矩陣的病態(tài)性質(zhì)。解：取A是一個(gè)6維的隨機(jī)矩陣，取

其中是在b的基礎(chǔ)上有一個(gè)相當(dāng)微小的擾動(dòng)。分別求解線性方程組與，比較與，若兩者相差很大，則說(shuō)明系數(shù)矩陣是“病態(tài)”相當(dāng)嚴(yán)重的。6.5課后習(xí)題1．線性方程組如何求解，有幾種方法？2．如何判斷方程組有解？3．對(duì)下面的方程組進(jìn)行求解（1）求的通解。（2）求的通解。