考點12對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．【知識點】1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作.2．對數(shù)的性質(zhì)與運算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1＝，logaa＝，＝(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMn＝(n∈R)．(3)對數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域值域性質(zhì)過定點，即x＝1時，y＝0當(dāng)x>1時，；當(dāng)0<x<1時，當(dāng)x>1時，；當(dāng)0<x<1時，在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1，＝eq\f(n,m)logab.2．如圖給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．3．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).【核心題型】題型一對數(shù)式的運算解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．【例題1】（23-24高三下·湖南衡陽·階段練習(xí)）集合則集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在一個空房間中大聲講話會產(chǎn)生回音，這個現(xiàn)象叫做“混響”．用聲強來度量聲音的強弱，假設(shè)講話瞬間發(fā)出聲音的聲強為，則經(jīng)過秒后這段聲音的聲強變?yōu)?，其中是一個常數(shù)．把混響時間定義為聲音的聲強衰減到原來的所需的時間，則約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（

）A．-2 B． C． D．1【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．3題型二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【例題2】（2024·北京東城·一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·陜西咸陽·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．命題點1比較對數(shù)式的大小【例題3】（2024·云南·一模）已知，若，則（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·全國·二模）已知，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·浙江溫州·二模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．命題點2解對數(shù)方程、不等式【例題4】（2023·山東·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·上海青浦·二模）已知，，若，則滿足條件的的取值范圍是．【變式2】（2024·湖北·一模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．【變式3】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）函數(shù)的定義域是.命題點3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【例題5】（2024·廣東·一模）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對的個數(shù)是（

）A．16 B．24 C．32 D．48【變式1】（2024·江西九江·二模）若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)b，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·遼寧·一模）若函數(shù)使得數(shù)列，為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，已知函數(shù)為“數(shù)列保減函數(shù)”，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【課后強化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2023高三上·四川·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣西·二模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．0 C．1 D．3．（2024·湖南·一模）已知，且，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·浙江·二模）若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為（

）A． B．0 C． D．1二、多選題5．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．6．（2024·甘肅武威·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則（

）A． B． C． D．三、填空題7．（2024·云南紅河·二模）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則.8．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標(biāo)為．四、解答題9．（23-24高三上·青海西寧·階段練習(xí)）已知，，，比較、、的大小.10．（23-24高三上·上海長寧·期中）已知函數(shù)，其中常數(shù)且.(1)判斷上述函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；(2)若，利用上述函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，討論和的大小關(guān)系，并述理由.11．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）已知．(1)若，求的值域；(2)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．綜合提升練一、單選題1．（2024高三上·全國·競賽）（

）A． B．0 C．1 D．22．（2024·陜西西安·一模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·北京大興·階段練習(xí)）已知是定義在上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則在上是（

）.A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且5．（23-24高三上·山東濟寧·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）．A．2 B．3 C．4 D．56．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)為（

）①（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；②；③；④（其中）．A．0 B．1 C．2 D．37．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）若對于任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，，其中，分別是將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次得到的點數(shù)．設(shè)“函數(shù)的值域為”為事件A，“函數(shù)為偶函數(shù)”為事件B，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高三上·江蘇淮安·期中）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱C．函數(shù)在上是增函數(shù) D．函數(shù)的值域為11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知（且），則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，三、填空題12．（23-24高三上·上海靜安·階段練習(xí)）由函數(shù)的觀點，不等式的解集是.13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知是方程的兩個根，則14．（2024·天津·一模）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，.若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有三個不同零點，則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題15．（23-24高三上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若，函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，求實數(shù)的值.16．（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的零點．17．（23-24高三上·湖北·期中）記是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項積，已知，.(1)求的通項公式；(2)證明：.18．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若命題p：“，”為假命題，則a的取值范圍是?19．（23-24高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，若對，使得，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題：函數(shù)（且）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增是真命題，求的取值范圍.拓展沖刺練一、單選題1．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．a(chǎn)，b的大小無法判斷2．（2024·湖南岳陽·二模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．3.（2024·陜西西安·一模）已知函數(shù)，若滿足，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）142857被稱為世界上最神秘的數(shù)字，，所得結(jié)果是這些數(shù)字反復(fù)出現(xiàn)，若，則（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·山東日照·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）若實數(shù)a，b滿足log3a＜log3b，則下列各式一定正確的是（）A．3a＜3b B．（）a－b＞1C．ln（b－a）＞0 D．loga3＜logb37．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C． D．三、填空題8．（23-24高三上