...在正方形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O．（2）如圖2，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α,并放大得到△AEF（點(diǎn)O，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)使得點(diǎn)E落在OD上，點(diǎn)F落在BC上，求的值繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α,并放縮得到△AEF（點(diǎn)O，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)使得點(diǎn)E落在OD上，點(diǎn)F落在BC上．猜想的值是否與α有關(guān)，并說明理由；如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB上的動點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合連接CD，以CD為直角邊在CD的右側(cè)構(gòu)造Rt△CDE，上DCE=90°,連接BE，（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對稱，連接DF，EF，BF，如圖3．已知AC=6，設(shè)AD=x，四邊形CDFE的面積為y．①求y與x的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；@當(dāng)BF=2時(shí)，請直接寫出AD的長度．,動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿C→B→A勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作正方形DPEF設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為ts，正方形DPEF的@S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．2@當(dāng)t3=4t1時(shí)，求正方形DPEF的面積．究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過時(shí)，重疊部分的面積為__________；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為________相交于點(diǎn)M，N．@如圖3，當(dāng)CM=CN時(shí)，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結(jié)果保留根號的邊所圍成的圖形的面積為S2，請直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含a的式子表已知：如圖①,直線MN^AB，垂足為C，且AC=BC，P是MN上的任意一點(diǎn)．【定理證明】【定理應(yīng)用】（2）如圖②,△ABC中，AD^BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)（3）如圖③,矩形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，AE=6，BE的垂直平分線交BC的延長線于點(diǎn)F，連接EF交CD于點(diǎn)G，若G是CD的中點(diǎn)，求DE的長．是直線BC上的動點(diǎn)，連接DE，以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF，連接CF．當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，請直接寫出BD的長．【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，△ABC的DABC和DACB的平分線BE,CF相交于點(diǎn)G．@求證：上【數(shù)學(xué)思考】【問題解決】（3）如圖3，菱形ABCD的頂點(diǎn)A,D在ΘO上，AB與ΘO相交于點(diǎn)E,F為的中點(diǎn)，若如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E為邊AD上的一個(gè)動點(diǎn)并交于點(diǎn)F；如圖2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P為對角線AC（不與點(diǎn)A，C重合）上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作MN丄AC，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作ME丄AD交AC于點(diǎn)E；（2）判斷點(diǎn)P在移動過程中，線段MN的長度是否會發(fā)生變化，若變化，請求出線段MN長度的變化范圍，若不變化，求出線段MN長度的如圖3，矩形ABCD中，AB=6，ADBQ=AB，點(diǎn)F在線段BQ上且BF=4，連接CF．AB=AE，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且EF=EC，過點(diǎn)C作CP丄EF，交BE于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作@若AE=3DE，求的值．101）如圖，在Rt△ABC中，上ACB=90°,CO為斜邊AB上的中線，那么OC與AB之【深入探究】【應(yīng)用提升】（3）如圖4，在正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，以CF，DF為邊在AE的右側(cè)作平行四邊形FCGD．@如圖5，連接AC，過點(diǎn)E作AC的垂線，垂足為M，若上DFM=45°,EC=8，求四邊形【模型建立】（1）如圖1，若上ABC=60°,將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBE，連接DE．@用等式寫出線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【模型應(yīng)用】【模型遷移】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是邊AB上的動點(diǎn)，連接CE．過點(diǎn)D作DF丄CE于點(diǎn)【數(shù)學(xué)模型】于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)△CFD是以CF為底的等腰三角形時(shí)，求CE的長；【模型遷移】直線l交于點(diǎn)E，連接EC，BE，探究AC￠與BE的數(shù)量關(guān)系．繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到DF，連接CF．【夯實(shí)基礎(chǔ)】【特例探究】【拓展延伸】（3）請利用備用圖探究：在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，當(dāng)△DFC是直角三角形時(shí)，求BC與CD15．在矩形ABCD中，BC=kAB，點(diǎn)E是CD邊上不與端點(diǎn)C、D重合的動點(diǎn)，CH丄BE于H，【課本再現(xiàn)】（1）如圖（1當(dāng)k=1時(shí)，延長CH交AD于點(diǎn)F，求證：BE=C上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到新折痕BM，把紙片展平．這個(gè)折紙的過程實(shí)際上就是把DABC分成了()對折兩次，對角線AC與折痕GH相交于點(diǎn)O，沿直線OB再次折疊，折痕交AD于點(diǎn)P，此證明：如圖2，在矩形ABCD中，ADⅡBC，由折疊可知，GH∥BC，AB=4AG，QAPⅡBC，:△APO∽______，即AD=BC=3AP．（3）如圖3，先把矩形ABCD沿EF對折，再沿DE折疊，折痕DE交對角線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)G折疊矩形，使得點(diǎn)A落在AD上，得到折痕PQ．請判斷點(diǎn)P是否為AD邊的“三等分把△ADP沿DP翻折得△EDP，直線PE交BC于點(diǎn)F，請求出BF的長．運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動．P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．以AQ,PQ為邊在AB的上方作平行四邊形ADPQ，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為ts，平行四邊形ADPQ的面積為Scm2（當(dāng)點(diǎn)A，P，Q重合或在一條直線上時(shí)，不妨設(shè)（3）當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動時(shí)記為P1，運(yùn)動時(shí)間記為t1，平行四邊形ADPQ的面積記為S1；當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時(shí)記為P2，運(yùn)動時(shí)間記為t2，平行四邊形ADPQ的面積記為S2，PP@當(dāng)t1+t2=9時(shí)，S1-S2的值為__________．在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，EF與AC相交于點(diǎn)G．（1）①如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則tan上EFC=______；②如圖2，若點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，上EFC=90°,則【類比探究】在菱形ABCD中，上BAD=60°,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CF與BD相交于點(diǎn)M，連接EF交AC于點(diǎn)G．（2）①如圖3，若E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求tan上EFC的值；【拓展延伸】（3）如圖5，在四邊形ABCD中，BC∥AD，且點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．若求BC邊上中線AD的取值范圍．通過分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路．思路1：將△ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°,使得CD和BD重合，得到△EDB…思路2：延長AD到E，使得DE=AD（1）根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到AD的取值范【類比探究】試探索DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【遷移應(yīng)用】如圖1，四邊形ABCD是一個(gè)正方形，E是BA延長線上一點(diǎn)，將△BCE沿CE折疊，得到△FCE，CE與AD交于點(diǎn)P，延長AD交EF于點(diǎn)G連接CG，AE=mAB，（3）如圖2，連接BD并延長，與CG的延長線交于點(diǎn)H，連接EH，若AB=2，△ECH(1)如圖，已知點(diǎn)E在矩形ABCD的對角線BD上，AB=2AD，將△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，以點(diǎn)A為位似中心放大兩倍得到△AFB，連接FE．①證明：△AFE∽△ABD；②求AE，BE，DE的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖1，△ABC中若點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且AD平分DBAC則AB與AC的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2，△ABC中，AB>AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AG平分DBAC，過點(diǎn)D作DF∥GA，交BA于點(diǎn)E，交C（的延長線于點(diǎn)F求證：AB-AE=AC+AF；(3)如圖3四邊形ABCD中線段AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)P連接AP，DP，若上APD=90°則AB與CP的(4)如圖4．四邊形ABCD中，線段AD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)P，連接AP，DP，且上APD<90°作DF丄AP于點(diǎn)F（異于點(diǎn)P連接CF，若CF=3，②若點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，且上APQ=上C，則且始終滿足DE=DB，以點(diǎn)D為圓心，DE的長為半徑畫弧并交線段AB于點(diǎn)F，連接EF,DF；若四邊形AEDF是菱形，則CD的長是多少？(3)當(dāng)圖②中的點(diǎn)D運(yùn)動到如圖③所示位置時(shí)，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，若滿足動（運(yùn)動到點(diǎn)C停止以DP為邊在DP上方作正方形方形DPEF的面積為y．（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖（2）所示的函數(shù)圖象，直線x=2是其圖象所在拋物線的對稱軸，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫（4）連接正方形DPEF的對角線DE，PF，兩對角線的交點(diǎn)為M，求點(diǎn)A在△DFM內(nèi)部時(shí)x和y的取值范圍．如圖1，YABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△AOB是等邊三角形，且AB=4．連接MN．．點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合，AB=2．@設(shè)AC與EF交于點(diǎn)G，求CG的長．（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，O是AC的中點(diǎn)，P是EF的中點(diǎn)，連接OP，（3）如圖3．將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°(0<a<90)，延長EF，交AC于點(diǎn)M，若求AM的長．【學(xué)習(xí)心得】（1）小賢同學(xué)在學(xué)習(xí)完“等腰三角形”這一節(jié)內(nèi)容后，感邊三角形，運(yùn)用等邊三角形的知識來解決，從例如：如圖1，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到點(diǎn)D，延長BA到點(diǎn)E，并且使AE=BD，連接CE，DE．求證：EC=ED．小賢同學(xué)的證明思路：延長BD至點(diǎn)F，使DF=BC，連接EF，先證明構(gòu)造的△BEF為等【類比遷移】【拓展延伸】上BAD=15°,將線段AD沿著直線AC翻折，點(diǎn)D恰好落在點(diǎn)E處，連接DE．【特例感知】【猜想論證】【拓展應(yīng)用】【問題情境】如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8，點(diǎn)E在邊BC上，將△ABE沿AE所在的直線【特例感知】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在直線AC上時(shí)，（2）如圖2，當(dāng)E,F,D三點(diǎn)共線時(shí)，求BE的長．【深入探究】（3）如圖3，設(shè)BE=x，點(diǎn)F到BC的距離為y．①求y與x的函數(shù)解析式．分別作AC與BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DE，DF，則DE，DF的關(guān)系是.______過點(diǎn)P分別AC與BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DE，DF，EF．求證：△DEF是中點(diǎn)，P是射線AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為F，D，連接DC，F(xiàn)C，DF，點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于DF對稱，連接DE，EF．①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時(shí)，請判斷點(diǎn)E是否在一條直線上運(yùn)動．若在，請直接寫出這@設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x，四邊形CDEF的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并在如圖4所如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，DACB=DDAE=90o，且點(diǎn)D與AB的中點(diǎn)M重合，AC=4，（2）如圖2，將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD．②當(dāng)DE∥AB時(shí)，請直接寫出以BD為邊的正方形的面積．（3）如圖3，取DE的中點(diǎn)P，連接PM，在VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)PM最大時(shí)，求以BD為邊的正方形的面積．三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．（1）已知：如圖①,DE是VABC的中位線．延長DE至點(diǎn)F，使FE=DE，連接CF．求證：DEⅡBC且．（2）如圖②,在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若為AB，CD邊上的點(diǎn)，若，DF=2，上GEF=90°,求GF的長．個(gè)三角形構(gòu)成相似圖形，我們稱這兩個(gè)三角形互若連接BD,CE，則和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”；如圖4，△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，D是GF延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段GF上，且△ABD與△AGE互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”，若求DE和BD的長．位長度/秒，過點(diǎn)E作EFⅡBC，過點(diǎn)P作PFⅡAB，點(diǎn)P在點(diǎn)E出發(fā)2秒后出發(fā)，當(dāng)一動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一動點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)E@連接EP，若四邊形AEPF是平行四邊形，求S的值．（1）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，分別連接BC【特殊感知】【類比應(yīng)用】,求BD的長；小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)可得到圖1中類似的圖，運(yùn)用（2）的方法【提出問題】老師提出了一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P為AD邊上的一動點(diǎn)，以PC為邊向右作菱形PCFE，上EPC為a，連接BE，求BE的最小值．【特例感知】如圖2所示，當(dāng)a=60°時(shí)，小明連接CE，以BC為邊向下構(gòu)造一個(gè)△BCG，連接PG．便可得到△PCG≌△ECB，進(jìn)而將BE的最小值轉(zhuǎn)化為PG的最小值．【拓展應(yīng)用】若對于任意a，請你用含m，n的式子直接寫出BE的最小值.______37．定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)內(nèi)角為直角的凸四邊形稱為等直四邊形．例如，如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，AB丄BC，則四邊形ABCD為等直四邊形．【特例感知】（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為內(nèi)部一點(diǎn)，且AD平分DBAC，連接DC，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，連接BE，CE．求證：四邊形ABEC是等直【深入探究】分別交CD與DBAD的角平分線于E，F(xiàn)，連接FC，F(xiàn)D．【拓展應(yīng)用】【基本圖形】@如圖2，AC=AD，AB平分上CAD，求證：【方法運(yùn)用】如圖3，點(diǎn)O是△ACB的內(nèi)心，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，交AC的延長線于點(diǎn)D，連接OD,OB，若上ACB=90°,猜想線段OB,OD的關(guān)系，并進(jìn)行證明．【拓展延伸】（3）如圖4，四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC=BD=AB，E,F兩點(diǎn)分如圖1，在YABCD中，點(diǎn)E,F分別在直線AB和AD上，直線CE,BF相交于點(diǎn)G,DFGC=DDAB，某數(shù)學(xué)興趣小組在探究CE,BF,AB,AD四條線段的比例關(guān)系時(shí)，經(jīng)歷【特例感知】【猜想證明】①或@選擇一個(gè)證明即可）【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)DC繞著點(diǎn)D按順(3)如圖3，取AB的中點(diǎn)E，A￠C的中點(diǎn)F，當(dāng)△DEF是軸對稱圖形且有三條對稱軸時(shí)．已知正方形ABCD，點(diǎn)P在AD邊上或上方，連接PB，PC，且PB=PC，PC交對角線BD于點(diǎn)E，連接AE并延長，分別交PB，DC于點(diǎn)M，F(xiàn)．①△ABP，△DAF，△DCP全等的結(jié)論______（填“成立”或“不成立”（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AD邊的上方時(shí)，PB交AD于點(diǎn)I，PC交AD于點(diǎn)G．請寫出BI與（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PH丄AD，垂足為H，交AF于點(diǎn)N，連接AP，BN．若上NBC=60°,則四邊形ABNP是何種特殊四邊形？試證明．的值與α無關(guān)，理由見解析4）△AFB∽△AEO，推出根據(jù)正方形的性質(zhì)求解即可；（3）同理可證△AFB∽△AEO，得到，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求得【詳解】解1）∵正方形ABCD，:旋轉(zhuǎn)角為根據(jù)題意得△AEF∽△AOB，:△AFB∽△AEO，:菱形ABCD中，上ABC=60°,:O是AB的垂直平分線與BD的交點(diǎn)，:AO=BO，bBFABbbBFABb 線的性質(zhì)，正方形和菱形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是靈21）AD丄BE，AD=BE（2）BE與AD之間的位置關(guān)系是AD丄BE，數(shù)量關(guān)系是最小值為18；@當(dāng)BF=2時(shí)，AD為2或4.（3）①先證明四邊形CDFE為正方形，如圖，過C作CH丄AB于H，可得結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得最小值；@如圖，連接OC，OB，OF，證明再解方程可得答案. :AD丄BE，:BE與AD之間的位置關(guān)系是AD丄BE，數(shù)量關(guān)系是AD=BE；（2）BE與AD之間的位置關(guān)系是AD丄BE，數(shù)量關(guān)系是理由如下：:△ACD∽△BCE；BEBCADAC:AD丄BE，:BE與AD之間的位置關(guān)系是AD丄BE，數(shù)量關(guān)系是=m；:點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對稱，:△DFE為等腰直角三角形；CE=CD=EF=DF，:四邊形CDFE為正方形，如圖，過C作CH丄AB于H，:DH=3-x，2x-3)2:y與x的函數(shù)表達(dá)式為連接OC，OB，OF，:D,C,E,B,F在ΘO上，且CF為直徑，:正方形面積為綜上：當(dāng)BF=2時(shí)，AD為2或4.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.(3)①4；@2:當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)P在BC上，且CP=1，@∵動點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā):當(dāng)t=2時(shí)，S=6，:可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為S=a(t-4)2+2，2 22222.與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE丄BC，重疊部分的面積正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．利用全等三角形的性質(zhì)證明 （3）當(dāng)點(diǎn)M,N都在BC上時(shí)，過點(diǎn)O作OQ丄BC于點(diǎn)Q，作OMN的外接圓，記為ΘP，連接PO,PM,PN，過點(diǎn)P作PK丄MN于點(diǎn)K，則上MPN=2上MON=2a，MN=2MK設(shè)R.cosa+R≥OQ，故當(dāng)點(diǎn)O,P,K三點(diǎn)共線時(shí)，R取得最小值，此時(shí)在Rt△OQM中，在CD上時(shí)，過點(diǎn)O作OT丄CD于點(diǎn)T，過點(diǎn)OR丄ON交BC于點(diǎn)R，同上可得△OTN≌△OQR，則S△OTN=S△OQR，由于SOMCN=S正方形OQCT-(S△OTN+S△OQM)，故當(dāng)S△OTN+S△OQM最小，則SOMCN最大，因?yàn)镾△OTN+S△OQM=S△OQR+S△OQM=S△ORM，故S△ORM最小，則SOMCN最大，同上，OQ垂直平分RM，此時(shí)RQ=QM=TN，S2=2S△CMO，一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．理由：設(shè)OF交AB于點(diǎn)J，OE交BC于點(diǎn)K，過點(diǎn)O作OM丄AB于點(diǎn)M，ON丄BC于點(diǎn):OM=ON，:四邊形OMBN是矩形，:四邊形OMBN是正方形，:S△PMJ=S△ONK，:S四邊形OKBJ=S正方形正方形ABCD，.:O是正方形ABCD的中心，:BT=CT，:BM=CN，:MT=TN，:OT丄MN，:OM=ON，:上MON=60°,:△MON是等邊三角形；@如圖3中，連接OC，過點(diǎn)O作OJ丄BC于點(diǎn)J．（3）解：當(dāng)點(diǎn)M,N都在BC上時(shí)，過點(diǎn)O作OQ丄BC于點(diǎn)Q，作OMN的外接圓，記為ΘP，連接PO,PM,PN，過點(diǎn)P作PK丄MN于點(diǎn)K，:上MPK=a，MN=2MK設(shè)ΘP為R，:MN最小，則S△OMN最小，:MN=2R.sina，:當(dāng)R最小，MN最小，當(dāng)點(diǎn)O,P,K三點(diǎn)共線時(shí)，R取得最小值，如圖此時(shí)OQ垂直平分MN，:OM=ON，:在Rt△OQM中當(dāng)點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在CD上時(shí)，過點(diǎn)O作OT丄CD于點(diǎn)T，過點(diǎn)OR丄ON交BC于點(diǎn)R，同上可得△OTN≌△OQR，:SOMCN=S正方形OQCT-(S△OTN+S△OQM)，:當(dāng)S△OTN+S△OQM最小，則SOMCN最大，:S△ORM最小，則SOMCN最大，同上，OQ垂直平分RM，如圖:CM=CN，:△MCO≌△NCO，綜上所述，S2的最小值為tan，S2的最大值為51）證明見解析2）5.53）4.5角形對應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BFEG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值即可．?ìAC=BC?（2）解：:EF垂直平分AC，:AE=EC，:AB=AE，:AB=EC，:AC=9，:BD=DE，:DC=DE+EC=BE+EC+AB=AB+BC)=5.5；（3）解：:矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，AB=12，??設(shè)DE=x，:EF=2，:FH垂直平分BE，:BF=EF，:DE=4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線性質(zhì)、中點(diǎn)定義、矩形的性質(zhì)、勾股定理、解方程等周四，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)并利用勾股定理列出61）CE+CD=CA．理由見解析2）BD=3）BD的長為6-或【分析】本題主要考查三角形綜合題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判（3）由△CEF為直角三角形可知，需要分類討論確定哪個(gè)角是直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)D的位置關(guān)系去討論即可，因?yàn)辄c(diǎn)D是動點(diǎn)，所以按照前面兩問帶給我們的思路，去在△ABD和△ACE中，:CE=BD，:AB=AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，:DABC=DACB=DADG=DAGD，:△ABC∽△ADG，（3）過E作EH∥AB，則△EHC為等邊三角形．:△EDH≌△EFC(SAS)，此時(shí)△CEF不可能為直角三角形．②當(dāng)點(diǎn)D在H右側(cè)，且在線段CH上時(shí)，如圖2，同理可得:△EDH≌△EFC(SAS)，又:AB=6，:BD=6-．綜上：BD的長為6-或6+2．連接BD，設(shè)EF與AD交于點(diǎn)M，由四邊形ABCD是菱形，得上3=上CAE，由理由：:DABC，DACB的平分線相交于點(diǎn)G，②證明：:DABC，DACB的平分線相交于點(diǎn)G，:上GBC=上ABC，上上ACB，證明：QBO平分DABC，CO平分DACE，:上BOC=上OCE-上OBC:上BOC=上A．（3）解：連接BD，設(shè)EF與AD交于點(diǎn)M，:上3=上CAE，:上1=4上ACE，:上ACE=18°,:AE=ME，一一:AF=DF，:DM=ME，:△AEM∽△ADE，AEAM:=，ADAE:AE2=AD.AM=AD.(AD-AE)，:AE2+AD.AE-AD2=0，8．(1)2(2);(3);(4)【分析】本題主要考查了矩形與相似三角形．熟練掌握矩形性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得ADⅡBC，得△AEF∽△CBF，得，得AE=2；當(dāng)BE丄AD（2）作BG丄AC交AD于G，得MNQR=CF，即得DQ+CF的最小值為．【詳解】解1）∵矩形ABCD中，AD=BC=8，ADⅡBC，:△AEF∽△CBF，:AE=2；:△ABC∽△EAB，；；:GM∥BN，:四邊形GBNM是平行四邊形，:MN=BG，不變；:MEⅡCD，:△AEM≌△ACD，:EM=2，:△MEP∽△ACD，（4）在BC上取BR=3，連接DR，QR，:CR=BC-BR=5，:△BQR∽△BCF，QRBR3QRBR3CFBF4:QR=CF，:DQ+CF的最小值為．91）證明見解析2）①證明見解析；@=【分析】（1）先根據(jù)平行線的判定可得ADⅡBC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DD=90°,然過點(diǎn)E作EN丄BC于點(diǎn)N，設(shè)CP與EF交于點(diǎn)O，則四邊形CDEN都是矩形，再根據(jù)等腰:ADⅡBC，:四邊形ABCD是矩形．∵BE平分DABC，:四邊形ABCD是矩形．:AB=3a，如圖，過點(diǎn)E作EN丄BC于點(diǎn)N，:四邊形CDEN都是矩形，在Rt△EFN中，tan上∴BM=PM，在Rt△CPM中，tan上形、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形2）DCED=2DCAD3）①證明見解答；@48+32．@如圖5，連接BF并延長交AD于H，作直線FG，交AB于P，交CD于Q，由（2）可得：比例式可得FE和AE的長，設(shè)BE=x，則AB=BC=8+x，由勾股定理列方程可得x的長，計(jì)算FG的長，根據(jù)菱形的面積公式即可解答．:AO=OB，:四邊形ADBC是平行四邊形，:YADBC是矩形，:AB=CD，:上ACB=90°,∵E為AB的中點(diǎn)，:上ADB=90°,:DE=AB=AE，:DCED=2DCAD；:上DAB-上BAF=上ABC-上ABF，:上DAF=上CBF，:DF=CF，:□FCGD為菱形；②解：如圖5，連接BF并延長交AD于H，作直線FG，交AB于P，交CD于Q，:上DFH=45°,:上AFD=上BFC，:VFEC∽VCEA，:CE2=FE.AE，QAE=2FE，:CE2=2FE2，:BE=4-4，:CD丄PG，:AP=PB，:PF=BE=2-2，2:FG=2FQ=4+12，111）①見解析；@AD2+CD2=BD2，證明見解析2）25-243）見解析@證明上DCE=90°,然后利用勾股定理求解即可；（3）設(shè)上ABC=a°,將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°得到△CBE，連接DE．證明△ABC∽△DBE，利用相似三角形的性質(zhì)得DE=3AC，:△BDE是等邊三角形．@解：AD2+CD2=BD2．:上BCD+上BAD=270°.:上BCD+上BCE=270°.:上DCE=360°-270°=90°.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2．:AD2+CD2=BD2．:S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=S△BCE+S△BCD=S△BDE-S△CDE=25-24；（3）證明：如圖，設(shè)上ABC=a°,將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°得到△CBE，連接DE．BDBE ABBC:△ABC∽△DBE，DEBD3ACAB1即DE=3AC．:CE2+CD2=DE2．:AD2+CD2=(3AC)2=9AC2．FG=DF-BG；設(shè)BM=3y，則DN=4y，設(shè)AB=BC=3x，則AD∵正方形ABCD，:△DCF≌△CBG，:CF=BG，DF=CG，:FG=CG-CF=DF-BG，故答案為：FG=DF-BG；:BF=CG，:四邊形AMCN是矩形，:AM=CN，AN=CM，??:DMBC=DADC，:△BCM∞△DCN，BMBCBCAB3DNCDCDAD4在Rt△CND中，由勾股定理得：DN2+CN2=CD2， :點(diǎn)C￠與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，:△ACC￠∽△BCE，:△ACC￠∽△BCE，:AE=2x．141）見解析2）見解析3）BC=CD或BC=2CD或BC=3CD．理由見解析:△DEF是等邊三角形．:點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，:VABC是等邊三角形，:CG=AD．:DE=EF，:AD=2DE=2EF，:點(diǎn)F在AC上．@如圖3，當(dāng)上DCF=90°時(shí)，作等邊△ADM，過點(diǎn)M作MH丄DC于點(diǎn)H，:DM=2DF，:點(diǎn)F是DM的中點(diǎn)，:△FDC∽△MDH，:點(diǎn)C是DH的中點(diǎn)，連接CM，:△ABD≌△ACM(SAS)，:CM=2CH=2CD，作等邊△ADN，連接CN，【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的151）見解析（2）延長CH，交AD于點(diǎn)F，由（【詳解】解1）證明：當(dāng)k=1時(shí)，BC=AB，:矩形ABCD是正方形，\7BHC=90°,在△BCE和VCDF中:△BCE≌△CDF(ASA):BE=CF:CD=2CE，:BC=2CE=2DF，:CF=BE=5a，:△GFD∽△GCB，:CG=CF=a:△BCE∽△CDF，:CE=k:DE=k2，:CD=k2+k:BC=kCD=k3+k2:△BCE∽△BHC∽△EHC:CH=(k2+k)a，BH=(k2+k)2a，Q在矩形ABCD中，ADⅡBC，:△BCG∽△DFG，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活161）B2△CBO，AO，OC3）點(diǎn)P是AD邊的“三等分點(diǎn)”，證明見解析；進(jìn)而可得DABM=DNBM=DCBN=30°,即可求解；由△AEG∽△CDG可得進(jìn)而由△APG∽△分和兩種情況，利用勾股定理解答即可求解．在Rt△BEN中，cos上:上EBN=60°,:四邊形ABCD是矩形，:這個(gè)折紙的過程實(shí)際上就是把DABC分成了三等分，故選：B；（2）證明：如圖2，在矩形ABCD中，ADⅡBC，由折疊可知，GH∥BC，AB=4AG，QAPⅡBC，即AD=BC=3AP，故答案為△CBO，AO，OC；（3）解：點(diǎn)P是否為AD邊的“三等分點(diǎn)”．證明：在矩形ABCD中，ADⅡBC，ABⅡCD，:△AEG∽△CDG，AP=BQ，AGAE1∵APⅡBC，:△APG∽△CQG，:AD=3AP，即點(diǎn)P是否為AD邊的“三等分點(diǎn)”；設(shè)BF=x，EF=y，則PF=2+y，CF=8-x，在Rt△BPF，BP2+EF2=PF2，:42+x2=(2+y)2在Rt△DEF和Rt△CDF中，DE2+EF2=CD2+CF2，解得y=4x-6，:42+x2=(2+4x-6)2，:x=；如圖2，當(dāng)BP=AB時(shí)，解得y=6-2x，綜上，BF的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，171）①1；@S=t22）①16；@10（1）①作PE丄AB于點(diǎn)E，求出PE的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出面積即可；@同（2）①把t=4代入（1）①中的解析式△CAB，列出比例式進(jìn)行求解即可；@聯(lián)立①的等式和t12,t2，進(jìn)而求出S1,S2，即可．∴平行四邊形ADPQ的面積為AQ.PE=1；2；（2）①由圖象可知，當(dāng)t=4時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P恰好運(yùn)動到點(diǎn)C，由（2得í得í2-8，∴CP1當(dāng)PPCPCP2，ACBC8-2t12t8-2t12t2-822:S2-S1=10．【分析】（1）①設(shè)AC與BD交于點(diǎn)HAD=CD，上DAC=45°,又點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則故又點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，所以最后代入求值即可；F分別是AB，AD的中點(diǎn)，故有EFⅡBD，由勾股定理得證明△AEF是等邊三角形，△ADB是等邊三角形，設(shè)②在AD的延長線上找一點(diǎn)H，連接CH，使得上（3）過D作DF∥AB，交BC延長線于點(diǎn)F，過E作EN丄AB，交CB延長線于點(diǎn)N，證 【詳解】解1）①如圖1，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，:EF丄AH，:AG=FG，故答案為：3；∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，:AF=AD=CD，22（2）①:四邊形ABCD是菱形，:E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，:EFⅡBD，AF=DF=AD，:FG丄AC，:△AEF是等邊三角形，:AF=EF，:AD=BD，:△CDH為等邊三角形，（3）如圖，過D作DF∥AB，交BC延長線于點(diǎn)F，過E作EN丄AB，交CB延長線于點(diǎn)N，:BC=CF，:△CDF∽△ECN，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，191）1<AD<92）BC=2DF，理由見解析（3）44）存在最小值，最小值為【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，（2）延長DF至點(diǎn)G，使FG=DF，連接AG，利用全等三角形和邊角關(guān)系推出BC=2DF（4）取AE的中點(diǎn)F，連接FG，延長DF至點(diǎn)H，使FH=DF，連接EH,AH，利用直角:BE=AC=8，:AB-BE<AE<AB+BE，（2）BC=2DF，理由如下：由作圖可知DG=2DF，:DF是VADE邊AE上的中線，:EF=AF，?ìEF=AF?:DEⅡAG，:DB=DE，:DB=AG，:BC=DG，:BC=2DF；在△BOE和△OAF中，:OE=AF=4，如圖4，取AE的中點(diǎn)F，連接FG，延長DF至點(diǎn)H，使FH=DF，連接EH,AH，??∵F為AE的中點(diǎn)，:四邊形ADEH是平行四邊形，:AD=EH,ADⅡEH，C:EH=DC,,??:DH=BC=b，:DF=DH=b，201）45°2）45°3）①S=m2+2m+2；②2+4直角三角形，可得EH=CH=CE，據(jù)此根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可；【詳解】解1）:四邊形ABCD是正方形，:四邊形ABCD是正方形，:CDⅡAB，:上ECG=45°;（2）:四邊形ABCD是正方形，:CDⅡAB，:上ECG=45°;（3）①如圖，連接AC，:△CDH∽△CAE，:△HCE∽△DCA，:△HEC是等腰直角三角形，2:221．(1)①證明見解析；②5AE2=4DE2+△AFE∽△ABD；EF2=BF2+BE2，結(jié)合可得AF=2AE，BF=2DE，（2）如圖，過A作AE的垂線交EC的延長線于Q，連接BQ，可得上AQE=30°,AEAC,證明△BAQ∽△CAE，再進(jìn)一步求解即可.:△AED∽△AFB，AEADDE1AFABBF2AEADAEAFAFABADAB:上DAB=上EAF，:△AFE∽△ABD；:EF2=BF2+BE2，:AF=2AE，BF=2DE，:EF2=AF2+AE2=5AE2，:5AE2=4DE2+BE2；（2）解：如圖，過A作AE的垂線交EC的延長線于Q，連接BQ，AEABABAC【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，位似的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，本題難度大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.(4)5【分析】（1）過點(diǎn)D分別作AB,AC的垂線，垂足分別為E,F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得（2）延長ED至點(diǎn)M，使得ED=MD，連接CM，證明△BDE≌△（4）取AP,DP的中點(diǎn)M,N，連接BM,FN,CN，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊如圖，過點(diǎn)D分別作AB,AC的垂線，垂足分別為E,F，:AD平分DBAC:DE=DF:點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，:Rt△BED≌Rt△CDF(HL)（2）如圖，延長ED至點(diǎn)M，使得ED=MD，連接CM，:點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，:AG平分DBAC，:CF=CM:BE=CM:AB-AE=AC+AF又∵EP垂直平分AD:PA=PD:△PAB≌△DPC(AAS):AB=CP（4）解：如圖，取AP,DP的中點(diǎn)M,N，連接BM,FN,CN∵EP垂直平分AD:DAMB=2DAPB，上FNC=2上CDF:AB=FC=3，在Rt△ABP中．23．(1)①；@(2)2-2(3)-5（3）根據(jù)題意得AC=BC=2，BG=DG，設(shè)DG=y，則CG=2-y，進(jìn)而得到DE2-CD2=CD·CG，解方程即可求解．:△APQ∽△ACB，:AQ=；@同理①得△APQ∽△ACB，AQAP:=AQAPABAC:AB=2,AC=3，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，:AP=AB=2，:四邊形AEDF是菱形，:AC=2，:x=2-x，:CD=2-2；:點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，:BG=DG，設(shè)DG=y，則CG=2-y，DB=DE=DF=2y，CD=BC-BD=2-2y，CECD:=，CGCE∴CE2∴DE2-CD2=CD·CG，即(2y)2-(2-2y)2=(2-2y)(2-y)，22腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與241）①3；@y=x22）y=x2-4x+8(2≤x≤6)3）0或1；(2,4)或(3,5)（2）當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，求得AD=2，由題圖（2）可知點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，（4）取AC的中點(diǎn)N，連接DN，分析點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律可求得，點(diǎn)A在△DFM內(nèi)部時(shí)x的@y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=x2；故答案為：3；y=x2；2連接CD，在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD2，即22+AC2=20，:AP=x-2，:在Rt△ADP中，DP2=AD2+AP2=22+(x-2)2=x2-4x+8，:y=x2-4x+8，則y-x=2時(shí)，x2-x=2，:當(dāng)y-x=2時(shí)，AP的長為0或1，此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)圖象上點(diǎn)的又:D為AB的中點(diǎn)，:AB=4=AC，取AC的中點(diǎn)N，連接DN，:AN=AC=2=AD，DN是VABC的中位線，:DNⅡBC，:△ADN是等腰直角三角形，∵四邊形DPEF是正方形，:△MDP是等腰直角三角形，分析點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到DPⅡBC，即點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)N處時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)M點(diǎn)P在線段CN(不含點(diǎn)N)上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)A在△DFM內(nèi)部，251）162）@23）若BN=3,MN的長為或（2）①過點(diǎn)O分別作AD與AB的垂線，垂足分別為P,Q，由題意得四邊形APOQ是矩形，當(dāng)點(diǎn)N在AB的延長線上時(shí)，進(jìn)而分類進(jìn)行求解即可．【詳解】解1）Q四邊形ABCD是平行四邊形，VAOB是等邊三角形，:AC=BD，:YABCD是矩形．:AC=8,,在Rt△ABC中（2）①如圖1，過點(diǎn)O分別作AD與AB的垂線，垂足分別為P,Q．:四邊形APOQ是矩形，:上MOP=上NOQ，:△MPO∽△NQO，:ON=3；:ON=OM，:△OMN面積的最小值為:上MNO=30°.如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在線段AB上時(shí)，QN=BN-BQ=1，綜上所述，若BN=3,MN的長為或．@設(shè)BC與EF交于點(diǎn)H．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=AB=CD=2，△EBH∽△EAF，得到證明△CHG∽△AFG，根據(jù)相似（3）設(shè)EF與ABAQ2由得到EQ=2NQ=6x．根據(jù)AE=tan上設(shè)NT=2y，則MT=3y．由tan上ANT=tanE=得到AM=AT+MT即可求解．【詳解】解1）①:△ABC≌△FAE，:AF=AB=2，:點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，:△AEF≌△DAC，:AE=DA=4，:BE=AE-AB=4-2=2．@如圖1，設(shè)BC與EF交于點(diǎn)H．∵VABC、△ACD、△AEF是全等的直角三角形，:AG=AC-CG=2-CG，:四邊形ABCD是矩形，:ADⅡBC，:△EBH∽△EAF，:CH=BC-BH=4-1=3，:△CHG∽△AFG，（2）如圖2，連接PA．QO是AC的中點(diǎn)，P是EF的中點(diǎn)，:OP的最大值為OA+PA=2．（3）如圖3，設(shè)EF與AB交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N分別作NQ丄AE于點(diǎn)Q，NT丄AM于點(diǎn)T．:EQ=2NQ=6x．:AQ=1，則NQ=，:上ANT=上E，②4-2．上B=60°,AB=BC，則DF=AB，證（2）以AD為邊在VABC內(nèi)部構(gòu)造等邊三角形ADE，連接EC，證明DE=DC，AB=DE，證明ABⅡDE，最后由②設(shè)DE與AC交于點(diǎn)M，可得AM是△ABD邊AB上的高，所以最:DF=AB，又AE=BD，:△EBF為等邊三角形，:△BEC≌△FED(SAS)，:EC=ED；（2）解：如圖，以AD為邊在VABC內(nèi)部構(gòu)造等邊三角形ADE，連接EC，在△ABD和△ACE中，:△ABD≌△ACE(SAS)，:BD=CE，:EC=AE=DE，\A,D,C三點(diǎn)在以E為圓心，EC的長為半徑的圓上，（3）解：①四邊形ABDE為平行四邊形，理由：:上DAC=75°,:AC=DC，QAB=AC，:AC=DC=AB，如圖，連接EC，Q點(diǎn)D沿著直線AC翻折，恰好落在點(diǎn)E處，:△DEC為等邊三角形，:DE=DC，:AB=DE，:ABⅡDE，:四邊形ABDE為平行四邊形；②設(shè)DE與AC交于點(diǎn)M，:AM是△ABD邊AB上的高，:AM=AC-CM=4-2，:△ABD邊AB上的高為4-23．全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，掌握知識點(diǎn)（2）同（1）@求解過程一致．（3）分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)C￠在線段AE上時(shí)和@當(dāng)點(diǎn)C￠在線段的延長線上時(shí)，利用正方:點(diǎn)C￠與點(diǎn)C關(guān)于直線l對稱，:△ACC￠∽△BCE，:△ACC￠∽△BCE， :AE=2x．:AC=x．又AC=2，即291）42）8-23②2股定理求出DF=2，再根據(jù)FE=BE=則EG=BG-BE=-x，最后在Rt△FEG中，由勾股定理即可將x與y聚集起來建立函數(shù)②分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)F作FN丄BC，延長NF，交AD點(diǎn)E在BC邊上，故舍．【詳解】解1）∵四邊形ABCD是矩形，:DB=90°,:當(dāng)點(diǎn)F在直線AC上時(shí)，:ADⅡBC，AD=BC=8:DA=DE=8，:在Rt△ADF中∵在Rt△FEG中，由勾股定理得：EG2+FG2=FE2，②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)F作FN丄BC，延長NF，交AD于點(diǎn)M，則:四邊形ABNM為矩形，:FM=3，在Rt△AMF中，:△AMF∞△FNE，②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在矩形ABCD外部時(shí)，過點(diǎn)F作FN丄BC，F(xiàn)N交AD于點(diǎn)M，:同理：FM=3，綜上所述，BE的長為2．301）DE=DF，DE丄DF，證明見解析2）證明見解析3）①E在直線y=x上，理由見詳解；@y=(x+1)2+1，（2）如圖，連接CD，證明四邊形PECF是矩形，BF=PF，可得PF=CE，PE=CF，可設(shè)F(x,0)，P(x,x+2)，可得E(1+x,1+x)，可得E在直線y=x上；@由①得：當(dāng)P在線段AB上，P(x,x+2)，則F(x,0)，E(1+x,1+x)，如圖，當(dāng)P在直線AB上，同理可得：E(1+x,1+x)，而F(x,0)，四邊形CDEF的面積為22如圖，連接CD，∵過點(diǎn)P分別作AC與BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，:四邊形PECF是矩形，BF=PF，:CE=BF，:△DEC≌△DFB，（2）如圖，連接CD，∵過點(diǎn)P分別作AC與BC的垂線，:四邊形PECF是矩形，BF=PF，:CE=BF，:△DEC≌△DFB，（3）①如圖，連接OC，過C,E分別作x軸的垂線，垂足分別為G,H，:點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2,0)，(0,2)，C是AB的中:點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于DF對稱，:△CGF≌△FHE，:點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-2,0)，(0,2)，設(shè)直線AB為：y=kx+2，:直線AB為：y=x+2，設(shè)F(x,0)，則P(x,x+2)，②由①得：當(dāng)P在線段AB上，P(x,x+2)，F(xiàn)(x,如圖，當(dāng)P在線段AB延長線或線段BA的延長線上，同理可得：E(1+x,1+x)，而F(x,0)，.次函數(shù)的圖象，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.311）①4，@22）①2，@40-16或40+1623）40+16三角形得EA=DA和ED=AD即可；@由等腰直角三角形的性質(zhì)判定△AEF等腰直角三角形，則即可；（2）①連接DM，過點(diǎn)M作NM丄DB于點(diǎn)N，則△ADM為等邊三角形，DM=MB，且上MBN=30°,由（1）知BM=AM=2，求得NM=DB=2BN；@分兩種情況：過點(diǎn)D作DF丄AB交BA的于點(diǎn)F，連接DB，根據(jù)DA求得AF=DF和BF=AB-AF，結(jié)合勾股定理求得DB2=DF2+BF2即可；過點(diǎn)D作DF丄AB交BA的于點(diǎn)【詳解】解1）①:VABC等腰直角三角形，上ACB=90o，AC=4，:CB=AC=4，:BA=4，:D與AB的中點(diǎn)M重合，:DA=AM=2，:VADE是等腰直角三角形，DDAE=90o，@:VABC等腰直角三角形，VADE是等腰直角三角形，:△AEF等腰直角三角形，:AF=EF=AE=2；2（2）①連接DM，過點(diǎn)M作NM丄DB于點(diǎn)N，如圖，:△ADM為等邊三角形，:AM=MB，:DM=MB，@如圖，過點(diǎn)D作DF丄AB交BA的于點(diǎn)F，連接DB，:DA=2，:BF=AB-AF=4-2，:DB2=DF2+BF2=40-16，如圖，過點(diǎn)D作DH丄AB交BA的延長線于點(diǎn)H，連接DB，:DB2=DH2+BH2=40+故以BD為邊的正方形的面積40-16或40+162；（3）:點(diǎn)P為DE的中點(diǎn)，321）證明見解析（2）5角相等兩直線平行可得ADⅡCF，進(jìn)而可得BD=CF為平行四邊形，于是可得DFⅡBC，DF=BC，再結(jié)合即可得出結(jié)論；（2）取GF的中點(diǎn)M，連接EM，延長FE、GA交于點(diǎn)H，由正方形的性質(zhì)可得上HAE=上FDE，由E為AD的中點(diǎn)可得AE=DE，利用ASA可證得△HAE≌△FDE，于是可得AH=DF=3，EH=EF，由三角形的中位線定理可得由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得，（3）取GF的中點(diǎn)N，連接EN，延長GE到點(diǎn)M，使得GE=EM，連接DM，由E為AD的中點(diǎn)可得AE=DE，利用SAS可證得△AEG≌△DEM，于是可得DM=AG=3，上EDM=上A=105°,過點(diǎn)M作MQ丄DF，交FD的延長線于點(diǎn)Q，連接MF，由鄰補(bǔ)角互等邊可得QM=QD，由勾股定理可得Q形的中位線定理可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得,則GF=2EN，由此即可求出GF的長．:△ADE≌△CFE(SAS)，:ADⅡCF，:BD=CF，QBDⅡCF，:四邊形BCFD為平行四邊形，:DFⅡBC，DF=BC，:DEⅡBC且（2）解：如圖，取GF的中點(diǎn)M，連接EM，延長FE、GA交于點(diǎn)H，:上GAE=上FDE=90°,:上HAE=上FDE，:AE=DE，在△HAE和VFDE中，:△HAE≌△FDE(ASA)，:AH=DF=3，EH=EF，QE為HF的中點(diǎn)，M為GF的中點(diǎn)，:EM為△FGH的中位線，Q上GEF=90°,且M為GF的中點(diǎn)，（3）解：如圖，取GF的中點(diǎn)N，連接EN，延長GE到點(diǎn)M，使得GE=EM，連接DM，:AE=DE，在△AEG和△DEM中，:△AEG≌△DEM(SAS)，過點(diǎn)M作MQ丄DF，交FD的延長線于點(diǎn)Q，連接MF，:上MQD=90°,:上ADQ=180°-上ADC=180°-120°=60°,:上QMD=90°-上QDM=90°-45°=45°,:上QMD=上QDM，:QM=QD，:QM=QD=3，在Rt△MQF中，根據(jù)勾股定理可得：QE為GM的中點(diǎn)，N為GF的中點(diǎn)，:EN為△GMF的中位線，Q上GEF=90°,且N為GF的中點(diǎn)，33．(1)①是；@50，③10，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握“旋轉(zhuǎn)相似圖形進(jìn)而證明VDAB∽VEAC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．（3）如圖：如圖，過E作EH丄AD于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易得【詳解】（1）解：①:VABC，VADE都是等邊三角形，:△ABC一△ADE，:有公共頂點(diǎn)A，:VABC是VADE的“旋轉(zhuǎn)相似圖形”．@:VABC與VADE互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”，:△ABC一△ADE，③如圖：連接BD，CE，:VABC與VADE互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”，解得：AD=10，:VDAB∽VEAC，:△DOA∽△COB，:△AOB∽△DOC，:△ABE∽△ACD，:△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)DDAE的度數(shù)后與△ACD構(gòu)成相似圖形，:△ACD和△ABE互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”．（3）解：如圖：如圖，過E作EH丄AD于點(diǎn)H，∵VABC為等腰直角三角形，點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，:△ABD∽△AGE，（2）①當(dāng)t>2時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EM丄BD于點(diǎn)M，記AD,EF交于點(diǎn)N，此時(shí)四邊形的性質(zhì)得到四邊形PF=AE，而四邊形BEFP為平行四邊形，則BE=PF，故【詳解】解1）①當(dāng)0<t≤2時(shí)，記AD,EF交于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EM丄BD于點(diǎn)M，如:EMPAD，:由勾股定理得：BD=6，∵EF∥BC,DF∥BA，:四邊形BDFE為平行四邊形，解：@，解析見①,（2）①當(dāng)t>2時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作EM丄BD于點(diǎn)M，記AD,EF交于點(diǎn)N，@如圖：:四邊形AEPF是平行四邊形時(shí)，PF=AE，:BE=PF，:△AEN∽△ABD當(dāng)FA=FE時(shí)，如圖，過點(diǎn)F作FK丄AB于點(diǎn)K，:EFⅡBC，351）BE=CD，見解析（2）2（34）（2）過點(diǎn)E作EM丄AB，交BA延長線于點(diǎn)（4）不妨將BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到DE，使得DE:DB=2:1，連接BE，CE作EN丄BC，交BC延長線于點(diǎn)N，利用三角形相似的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)解答即可．:CD=BE．（2）解：過點(diǎn)E作EM丄AB，交BA延長線于點(diǎn)M，:AE=2，:AB=2，故答案為：2．:VBDE是等邊三角形，:BD=BE，（4）解：不妨將BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到DE，使得DE:DB=2:1，連接BE，CE，過點(diǎn)E作EN丄BC，交BC延長線于點(diǎn)N，:△BAD∽△ECD，:EC=2，:BN=BC+CN=3，【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，掌握3+33）6m+6n（2）當(dāng)a=90°時(shí)，以BC為邊向下作正方形BCKL，連接BK、CL交最小值時(shí)有最小值，解直角三角形求得OT，進(jìn)而可求得BE的最小值；當(dāng)a=120°時(shí)，連接CE、PF交于O，在BC下方作射線BM、射線CN，使上CBM=上BCN=30°,射線BM、射線CN交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QP￠丄AD于P￠,交BC于K，連接PQ，如圖所示，可證得△BCE∽△QCP，得出即BE=QP，故當(dāng)QP取得最小值時(shí)最小，點(diǎn)Q為定點(diǎn)，點(diǎn)P為AD邊上的一動點(diǎn)，當(dāng)在Rt△GHC中，由sin上得到類比【詳解】解1）如圖所示：:PC=CE，上PCE=60°,:△PCG≌△ECB(SAS)，:BE=PG，在矩形ABCD中，ADⅡBC，:GH丄BC，:四邊形ABHP￠是矩形，則BE的最小值為3+3；（2）當(dāng)a=90°時(shí)，以BC為邊向下作正方形BCKL，連接BK、C2:△BCE∽△OCP，:BE=OP，∵點(diǎn)O為定點(diǎn)，點(diǎn)P為AD邊上的一動點(diǎn)，:BE的最小值為6；當(dāng)a=120°時(shí)，連接CE、PF交于O，在BC下方作射線BM、射線CN，使上CBM=上BCN=30°,射線BM、射線CN交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QP￠丄AD于P￠,交BC于K，連接PQ，如圖所示：2:QB=QC，:QK丄BC，3:上BCE=上QCP，:△BCE∽△QCP，:BE=QP，:當(dāng)QP取得最小值時(shí)，BE=QP有最小值，:點(diǎn)Q為定點(diǎn)，點(diǎn)P為AD邊上的一動點(diǎn)，:四邊形ABKP￠是矩形，在Rt△GHC中，上GHC=90°,則上:BE=2mGP，:當(dāng)GP取得最小值時(shí)，BE=2mGP最小，a2mCH,nHG∵點(diǎn)G為定點(diǎn)，點(diǎn)P為AD邊上的一動點(diǎn)，:四邊形ABHP￠是矩形，371）④2）證明見解析3）證明見解析4）4或2或3或．而上ABN=45°,再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解1）根據(jù)新定義可得：（2）:VABC是等邊三角形，:AD平分DBAC，:將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，:DC=DE，:△BCE≌△ACD，:四邊形ABEC是等直四邊形．:線段CD的垂直平分線EF分別交CD與DBAD的角平分線于E，F(xiàn)，::AB=AD，AF=AF，:△BAF≌△DAF，:設(shè)D1=D2=a，F(xiàn)B=FD，:上3=180°-2(90°-a)=2a，:△ABD≌△CBD，過D作DT丄BM于T，:BT=DT=4-x，2，此時(shí)DT=4-x=3，由@同理可得：DC=3，:BC=CD=3，過A作AR丄BN于R，而上ABN2:AD=2，綜上：BC的值為：4或2或3或．定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的畫圖，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵.381）①135°；@見解析2）OB=OD，OB丄OD，理由見解析3）見解析【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角（2）