§6.2等差數(shù)列課標(biāo)要求1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.4.體會等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系.1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差都等于，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示，定義表達(dá)式為.

(2)等差中項由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有.

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項公式：an＝.

(2)前n項和公式：Sn＝或Sn＝.

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且p＋q＝s＋t，則(p，q，s，t∈N*).

(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性當(dāng)d>0時，{an}是數(shù)列；

當(dāng)d<0時，{an}是數(shù)列；

當(dāng)d＝0時，{an}是.

4.等差數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)(1)當(dāng)d≠0時，等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝d2n2＋a1-d2(2)在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最值；若a1<0，d>0，則Sn存在最值.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)等差數(shù)列{an}中，a10＝a1＋a9.()(3)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S6，S12，S18也成等差數(shù)列.()(4)若{an}是等差數(shù)列，則對任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()2.(2024·沈陽模擬)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝2，a3＋a7＝8，則S17等于()A.51 B.102C.119 D.2383.數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋3n＋m(m為常數(shù))，則“m＝0”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件4.(2024·重慶模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S9＝63，則a8＝.

掌握等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(2)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(3)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Snn(4)數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).題型一等差數(shù)列基本量的運算例1(1)(2024·汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a3＝5，S2＝4，若Sn＋an＋1＝100，則n等于A.8 B.9C.10 D.11(2)(2024·沈陽模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”說的是，有996斤棉花要贈送給八個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.根據(jù)這些信息第三個孩子分得的棉花斤數(shù)為()A.99 B.116C.133 D.150思維升華(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·重慶模擬)中國載人航天工程發(fā)射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執(zhí)行載人航天飛行任務(wù).運送“神十八”的長征二號F運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為2km，以后每秒鐘通過的路程都增加3km，在達(dá)到離地面222km的高度時，火箭開始進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序.則從點火到進(jìn)入轉(zhuǎn)彎程序大約需要的時間是()A.10秒 B.11秒C.12秒 D.13秒(2)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，則S10＝.

題型二等差數(shù)列的判定與證明例2(2025·深圳模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，且?n∈N*，anSn＋1－an＋1Sn＝an(1)證明：Sn(2)證明：ann為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}思維升華判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an－an－1為同一常數(shù).(2)等差中項法：驗證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立.(3)通項公式法：驗證an＝pn＋q.(4)前n項和公式法：驗證Sn＝An2＋Bn.跟蹤訓(xùn)練2(2024·晉中模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝12，且當(dāng)n≥2(n∈N*)時，2Sn·Sn－1＝－an(1)證明：數(shù)列1S(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝anan＋1，求b1題型三等差數(shù)列的性質(zhì)命題點1項的性質(zhì)例3(多選)(2025·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則下列命題為真命題的是()A.若a3＝4，a6＝7，則a12＝25B.若a2＋a13＝4，則S14＝28C.若S15<0，則S7>S8D.若{an}和{anan＋1}都為遞增數(shù)列，則an>0命題點2和的性質(zhì)例4(1)(2024·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝2，S8＝12，則S16等于()A.26 B.34C.56 D.90(2)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn與Tn，且SnTn＝3nA.53 B.C.3823 D.思維升華等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an；(2)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)(2024·沈陽模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列，公差為d，Sn是其前n項的和，且S5<S6，S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是()A.d≤0B.a7＝0C.S6與S7均為Sn的最大值D.滿足Sn<0的n的最小值為14(2)(2024·湖北聯(lián)考)如果一個等差數(shù)列的前10項和為54，后10項和為146，且所有項和為390，則這個數(shù)列有()A.36項 B.37項 C.38項 D.39項

答案精析落實主干知識1.(1)2同一個常數(shù)dan－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)(2)2A＝a＋b2.(1)a1＋(n－1)d(2)na1＋n(n-1)3.(1)ap＋aq＝as＋at(2)遞增遞減常數(shù)列4.(2)大小自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.B[在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a7＝2a5＝8，即a5＝4，所以d＝a5則S17＝17×2＋17×16＝102.]3.D[當(dāng)m＝0時，Sn＝n2＋3n，則a1＝S1＝4，an＝Sn－Sn－1＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2(n≥2)，a1＝4也滿足an＝2n＋2，所以an－an－1＝2(n≥2)，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列；由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1＝S1＝4＋m，滿足an＝2n＋2(n≥2)，故4＋m＝4，所以m＝0，綜上可知，“m＝0”是“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”的充要條件.]4.10解析因為a2＝4，S9＝63，所以S9＝9(＝9(a2＋即9(4＋a8)2＝63探究核心題型例1(1)B[設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3＝5，S2＝4，得a解得a于是an＝2n－1，Sn＝1＋2n-12由Sn＋an＋1＝100，得n2＋2n＋1＝100，又n∈N*，所以n(2)A[依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d，前n項和為Sn，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為a1，則由題意得d＝17，S8＝8a1＋8×72×17解得a1＝65，所以a3＝a1＋(3－1)d＝65＋2×17＝99.]跟蹤訓(xùn)練1(1)C[設(shè)每一秒鐘通過的路程為an，由題意可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列首項a1＝2，公差d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1，由Sn＝n(a1解得n＝12或n＝－373(舍去).(2)95解析方法一(基本量法)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由題意得a解得a則S10＝10a1＋10×＝10×(－4)＋45×3＝95.方法二(利用下標(biāo)和性質(zhì))設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a3＋a4＝a2＋a5＝7，3a2＋a5＝5，得a2＝－1，a5＝8，故d＝a5-a25-2＝3，則S10＝a1＋a102×10＝5(a＝5×19＝95.例2(1)證明∵?n∈N*，anSn＋1－an＋1Sn＝an∴Sn＋1an＋1∴數(shù)列Snan公差為12的等差數(shù)列(2)解Snan＝1＋12(n－1即2Sn＝(n＋1)an，2Sn－1＝nan－1(n≥2)，兩式作差得2an＝(n＋1)an－nan－1，即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，∴ann＝an-1即ann－an-1n-1＝0(n∴ann是首項為公差為0的等差數(shù)列，∴ann＝1，即an＝跟蹤訓(xùn)練2(1)證明因為2Sn·Sn－1＝－an(n≥2)，所以2Sn＋1·Sn＝－an＋1，則2Sn·Sn＋1＝Sn－Sn＋1，因為S1＝a1＝12≠0，易知Sn≠0所以Sn-S又1S1＝所以數(shù)列1Sn是首項與公差都為2(2)解由(1)得1Sn＝2＋2(n－1)＝2n，則Sn＝當(dāng)n＝1時，b1＝a1a2當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝1＝－12·1所以bn＝-1所以b1＋b101＝－2＋101＋1101-1例3BC[由a3，a6，a9，a12成等差數(shù)列，且公差為3，所以a12＝4＋3×3＝13，所以A錯誤；由S14＝14(a1＋a14由S15＝15(a1＋a15)2＝15a8<0，所以a8<0，又因為S8－S7＝a8<0，則S因為數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，可得公差d>0，因為數(shù)列{anan＋1}為遞增數(shù)列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，所以對任意的n≥2，an>0，但a1的正負(fù)不確定，所以D錯誤.]例4(1)C[由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可知S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12也為等差數(shù)列，由S4＝2，S8＝12，得S8－S4＝10，故S12－S8＝18，S16－S12＝26，即有S12＝18＋S8＝30，S16＝26＋S12＝56.](2)A[因為{an}，{bn}均為等差數(shù)列，所以a6因為Sn所以a6b跟蹤訓(xùn)練3(1)BCD[因為S6＝S7>S8，所以S7－S6＝a7＝0，