3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算五年高考考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練能力拔高練創(chuàng)新風(fēng)向練五年高考考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義1.(2024全國(guó)甲理,6,5分,易)設(shè)函數(shù)f(x)=

,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為

(

)A.

B.

C.

D.

A解析

f'(x)=

,∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率k=f'(0)=3,∴切線的方程為y=3x+1,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-

,∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為S=

×1×

=

.2.(2021新高考Ⅰ,7,5分,中)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則

(

)A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<eaD解析

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=

.對(duì)y=ex求導(dǎo)得y'=ex,則切線斜率k=

,切線方程為y-

=

(x-x0),因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)(a,b),所以b-

=

(a-x0),即

(a-x0+1)-b=0(*).由題意知方程(*)有兩個(gè)解.(不能直接求方程(*)的解,考慮其對(duì)應(yīng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),利用

導(dǎo)數(shù)法求解)設(shè)g(x)=ex(a-x+1)-b,則g'(x)=ex(a-x),令g'(x)>0,得x<a,令g'(x)<0,得x>a,故函數(shù)g(x)在x=a處取得極大值,也是最大值.要使g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則g(a)>0,即ea(a-a+1)-b>0,即b<ea.結(jié)合選項(xiàng)知選D.小題速解

當(dāng)x→-∞時(shí),曲線y=ex的切線的斜率k>0且k→0,當(dāng)x→+∞時(shí),曲線y=ex的切線

的斜率k>0且k→+∞,結(jié)合圖象可知,兩切線的交點(diǎn)應(yīng)該在x軸上方,且在曲線y=ex的下方,

∴0<b<ea,故選D.

3.(2021全國(guó)甲理,13,5分,易)曲線y=

在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為

.y=5x+2解析

y=

=2-

,所以y'=

,所以k=y'|x=-1=5,從而切線方程為y+3=5(x+1),即y=5x+2.4.(2022新高考Ⅱ,14,5分,中)曲線y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為

,

.

y=

xy=-

x(不分先后)解析

由題意可知,函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}.易證函數(shù)y=ln|x|為偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),y=lnx,設(shè)切點(diǎn)

坐標(biāo)為(x0,lnx0),∵y'=

,∴切線斜率k=y'

=

,故切線方程為y-lnx0=

(x-x0),又知切線過(guò)原點(diǎn)(0,0),∴-lnx0=-1,∴x0=e,故切線方程為y-1=

(x-e),即y=

x.由偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知另一條切線方程為y=-

x,故過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程為y=

x和y=-

x.5.(2024新課標(biāo)Ⅰ,13,5分,中)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切

線,則a=

.ln2解析

因?yàn)閥=ex+x,所以y'=ex+1,所以曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處切線的斜率k=2,又切線過(guò)點(diǎn)(0,1),所以曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處切線的方程為y=2x+1,對(duì)y=ln(x+1)+a求導(dǎo)得y'=

,由直線y=2x+1也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,得

=2,解得x=-

,將x=-

代入y=ln(x+1)+a得y=a-ln2,所以曲線y=ln(x+1)+a與直線y=2x+1相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為

,代入y=2x+1,解得a=ln2.6.(2022新高考Ⅰ,15,5分,中)若曲線y=(x+a)·ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍

是

.(-∞,-4)∪(0,+∞)解析

設(shè)f(x)=y=(x+a)ex,則f'(x)=(x+a+1)ex,設(shè)切點(diǎn)為(x0,(x0+a)

),因此切線方程為y-(x0+a)

=(x0+a+1)

(x-x0),又∵切線過(guò)原點(diǎn)(0,0),∴-(x0+a)

=(x0+a+1)

·(-x0),整理得

+ax0-a=0,又切線有兩條,∴關(guān)于x0的方程

+ax0-a=0有兩不等實(shí)根,故Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0.7.(2021新高考Ⅱ,16,5分,難)已知函數(shù)f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(x1,f(x1))

和點(diǎn)B(x2,f(x2))處的兩條切線互相垂直,且分別交y軸于M,N兩點(diǎn),則

的取值范圍是

.

(0,1)解析

當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ex-1,f'(x)=ex,則kBN=

.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=1-ex,f'(x)=-ex,kAM=-

,由切線垂直可知kAM·kBN=-

·

=-1,得x1+x2=0,設(shè)kBN=k,則kAM=-

,則

=

=

=

,∵x2>0,∴

∈(0,1).故

的取值范圍是(0,1).8.(2022全國(guó)甲文,20,12分,中)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的

切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范圍.解析

(1)由題意知,f(-1)=-1-(-1)=0,f'(x)=3x2-1,則f'(-1)=3-1=2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=2(x+1),即y=2x+2,設(shè)該切線與曲線y=g(x)切于點(diǎn)(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,則g'(x2)=2x2=2,解得x2=1,則g(1)=1+a=2+2,解得a=3.(2)f'(x)=3x2-1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線方程為y-(

-x1)=(3

-1)·(x-x1),整理得y=(3

-1)x-2

,設(shè)該切線與曲線y=g(x)切于點(diǎn)(x2,g(x2)),易得g'(x)=2x,則g'(x2)=2x2,則切線方程為y-(

+a)=2x2(x-x2),整理得y=2x2x-

+a,則

整理得a=

-2

=

-2

=

-2

-

+

,令h(x)=

x4-2x3-

x2+

,則h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)·(x-1),令h'(x)>0,解得-

<x<0或x>1,令h'(x)<0,解得x<-

或0<x<1,則x變化時(shí),h'(x),h(x)的變化情況如表:x

-

0(0,1)1(1,+∞)h'(x)-0+0-0+h(x)↘

↗

↘-1↗則h(x)的值域?yàn)閇-1,+∞),故a的取值范圍為[-1,+∞).三年模擬1.(2024廣東佛山階段練,1)設(shè)

=-2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的斜率是

(

)A.-1

B.-4

C.1

D.4A解析

因?yàn)?/p>

=

=

+

=2f'(2)=-2,所以f'(2)=-1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為-1,故選A.2.(2025屆重慶一中開學(xué)考,4)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)-2f(-x)=ex,則曲線y=f(x)

在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為(

)A.-1

B.-

C.

D.1C解析

因?yàn)閒(x)=2f(-x)+ex,所以f(-x)=2f(x)+e-x,聯(lián)立可解得f(x)=-

,所以f'(x)=

,所以f'(0)=

.故選C.3.(2025屆江蘇常州學(xué)情調(diào)研,4)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則

>0的解集為

(

)

A.(1,6)

B.(1,4)C.(-∞,1)∪(6,+∞)

D.(1,4)∪(6,+∞)D解析

由

>0?f'(x)·f(x)>0,由題圖知當(dāng)x∈(-∞,4)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(1,4)時(shí),f'(x)>0且f(x)>0;當(dāng)x∈(6,+∞)時(shí),f'(x)<0且f(x)<0.綜上,x∈(1,4)∪(6,+∞).故選D.4.(2025屆北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)開學(xué)考,3)已知f(x)=-

,則曲線y=f(x)在x=1處的切線方程是

(

)A.2x-y+1=0

B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0

D.x+2y-2=0C解析

因?yàn)閒(x)=-

,所以f'(x)=

=

,所以f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故選C.5.(2023江蘇無(wú)錫中學(xué)測(cè)試,3)已知函數(shù)f(x)與g(x)的部分圖象如圖所示,則

(

)

A.g'(-1)<0<f'(-1)B.0<f'(-1)<g'(-1)C.f'(-1)<0<g'(-1)D.f'(3)>g'(3)B解析

由題圖可知,f(x)與g(x)在區(qū)間[-1,3]上單調(diào)遞增,所以g'(-1)>0,f'(-1)>0.在區(qū)間[-1,3]上,g(x)的圖象比f(wàn)(x)的圖象更陡,所以f'(-1)<g'(-1),f'(3)<g'(3).故選B.6.(2024廣東佛山順德教學(xué)質(zhì)檢一,3)已知函數(shù)f(x)=

ax2+bx+1(a≠0)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線l:x+y-1=0垂直,則ab的最大值為(

)A.1

B.

C.

D.-

C解析

因?yàn)閒'(x)=ax+b,所以f'(1)=a+b.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+y-1=0

垂直,所以f'(1)=1,即a+b=1,所以ab≤

=

,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

時(shí)等號(hào)成立,故ab的最大值為

.故選C.7.(2024河北邢臺(tái)部分高中二模,5)已知函數(shù)f(x)=x2+2lnx的圖象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))

兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行,則下面等式可能成立的是

(

)A.x1+x2=2

B.x1+x2=

C.x1x2=2

D.x1x2=

B解析

因?yàn)閒(x)=x2+2lnx,x>0,所以f'(x)=2x+

,x>0.因?yàn)閒(x)的圖象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行,所以f'(x1)=f'(x2)?2x1+

=2x2+

,則

x2+x2=

x1+x1,即x1x2(x1-x2)+x2-x1=0,即(x1-x2)(x1x2-1)=0,又x1≠x2,所以x1x2=1,故CD不成立;因?yàn)閤1>0,x2>0且x1≠x2,所以x1+x2>2

=2,故A不成立;當(dāng)x1=

,x2=3時(shí),x1+x2=

.故B成立.故選B.8.(多選)(2024山東濰坊期中,9)下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是

(

)A.(xex)'=ex+xex

B.(

)'=

C.

'=-

D.[lg(2x)]'=

ABD解析

對(duì)于A,(xex)'=ex+xex,故A正確.對(duì)于B,(

)'=[(x+1

]'=

(x+1

=

,故B正確.對(duì)于C,

'=

=

,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,[lg(2x)]'=

×2=

,故D正確.故選ABD.9.(多選)(2024山東菏澤模擬,9)若曲線f(x)=xsinx-1在x=π處的切線與直線ax+2y+1=0互

相垂直,則

(

)A.f'(x)=sinx-xcosxB.f'(x)=sinx+xcosxC.f'(π)=-πD.a=-

BCD解析

因?yàn)閒(x)=xsinx-1,所以f'(x)=sinx+xcosx,故A錯(cuò)誤,B正確;因?yàn)閒'(x)=sinx+xcosx,所以f'(π)=sinπ+πcosπ=0-π=-π,故C正確;直線ax+2y+1=0的斜率為-

,而f'(π)=-π,由已知,得-

·(-π)=-1,所以a=-

,D正確.故選BCD.10.(2025屆江蘇南京玄武高中開學(xué)考試,13)已知函數(shù)f(x)=ex-2,g(x)=ex+1-1,若直線y=kx+b

是曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線,則k=

.解析

設(shè)直線y=kx+b與f(x)的圖象相切于點(diǎn)P1(x1,y1),與g(x)的圖象相切于點(diǎn)P2(x2,y2),易得f'(x)=ex-2,g'(x)=ex+1,y1=

,y2=

-1.則切線方程為y-

=

(x-x1),y-

+1=

(x-x2).故

(由

=

得x1=3+x2)解得x2=-ln3-1,故k=

=e-ln3=

.11.(2025屆江蘇南通模擬,13)已知函數(shù)f(x)=x2+2x和g(x)=-x2+a,如果直線l同時(shí)是曲線f(x)

和g(x)的切線,稱l是曲線f(x)和g(x)的公切線,若曲線f(x)和g(x)有且僅有一條公切線,則a=

.-解析

由f(x)=x2+2x得f'(x)=2x+2.由g(x)=-x2+a得g'(x)=-2x.設(shè)l與曲線f(x)相切于點(diǎn)A(x1,

+2x1),與曲線g(x)相切于點(diǎn)B(x2,-

+a),所以l的方程為y-(

+2x1)=(2x1+2)(x-x1)或y-(-

+a)=-2x2(x-x2),即l的方程為y=(2x1+2)x-

或y=-2x2x+

+a,所以

則2

+2x1+1+a=0,因?yàn)榍€f(x)與g(x)有且僅有一條公切線,所以Δ=4-8(1+a)=0,解得a=-

.1.(2024江西聯(lián)考期中,6)若函數(shù)f(x)=cosωx+aln|x|+bx2+c滿足f'

=

,則f'

=

(

)A.

B.-

C.

D.-

B解析

易知函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).因?yàn)閒(x)=cosωx+aln|x|+bx2+c=f(-x),所以f(x)為偶

函數(shù),將f(x)=f(-x)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得f'(x)=-f'(-x),所以f'

=-f'

=-

.故選B.2.(2025屆重慶巴蜀中學(xué)月考,6)曲線f(x)=sinx-cosx,x∈

的所有切線中,斜率最小的切線方程是

(

)A.

x+y+

+1=0

B.

x+y+

-1=0C.x+y+

-1=0

D.x+y+

+1=0D解析

由f(x)=sinx-cosx,x∈

,得f'(x)=cosx+sinx=

sin

.由x∈

,得x+

∈

,當(dāng)x+

=-

,即x=-

時(shí),f'(x)min=f'

=

sin

=-1,又f

=sin

-cos

=-1,即曲線在點(diǎn)

處切線的斜率最小,為-1,此時(shí)的切線方程為y+1=-1×

,即x+y+

+1=0,故選D.3.(2025屆江蘇鹽城射陽(yáng)中學(xué)開學(xué)考,6)函數(shù)f(x)=1+lnx與g(x)=ex-1圖象的公切線的縱截

距為

(

)A.1或0

B.-1或0

C.1或e

D.-1或eB解析

設(shè)切點(diǎn)分別為(x1,f(x1)),x1>0,(x2,g(x2)),因?yàn)閒'(x)=

,g'(x)=ex,f(x1)=1+lnx1,g(x2)=

-1,所以切線方程為y-(1+lnx1)=

(x-x1)或y-(

-1)=

(x-x2),所以

所以ln

=ln

?-lnx1=x2,所以-x2=(1-x2)

-1?(1-x2)(

-1)=0,所以x2=1或x2=0,所以公切線的縱截距為(1-1)e1-1=-1或(1-0)e0-1=0.故選B.4.(2025屆湖北武漢開學(xué)考試,6)若曲線y=ln(x+2a)的一條切線為y=ex-2b(e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)),其中a,b為正實(shí)數(shù),則

+

的取值范圍是

(

)A.[2,e)

B.(e,4]C.[4,+∞)

D.[e,+∞)C解析

y'=

,令

=e,則x=

-2a,則y=ln

=-1,即e

-2b=-1,即ae+b=1,又a,b為正實(shí)數(shù),則

+

=

(ae+b)=1+1+

+

≥2+2

=4,當(dāng)且僅當(dāng)

=

,即b=ea=

時(shí),等號(hào)成立.故

+

的取值范圍是[4,+∞).故選C.5.(多選)(2024浙江臺(tái)州期末,10)關(guān)于函數(shù)f(x)=x3的圖象的切線,下列說(shuō)法正確的是

(

)A.在點(diǎn)A(1,1)處的切線方程為y=3x-2B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)的切線方程為y=3x-2C.切線l:y=kx+b(k≠0)與y=f(x)的圖象必有兩個(gè)公共點(diǎn)D.在點(diǎn)P(x1,

)處的切線過(guò)點(diǎn)Q(x0,

)(x0≠x1),則x0=-2x1ACD解析

由f(x)=x3得f'(x)=3x2.對(duì)于A,由f'(1)=3,得f(x)的圖象在點(diǎn)A(1,1)處的切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2,故A正確;對(duì)于B,設(shè)切點(diǎn)為(x2,

),所以f'(x2)=3

,所以切線方程為y-

=3

(x-x2),又切線過(guò)點(diǎn)A(1,1),所以1-

=3

(1-x2),解得x2=1或x2=-

,所以過(guò)點(diǎn)A(1,1)的切線方程為y=3x-2或3x-4y+1=0,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C、D,f'(x1)=3

,則在點(diǎn)P(x1,

)的切線方程為y-

=3

(x-x1),則

-

=3

(x0-x1),即(x0-x1)(

+x0x1+

)=3

(x0-x1),因?yàn)閤0≠x1,所以

+x0x1+

=3

,即

+x0x1-2

=0,即(x0+2x1)(x0-x1)=0,所以x0=-2x1,又f'(0)=0,當(dāng)x≠0時(shí)f'(x)=3x2>0,又點(diǎn)Q(x0,

)(x0≠x1)在函數(shù)f(x)=x3的圖象上,且與點(diǎn)P(x1,

)相異,即過(guò)曲線上任意點(diǎn)(除原點(diǎn)外)的切線必經(jīng)過(guò)曲線上另一點(diǎn)(不是切點(diǎn)),對(duì)于切線l:y=kx+b(k≠0),則切點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn),所以切線l:y=kx+b(k≠0)與y=f(x)的圖象必有兩個(gè)公共點(diǎn),故C、D正確.故選ACD.6.(2025屆湖北開學(xué)考,13)M、N分別為曲線y=ex+2x與直線y=3x-1上的點(diǎn),則|MN|的最小

值為

.解析

令f(x)=ex+2x-(3x-1)=ex-x+1,則f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,可得x=0,所以x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)≥f(0)=2,即f(x)>0恒成立,則曲線y=ex+2x在直線y=3x-1上方,則當(dāng)曲線y=ex+2x在M處的切線與直線y=3x-1平行時(shí)|MN|最小,對(duì)y=ex+2x求導(dǎo)得y'=ex+2,

令y'=3?x=0,此時(shí)點(diǎn)M(0,1)到直線y=3x-1的距離最短,故|MN|min=

=

=

.7.(2025屆江蘇淮安十校聯(lián)考,14)函數(shù)y=

,k>0的圖象與y=lnx和y=ex的圖象分別交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),設(shè)曲線y=lnx在A處的切線l1的傾斜角為α,曲線y=ex在B處的切線l2的傾

斜角為β,若β=2α,則k=

.

ln

解析

由題意得y1=

=lnx1,y2=

=

,函數(shù)y=

,k>0的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,函數(shù)y=lnx和y=ex的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,有y2=

=x1,函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)為y'=

,函數(shù)y=ex的導(dǎo)數(shù)為y'=