2024.2025學(xué)年甘肅省臨夏州高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知/(%)=X4,若/'(%0)="，則%0=()

A.1B.|C.|D.i

2.已知空間向量方=(%—2,—4)石=(2,1,—1),若五1石，則》=()

A.2B.1C.-1D.-2

3.設(shè)離散型隨機變量X的分布列為

X0123

P0.20.40.30.1

若隨機變量y=|x-i|,則p(y=i)=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.已知10個成對數(shù)據(jù)Q,y）的散點圖如圖所示，并對x,y進行線性同歸分析.若在此圖中去掉點P后，再次對

x,y進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）P

■

A.相關(guān)系數(shù)r變大印.

■

B.變量”與y的線性相關(guān)程度變低?,

C.相關(guān)系數(shù)r變小??

D.變量x與y呈負(fù)相關(guān)~Ox

5.某學(xué)校一同學(xué)研究溫差穴久）與本校當(dāng)天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學(xué)記錄了5天的數(shù)據(jù)：

X568912

y17a252835

已知數(shù)據(jù)的樣本中心點為（巾,25）,經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合回歸直線方程y=取+4.2,則下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.m=8B.Q=2U

C.b=2.4D.x=5時，y=17.2

6.已知事件43滿足P（4）=0.4,P（B）=0.3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若4B互斥，則P（A+8）=0.6B.若PQ48）=0.2,則戶（川8）=：

C.若人與8相互獨立，則P（髓）=0.7D.若P（47）=0.12,則力與8相互獨立

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7.在平行六面體力BCD-中，M,N分別是線段4B,叢內(nèi)上的點，且=2MB,B1N=2ND1,

若4%=4。1=44i=1,4841。1=90°,4力遇8=遇。=60°,則下列說法中正確的是()

A.正與瓦萬；的夾角為45。

B.而=g通+河+g京

C.線段4c的長度為1

D.直線41C與8%所成的角為60°

8.若函數(shù)/(%)的定義域為。，且存在使得/(%())+//(4)=0,則稱與是/。)的一個“階值點”.若

函數(shù)g(x)=jh(x)=ex+2x,?(%)=x+￡的“階值點”分別為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.,a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知隨機變量X?N(l,22),丫?N(-I1),則()

A.E(X)=E(Y)B.D(X)=D(y)

C.P(X<0)=P(X>2)D.P(X<1)+>1)=1

10.已知函數(shù)〃>)=3爐一%+2,則下列選項中正確的是()

A.函數(shù)/'(X)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/(%)在點(3)(3))處的切線方程為y=8x-16

C.函數(shù)在武2］上的值域為［工］

D.若關(guān)于x的方程/(%)=a有3個不同的根，則ae(工)

11.如圖，正方體48C0—4BiC］Di的棱長為2,點E在線段CG上運動，貝

A.三棱錐4-4B1E的體積為定值

B/iElBWi

C.若E為線段Cg的中點，則點E到直線叢0的距離為42

D.存在某個點E,使直線為￡與平面BCg4所成角為60°

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知兩個隨機事件4B,若呻)=京P(B|4)=④則P(4B)=____.

13.已知函數(shù)/(x)=1%2+Inx-QX在定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

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14.對于兩個空間向量近=（X21，Z1）與方=（無2，為*2），我們定義d@,E）=

J（巧_%2）2+（力—32）2+（Zi_Z2）2為兩點之間的直線距離;又定義它們之間的

曼哈頓距離為。@力=|必一次1+|yi-y2l+|Zi—Zzl.如圖，在棱長為1的正方

體A181goi中，d（西，西）=_____;若點尸在底面4BCD內(nèi)（含邊界）

運動，且|印|=VI，則。（麗瓦乃的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知函數(shù)/'（%）=（%+a）。*在x=1處有極值.

（1）求Q的值；

（2）求/（%）在［-1,3］上的最值.

16.（本小題15分）

某校食堂為了解學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況是否存在性別差異，隨機抽取了100名學(xué)牛講行問卷調(diào)杳,

得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果:

項目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計

男生40a

女生b25

合計100

己知從這100名學(xué)生的問卷中隨機抽取1份，喜歡牛奶的概率為常

（1）求a,b；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān)？

附：/二百湍磊e

P（/

0.0100.0050.001

之父0）

出6.6357.87910.828

17.（本小題15分）

詩詞是中華文化的瑰寶，蘊含著豐富的文學(xué)內(nèi)涵和美學(xué)價值.某學(xué)校為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)詩詞的興趣，特別組

織了一次關(guān)于詩詞的知識競賽，競賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽.

（1）初賽采用選?題答?題的方式，每位參賽學(xué)生最多有5次答題機會，累計答對3道題或答錯3道題即終

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：，.?/(X)=無3

(%)=4X3,

若廣(前)-1則4就=解得%o=

乙乙乙

故選:B.

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件代入計算得到答案.

本題主要考查了函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】接：空間向量寸=(%,—2,—4)范=(2,1,—1),若五1及

則膻石=x?2+(-2)x1+(-4)x(-1)=0,

即2無+2=0,解得％=—1.

故選：C.

利用空間向量垂直的數(shù)量積性質(zhì)即可解II以的值.

本題主要考查空間向量數(shù)量枳運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：因為丫=-

所以P(y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5.

故選：A.

由題意得P(y=1)=P(X=0)4-P(X=2)計算求解即可.

本題考查分布列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解:散點圖中去掉點P后，點的分布更集中，所以變量丫與y的線性相關(guān)程度變強，故選項4錯誤;

點的分布從左下角到右上角，所以變量％與y呈正相關(guān)，故選項。錯誤；

因為變量％與y呈正相關(guān)，且相關(guān)性變強，所以相關(guān)系數(shù)r變大，放選項力正確，選項。錯誤.

故選：A.

根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖，結(jié)合回歸系數(shù)概念與含義，逐項判定，即可求解.

本題主要考查散點圖，回歸分析，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

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17+a+25+28+35

【解析】解：由題意可知，m=5+6+8+9+12=8>25=

解得Q=20,

因為回歸直線方程y=bx+4.2過樣本中心點(8,25),

所以25=86+4.2,

解得。=2.6,

所以回歸直線方程y=2.6x+4.2,

所以當(dāng)x=5時，y=2.6x5+42=17.2.

故,48。正確，。錯誤.

故選：C,

根據(jù)I可歸直線過樣本中心點即可依次求出m,a,6回歸方程和估計值.

本題主要考查了線性回歸直線方程的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：因為事件4,8滿足PG4)=0.4,P(F)=0.3,

所以對于4若4B互斥,則P(4+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7,所以4選項錯誤；

對于B,若P(AB)=0.2,則P(川8)=鬻^=照=今所以8選項錯誤：

IJU?DO

對于配若4與8相互獨”，則]與8相互獨立，

所以pQA)=P(7)P(后)=[1-P(A)][1-P(B)]=0.6x0.7=0.42,所以C選項錯誤：

對于D,若P(718)=0.12,則P(4B)=P(A)P(B),

所以4與B相互獨立，所以。選項正確.

故選：D.

由互斥事件、獨立事件定義和性質(zhì)以及互斥概率加法公式、獨立概率乘法公式、條件概率公式即可逐一計

算判斷各選項.

本題考查概率的性質(zhì)，屬中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：由題意平行六面體88。。一為叢。1。1中，M,N分別是線段當(dāng)小上的點，且AiM=2M8,

=2N0],

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=Z11D1=AAl=1,zB]4iDi=90°,Z-AyAB=Z-A1AD=60°,

可得48=AD=AA1=1,4BAD=90°,

2

對于選項4由題意結(jié)合向量的線性運算可得而?即*=存?（而-而）=而?而-而=-1,

|/0；|=\AD-AB\=^AD2-2AB.而+/=/I,

所以cos胸，匹心=覆露=云?爭

因為（而，瓦瓦）W[0,網(wǎng)，所以〈而瓦萬）=手故選項力錯誤；

對「選項B,由題意結(jié)合向量的線性運算可得而=AN-AM=（AB^+瓦N）-（而+的）

___2_____1___,

=（而+引+可瓦瓦）-（AB+區(qū)網(wǎng)）

=[AA[+l（AD-AB）]-1（AA[-AB）=一＜通+,而+,刷，故選項8錯誤;

對于選項c因為碇=祀一祝=褊+-引，

一.,…'―，""?1'??9'??)I

AB-AD=O,AB-AA=lxlx儂60。=與力。?力4=1x1xcos600=今

1乙乙

所以|砧|=J須+而—標(biāo)）2=22__

+而+京+2AB-AD-2AB-AA^-2AD?AA^=1,

即線段4c的長度為1,故選項c正確；

對于選項D,由題意結(jié)合向量的線性運算可得砧AA^=（AB^AD-耐）?引=前?京+而?標(biāo)-

---?211

44]=^+1-1=0,

所以cos〈砧,西〉=cos〈砧,研）=然募=0,所以砧1西,

\?A\C\\AAi\

所以直線4。與所成的角為9Q。，故選項。錯誤.

故選：C.

而，而，標(biāo)為基底，結(jié)合向量夾角公式、模長公式和向量運算法則即可逐一計算求解判斷各選項

本題考查了異面直線所成角的求法，是中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：對于函數(shù)g(x)=p有g(shù)'(%)=-1，

令[一捻=0=%=1,所以a=l；

對于函數(shù)比(%)=于+2x,

有卜(x)=ex+2,

令ex+2x+e*+2=0,即e〉+X+l=0,

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因為函y=e*與y=%+1是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以函數(shù)t(x)=ex+x+l是單調(diào)遞增函數(shù)，

且t(0)=2>0,

所以方程/+%+1=0的根，

即函數(shù)九(x)=眇+2”的“階值點”滿足b<0：

對于函數(shù)奴X)=X+i,

有0'(%)=1—/，

令x+g+1-1=0,

即犬+x2+x-l=0,

令函數(shù)s(x)=X3+X2+x-1,

則sz(x)=3x2+2x+1=3(x+J)?+1>0>

所以函數(shù)s(%)=x3+x2+x-l在R上單調(diào)遞增，

又s(0)=-1<0,s(l)=2>0,

所以方程/+%2+工一1=0的根

即函數(shù)尹+］的“階值點”滿足0VCV1,

綜上Q>c>b.

故選：A.

根據(jù)“階值點”定義依次求出各函數(shù)“階值點”即可得解.

本題考查了“階值點”的定義及性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運用及零點存在定理，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：F(X)=1,E(y)=-1,D(X)=O(Y)=4,P(X<0)=P(X>2),故力錯誤，正確：

因為p(x<1)=o.5,o<p(r>1)<p(y>-1)=o.5,所以尸［x<i)+P(Y>I)<I,故。錯誤.

故選：BC.

由正態(tài)分布定義和對稱性質(zhì)即可求解判斷.

本題主要考查正態(tài)分布定義和對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：已知函數(shù)/'(%)=^^一%+2,

對十4,由題f，(%)=(%+1)(%-1),xE.R,

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所以當(dāng)Xe(-oo,-I)U(1,+8)時/?'(x)>o,當(dāng)Xw(—1,1)時/?'(x)<0,

所以函數(shù)/XX)在區(qū)間(一8,-1)上單調(diào)遞增，在(一1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故,4錯誤；

對于B,/(3)=8,fr(3)=8,

所以函數(shù)/?(%)在點(3,8)處的切線方程為y-8=8(%-3),

即y=8x—16,

故B正確；

對于C,由上可知函數(shù)/'(%)在6,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增，

x/(|)=g,/(i)=1,r(2)=|>g,

所以函數(shù)/■(“)在4，2］上的值域為《(卜

故C正確：

對廣。，因為函數(shù)/(%)在區(qū)間(一8,-1)上單調(diào)遞增，在(一1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且/(一

1)=?"。4)=%

所以若關(guān)于x的方程/(%)=Q有3個不同的根，

即直線y=a與y=/(幻的圖象有3個交點，

則:<a<

故D正確.

故選：BCD.

由導(dǎo)數(shù)工具求出函數(shù)的單調(diào)性和所需導(dǎo)數(shù)值即可逐項分析判斷.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：對于選項4匕41-力/?/=,BC=wX0"2X2X2=W，故選

項4正確；

對于選項E,連接為C1，如圖：

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在正方體中，BXDX±AlC1,B}Dl1CCPA1ClnCC1=

所以當(dāng)。1_L平面4cls,又因為&Eu平面

所以4E_LBi0],故選項4正確；

對干選項C,當(dāng)E為線段CCi的中點，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:

則。(0,0,0),當(dāng)(2,2,2),￡(0,2,1),

即詬=(0,2,1),西=(2,2,2)，

所以點E到直線當(dāng)。的距離d=小函2_(^^)2=J5—,=M，故選項C正確;

對于選項。，因為。(0,2,0),41(2,0,2),

所以平面BCGBi的法向量反=(0,2,0)，設(shè)E(0,2,￡)(0<t<2),

則砧二(-2,2,(-2),

設(shè)直線4出與平面5。。出1所成角為仇

則機八|cos<用,反〉I=I消膏焉I=2卜+:(3

若直線為￡與平面BCG4所成角為60。，

則期60°=小+：小廠今

所以3t2-121+20=0,

又4=122-4x3x20=-96V0,所以方程無解，故選項。錯誤.

故選:ABC.

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利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐體積公式、線線垂直判定、點到直線距離公式，線面角的定義來逐一分析

選項.

本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題.

12.【答案】

【解析】解：因為PG4)=gP(B|4)=,

所以P(W)=需=半吟

解得PG4B)=

故答案為：青

根據(jù)條件概率公式求解即可.

本題考查條件概率公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

13?【答案】(-8,2]

【解析】解：已知函數(shù)/(%)=+也無一Q%在定義域上是增函數(shù),

所以/'(%)=%+g-QN0在(0,+8)恒成立，

所以Q<X+:在(0,+8)恒成立，

所以a<(x+

因為％+->2,

X

所以aW2.

故答案為：(-8,2].

由/'Z0在(0,+8)恒成立求解.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】/5[1,3]

【解析】解：由題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-町2,

則。(0,0,0),31(1,1,1),8(1,1,0),6(0,1,1),4(1,0,0),。1(0,0,1),

設(shè)P(x,y,0),0<x<1,0<y<1,

則函=(1,1,1),西=(-1,0,1),而=(0,1,0),討=(3-1),

因此|印|=Vx2+y2+1=\TL，因此/+y2=i,

第11頁，共17頁

因此d(西，西)=V[1-(-I)]2+(1-0)2+(1-I)2=75;

。(而，取)=|0-x|+|l-y|+|0-(-l)|=x+l-y4-l=x-y+2,

令x=cosO,y=sinO,0G[0,^],

因此。(荏,。17)=x—y+2=cosO—sinO+2=y/~2cos(0+/)+2,

因為?！闧0,外因此8+(w年亨],

因此cos(J+3)e[-伊，爭，因此Ocos(6+*)+2￡[1,3],

因此取值范圍是[1,3].

故答案為：s/~5;[1,3].

建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出所需各向量坐標(biāo)即可由相應(yīng)距離定義計算求解.

本題考查點、線、面間的距離計算，屬于難題.

15.【答案】Q=—2；

最小值為-e，最大值為

【解析】(1)由題意，/'(%)=(X+Q+l)e\

因為函數(shù)/(無)=(x4-Q)e"在x=1處有極值，所以/'(1)=(2+a)e=0,解得Q=-2,

此時廣。)=

則(-8,1)時，ff(x)<0,IQ)單調(diào)遞減；

當(dāng)力￡(1,+8)時，ff(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/'(%)=(%4-a)ex在％=1處有極值，所以a=-2.

(2)由⑴可知函數(shù)/(%)在(一1,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

又/(-1)=一方(1)=一ej(3)=e3,

所以函數(shù)的最小值為-e,最大值為e3.

(1)由7?'(1)=0即可計算求解：

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(2)由函數(shù)單調(diào)性即可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】a=15,b=20；

該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān).

【解析】(1)由題可知喜歡牛奶的人數(shù)有100xg=60人，所以b=60-40=20,

所以喜歡豆?jié){的人數(shù)為100-60=40,所以a=40-25=15.

(2)由(1)可得統(tǒng)計表格如下:

項目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計

男生401555

女生202545

合計6040100

零假設(shè)”o：該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別無關(guān),

?2(ad-bc)2_100(40x25-20x15)2

則/=?8.2492>7,879,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x40x55x45

所以根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，推斷為不成立,

即認(rèn)為該校學(xué)生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān).

(1)求出喜歡牛奶的人數(shù)即可依據(jù)喜歡牛奶的男生人數(shù)和喜歡豆?jié){的女生人數(shù)依次求出a,b；

(2)計算卡方值即可依據(jù)獨立性檢驗思想得解..

本題主要考查獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】(，)/(”)X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為黨;

3

談

【解析】(1)(，)由題易知滿足條件的情況由如下兩種：1.連續(xù)答錯前3道題，2.甲在前三道題中答錯兩道,

且答錯第4道，

所以概率為!xixi4-x(1)2XXi=i；

JJJJX

(ii)由題易知，隨機變量X的所有可能取值為：3,4,5,

P(X=3)=(|)3+(1)3=iP(X=4)=^X(|)2X|X|+C2X(1)2X|X|=^,P(X=5)=鬣x

(7xq)2=萬，

隨機變量x的分布列為：

第13頁，共17頁

X345

108

P1

32727

將表格數(shù)據(jù)代入期望公式可得：E(X)=3xg+4x罵+5x^=*；

(2)由題可得第3道題答對的概率為小，

所以學(xué)生甲答對2道題口勝出的概率為f(x)=/(iJ)?2x(1江8；2=/Ij|,0<x<l,

所以/*/Q)=2x_*=^i,

所以當(dāng)(0，)時/''(x)<0,當(dāng)工￡(11)時/'(x)>0,

所以函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減，在弓,1)上單調(diào)遞增，

所以/(%)的最小值為/'(?=看

(1)(了)明確甲至多回答了4道題的可能情況即可計算求解；

(ii)求出隨機變量取值和各取值相應(yīng)概率即可求分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可計算求數(shù)學(xué)期望值；

(2)先求出第3道題答對的概率，接著求出答對2道題目勝出的概率，再利用導(dǎo)數(shù)工具即可求;?(%)的最小值.

本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解析：①PA=2：②噂.

【解析】(1)證明：因為/43_LA。，AB//CD，所以AOJLOC,

又40=DC=1,所以/DAC=/-ACD=45°,AC=VAD2+DC2=VI，

所以乙CAB=90°-Z-DAC=45°,AC=BC,

所以4/1C8==45。，則乙ACB=90°,^AC1BC,

因為24_L平面48C0,BCu平面/BCD,

所以P41BC,又PAC!AC=A,PA,4。<=平面「力配

所以BC，平面PAC；

(2)0(L48中點0,連接CO、P0,則由⑴得C014B,

且48=y/AC2+BC2=2,C0=A9=^AB=1,

因為P41平面力BCD,COu平面58CD,

所以PAIC。，又24n4B=4PA.ABu平面/MB,

所以C。_L平面P48,

第14頁，共17頁

所以aP0為直線PC與平面H48所成角，

所以sinz.CPO=段=白=?=。。=V-6=>PA=VPC2—AC2=2，

②由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系力-孫Z,

則4(0,0,0),P(0,0,2),5(0,2,0),C(l,0,l)>

所以荏=(0,2,0),而=(0,2,-2),PC=(1,0,-1)，

顯然而=(0,2,0)是平面P4Q的一個法向量，

設(shè)平面PBC的一個法向量為沅=(x,y,z),

所以瓦?PF=2y-2z=0

km-P?=x—z=0

取2=1,則訪=(1,1,1),

所以cos凝洞=舒=篇=等

所以平面P8C與平面PAZ)所成角的余弦值為苧.

(1)先由題設(shè)依次求出4c_LBC、PA1BC,再由線面垂直判定定理即可得證；

(2)?XAB中點。，連接CO、P0,求證C01平面P48得到NCP。為直線PC與平面R48所成角，接著由正弦函

數(shù)定義求出P0即可求解；

②建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC與平面24。的法向量即可由空間角的向量法公式計算求解?.

本題考查線面位置關(guān)系的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】?=1：

O

(「)(0$):(ii)證明見解析.

【解析】(1)函數(shù)/■(%)=乂7比一|。X2,則廣(x)=1+比X一33

?.?曲線y=f(x)在點(1J(1))處的切線垂直于直線2x+y=o,

，廣⑴=1-3a=；=a=3；

(2)(Q：f'(%)=1+Inx-3ax，