2024-2025學年陜西省咸陽市永壽中學高二（下）期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設集合A={x|-2<x<1],B={x|-1<x<3},則AUB=()

A.{x|-2<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|-1<x<1}D.{x|-2<x<3}

2.已知命題P：VxGR,x2+1>0,則命題P的否定()

A.e/?,x2+1<0B.Vx￡ft,%2+1<0

C.SxgR,x2+1<0D.Vx6R,x2+1<0

3.若隨機變量X滿足。（X）=4,貝!|cr（3X—2）=（）

A.12B.2<3C.6D.36

4.已知幕函數/（無）=久％則“a>1”是“/（久）在第一象限單調遞增”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.某旅行社設計了4條不同的旅游路線，甲要從中任選2條路線，分別在假期7月和8月出游，則不同的

選擇及安排方法有（）

A.24種B.16種C.12種D.6種

6.A,B兩種品牌的某種型號鋼筆的市場占有率如圖所不，且力，B兩種品牌的鋼筆的次品率分別為4%和a%.

若市場上這種型號鋼筆的次品率為2.5%,貝卜=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

7.衡量曲線彎曲程度的重要指標是曲率，曲線的曲率定義如下：若（x）是/（比）的導函數,'0）是（嗎

的導函數，則曲線y=/'（久）在點（久,/（久））處的曲率K=―'（初~j■.曲線y=e2x-sin久在點（0,/（0））處的曲率

（1+（13）2）2

為（）

475

AB.72C-D.2

8.985除以128的余數為（)

A.51B.43C.41D.33

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.關于（刀-1）10°的展開式，下列結論正確的是（）

第1頁，共13頁

A.展開式共有101項B.展開式的第2項系數為100

C.展開式的所有項的系數之和為0D.展開式的所有二項式系數之和為21。。

10.下列命題為真命題的是()

A.若Q<b<c<0,貝!Jac2<be2B,若a<b<0,則》<b2

i-1

若則次>ab>b2右貝！

C.a>b>0,D.a>Z?>0,Ja->-b

11.已知y=/(%-1)是定義在R上的奇函數，且/(%+2)=/(2-當久￡(一1,2］時，/(%)=2%+/,則

()

A.點(—1,0)為/(x)圖象的一個對稱中心B./(-1)=|

C"(x)的一個周期為12D"(2025)=3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.一組樣本數據(%2，丫2)，…，(%"％0(九2…%幾不全相等)的散點圖中，若所有樣本點

(第〃％)。=1,2…幾)都在直線y=-3%+1上，則這組樣本數據相關系數為.

13.已知f?N(8,FT2),若P(f>10)=±貝!|P(6WfW8)=.

O

14.六本不相同的書發(fā)給4個人，每人至少一本，且書全部分完，則所有不同的分配方法種數為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

研究人員對某種口腔藥物的使用時間久(單位：分鐘)與口腔內細菌的含量水平y(tǒng)進行了檢驗，得到了口腔內

細菌的含量水平與藥物使用時間的數據，如下表所示：

藥物使用時間X/分鐘12345

口腔內細菌含量水平y(tǒng)9285736552

(1)根據散點圖可以判斷，y與x呈線性相關關系，求y關于％的經驗回歸方程;

(2)經過對這種細菌的研究發(fā)現，當口腔內細菌含量水平低于5時，可認為口腔處于健康狀態(tài)，請你計算該

藥物使用多長時間后口腔處于健康狀態(tài)(結果精確到整數).

附：用最小二乘法求經過點(巧,%)，(u2,v2),(u3,v3),(%,%)的經驗回歸方程fm+a的系數公式,

a=v-bu.

一潞1S-歷2一疝2'

16.(本小題15分)

某平臺為了解企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關關系，對200家企業(yè)進行跟蹤調查，發(fā)現其

第2頁，共13頁

中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有100家，余下的企業(yè)中，每天線上銷售額不足50萬元的企業(yè)

每天線上銷售額不足50萬

每天線上銷售額不少于50萬元合計

元

每天線上銷售時間不少于8小

70

時

每天線上銷售時間不足8小時

合計

(1)請完成上面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為企業(yè)的每天線上銷售額與每天線上銷售時間

有關；

(2)在上述線上銷售時間不足8小時的企業(yè)中，按線上銷售額進行分層抽樣，抽取5家企業(yè)，再從這5家企

業(yè)中抽取3家企業(yè)，求抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)線上銷售額不足50萬元的概率.

附:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

參考公式：/=(.)黑靠以+《)，其中九=a+%+c+d.

17.(本小題15分)

3

已知函數/'（久）=^+%2—mx+2.

(1)若曲線y=/(%)在點處的切線方程為3久一y+九=0,求機，n；

(2)若f(x)有三個零點，求實數機的取值范圍.

18.(本小題17分)

隨機選取某市6所小學調研“徒步走”活動的參加情況，統(tǒng)計各校參加學生人數，所得數據如下表所示:

學校甲乙丙T戊戌

參加“徒步走”人數505545486056

(1)現從這6所小學中隨機選出3所，記其中參加“徒步走”人數不低于55的學校數量為X,求X的分布列

和數學期望.

(2)在“徒步走”活動的終點設置挑戰(zhàn)游戲，每位“徒步走”活動參與者都可參與挑戰(zhàn)，每次挑戰(zhàn)都需要闖

3關，且參與者每次挑戰(zhàn)至少通過其中2關，才視為挑戰(zhàn)成功，每關是否通過互不影響.已知參與者小明每

關通過的概率均為:

第3頁，共13頁

①求小明1次挑戰(zhàn)成功的概率；

②若小明進行多次挑戰(zhàn)，且希望挑戰(zhàn)成功總次數的期望大于3,則理論上他至少需挑戰(zhàn)多少次?

19.(本小題17分)

已知函數/'(%)=g(x)=ax—Inx—1.

(1)判斷f(x)的單調性;

(2)若/(久)+g(x)20恒成立，求a的取值范圍；

2

(3)若方程f(x)+g(x)=0有兩個不同的根打，x2,證明：xrx2>e.

第4頁，共13頁

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：集合A={用-2Wx<1},B={x[—1<xW3},

i4U^={%|-2<%<3}.

故選：D.

根據并集的含義即可得到答案.

本題考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定為三久￡R,x2+1<0,

故選：A.

根據含有量詞的命題的否定即可得到結論.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.

3.【答案】C

【解析】解：根據方差的性質可得，D(aX+b)=a2￡)(X),

所以D(3X-2)=9D(X)=36,

根據標準差與方差的關系：隨機變量丫的標準差。(丫)=/附，

故b(3X-2)=JD(3X_2)=6.

故選：C.

根據方差的性質求出D(3X-2),再根據標準差與方差的關系求出。(3X-2).

本題主要考查離散型隨機變量的方差的性質，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：因為幕函數人支)=在第一象限單調遞增Qa>0,

所以“a>l”是“/(x)在第一象限單調遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

根據幕函數單調性和充分不必要條件的判定即可得到答案.

本題主要考查充分必要條件的判斷，考查幕函數的性質，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：某旅行社設計了4條不同的旅游路線，甲要從中任選2條路線，分別在假期7月和8月出游,

由題意可得不同的選擇及安排方法有/=4x3=12種.

第5頁，共13頁

故選：c.

從四個當中選兩個安排在不同日期，意味著有順序需要用排列解決.

本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：根據題意可知，A,B兩種品牌的鋼筆的次品率分別為4%和a%,

設從市場上任取一支該種型號鋼筆，它是次品為事件4

則P(A)=25%x4%+75%xa%=2.5%,解得a=2,故3正確.

故選：B.

利用全概率公式計算直接得出結果.

本題考查了全概率公式，屬于基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：令f(x)=e2x—sinx,則/''(久)=2e2x—cosx,ff(0)=2—1=1,

f"(x)=4e2x+sinx,f/z(0)=4,

所以曲線y=e2x-sbu;在點(0,/(0))處的曲率為-=72.

[l+(/t0))2]2(1+1)2

故選：B.

求出/'(久),fv(x),則f，(0)=l,/〃(0)=4,代入曲率公式求解即可.

本題考查利用導數研究函數曲線彎曲程度問題，考查運算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：因為(8+85+C^884+C|883+...+C器82+C得8+C器

985=1)85=C^5855

28381

=8(C058+瑪5882+C|58+...+O+681,

且盤盥)能被128整除，

82(C1883+5882+C2S881++c

所以所求余數即為681除以128的余數，

因為681=128X5+41,所以985除以128的余數為41.

故選：C.

變形為985=(8+1)85,再利用二項展開式即可得到答案.

本題考查了二項式定理的應用問題，是基礎題.

9.【答案】ACD

【解析】解:?！?)10°的n=100,

故展開式共有101項，展開式的所有二項式系數之和為21。0,正確；

第6頁，共13頁

展開式的第2項系數為C；oo(—1)1=-100,B錯誤;

令x=l,得展開式的所有項的系數之和為0,C正確.

故選:ACD.

根據二項式展開式的相關概念和性質，分別對各選項進行分析判斷.

本題主要考查二項式定理的應用，考查計算能力，屬于基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：因為a<6,c2>0,所以ac?<be?,故/正確；

因為a<b<0,所以a?-報=(0+功9一b)>0,故8錯誤；

因為a>b>0,所以a?—ab=a(a—b)>0,ab—b2—b{a—<b)>0,故C正確；

因為a>b>0,所以工一〈=空<0,故。錯誤.

abab

故選：AC.

根據不等式的性質判斷4利用作差法判斷BCD.

本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題.

11.【答案】AC

【解析】解：根據題意，依次分析選項：

對于力，y=-1)是定義在R上的奇函數，貝！|f(x-1)=一/'(一x-1),

則點(一1,0)為/(X)圖象的一個對稱中心，A正確；

對于B,/(X)滿足/(x—1)=—/(—%—1),且f(x)的定義域為R,

令％=0,則有/(一1)=一/(一1),變形可得/(一1)=0,B錯誤;

對于C,/(久)滿足人光―1)=—/(—乂―1),變形可得/(無)=—,(—2—乂)，

又由/(x+2)=f(2-x),則有/(X)=f(4—久)，

聯(lián)立可得/'(4-%)=-/(-2-%),則有f(%+6)=-f(x),

故“久+12)=—/O+6)=f(x),/(x)的一個周期為12,C正確；

對于O,由C的結論，/(久)的一個周期為12,則/(2025)=f(—3+169xl2)=/(-3),

而點(一1,0)為/(x)圖象的一個對稱中心，則f(-3)=-/(1),

又由當xe(—1,2］時，f(x)=2，+/,則-1)=3,

故f(2025)=-/(1)=—3,。錯誤.

故選:AC.

第7頁，共13頁

根據題意，由函數的對稱性分析力和B,由函數的周期性分析C,結合函數的解析式分析D,綜合可得答案.

本題考查函數周期性和對稱性的綜合應用，關鍵分析函數的周期，屬于中檔題.

12.【答案】-1

【解析】解：因為所有樣本點（孫力）,（i=1,2...?1）都在直線丫=一3%+1上，所以回歸直線方程是y=-3久+1,

可得這兩個變量是負相關，

故這組樣本數據的樣本相關系數為負值，且所有樣本點（刈,％）,（i=1,2...①都在直線上，則有|川=1,

二相關系數r=-1,

故答案為：-1.

根據題意，回歸直線方程是y=-3x+l,可得這兩個變量是負相關，結合相關系數，判斷即可.

本題考查相關系數，屬于基礎題.

13.【答案】1

【解析】解：由f?Nl&M）,則該正態(tài)分布曲線對稱軸為〃=8,

又P（f>10）=得P（6<f<8）=i-2P『o）=1_

故答案為：g.

根據給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性列式計算.

本題考查正態(tài)分布曲線相關知識，屬于中檔題.

14.【答案】1560

【解析】解：將六本不相同的書發(fā)給4個人，每人至少一本，且書全部分完，

若書本數按2,2,1,1分發(fā)，則有第?繆，北=1080種不同的分配方法；

若書本數按3,1,1,1分發(fā)，則有底房=480種不同的分配方法.

故共有1560種不同的分配方法.

故答案為：1560.

分為按2,2,1,1和按3,1,1,1分發(fā)，再利用排列組合數計算即可.

本題考查了排列、組合及簡單計數問題，屬中檔題.

15.【答案】y=-10%+103.4；

10分鐘.

【解析】（1）根據題意可知，%=3,y=73.4,

2：一1/Vi=1x92+2x85+3x73+4x65+5x52=1001,

第8頁，共13頁

%蠟=1+4+9+16+25=55,

所以a=亍一成=73.4+10X3=103.4,

所以y關于X的經驗回歸方程為y=-10%+103.4；

(2)根據題意可知,y=-10%+103.4<5,

解得x>9.84,故該藥物使用10分鐘后口腔處于健康狀態(tài).

(1)計算出樣本中心點，再利用回歸直線公式即可；

(2)代入回歸直線方程得到不等式，解出即可.

本題考查了經驗回歸方程，屬于中檔題.

16.【答案】列聯(lián)表見解析，沒有；

3

5-

【解析】(1)根據題意可知，2X2列聯(lián)表如下：

每天線上銷售額不足50萬

每天線上銷售額不少于50萬元合計

元

每天線上銷售時間不少于8小

7030100

時

每天線上銷售時間不足8小時6040100

合計13070200

零假設Ho：假設認為企業(yè)的每天線上銷售額與每天線上銷售時間無關，

2

2200x(70x40-60x30)200QdnoQ-vnz：

/=100X100X130X7。=W"2.198<2,706=x.v

0

故沒有90%的把握認為企業(yè)的每天線上銷售額與每天線上銷售時間有關；

(2)根據題意可知，每天線上銷售時間不足8小時的100家企業(yè)中，

線上銷售額不少于50萬元的企業(yè)有60家，線上銷售額不足50萬元的企業(yè)有40家，

???抽出的5家企業(yè)中線上銷售額不少于50萬元的企業(yè)有3家，線上銷售額不足50萬元的企業(yè)有2家,

設“抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)每天線上銷售額不足50萬元”為事件4

則PQ4)=等="

即抽取的3家企業(yè)中恰有1家企業(yè)每天線上銷售額不足50萬元的概率為"

第9頁，共13頁

(1)根據已知條件完善聯(lián)表，用/=券管泮Z.求出數值,對比2.706即可

(2)先分層抽樣得到各部分抽取數目，再用組合數算出對應概率

本題考查了獨立性檢驗，屬于基礎題.

17.【答案】fm=l

(n=0

7

(2-+°0).

3

【解析】(1)因為/(%)=^~+%2—血％+2，

--2c

所以//(%)=-x2+2x—m,

因為/(1)=1-m,/z(1)=1-m,

佟―m=3

所以已，

解得=I

In=0

(2)因為/(x)有三個零點，

即務/一如+2=o有三個解，

顯然x=0不是函數的零點，

所以關于汽的方程A+----771=0有二個不同的根，

2X

即曲線y=]+%+]與直線3/=m有三個交點.

.27

令9。)=Yy+x+->

mri/zx2X3+X2-2(X3-1)+(X2-1)(X-1)(X2+2X+2)

則g(%)=%+1-^2=r—=—M-----=------9------

因為久2+2X+2>0,

所以當xe(-8,0),(0,1)時，%-1<0,g/(%)<0:

當xe(l,+oo)時，x-1>0,gf(x)>0,

所以g(x)在(-8,0),(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增.

第10頁，共13頁

y/

因為g(l)=B，所以當時，直線y=m與曲線y=g(x)有三個交點，

故實數ni的取值范圍是6,+oo).

(1)求出導函數，利用導數的幾何意義及導數函數值列方程求解即可；

(2)將問題轉化為曲線y=Rx+9直線y=m有三個交點，令g(久)=1+%+1，利用導數法研究其單調

性，結合函數的極值數形結合即可求解.

本題考查了導數的幾何意義、綜合運用，考查了轉化思想及數形結合思想，屬于中檔題.

18.【答案】分布列見解析，

①圣(2A2次.

【解析】(1)由題易知，隨機變量X的值為0,1,2,3,

P(x=o)=警=以P(X=1)=等嗚,

P(X=2)=警4,P-3)=警=點,

隨機變量X的分布列：

X0123

1991

P

20202020

將表格數據代入期望公式可得E(X)=OX4+1X4+2x4+3X4=1；

⑵⑦小明1次挑戰(zhàn)成功的概率為穹6)2x|+C沿尸=看，

②易知f服從二項分布，即f?BQi,《)，

所以E(f)=/n>3,因為neN*,所以解得nN12,

所以至少需挑戰(zhàn)12次.

第11頁，共13頁

(1)寫出所有X的可能取值，再計算出分布列，最后利用期望公式即可；

(2)。利用組合數和獨立事件的乘法公式即可；

朗U用二項分布的期望公式得到不等式，解出即可.

主要考查離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.

19.【答案】答案見解析；

1

[->+8)；

證明見解析.

【解析】(1)由已知，/(%)=§,/'=婦*上，

當。=。時，/7(%)<0,所以/(%)在(一8,0)和(0,+8)上單調遞減；

當a<0時，令//(%)>0,得％V/令//(%)<0,得:V%V0或%>0,

所以/(X)在(一8,；)上單調遞增，在(，0)和(0,+8)上單調遞減；

11

當a>0時，令//(%)>0,得％>￡，令得Ov%<￡或％V0,

所以/(X)在(1+8)上單調遞增，在(-8,0)和(0,；)上單調遞減；

綜上所述，當。=。時，/(%)在(-8,0)和(0,+8)上單調遞減，

當Q<0時，/(%)在(一8,})上單調遞增，在(，0)和(0,+8)上單調遞減，

當。>0時，/(%)在(1+8)上單調遞增，在(一8,0)和(0,})上單調遞減；

pax

(2)因為/(%)+g(x)=——Fctx—ITIX—1之0怛成H,

所以一"％+Q%—inx-I、。恒成立，

令力=ax—Inx,則e*+t—12。.令3(t)=/+t—1,則3(t)在R上單調遞增,

因為3(0)=0,所以3?)之0,BPt>0,

由力=a%—Inx>0,得a>—,