2024-2025學年四川省資陽市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知平面向量2=（2,1）,6=（1,久）.若2與3共線，則x=（）

11

A.2B.—C.——D.-2

2.已知復數(shù)Z1=2+3z2=1-2i,復數(shù)z=Z2+z「貝！Jz的共軌復數(shù)z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.一組數(shù)1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的85%分位數(shù)為（）

911

A.4B.|C.5D.y

4.函數(shù)y=sin2x+cos（2x+"）的最小正周期為（）

A.%B.TTC.2兀D.4兀

5.如圖，在△ABC中，點。滿足前=2麗，E為AC的中點，則前=（）

A.|AB+|XC

B.^AB-^AC

C.|AB+|Zc

D.^AB-^AC

6.如圖，在四面體4BCD中，若4B=CB,AD=CD,E是4C的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.平面ABC_L平面48。

B.平面4BD_L平面BDC

C.平面力8c1平面

D.平面ABC_L平面4DC

7.已知cos（a+夕）=,，tanatan/3=2,貝!Jcos（a—。）=（）

,3

A?一二Dl

8.如圖，在三棱錐P—ABC中，P4_L平面4BC,PA^BC=2,ABAC=30。，P

則該三棱錐外接球的體積為()

kk—個

20/5TT68/177T11''

.3.3AB

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.某地區(qū)舉行了足球聯(lián)賽，聯(lián)賽結(jié)束后的數(shù)據(jù)顯示：甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.6,各場比賽失球個數(shù)的

標準差為1.2；乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.3,各場比賽失球個數(shù)的標準差是0.5,下列說法中正確的是

()

A.平均說來甲隊比乙隊防守技術(shù)好B.甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好

C.甲隊比乙隊技術(shù)水平更穩(wěn)定D.乙隊很少不失球

10.若向量落3滿足間=|瓦=1,|五+舊=/,則()

A.旨與石的夾角為：=1

C.a1(a-K)D.石一?在族上的投影向量為一”

11.函數(shù)/(')=2sin(a)x+0)(3>0,\(p\<兀)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)=2s出(3一3)

B.若將/(X)的圖象向右平移方個單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

C.若VK€[—Uf(3%)+a>f(j~),貝！Ja的范圍為+2,+8)

D.若函數(shù)y=/(%)-1的三個相鄰零點分別為X],x2,<x2<x3)?S.\xt-x2\=A|x2=x31,則4的

值是黑2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z=三。為虛數(shù)單位)，則|z|=.

13.將一個總體分為a,B,C三層,其個體數(shù)之比為5：3：2.若a,B,C三層的樣本c

的平均數(shù)分別為20,30,40,則總體的平均數(shù)為./(\

14.已知點G是△ABC的重心，點M,N分別在4B,AC±,且滿足而=逅訪+/\

yAN,其中x+y=1.若前=|屈，則△4NG與△ABC的面積之比為.A^—----拓-----、B

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(%)=2sinxcosx+cos2x(xER).

(1)當％取什么值時，函數(shù)/(%)取得最大值？并求出該最大值；

(2)若8為銳角，且/4+[)=?,求tcm2。的值.

Zoo

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—力BCD中，AD//BC,4D1側(cè)面PAB,△P4B是等邊三角形，BC=2,ABAD=4,

E是線段P4的中點.

(1)求證：BE1平面P4D；

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

17.(本小題12分)

為增強職工身體素質(zhì)，某企業(yè)鼓勵職工積極參加徒步活動.為了解運動情況，企業(yè)工會從該企業(yè)職工中隨機

抽取了100名，統(tǒng)計他們的日均運動步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：

(1)求圖中a的值；

(2)估計該企業(yè)職工日均運動步數(shù)的平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

(3)若該企業(yè)恰好有]的職工的日均運動步數(shù)達到了企業(yè)制定的“優(yōu)秀運動者”達標線，試估計該企業(yè)制定

的“優(yōu)秀運動者”達標線.

18.(本小題12分)

在銳角△斗8。中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=2，W，且cosC+(cosB-dWsMB)cosa=

0.

(1)求角4的大??；

(2)若b=2,求△ABC的面積；

(3)求36+c的取值范圍.

19.(本小題12分)

如圖①，已知等腰梯形4BCD的外接圓圓心。在底邊48上，AB//CD,CD=AD3,P是上半圓上的動點(

不包含A,B兩點)，點Q是線段P4上的動點，將半圓4PB所在的平面沿直徑力B折起，得到圖②所示圖形，

據(jù)此解答下列各小題：

(1)當PC〃平面QBD時，求湍的值;

(2)若P8171。，PB=3,求PA與平面A8CD所成角的正弦值；

(3)若PBW3,平面P4B1平面ABCD,設(shè)QB與平面ABCD所成的角為a,二面角Q-BD-4的平面角為

求￡-a取得最大值時tcma的值.

圖①圖②

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：平面向量匯=(2,1),b—(l,x).N與b共線，所以2x=l今x=g.

故選:B.

利用向量共線的坐標運算即可得解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由復數(shù)Z]=2+i,z2=1-2i,復數(shù)z=z2+z1=2+i+l-2i=3-i,

則5=3+i,對應的點為(3,1)位于第一象限.

故選：A.

利用復數(shù)的加法運算及共軌運算，再利用復數(shù)的幾何意義即可得選項.

本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：已知一組數(shù)1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,

又10x0.85=8.5,

所以第85%分位數(shù)為從小到大排列的第9個數(shù)，即第85%分位數(shù)為5.

故選：C.

根據(jù)百分位數(shù)的計算方法求解即可.

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：由y=sin2x+cos(2x+兀)=sin2x—cos2x

=譏2xcos,—cos2xsin^)=2sin(2x—.),

所以函數(shù)的周期為7=：=小

故選：B.

根據(jù)誘導公式與輔助角公式化簡/(久)表達式，進而根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求出答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式與誘導公式、三角函數(shù)的周期公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因為而=2礪，所以而=|近，所以前=同一荏=|南—生前.

故選：D.

根據(jù)向量的線性運算即可求解.

本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：,；力8=CB,AD=CD,E是4C的中點，則BE1AC,DELAC,

,；BECDE=E,BE,DEu平面BDE,

.-.AC1平面RDE,

又ACu平面ABC,：.平面4BC1平面BDE,故C正確；

在平面ABC內(nèi)取點P,作PM1AB,PN1BE,垂足分別為M,N,如圖，

,平面2BC_L平面8DE,平面ABCC平面BDE=BE,

PN_L平面8DE,貝l|有PN1BD,

若平面ABC1,平面AB。，同理可得PM1BD,

而PMCPN=P,PM,PNu平面ABC,

BD_L平面ABC,8。與平面ABC不一定垂直，故A錯誤；

過4作△ABC邊BD上的高AF,連接CF,

由AaBD絲ACBD,得CF是△C8D邊8。上的高，

則NAFC是二面角4-BD-C的平面角，而N4FC不一下是直角，

即平面4BD與平面8DC不一定垂直，故B錯誤；

???4C1平面BE,則ADEB是二面角D—AC-B的平面角，NDEB不一定是直角,

平面4BC與平面2DC不一定垂直，故。錯誤.

故選：c.

利用面面垂直的判斷，再結(jié)合面面關(guān)系的判斷方法逐項分析判斷.

本題考查面面垂直的判斷，考查線面垂直、面面垂直的判斷等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：由cos(a+￡)=■!，可得cosacosS—sinasin^=

因為tcmatcmS=stnasi嗎=可得sinasi印=2cosacosB,

廠cosacosp廠廠

12_3

^^cosacosp=-sinasin^=-可得cos(a-0)=cosacosp+sinasin^=-

故選：A.

根據(jù)兩角和的余弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系求得cosacos.、sinas譏￡的值，進而求得cos(a-

S)的值.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：在三棱錐P-4BC中，設(shè)其外接球的球心為點。，△ABC的外接圓的圓心為點E,如圖，

連接力。，OE,AE,則。E14E,設(shè)△4BC的外接圓的半徑為七,

因為8C=2,Z.BAC=30°,

BC2

由正弦定理，得=4=2R]=%=2,即ZE=2,

sinz.BACsin30°

因為P41平面ABC,PA=2,

所以。E=1,

所以三棱錐外接球的半徑4。=7TT4=，虧，

所以三棱錐外接球的體積為0=疑.(75)3=竽兀.

故選：C.

根據(jù)正弦定理求出△ABC的外接圓的圓心，確定球心的位置，利用勾股定理列式求出球的半徑，再根據(jù)球

的體積公式即可求解.

本題考查球的體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對于4甲隊每場比賽平均失球數(shù)是1.6,小于乙隊每場比賽平均失球數(shù)是23,

平均說來甲隊比乙隊防守技術(shù)好，A正確；

對于8,甲隊在防守中有時表現(xiàn)較差，有時表現(xiàn)又非常好，8正確；

對于C,甲隊各場比賽失球個數(shù)的標準差為1.2大于乙隊各場比賽失球個數(shù)的標準差是0.5,

所以乙隊比甲隊技術(shù)水平更穩(wěn)定，C錯誤；

對于。，雖然乙隊每場比賽平均失球數(shù)是2.3,算是較大的數(shù)，而各場比賽失球個數(shù)的標準差是0.5,由于標

準差很小，方差是0.25更小，說明每場失球數(shù)都集中在2.3附近，所以認為乙隊很少不失球是正確的，。正

確.

故選：ABD.

用平均數(shù)和方差分別估計數(shù)據(jù)的平均水平和穩(wěn)定性.

本題主要考查平均數(shù)、方差的意義，屬基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：因為向=|力=1,|N+另|=四，

所以/+2小3+片=3,即2+2反7=3,

解得N?3=：,故8正確；

可得包花〉=全故A錯誤；

由五?@-9)=/一小石=；#0,

可知N與a-3不垂直，故C錯誤；

因為(五一及不=亦另一片=-1,

所以2-3在3上的投影向量為建孚4=-,另，故。正確.

網(wǎng)22

故選：BD.

由已知可得小3=2可判斷8；利用向量的夾角公式求解可判斷4；求得楊不可判斷C；利用投影向量

的定義求解可判斷D.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：A,」=普—2兀=《

所以T=可得3=p

6TC=―60,3

27r

又/'(2兀)=2sm(y+0)=2,

因為|租|<",所以3=一3，

所以/(%)=2s譏。％-弓)，故A正確；

B,將〃久)的圖象向右平移1個單位后的解析式為y=2si唱(久―芻=2s譏(3—》該函數(shù)不是奇函

數(shù)，故2錯誤；

C,/(3x)+a>/(y),可得aNf岑)一/(3久)，

r/3兀、c■fTC7T、c.TC/Q

/(y)=2sm(---)=2sin-=V3,

/(3x)=2sin(x—1),

xe[冶卓,所以無一旌[—屋],

所以sin(龍—弓)e[―1由,所以/(3x)6[―2,1],—/(3x)6[—1,2],

所以[/的—/(3x)Lnax=2+司所以a2C+2,故C正確；

D,函數(shù)y=/(%)-1的零點，即/(%)=1的解，

即2s譏—3)=1,所以sin。％—弓)=^,

2TT

君]/一則|久2—久31=5，此時4=2,

若%—乂21=5，貝—孫1=?，此時2=所以4=2或，，故D正確.

故選：ACD.

根據(jù)三角函數(shù)圖象求解析式可判斷4根據(jù)三角函數(shù)圖象平移及正弦函數(shù)的奇偶性可判斷B；利用分離參數(shù)

法及正弦型函數(shù)的值域可判斷C;根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)可判斷D.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涵蓋解析式求解、圖象平移、不等式恒成立及零點問題，屬于中檔題.

12.【答案】72

【解析】解：?."=￡2(1)=1_『

(i+o(i-o-'

???\z\=JI?+(-1)2=y1-2-

故答案為：V-2.

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】27

【解析】解：因為4B,C三層個體數(shù)之比為5：3：2,且2,B,C三層的樣本的平均數(shù)分別為20,30,

40,

所以總體的平均數(shù)為1=20xUr?+30X+40x=27.

。IDI乙。IDI乙OIDI乙

故答案為：27.

結(jié)合分層抽樣的概念即可求解.

本題主要考查了分層隨機抽樣的平均數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：根據(jù)點G是AABC的重心，可得庶=*荏+就），

151

函

加一

利

T前

-『

結(jié)合題意通=|XM,J-3-9-3-

叫

5AT

-V

設(shè)亞前，貝IJ石=--,

9324

因為E=而+yRV,所以％=打=全結(jié)合x+y=l,解得y=《，4='

由前二輛，可得器H，

因為△4BC的重心G到AC的距離等于點B到AC距離的，

AANG㈣1

所以S1=3*1

S^ABC\AC\3434

故答案為：

根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，可得近=家存+硝，設(shè)前=4而，結(jié)合四=,病推導出同=|前+

（麗，由前=耘而+）7前且無+y=1,計算出2=號可得而*前，即嚼=],然后根據(jù)三角形的面

JJJI/1C什

積公式求出答案.

本題主要考查平面向量的線性運算法則、平面向量基本定理、三角形的面積公式等知識，屬于中檔題.

15.【答案】當尤=巳+上兀/62時，/(%)的最大值為YI；

O

7~,

【解析】(1)由題意得/(%)=sin2x+cos2x=V_2sin(2x+g),

4

令2%+:=彳+kEZ,解得％="+k,7i,kEZ,

4L2/CTT,o

所以當％=《+左耳々62時，/(%)取得最大值，最大值為，2

O

(2)因為f(,+[)=V-2sin[2(^+?)+?]=V-2sin(0+勺=y/~2cos3=

ZoZo4Zo

所以cos。=I，結(jié)合。為銳角，可得sine=V1-cos20=

所以黑=2遍，可得三%4<24<2

(1)根據(jù)輔助角公式化簡得/(X)=，Isin(2久+J),然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出答案;

4

(2)根據(jù)苧算出cos6=a然后運用誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與二倍角公式求出

tcm28的值.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

等知識，屬于中檔題.

16.【答案】證明見解析.

873；

【解析】⑴證明：因為4。1面/MB,BEu面P4B,

因止匕4D1BE,

因為AP4B是等邊三角形，E是線段P4的中點，

因此PA1BE,

又因為力DCPA=4AD,。4<=平面22。，

因此BE，平面PAD；

⑵因為4。1面PAB,ADu平面4BCD,

因此平面P4B1平面ABCD,

又平面PABC平面ABC。=AB,

取4B中點為F,

因為APAB是等邊三角形，因此PF14B,

PFu平面P4B,

因此PF1平面4BCD,即PF為四棱錐的高，

因為APAB是等邊三角形，AB=4,

因止匕PF=2G

因此四棱錐P-ABCD的體積為了=|x|x(2+4)x4x2<3=8/3.

(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可證明；

(2)利用面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理確定四棱錐的高，再根據(jù)錐體的體積公式求解即可.

本題考查棱錐的體積，屬于中檔題.

17.【答案】a=0.04；

9.08；

9.6.

【解析】(1)由頻率分布直方圖得2(a+0.1+5a+0.12+a)=1,解得a=0.04.

(2)由頻率分布直方圖可得平均數(shù)為：

x=5x2X0.04+7x2x0.1+9X2X5X0.04+11X2X0.12+13x2x0.04=9.08.

所以該企業(yè)職工日均運動步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步.

(3)日均運動步數(shù)在［12,14］的頻率為2x0.04=0.08,

日均運動步數(shù)在［10,12)的頻率為0.12X2=0.24,

日均運動步數(shù)在［8,10)的頻率為5x0.04X2=0.4,

所以達標線位于［8,10)內(nèi)，

則達標線為0.08+0.24+W/x0.4=|,解得m=9.6,

該企業(yè)制定的優(yōu)秀強國運動者達標線是9.6千步.

(1)由頻率和為1列式求解；

(2)(3)由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)求解即可.

本題考查由頻率分布直方圖求參數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】a=半

^LABC=2V-3;

3b+c的取值范圍為

【解析】(1)根據(jù)題意可知，cosC+[cosB—yTisinB)cosA=0,—cos(4+B)+(cosB—

yfSsinB)cosA=0,

—cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA—y/~3sinBcosA=0,

sinAsinB=yJ~3sinBcosAfv0<B<p...sinBH0,

???sinA=V_3coSi4,???tanA=V_3,

又???OVA<5.?.4=全

(2)在銳角△ABC中，由余弦定理可得M=b2+c2—IbccosA,

2

又a=2V-3,b=2,A=^912=4+c—2x2cxp整理得c?—2c—8=0,

解得c=4或c=-2(舍去)，???c=4,

???S^ABC=|bcsinA=；x2x4x苧=2A/3；

(3)設(shè)銳角△ABC外接圓半徑為R,由正弦定理可得：2區(qū)=m=等=4,

sin/isin,2

2TT

???3b+c=12sinB+4sinC=12sinB+4s譏(-g——B)

2TT2nj—

—12sinB+4sin-^-cosB-4cos-^-sinB=14sinB+2v3cosB

=4、13(2}cosB)=4V13sin(B+cp),

其中0"9=篇=空，s出0=蕓=啜，8為銳角，

’0<B

???△28C為銳角三角形，則27r/解得：<B<9

0<y-B62

7T71

1?7+(P<B+cp<彳+0,

oZ

-V7.,x.71,71.17,V~3V_35/T3

又sm(%+0)=sm-coscp+cos己si”=2XOT+TXOT=^

.,n,、7/13

sm(2+9)=coscp=

???sin/+0)Vsin(B+0)W1,即<sin(F+(/?)<1,

???10<4jl?sin(B+9)W4713,從而3b+c的取值范圍為(10,4百句.

(1)由條件利用兩角和差的三角公式化簡求出tcma=73,即可求解；

(2)利用余弦定理列方程可求出c=4,再利用三角形面積公式即可求解；

(3)利用正弦定理把邊化為角，再利用兩角和差公式以及輔助角公式化簡得3b+c=4713sin(B+@),利

用三角函數(shù)的值域求解即可.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

19.【答案】=P2與平面4BCD所成角的正弦值苧；0-a取得最大值時toia=1.

【解析】(1)連接北交8。于點M,連接QM,

因為CD=2。=3,ABUCD,所以BC=3,AB=6,

則平面P4CCl平面QBD=QM,

依題意，PC〃平面QBD,PCu平面P4C,

所以PC〃QM,

所以周=瑞，等腰梯形ABC。中，AMABSAMCD,

所以”=也=￡￡=工

廠""Q4MAAB2'

(2)因為等腰梯形4BCD的外接圓圓心。在底邊力B上，所以N4DB=90°,

所以力D1