2024?2025學(xué)年遼寧省大連二十四中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，三棱柱力8C-4B1G中，點(diǎn)E,F,G,H分別為BBi，CQ,4血,4G

的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.E,F,G,”四點(diǎn)共面

B.A&與G/7是異面直線

C.LEGH=Z.FHG

D.EG,FH,441三線共點(diǎn)

2.已知復(fù)數(shù)Z=2i202，+i2023x^,記Z的輻角為a,其共扼復(fù)數(shù)為之，則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為一:B.cosa=普/C.z的模等于■/而D.z-z=3i

234

3.已知|團(tuán)=5,b=（-1,2）,后在E上的投影向量沆為—記向量五與1的夾角為氏則sin（m8）的

值為（）

B?Y

4.如圖，一個(gè)三階魔方由27個(gè)單位正方體組成，把魔方的中間一層

順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了45。之后，其表面積增加了（）

A.8B.72-48/2珊

C.96-60/2D.108-72/2

5.已知三角形A8C中，點(diǎn)。在邊B。上，4）平分484C,且SfB。=若AD=J1X：D=2,則

4c=（）

A.1B./2C.2D.2/2

6.一正四棱臺(tái)內(nèi)接于圓錐，其俯視圖如圖所示.若底面上弓形（即圖中陰影部分）面積與棱臺(tái)上底面面積之比

為（兀-2）：2,則圓錐與棱臺(tái)體積之比為（）/<7777^

A.2TT：5B.2n：3|：???：）

C.4TT：9D.4?r：7

7.已知函數(shù)/'(%)=sin(wx+(p)(s>0,\(p\<個(gè)，曲線y=/(x)與坐標(biāo)軸的三個(gè)

交點(diǎn)分別為力、B、C,如圖所示，直線8C交曲線于點(diǎn)M,若宜線AM、的斜

率分別為5,3,則3-3=()

B2C.(D.?

5663

8.三角形718C中，角/I,B,C對(duì)的邊分別為a,b,c,a=6/5,若lib2十

2c2=Q2+6bcsi幾4,則BC邊上的高為()

186C.2/5D.萼

A./5B-

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。

9.關(guān)于空間中的幾何體和基本事實(shí)，下列說法錯(cuò)誤的是().

A.長方體不同的三條棱長分別為3、5、8,則其外接球的表面積為497r

B.所有側(cè)面均為全等的等腰三角形的棱錐?定是止棱銖

C.點(diǎn)A、8是某一給定平面外的兩點(diǎn)，則一定存在過直線4B的平面垂直于這個(gè)平面

D.棱長相同的正方體和正四面體的棱切球的表面積之比為2：1

10.已知銳角三角形中，角兒B,。的對(duì)邊分別為Q,力，c,有竺￡=竺叱警，則2的取值不可能是

cc-。C

().

A.-yB.<2C.jD.73

II.三角形/IBC中角4、B、C的對(duì)邊分別為Q、b、c,點(diǎn)M、P、Q是三角形所在平面內(nèi)的點(diǎn)，分別滿足

aMA=b~MB-c~MC.手西=力而+W/?)、|麗|二籍亨下列關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P、Q的說法正確的是

()

A.平面內(nèi)點(diǎn)P的集合是NB4C的角平分線所在的直線

B.點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡與N48C的角平分線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

C.若三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，則耳?稔的取值范圍為[一2門-4,2/3-4]

D.若三角形內(nèi)心為/,'"4CB為鈍角”是“不存在點(diǎn)P、Q使得市?拓=0”的充分不必要條件

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復(fù)數(shù)z=_2^_2，,則復(fù)數(shù)z的輻角4rg(z)=_____.

13.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著微學(xué)匯編》里給出了托勒密定理，即圓的內(nèi)接凸四邊形

的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.已知AC,BD為圓的內(nèi)接四邊形ABC。的兩條對(duì)角線，H.

2

sin乙48。：sin￡ADB：sin4BCD=2：3：4,^\AC\=A\BC\-\CD\t則實(shí)數(shù)入的最小值為.

14.已知正四棱臺(tái)ABC。一AMiGDi中，AB=2A]Bi，其側(cè)面枳為9,MN為側(cè)面44向8的中位線，若該棱

臺(tái)內(nèi)切球半徑為苧，則二面角&-MN—C的余弦值為______.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖，在三棱錐4-BCO中，平面/BOJ_平面8c。，AB=AD.。為8。的中點(diǎn).

(1)求證：AO1CD；

(2)若BD1CC,BD=DC,AO=B0,求異面直線8c與4D所成的角的大小.

16.(本小題15分)

已知平面內(nèi)一三角形H8C,點(diǎn)。為其外心.

(1)點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，AB=5,AC=7,求麗?亞的值：

(2)若過點(diǎn)。的直線分別交邊力8、，4c于點(diǎn)P、Q,證明：■sin2B+

AC

京sin2C=sin2A+sin2B+sin2C.

17.(本小題15分)

如圖①，在△ABC中，8。=4,力8=/記1"8=譽(yù),￡,。分別為8。，AC的中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕，將4

OCE折起，使點(diǎn)C到G的位置，且86=2,如圖②.

(1)設(shè)平面GADn平面8EC1=1,證明：Z_L平面A8G；

(2)若P是棱q。上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過P,B,E三點(diǎn)作該四棱錐的截面與平面BCG所成的銳二面角的正切

值為?，求該截面將四棱錐分成二下兩部分的體積之比.

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)干4因?yàn)榫臚,G,H分別為BBl，CG，A&&下的中點(diǎn),

所以GH〃%G，EF〃B￡,則有GH〃EF,故E,F,G,”四點(diǎn)共面，A正確.

對(duì)于8,因?yàn)镚"J平面為B1G，&E平面481Q旦&eG”，平面為8傳1，所以A①與G"是異面直

線，8正確.

對(duì)于C,由GH〃EF,月可知，四邊形EFHG是梯形，

當(dāng)且僅當(dāng)EG=/，時(shí)，梯形EFHG是等腰梯形，有乙EGH=CFHG,所以C錯(cuò)誤.

如圖：

對(duì)于。，設(shè)EGn/，=M,則MEEG,又EGu平面力BB14，所以ME平面ABBm］；

同理可得MW平面4CG4,即M一定在平面；48B/1與平面4CG&的交線上，

因?yàn)槠矫媪81力1C平面ACG&=441，所以MWAA1，即EG,FH,441三線共點(diǎn).故。正確.

故選：C.

由中位線性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A,由異面直線的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)8,由梯形的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C,由平面基本

性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

45，^-,2024I.2023-2T??、,2T,-2i-l_,(-2i-l)(l+i)_,-3i+l53i

【r解析】解：Z=2o*i+12O23X_=2_lX_=2Q+__=2+_____=2+_=___>

所以3=5+看可知3的虛部為?，故A錯(cuò)誤；

5

1

2

對(duì)干氏z=|號(hào)，所以cosa與B正確;

J(/T)2示一^F

對(duì)于D,z—z=—3i,。錯(cuò)誤.

故選：B.

根據(jù)虛部定義、余弦值、共挽狂數(shù)定義、發(fā)數(shù)運(yùn)算和模長運(yùn)算法則可得結(jié)果.

本題主要考查了更數(shù)的基本運(yùn)算及基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解:根據(jù)題意，0=5,5=(-1,2),

則田I=J(一1/+22=4,

故4在3上的投影向量，m=\a\cosO-^=(-y/~5cos0,2y/~5cos0)=(-m,m-2),

流鬻二:解可得圖:

則有2/5,

-

又6e則SE。=V1-cos26>=組,

故sin(m。)=sin(-20)=-sin20=-2sin6cos0=-2xgx(-^^)=

故選：A.

先由投影向量的定義算出訪，再根據(jù)沆=(-m,m—2)算出m和cos。，然后再利用二倍角公式和同角三角函

數(shù)的基本關(guān)系即可算出sin(md)的值.

本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解:如圖所示，轉(zhuǎn)動(dòng)45。了后，此時(shí)魔方相對(duì)原來多出了16個(gè)小三角形的面積,

顯然小三角形為等腰直角三角形且周長為3,設(shè)其直角邊為工,

則斜邊為則2x+/Ix=3,解得％=3—等.

所以1個(gè)小三角形的面積為&=^3-萼)？=鄉(xiāng)一誓，

12k2,42

所以增加的面積為S=16sl=16（^-苧）=108-72/2.

故選：D.

結(jié)合圖形可得新增了16個(gè)全等的小三角形面積，結(jié)合題意可得小三角形為等腰直角三角形，設(shè)其直角邊為

x,由2%+Mx=3可得》,即可得答案.

本題主要考查棱柱的表面積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上,S^ABD=2S^ADC,

AD-sinZ-BAD=2-^ACAD-sinZ.CAD,

又因?yàn)?IO平分484C,因此484D=乙。｛0,因此A8=2/1C,

又由SMBD=2SM℃，△ABD和△ADC的高相同，設(shè)為九,

因此9?B0?h=2?；?C0h,因此8。二2。。,

又因?yàn)?0=/2CD=2,因此CD=y[2,BD=2x<2,

卅+加一__(2<2)2+22-482

cos乙BDA=-2BDAD—-—2x2\^2x2―

加+加一何2(0)2+22—/IC?

COSZ.CDA=-2CDAD--2x?/2x2-

因?yàn)镹8D71+Z.CDA=IT,因此cosz_8D/l=-coszCD/l,

HJ(2NT2)2+22-/I52__(g2+22―12

[7c化簡得24。2+482=24,

'-2X2/7X2—2x72x2-

把4B=24c代入,計(jì)算即得4C=2.

故選：C.

先利用題干中的面積關(guān)系，得到/8=2/K,BD=2CD,再利用余弦定理建立方程，與之聯(lián)立求解即可.

本題考查解三角形，屬于中檔題.

6.【答案】0

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為凡則正四棱臺(tái)的底面邊長為年X2R=，IR，

則陰影部分面積為太加找一2R2）=i（7T-2）R2,

由于底面上弓形（即圖中陰影部分）面積與棱臺(tái)上底面面積之比為（兀-2）：2,

設(shè)棱臺(tái)上底面正方形邊長為用則軻-2附?,則苧知

。222

即正四楂臺(tái)的上下底面邊長之比為;，而正四樓臺(tái)內(nèi)接于圓錐，

則正四棱臺(tái)各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，即為圓錐的頂點(diǎn),

設(shè)圓錐的高為人則正四棱臺(tái)的高為那

V

y圓饞

故

“正四核臺(tái)

故選：D.

設(shè)圓錐的底面半徑為R，結(jié)合題意求出棱臺(tái)上底面正方形邊長，設(shè)圓錐高，即可表示出棱臺(tái)的高，結(jié)合棱

臺(tái)以及圓錐的體積公式，即可求得答案.

本題主要考查棱錐與棱臺(tái)體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬「中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：依題意，點(diǎn)C是線段MB的中點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)做工0，。），則。（%o-A，。），sin（a）z0+</））=0,而點(diǎn)8（0,si河），

則M（2x（）-.,-sin*）,

（-sin（p-0_3

由題意可得駕言丁,解得出嚕,

開

萬

-―S一

則

而66

因此sin(o)?卷4-9)O<71=7rIn

2不3,解得3=71,

6*2O

所以3-(p=^-.

故選:B.

根據(jù)給定的圖象，設(shè)出點(diǎn)4的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)從C坐標(biāo)，再利用斜率坐標(biāo)公式列式求解.

本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬卜中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：Q=6>/T,若11爐+2C2=+6hcsi7L4,

由余弦定理得,小=b?+c?一2bccos4,代入11〃+2c?=M+6bcsim4,

可得lib?+2c2=b2+cz-ZbccosA+bbcsinA,

化簡得10/+c2=6bcsinA—2bccosA,

則3sinA-cosA=弓+品

3sirtA—cosA=，IUsin(i4—(p)<，TU,其中cos<p=與引，sin(p=(0<wV]),

當(dāng)sin(4一(p)=1時(shí)等號(hào)成立；

當(dāng)且僅當(dāng)c=/T5b時(shí)等號(hào)成立，

c2b

3sinA-cosA=弓+捻=V_10,比時(shí)sin(4—(/>)=1且c=VT5b,

-W=1+2kn,kEZ,0<A<H,0<(/)<p,A=w+],

...n.3/TO./,乃、.V-10

???sinA=sinf(g+-)=cos(p=—cosA=cos((p4--)=-sin(p=———,

乙XU4Xu

由余弦定理，a2=b24-c2-2bccosA,又a=6，5，c=yJ^LOb,

缶〃RA6、砥30/26

解得匕=1]，C=「J，

設(shè)BC邊匕的高為九，則SMBC==\bcsinA,

故人=巫竺=金竺等等溫厘=等，即B。邊上的高為喑.

Q6v51313

故選：B.

利用余弦定理和己知條件得到3si)M-cosA=:+熱，再利用輔助角公式及基本不等式可得到3sim4-

cosA=辿+卷=此時(shí)sin(4-0)=1且c=，而力，結(jié)合余弦定理可求出b,c,最后利用等面積法

即可求解.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：4設(shè)長方體外接球的半徑為R，

因?yàn)殚L方體不同的三條棱長分別為3、5、8,因此32+52+0_7棒.

因此外接球的表面積為4兀產(chǎn)=而x器=987T,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

4

8,如圖所示的三棱錐，滿足所有側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此三棱錐不是正三棱錐，故8選項(xiàng)錯(cuò)

誤;

2

C，當(dāng)直線48垂直「給定平面時(shí)，根據(jù)面面垂直判定定理可知，

存在過直線48的平面與給定的平面垂直，

當(dāng)直線4B與給定的平面不垂直時(shí)，過點(diǎn)4作直線2與給定平面垂直，

此時(shí)直線/與直線48所確定的平面即為所求，故C選項(xiàng)正確；

D,設(shè)止方體和止四面體的棱長都為a,

正方體棱切球的半徑為廠1，表面積為Si，正四面體棱切球的半徑為二，表面積為52，

因?yàn)檎襟w的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長，

因此正方體棱切球的半徑々=①軻=儀0，

22

因此Si=47r呼=4zrx（午a）?=2na2i

將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，正四面體的楂長為正方體的面對(duì)角線，因此正四面體的棱切球的直徑等于正

方體的校長，

設(shè)正方體的棱長為X，因此/+/=。2,因此％=苧小

因此七=牛心因此52=4兀后=4TTx（牛a）?=1zra2?

因此知=鬻=4,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

4選項(xiàng)利用長方體外接球的直徑等于長方體的體對(duì)角線即可求解：8選項(xiàng)舉出一個(gè)反例即可；C選項(xiàng)利用平

面與平面垂直的判定定理即可判斷；D選項(xiàng)分別求出正方體和止四面體的棱切球的半徑即可求解.

本題考查空間中距離計(jì)算及棱錐的結(jié)構(gòu)特征與球外切幾何體，屬于中檔題.

1（）.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題目空二出可些，因此ccosC—bcosC=ccos8—ccosC,

cc—b

因此2ccosC=ccosB+bcosCt

2sirtCcosC=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,

因此s出2c=sinA,所以A=2c或A+2C=n.

當(dāng)4=2C時(shí)，2=當(dāng)=等=2cosC,

csinCsinC

因?yàn)椤髁C為銳角三角形，

因此《OV2c,解得

264

IO<TT-C-2C<^

因此？=2cosCW(/I，C

當(dāng)4+2C=TTH寸，由4+B+C=7T,因此B=C,因此b=C,

此時(shí)條件中史匹二厘等的分母為0,表達(dá)式無意義，故舍去.

cc-b

綜上所述，絹勺取值范圍為

C

故選:ABD.

結(jié)合正弦定理、兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡可得4=2C或4+20=71,進(jìn)而結(jié)合△力BC為銳角三

角形，討論求解即可.

本題考查解三角形，屬于中檔題.

II.【答案】BCD

【解析】解：因?yàn)轶柠?b而+。近(入WR),將其變形為而而++而)(2R0),

設(shè)送=」而，而=：玄，則荏.而為單位向量，

cb

如圖,

設(shè)在=亞+平，則四邊形AESF為菱形，故AS為NB4C的平分線，且而二a而,

cb

因?yàn)楣蔖與4相異，故點(diǎn)P的集合是乙54。的角平分線所在的直線（除4外），故A錯(cuò)誤;

因?yàn)閍初=b而一c祝，故麗=a^+c祝,

所以平=.就+.就，絆_雨=.宿

aIcaIcaIcaIcaIc

設(shè)肝=捻宿

故|用=急因?yàn)镺V9＜1，

故7在4c之間，故|斤|=學(xué),

嚅/故S^ABT_C

SKBTa

#xH7xsin乙4B7

如8Txsin“8r'

故sin乙487=sin^CBT,而乙4BT,々CB7為三角形內(nèi)角月.0＜乙ABT+乙CBT＜兀,

故ZABT=LBT,即87為448c的平分線,

故M在B7的延長線上，同理驍卡=舞需部=事，

故=sinz兀4M,而NB4W>4兀4M且NB/M,N771M均為三角形內(nèi)角,

HlABAM+Z.TAM=7T,故NT4M=4M4〃，故AM為4B/1C的外角平分線,

故M為三角形ABC的旁心且在射線87上，

因?yàn)镮QM|=瞿然，故Q的軌跡為圓，圓心為旁心M，

故Q的軌跡與乙ABC的角平分線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，故8正確；

若三角形ABC是邊長為2的等邊三角形，設(shè)484C的角平分線所在的直線為，,

則M41，，且|拓？|=2/7|=2，過Q作QU_LZ,垂足為U,

則可?以=(而+而)?初=麗?初=一|西||以|=一2|麗|，而|QM|=季=/I，

故Q的軌跡圓的半徑為C故2-，54|UQ|<2+/3?

故可?拓?的取值范圍為[一2，5-4,24一4],故C正確；

對(duì)于。，由8的分析可得M為旁心，故M到△48C的三邊的距離相等，

設(shè)該距撼為d,則SAA8c=^^ABM+S^BCM~SMCM=g(a+c—b)d=-absinC?

故d=籍號(hào)=I函I，故Q的軌跡圓與△ABC的三邊所在的直線相切，

若三角形內(nèi)心為/,貝iJL4_LAM,而P在直線4上，Q在以M為圓心，△為半徑的圓上,

過/作L4的垂線〃，則九〃M/1,若〃與Q的軌跡圓無公共點(diǎn)，

則不存在點(diǎn)P、Q使得市?百二。若n與Q的軌跡圓有公共點(diǎn)，

則必定存在點(diǎn)P、Q使得7??汝=0，

故”不存在點(diǎn)P、Q使得7??/=0"的充要條件為九與Q的軌跡無公共點(diǎn),

而4_Ln,AILAM,故A/為圓心M到直線n的距離,

故“不存在點(diǎn)P、Q便得方.拓=0〃的充要條件為|八/|>d.

下面探究|力/|>d的充要條件.如圖，過作垂足為V,

則加為內(nèi)切圓半徑，故“Vx(a+b+c)=gQbs)C,故/〃=需震，

,absinC1,..,absinC1、absinC

故4=/'遍，故=赤引,

AA

a-^-c—b>(a+b+c)sin-y<=>sinA+sinC-sinB>(smA+sinB+sinC)sin-y

乙乙

,A+CA-C.BB,A+CA-C.BA

<=>sin-—cos-----sin亍cos-y>(sin-?-cos—?----hsin-ycos

乙乙乙乙乙乙乙2

A-CBA-CBA

<=>cos-y----sin5>(cos-=-+siny)sin

乙乙乙乙乙

A-CA+CA-CA+CA

<=>COS-y----COS—5—>(cos+cos—5—)siny

2

ACACA

OSinySiny>COSyCOSysiny

<=>tan^>cosy,若“乙4cB為鈍角”，則C>故tan1>1>cos,

故"N4CB為鈍角”可以得到“不存在點(diǎn)P、Q使得而?貝=0",

但C=3，則tan絆1>cosy,但此時(shí)乙4cB為直角,

故“不存在點(diǎn)P、Q使得亦?無=0〃得不到“N4CB為鈍角”，

故"NAC8為鈍角”是“不存在點(diǎn)P、Q使得京.用=0〃的充分不必要條件，故。正確.

故選:BCD.

對(duì)于A,由單位向量和向量加法的平行四邊形法則可判斷〃的軌跡，故可判斷具正誤，對(duì)于8,根據(jù)向量的

線性運(yùn)算可求Q的軌跡，從而可判斷8的正誤，對(duì)于C,根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出而.而的取值范圍

可判斷其正誤，對(duì)于D,探究出“不存在點(diǎn)P、Q使得"?而=0〃的充要條件后可判斷其正誤.

本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬于中檔題.

12.【答案】+2kn(kEZ)

【解析】解：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則可得z=一方二一二手=一；一白,

-2-2t(-2-2i)(-2+2z)844

所以z=_J+

44

所以w='(T+i)=乎(cosy+isiny),

所以Arg(z)=曰+2kn,keZ,

故答案為:^+2kn(kEZ).

根據(jù)第數(shù)的運(yùn)算先計(jì)算起數(shù)z,進(jìn)而得”再轉(zhuǎn)化為二角形式即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，是中檔題.

13.【答案】|

【解析】【分析】

本題考查了余弦定理、正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.

由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)結(jié)合正弦定理可得到|4D|:|AB|:|BD|=2:3:4,再利用托勒密定理得|AC|,|BD|=

\AB\?\CD\+\AD\?\BC\,結(jié)合產(chǎn)=?|CD|整理得16"BC|?|CD|>24\CD\?\BC\,從而求得答

案.

【解答】

解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知；/-BAD+/.BCD=yr,則sin"AD=sin/BCD,

所以sin/JlBO：sin/JlOB：s\nz.BCD=2：3：4,

即sinZTlBC：s\nz.ADB：s\nz.BAD=2：3：4,

在中?明二?的二I即

仕""""中'sin乙/IB。sinz.ADBsinz.BAD，

故|AD|：\AB\：\BD\=2：3：4,

由題意可知:\AC\?\BD\=\AB\-\CD\+\AD\?\BC\,

則4171cl=3\CD\+2\BC\,

所以16|AC『=9|CD|2+418cl2+12\CD\-\BC\>24\CD\?|BC|,

當(dāng)且僅當(dāng)=|8Q時(shí)等號(hào)取得，

又MC|2=*BC|?|CD|,

所以167118cl-\CD\>24\CD\?\BC\,

則cfM，

則實(shí)數(shù)%的最小值為I，

故答案為:|.

14.【答案】一常

【解析】解：由正四棱臺(tái)力BCD-ASGDi內(nèi)切球半徑為苧，可知棱臺(tái)的高為互,

設(shè)4/=a,因此48=2a,因此側(cè)面的高即斜高為：J[j(2a-a)]2+(72)2=、

正四棱臺(tái)側(cè)面為等腰梯形，棱臺(tái)側(cè)面積為9,因此gx(2Q+a)xJ；M+2=；，

解得Q=L因此棱臺(tái)上底長為1,下底長為2,斜高為米

設(shè)上底邊41Bi中點(diǎn)為E,MN中點(diǎn)、為F,CD中點(diǎn)為G,

連接EF,FG,EG,由于正四棱臺(tái)側(cè)面為等腰梯形，MN為側(cè)面AA1a8的中位線,

因此EF_LMN；又MN//A8,AB//CD,AB=CD,

因此MN〃CO,且在正四棱臺(tái)/18。。一公46。1中，有MD=NC,

因此四邊形MNCD為等腰梯形，因此FG1MN,

因此NEFG因此為二面角4一MN-C的平面角，

在等腰梯形8。6當(dāng)中，B]B=Jg（2_l）]2+（|）2=學(xué),

因此COS481BC=2阻）=哥,因此coszN5c=2爆）=詈，

-r

因此在aBNC中，NC=\!BC'2+BN?-2BC?BNcos乙NBC=J4+（早產(chǎn)一2?2?乎?富=舊,

因此在等腰梯形MNCD中，MN=|,GF=J-[1（2-1）]2=^;

設(shè)〃，K分別為48,G5的中點(diǎn)，因此四邊形EKGH為等腰梯形，EK=1,HG=2,

因此cosiEHG=

EG=VEH2+HG2-2EH-HGCOSLEHG=J(1)2+4-2?1?2?I

網(wǎng)二手，EF=*，GF=殍

卡汨M+G/-G/（芬+（軍）2一（苧產(chǎn)/57

求得…=F^=[^-=Tn

因此二面角為一MN-c的余弦值為一零.

故答案為：一詈.

求出正四極臺(tái)的上下底的邊長以及斜高，作出二面角4-MN-C的平面角，求出相關(guān)線段長，利用余弦

定理即可求得答案.

本題考查二面角的平面角及求法，屬于難題.

15.【答案】（1）證明：。為8。的中點(diǎn),

-.A01DB,又平面力8。1平面BCD,平面力BDn平面BCD=BD,力。u平面ABD,

AO1平面8G),又CDu平面BCD,

:,AO1CD；

(2)解:由(1)知4。，平面BCD,作OE〃CD交BC于E,

vCD1BD,A0E1BD,

如圖，由題可設(shè)力。=BO=a,BD=DC=2a,

則4(0,0,a),B(0,-a,0),0(0,a,0),C(2a,a,0),

:.BC=(2a,2a,O'),AD=(0,a,—a)

設(shè)異面直線8c與AD所成的角為e,

,■8s8=鑿.部=r又0°V"90。,

???e=60°,

即異面直線BC與AD所成的角為60。.

【解析】（1）直接由垂直的判定定理即可求證；

（2）利用已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.

本題考查了空間幾何體中位置關(guān)系的證明和空間角的求解，屬于中檔題.

16.【答案】::

證明見解析.

【解析】（1）俞?而=^（而+而）?而=^（而?而+正?同），

由數(shù)量積幾何意義可得：窈?而'=I懣‘II而'|C0Si840=2麗|2=3而2,

同理得彳？?而=；彳?2.

因此祠?^0=1AFZ4-=7X（52+72）=

444',2

（2）證明：設(shè)三角形力BC外接圓半徑為R,

SLAPO,S^A[Jo=^B-AOsin^BAO.

因sin4P4。=sin454。，因此5乙心。=喧?S^-

AtiAB0

問理SAAQO=77,S^OAC'因此SAXPQ=To'S^OAB+77,S&OAC'

r\U/ID/IU

又因?yàn)镾MPQ=：4PTQ?sinNP/Q,S^=^AB-AC-sin^BAC,LPAQ=LBAC.

乙乙ABC

[+1廿SA/1PQ_/P/Qq_/PAQq

口此4BAC="APQAB.AC^ABAC-

因此言?S&OAB+黎-SA(MC=祭％SZABC

因此為?SAOAB+需?SA0"=S-IBC①，

因?yàn)辄c(diǎn)。為三角形ABC的外心，因止匕乙A03=2乙AC3=2C,^AOC=2^ABC=2B,

乙BOC=2/.BAC=2A,因此Sgos=\oA?OB?sin4408=^Rzsin2C,

22

同理SAAOC=^Rsin2B,S^B0C=^Rsin2A.

z

因此SAABC=^R(sin2A+sin2B+sin2C).

代人上式①中，結(jié)合SMOB=g/?2sM2C,SAAOC=2sM2B可得：

強(qiáng)2s出2c4-需-^R2sin2B=S△力8c=^R2(sin2A4-sin2B+sin20,

AQZr\i/L

因此%,sin2C+空-sin2B=sin2A+sin2B+sin2C,原命題得證.

(1)由題可得祠?AO=^(AB+ACyAO,然后由數(shù)量積幾何意義可得答案;

(2)設(shè)三角形ABC外接圓半徑為R,用兩種辦法表示S-8C，可得去5皿8+箓Sgc=S-8c，及

S^=^R2(sin2A+sin2B+sin2C),據(jù)此可完成證明.

BC￡?

本題考查解三角形，屬于中檔題.

17.【答案】(1)證明：如圖，連接CG，

???E，D分別為BC,AC的中點(diǎn),

CE=C]E=EB,CD=CXD=DA,

得ZMCG，△BCG分別為以AC,8C為斜邊的直角三角形，

即CGJ.4G，CC1LB￡，又4GC9Q=G，夕Gu平面4Qu平面

ABClt

:?CGJ■平面48C1，?.?平面C"0n平面BEC1=1=CC1，

，L平面/BG；

(2)解：如圖，過G作G，1BE,連接CP并延長，交4G于點(diǎn)Q,連接EP,BQ,

???GE=GB,為EB的中點(diǎn)，得BH=1,連接？1”，

vAB=V13,cosB==駕，，AH1EB,

13AD

又AHCC]H=H,AHa^tgAHCj,6”<=平面4"的，

8￡_L平面4"G，連接HQ,

則/CiHQ是截面“QB與平面BEG所成二面角的平面角,

即tan4QHQ=4?

在而△BCQ中，BC]=2,BC=4,C(\=2G

乂在△ABC中，由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosB=134-16-2x/13x4x譽(yù)=21，

22

在RtA/ICG中，ACl=AC-CCl=21-12=9,AACr=3,^AH=AC1+HC^則，G14G.

???tan4G，Q=5^=嘴=黑即Q為他中點(diǎn).

1JL#JVO4乙

又。是從C中點(diǎn)，J.P是△AUG的重心，得CiP='GD,CP=,CQ,

?3D

,S：：；：=3X2=3,可得%1-BQPE=2%「CPE=4%-DPE，

NC-AQB-V—BQJ，

**,VQP-ABED=^C-ABQ-^C-DPE=%-BQG-^C-DPE=^C-DPE^

^CX-BQPE=4

、VQP-ABEDS"

【解析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理證明即可；

(2)延長截面，分別求出％L8QPE=2%LCPE=4%”E，從而求解.

本題考查線面平行判定定理、空間幾何體的體積的計(jì)算，考查線面角的正弦值的求法，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

18.【答案】f(x)=sin(4x—g)+噂，x^^-t-kn(kez)；

3-73；

(1011,1012).

【竹：析】(1)由題意函數(shù)/(%)=2smatxcosa)x(y[?)sin2(i)x+

進(jìn)行化簡可得/(%)=sin2a)x'(y[3sin2a)x+儂之所;之隼

=\/-3sin22o)x+sin2cox-cos2a)x

1..，5.\3..n、i>/~3

=-sin4a)x--cos4a)x+—=sin(z4o>x--)+—

乙乙乙《04

由如轉(zhuǎn)+砥六Z)可得，.六+系kwz),

l-tan2(ox.

又函數(shù)/'(%)=))))最小正周期為

2sinaxcosax(yf3sin2ax+1+tan2sr7T,

可得函數(shù)y=sin(4s：Y)+f的最小正周期為月

則函數(shù)f(x)=sin(4cox—J)+學(xué)的最小正周期為2?券=*

J乙w

則(=兀，即3=1，二f(x)=sin(4x-今+?，x+kn(keZ).

(2)銳角三角形ABC的內(nèi)角A滿足/(今=C，BC=2/3,

可得/(9=sin(2i4-1+苧=6,則sin(2A-1)=冬

因?yàn)?W(0§),即24-^(--當(dāng)，則2"：也即

4O?5?5J3

設(shè)ZMBC外接圓為。0,由題意點(diǎn)。在。。上，Z-BDC+/-BAC=n,即4BDC=票

又因?yàn)?D1/1B,即4D/L4=],所以4D為0。的直徑，則力C，CD,

因?yàn)镚4=CD,所以40AC=4"=t，所以"BC=NZZ4C=*,

在八BCO中，由正弦定理得一^二―^,

sinzBDCsmzDBC

2/3CD

則W=逅，所以CO=2\<2?

TT

又因?yàn)镸CD=7T—4一3=卷,

?54X

(nii.ccczr?/Zr兀、.nnn.nV3-/21vQ

WJsinzFCD=sin—=sin(---)=sin-cos-cos7sin-=—x---x—=---

12343743422224

所以SAZJCD=；BC?CD.sinzFCD=1x2/3x2/2x=3-<3.

(3)由題意可得g(x)=sin(7ix),

在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出g(x)和九(%)的圖象如下:

顯然g(x)和九(為的圖象均關(guān)于點(diǎn)(L0)對(duì)稱，則它們