專題06用空間向量研究距離問題

聞內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

析教材學(xué)知識教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

練題型強(qiáng)知識4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

qj析教材學(xué)知識

知識點(diǎn)01：點(diǎn)到線的距離

1、點(diǎn)到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為Z，A是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn).設(shè)衣=￡,則向量而在直線/

上的投影向量而=（a-u）u,在RtAAPQ中,由勾股定理得：PQ=AP|2-1-（a-uf

2、異面直線的距離（線線距）

（1）公垂線：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長度，叫做兩條異面直線

間的距離.兩條異面直線的公垂線有且只有一條.

（2）兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度.

知識點(diǎn)02：點(diǎn)到平面的距離

1、點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)。作平面a的垂線交

平面a于點(diǎn)。，則方是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是衣在直線/上的投影向量行的長

度.PQ=|QW1=1空口=坐過

In\I77I|711

注：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解.

\AB-n\

直線。與平面。之間的距離：d=J---------1,其中為是平面a的法向量.

|利

IAB-HI

兩平行平面6，之間的距離：d=J---------L其中乃是平面a的法向量.

1?1

【題型01：點(diǎn)到線的距離】

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東深圳?期末）已知4（221）,3（3,2,0）,則點(diǎn)P（2,0,-1）到直線人臺的距離為（）

A.73B.2C.V5D.加

2.（24-25高二上?海南?階段練習(xí)）點(diǎn)4（2,1,1）是直線/上一點(diǎn)，Z=（1,0,0）是直線/的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)

61,2,0）到直線/的距離是（）

A.；B.y/2

C.2D.272

3.（24-25高二上?四川眉山?期末）如圖，在棱長為2的正方體4BCD-A與GR中，E,尸分別為棱4%,

A4的中點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線8E的距離為（）

A.6B.4C.2D.1

4.（24-25高二下?江蘇揚(yáng)州?期中）在長方體ABC。-A瓦GR中，AB=1,AA=2,AD=4,點(diǎn)E在棱BC上，

且3c=4BE,點(diǎn)G為△AgC的重心，則點(diǎn)G到直線AE的距離為（）

A.在B.72C.3D.V3

33

5.（24-25高二上?河南洛陽?階段練習(xí)）已知直線/的方向向量為為=（3,0,3）,且過點(diǎn)加（1,-1,-1）,則點(diǎn)N（l,l,a）

到直線/的距離的最小值為（）

A.1B.2C.&D.6

6.（24-25高二上?江蘇常州?期中）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A瓦G2中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在線段2E上，點(diǎn)P到直線A4的距離的最小值為（）

C.|?D.—y/s

5

【題型02：點(diǎn)到面的距離】

一、單選題

1.（24-25高二下?甘肅白銀?期中）已知點(diǎn)A（2,1,1）在平面。內(nèi)，點(diǎn)3（9,8,5）在平面a外，且平面a的一個(gè)

法向量為Z=（w）,則點(diǎn)B到平面a的距離為（）

A.6y/3B.672C.3瓜D.375

2.（23-24高二上?安徽滁州?期末）如圖，在棱長為3的正方體ABC。-AAG2中，點(diǎn)E是棱CD上的一點(diǎn)，

且DE=2EC,則點(diǎn)用到平面AEG的距離為（）

3.（24-25高二下?甘肅慶陽?期中）如圖所示，在直四棱柱中，底面為平行四邊形,

BD1DC,BD=DC=1,點(diǎn)E在棱441上，且AE=；44,=:,則點(diǎn)8到平面口?G的距離為（）

A.@B.走C.@D.交

7432

4.（24-25高二下?江蘇宿遷?期中）在四棱錐尸一ABCZ）中，AB=（2,3,-1）,AC=（-2,0,1）,AP=（3,-l,-2）,

則該四棱錐的高為（）

A.9B.-C.1D.在

3325

5.（24-25高二上?海南?期末）已知A2是圓柱下底面的直徑，C是下底面圓弧AB的中點(diǎn)，CRBG是圓柱

的母線，Af是線CP的中點(diǎn)，AB=CF=4.則點(diǎn)歹到平面AMG的距離為（）

A.1B.72C.2D.20

6.（24-25高二上?廣東汕尾?階段練習(xí)）如圖①，在Rt^ABC中，AB=2BC=6,ZABC=90°,E,歹分別

為AB,AC上的點(diǎn)，EFIIBC,AE=2EB.如圖②，將AAEF沿EE折起，當(dāng)四棱錐A-5CFE的體積最大時(shí),

點(diǎn)E到平面的距離為（）

圖①圖②

A逑B.偵C.瓜D.逅

332

【題型03：其他距離】

一、單選題

1.（24-25高二上?河南周口?階段練習(xí)）已知平面a,"均以3=（-2,1,2）為法向量，平面a經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,

平面夕經(jīng)過點(diǎn)尸（3,2,-1）,則平面a與夕的距離為（）

A.2B.20C.3D.273

2.（24-25高二下?山東荷澤?開學(xué)考試）如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中

點(diǎn)，尸為線段B片的中點(diǎn)，則直線AE到平面G。尸的距離為（）

3.（24-25高二下?甘肅平?jīng)?期中）正四棱錐S-ABC。中，。為頂點(diǎn)S在底面ABC。內(nèi)的正投影，尸為側(cè)棱

SD的中點(diǎn)，且SO=OO=后，則異面直線PC與5。的距離為（）

A屈口加「百n石

A.D.C.U.

105105

4.（24-25高二上?廣東佛山?期末）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架A8CD,AB斯的邊長都是3,

且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M,N分別在正方形對角線AC和8尸上移動，則的最小值為（）

「3夜

L(--------------

2

二、多選題

5.（23-24高二上?山東德州.期末）在棱長為1的正方體ABC。-中，下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)A到DG的距離為漁B.面BCQ與面A4R的距離為更

23

C.直線AG與平面A8GR所成的角為￡D.點(diǎn)4到平面BG。的距離為變

32

【題型04：距離中的探索性問題】

一、解答題

1.（24-25高二上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC-A用G中，懼=AC=2,?！攴謩e為CC?\B

的中點(diǎn).

B

（1）線段2C上是否存在點(diǎn)G,使得4GL2O?若存在，求出點(diǎn)G到平面A3。的距離；若不存在，說明理

由.

2.（24-25高二上?福建福州?期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PDC_L平面ABC。，AD1DC,ABIIDC,

AB=^CD=AD=1,M為棱尸C的中點(diǎn).

p

AL

⑴證明：8M〃平面PAD；

(2)若PC=?,PD=1,在線段PA上是否存在點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到平面瓦亞的距離是手？若存在，求出

尸。的值；若不存在，說明理由.

3.(24-25高二上?貴州六盤水?期中)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A瓦GR中，E為BC的中點(diǎn)，P

為底面ABCD內(nèi)一動點(diǎn)(包括邊界)，且滿足瓦尸，。乃.

(1)是否存在點(diǎn)P,使得用P〃平面R￡>E?

⑵求用尸的取值范圍.

(3)求點(diǎn)尸到直線的距離的最小值.

7T

4.(24-25高二上?黑龍江大慶?階段練習(xí))如圖，已知四邊形ABCD為菱形，AB=4,ZDAB=~,將菱形

A5C。繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)到AEFD的位置，使得平面AEED_L平面ABCZ),連接BE,CF,得到幾何體

ABE-DCF,M、N分別為"、BD上的動點(diǎn)，且也=/1,—其中0<XWl.

AFBD2

⑴求BE的長；

(2)是否存在4,使得直線MN//平面3CFE,若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由.

⑶求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值時(shí)，點(diǎn)M到平面3CFE的距離與點(diǎn)N到平面3CFE的距離的比值.

串知識識框架

一、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離公式

用空間向量研究距離問題

點(diǎn)到平面的距離公式

二、點(diǎn)到平面的距離了解線到面、面到面的距離求法

了解異面直線間的距離定義及求法

8過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.（24-25高二上?福建福州?期中）己知點(diǎn)1,1）,直線/過原點(diǎn)且平行于2=（0,1,2）,則點(diǎn)A至心的距離為

（）

AA/30口]-2省n莊

.-----------LJ.1L.-----kJ,---------

555

2.（24-25高二上?北京西城?期中）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了

具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3

所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1,則點(diǎn)尸到平面QGC的距離是（）

3.（24-25高二上?浙江杭州?期中）如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，尸為

2E的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線CG的距離為（）

A.1B.叵C.-D.V5

22

4.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）在三棱錐O-ABC中，OA,OB,OC兩兩相互垂直，OA=2,08=4,

。。=6,則點(diǎn)0到平面ABC的距離為（）

.12n-12r3

A.—B.2C.—D.一

572

5.（24-25高二上.遼寧大連.期末）已知空間四點(diǎn)A（3,0,0）,B（3,3,2）,C（0,3,0）,。（0,0,3）,則四面體ABC。

的體積為（）

A.述B.—C.15D.-

322

6.（23-24高二上.廣東江門?期中）在三棱錐A-3CD中，AS=AC=AD=6,AB,AC,AD兩兩垂直,

E為AB的中點(diǎn)，尸為AO上更靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，。為△BCD的重心，則。到直線所的距離為（）

A4而口3726

55

R2A/26nV26

55

7.（24-25高二下廣東廣州?期中）如圖，在棱長為2的正方體A3。-ABC2中，E為線段的中點(diǎn),

F為線段BBt的中點(diǎn)，則平面AEBi到平面QDF的距離為（）

D-T

8.（24-25高二上山東濱州?期末）在直四棱柱ABC。-ASG，中，底面A2CZ）是正方形，AB=2,M=3,

點(diǎn)N在棱C。上，若直線A耳到平面ABN的距離為述，則:的值為（）

5

A.1B.—C.—D.一

233

9.（24-25高二上?遼寧大連?期中）在長方體ABC。-A瓦G2中，/⑷=1,AB=2,A￡）=3,￡為42的中

點(diǎn)，則異面直線4G與。E的距離為（）

A.41B.V10C.1D.

19

10.（24-25高二上?廣東惠州?階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，且耳尸,6,”了,乙分別

是AB,網(wǎng),8?62田204各棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)用到平面EFGffiZ的距離為（）

A.速B.1C.@D.B

3462

11.（24-25高二上?重慶?期末）已知正方體AB。-ABC，的棱長為1,M為棱AA的中點(diǎn)，G為側(cè)面CD^G

的中心，點(diǎn)尸，。分別為直線AD,AB上的動點(diǎn)，且PGLMQ,當(dāng)|迎|取得最小值時(shí)，點(diǎn)0到平面PMG

的距離為（）

A."B.好C.1D.在

222

12.（24-25高二上?吉林?期中）如圖1,平面四邊形ABC。中，ACS3D,垂足為。,。4=。8=1,。。=。。=2,

如圖2,將△ABD沿3。翻折至△尸班），使得平面尸皮），平面38,若點(diǎn)E為線段2。上的動點(diǎn)，則點(diǎn)E到

直線PC距離的最小值為（）

圖1圖2

1口2A/5275

i.—B.—C.--nU.-------

5555

二、多選題

13.（23-24高二上?湖北?階段練習(xí)）已知正方體ABC。-A瓦G2的棱長為1,點(diǎn)及。分別是A4、AG的中

點(diǎn)，尸滿足而+彳而麗，則下列說法正確的是（）

423

A.點(diǎn)A到直線BE的距離是撞

5

B.點(diǎn)。到平面ABG2的距離為受

4

C.平面\BD與平面4CR間的距離為正

3

25

D.點(diǎn)P到直線A3的距離為力