專題1L4三角形高線、中線與角平分線（知識(shí)講解）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解三角形的高、中線、角平分線及垂心、重心、內(nèi)心的概念，并能畫出這個(gè)三角

形三條重要線段；

2.能進(jìn)行三角形的高、中線、角平分線的有關(guān)計(jì)算；

3.對(duì)二角形的檢定性有所認(rèn)識(shí),知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用：

4.與三角形有關(guān)的幾何模型形成初步認(rèn)識(shí)，并能簡(jiǎn)單加以運(yùn)用。

【知識(shí)要點(diǎn)】

知識(shí)點(diǎn)一、三角形的高

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的

高線，簡(jiǎn)稱三角形的高.

三角形的高的數(shù)學(xué)語言：

如圖一，AD是AABC的高，或AD是AABC的BC邊上的高，或AD_LBC于D,或/ADB

=ZADC=Z900.

注意：AD是AABC的高u>NADB=NADC=90°（或AD_LBC于D）；

特別說明：如圖二

（1）三角形的高是線段；分別為AD、BE、CFO

（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)H,這一點(diǎn)H叫做三角形的垂心；

（3）三角形的三條高：

（i）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部：

（ii）鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；

（出）直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).

（4）三角形具有等積性，即人。?8。=4。?3七=43??！晖ㄟ^此等式常常用于求

線段的長。

(5)角的等量關(guān)系：ZEHC=ZBAC；ZDHC=ZABC；ZBHD=ZACB；

知識(shí)點(diǎn)二、三角形的中線

三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線.

三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：

特別說明：

(1)三角形的中線是線段：

(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；

(3)三角形有三條中線而且三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；

(4)中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.如圖四：

SMDB=Sgcc==^SBEA=^SCFB=

(5)、三角形的重心分得的三角形中線的比例關(guān)系：

AGBGCG2

7j5~~BE~~CF~3

知識(shí)點(diǎn)三、三角形的角平分線

三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形

的角平分線.

三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：

如下圖，AD是AABC的角平分線，或NBAD=NCAD且點(diǎn)D在BC上.

圖五圖六

注意：AD是AABC的角平分線=NBAD=NDAC=LNBAC（或NBAC=2NBAD=

2

2ZDAC）.

特別說明：

（1）三角形的角平分線是線段；

（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；

（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心：

（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線；

（5）如圖六BE、平分平分乙48C和乙4CB,兩平分線交于點(diǎn)I,則

ZBIC=90°+-ZBAC：

2

圖七

（6）如圖七:BE、CE分別為AABC內(nèi)角乙48c和外角

NACD的角平分線并交于點(diǎn)E,則NBEC二,NBAC；

2

知識(shí)點(diǎn)四、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角

形的穩(wěn)定性.

特別說明：

（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長不改變.

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，

它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條（或兩條）木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門

不變形.大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理.

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，

它的各個(gè)角的大小可以改變.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺.有時(shí)

我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它

不變形.

【典型例題】

類型一、三角形的高

求作：（1）AC邊上的高；（2）6C邊上的高.

【答案】（1）見分析；（2）見分析.

【分析】

（1）過點(diǎn)4向AC作垂線即可；

（2）過點(diǎn)A向4C的延長線作垂線即可.

解：（1）如圖，垂線即為4c邊上的高；

（2）如圖，垂線AE即為BC邊k的高.

【點(diǎn)撥】此題考查作三角形的高線，過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，從頂點(diǎn)到垂足

之間的線段即為該邊的高線，掌握三角形高線的定義是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角形高的定義，過點(diǎn)8作AC的垂線，且垂足在直線AC上,然后結(jié)合各選項(xiàng)圖

形解答.

解：過點(diǎn)8作AC的垂線，且垂足在直線AC上,

所以正確畫出AC邊上的高的是。選項(xiàng)，

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的高線的定義，熟記定義并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

【變式2】如圖，ZCW=ZE=ZF=90°,則線段是中BC邊上的高.

【答案】AE

【分析】

根據(jù)三角形高線的定義判斷即可:

解：VAEA.BC,

???△ABC中BC詢上的高是

故答案是AE.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的角平分線、中線和高線，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

類型二、三角形的高的有關(guān)計(jì)算

@>2.如圖，在三角形A80中，OAA.AB,垂足為A,過點(diǎn)A畫03的垂線段AC,

垂足為點(diǎn)C,過點(diǎn)C畫直線CO〃Q4,交線段A3于點(diǎn)D.

⑴補(bǔ)全圖形（按要求畫圖）；

（2）求NCO8的度數(shù)：

（3）如果0A=4,AB=3,08=5,求點(diǎn)A到直線08的距離.

【答案】（I）見分析⑵90。（3）2.4

【分^5】

（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）證明COL48可得結(jié)論；

（3）利用面積法求解即可.

(1)解：如圖所示,

。,

(2)解：'：OAVAB,CD//OA,

：.CD1AB,

NC/M=90。；

(3)解：，：S*=；xOAxA8=Jx08xAC,

??.AC=%='=2.4.

OB5

???點(diǎn)A到直線OB的距離是2.4.

【點(diǎn)撥】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì),三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

舉一反三：

【變式1】如圖，在中，ZACB=90°,CO是A8邊上的高線，AC=8,A8=10,

BC=6,則CD的長是()

C

ADB

12、28

A.竺B.2C.—D.—

55515

【答案】B

【分析】

根據(jù)根據(jù)三角形面積公式求解即可.

解：???乙4。8=90。，CO是AB邊上的高，

SAAxB/iCov=2-ACBC=2-ABCD,

,CD=AOBC=24

AB5

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了與三角形高有關(guān)的面積計(jì)算，熟知三角形面積公式是解題的關(guān)

鍵.

【變式2】如圖，在448c中，AB=AC=2,尸是BC邊上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)

E,P尸上AC于點(diǎn)、F.若S,AK=J^,則尸石+所=.

【答案】V2

【分析】

根據(jù)5、8c++結(jié)合已知條件，即可求得尸E+所的

值.

解：如圖，連接心

???莊JLAB于點(diǎn)&PFLAC于點(diǎn)F

SAMASlGiC=S4/.lRorP+S6與A尸PLC=-2ABPE+2-ACPF

vAB=AC-2,SaABC-41

，^ABPE+^ACPF=PE+PF=y/2

故答案為：叵

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的高，掌握三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵.

類型三、三角形中線的有關(guān)長度計(jì)算

?>3.如圖，在三角形ABC中，AB=lOcm,AC=6cm,。是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊4B

上.

（1）若三角形8OE的周長與四邊形ACOE的周長相等，求線段AE的長.

（2）若三角形A3C的周長被OE分成的兩部分的差是2,求線段AE的長.

E

BDC

【答案】(1)2cm；(2)或3cm.

【分析】

(1)由圖可知三角形BOE的周長=川邊形ACOE的周長

=AE+AC+DC^DE,BD=DC，所以BE=AE+AC,則可解得AE=2<7〃；

(2)由三角形A8C的周長被。E分成的兩部分的差是2,可得方程①8E=Af+AC+2或

@BE=AE+AC-2.解得AE=lc〃?或2。〃.

解：(1)由圖可知三角形BOE的周長=班+8￡>+￡>￡,四邊形ACDE的周長

=AE+AC+DC+DE,

乂三角形8DE的周長與四邊形ACQ￡的周長杵等，。為4c中點(diǎn)，

：.BD=DC,BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE,

即BE=AE+AC,

又AB-10(777,AC-6cm,BE=AB-AE,

,A0-AE=AE+6,

AE=2ctn.

(2)由三角形ABC的周長被OE分成的兩部分的差是2,可得方程

①當(dāng)破=AE+AC+2時(shí)，即：10-AE=A￡+6+2,解得：AE=\cm,

②當(dāng)8E=A￡+AC—2時(shí).即：10-AE=/l￡+6-2,解得AE=3c/〃.

故A石氏為\cm或3cm.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中線性質(zhì)，三角形周長的計(jì)算，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)分類討論的思

想思考問題.

舉一反三：

【變式1】如圖，在CABC中有四條線段DE,BE,EF,FG,其中有一條線段是aABC

的中線，則該線段是()

A

A.線段DEB.線段BEC.線段EFD.線段FG

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線逐一判斷即可

得.

解：據(jù)三角形中線的定義知線段BE是AABC的中線，

其余線段DE、EF、FG都不符合題意，

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)

頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線.

【變式2】如圖△A8C中，AO是8C邊上的中線，BE是△A8C中人。邊上的中線，若

△A8C的面枳是24,AE=6,則點(diǎn)6到瓦）的距離是一.

【分析】

根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積比，即可解答.

解：:AD是BC上的中線，

??Sa.?）二SaACD=~\AflC，

VBE^AABD中AD邊上的中線，

:△ABC的面秩是24,

?'?S^AHE=-x24=6.

4

VAE=6,SM=6

???點(diǎn)B到ED的距離=2,

故答案為2.

【點(diǎn)撥】此題考查中線的定義，解題關(guān)鍵在于求出面積比.

類型四、三角形中線的有關(guān)面積計(jì)算

^^4.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,8C=6cm,AB=IOcm,若動(dòng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)C開始，按C-87AfC的路徑運(yùn)動(dòng)，回到。點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，己知點(diǎn)尸的速度為每

秒2cm,運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒.

A

（1）當(dāng)，=時(shí)，。把△ABC的周長分成相等的兩部分？

（2）當(dāng)/=時(shí)，CP把△48C的面積分成相等的兩部分？

（3）當(dāng)/為何值時(shí)，ABCP的面積的6?

17

【答案】（1）6：（2）5.5；（3）11秒或一秒

4

【分析】

（1）先求出A4BC的周長為24cm,所以當(dāng)CP把4ABC的周長分成相等的兩部分時(shí),

點(diǎn)尸在AB上，此時(shí)C4+AP=8P+BC=12cm,再根據(jù)時(shí)間二路程?速度即可求解；

（2）根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在A8中點(diǎn)時(shí)，CPffiA48c的面積分成相等的兩部分，

進(jìn)而求解即可；

（3）分兩種情況：①尸在AC上；②尸在A3上.

解：（1）aABC中，VAC=8cm,BC=6cm,AB=10cm,

△/WC的周長=8+6+10=24cm,

???當(dāng)CP把△48C的周長分成相等的兩部分時(shí)，點(diǎn)P在AB上，

此時(shí)CA+AP=BP+BC=\2cm,

A2r=12,

解得：r=6；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在八B中點(diǎn)時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分,

此時(shí)CC+8P=6+5=U（cm）,

：.2t=\\r

解得：1=5.5；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)P在AC上時(shí)，

一△BC尸的面積=6,

Z.yx6xCP=6.

：.CP=2,

??.2/=6+10+6,解得：Z=ll；

②當(dāng)P在AB上時(shí)，

ABCP的面積=6=4ABC面積的

4

155

/.BP=-AB=一，即2/-6=—,

422

解得：t=1=7,

4

17

故，為11秒或U秒時(shí)，aBC尸的面枳為6.

4

【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，三角形的周長與面積，三角形的中線，難度

適中.利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖，△ABC的面積為3,BDzDC=2：1,E是4c的中點(diǎn)，4D與BE相交

于點(diǎn)P,那么四邊形POCE的面積為（）

【答案】B

【分析】

連接CP.設(shè)z\CPE的面積是x,ACDP的面積是y.根據(jù)BD：DC=2：I,E為AC的中

點(diǎn)，得aRDP的面積是2y,AAPE的面積是x,進(jìn)而得到aABP的面積是4x.再根據(jù)AABE

4

的面積是aBCE的面積相等，得4x+x=2y+x+y,解得y二工x,再根據(jù)aABC的-面積是3即

可求得X、y的值，從而求解.

解：連接CP,

設(shè)aCPE的面積是x,ACDP的面積是y.

VBD：DC=2：I,E為AC的中點(diǎn)，

???△BDP的面積是2y,ZiAPE的面枳是x,

VBD：DC=2：1

???△ABD的面積是4x+2y

「?△ABP的面積是4x.

4x+x=2y+x+y,

4

解得y=]x.

義,：1ABC的面積為3

3

/.4x+x=—,

2

3

x=一.

10

7

則四邊形PDCE的面積為x+y=y^.

故選B.

【點(diǎn)撥】此題能夠根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積之間的關(guān)系.等高的兩個(gè)三

角形的面積比等于它們的底的比；等底的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的高的比.

【變式2】如圖，8。是AABC邊AC的中線，點(diǎn)E在8C上，BE=；EC,AAE。的面

積是3,則△BED的面積是.

D

BEC

【答案】|3

【分析】

根據(jù)AAED與aCED是等底等高的兩個(gè)三角形，求巴ACED的面積，根據(jù)三等分線的性

質(zhì)求出ZkABE的面積，進(jìn)而得到ZkABC的面積和ABDC的面積，最后利用SABED=

SABDC-SACDE即可求解.

解：???4。是AA4c邊AC的中線

???AAED與ACED是等底等高的兩個(gè)三角形，

S△AED=SACED=3

SAAEC=SAAED+SACED=6

BE=3EC

???E是BC的三等分點(diǎn)

S△ABE=gS△AEC=3

/.SAADC-SAABE+SA.\EC-9

SAABD和S^CBD等底等高

?9

SA.ABD=SACBD=-SA.\EC=-

乙

93

.，.SABED=SABIK-SACDE=~-3=—.

22

3

故答案為：

【點(diǎn)撥】本題考直了三角形的面積.中線能把三角形的面積平分，同理三等分線可以將

三角形的面枳三等分.

類型五、與重心的有關(guān)計(jì)算

.如圖，已知AABC,AD為邊BC上的中線，求作^ABC的重心M.

【答案】見分析

【分析】

直接利用重心的定義結(jié)合線段垂直平分線的作法得出答案.

解：作AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)N,連接CN交AD于點(diǎn)M,即為所求.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及重心的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】三角形的重心是三條（）

A.中線的交點(diǎn)B.角平分線的交點(diǎn)C.高線的交

點(diǎn)D.垂線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角形重心的定義即可解答.

解：三角形的重心為三條中線的交點(diǎn)

故選A

【點(diǎn)撥】本題考杳的是重心，熟練掌握重心的定義是關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在△ABC中，NABC=90。，AB=6,BC=4,P是△ABC的重心,

連結(jié)BP,CP,則4BPC的面積為.

C

【答案】4

【分析】

△ABC的面積S=；ABxBC='x6x4=12,延長BP交AC于點(diǎn)E,則E是AC的中

22

點(diǎn)，且BP=：BE,即可求解.

解：△ABC的面積S=；ABxBC=；x6x4=12,

延長RP交AC于點(diǎn)E,則E是AC的中點(diǎn)，且BP=（RE,（證明見備注）

△BEC的面積=ES=6,

2

則aBPC的面積=-△BEC的面積=4,

?

故答案為：4.

備注：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1,

例：已知：ZiABC,E、F是AB,AC的中點(diǎn).EC、FB交于G.

求證：EG=yCG證明：過E作EH〃BF交AC于H.

VAE=BE,EH〃BF,

.??AH=HF=JAF,

又?.?AF=CF,

AHF=^CF,

AHF：CF=y,

VEH//BF,

AEG：CG=HF：CF=J,

???EG=gcG.

【點(diǎn)撥】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重

心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.

類型六、重心的性質(zhì)

如圖，在△48C中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，80與CE相交于點(diǎn)。，

N是0C的中點(diǎn).

(1)求證：OC=2OE；

（2）若S△的.=1,求△AAC的面積.

【答案】⑴詳見分析；（2）12.

【分析】

（1）由BD、CE是邊AC、AB上的中線得到點(diǎn)O為aABC的重心，然后根據(jù)重心的

性質(zhì)易得OC=2OE；

（2）根據(jù)三角形面積公式易得SAOCD=2SACDN=2,再利用重心的性質(zhì)得OB：0D=2：

I,貝！JSABCD=3SAOCD=6,然后根據(jù)AD=CD可得S4ABC=2SABCD=12.

解：（1）;BD、CE是邊4C、八8上的中線，

???點(diǎn)。為"次？的重心，

：.OC:OE=2:\,即OC=2OE：

（2）TN是OC的中點(diǎn)，

??S^OCD=2s△c/w=2,

???點(diǎn)。為的重心,

，OB:OD=2:\t

S^BCD~3s△oc。=6,

???8。為中線,

???AD=CD,

??S&ABC=2sAite[>=12.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn).重心到頂點(diǎn)

的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：I.也考查了三角形中線的性質(zhì).

舉一反三:

【變式1］如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),BD,CE相交于點(diǎn)O,連接

0在AO上取一點(diǎn)F,使得OF：,AF若SAABC=I2,則四邊形OCDF的面積為（）

B

8

A.2C.3Dc.—10

33

【答案】B

【分析】

重心定理：三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的重心.重心和三角形任

意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等.

解：???點(diǎn)D、E分別是邊AC,AB的中點(diǎn),

???0為4ABC的重心,

?*,S4Aoe=Q=4,

=

***S.D0C=SAZXM=~\A(K2

VOF=yAF,

?c_J_5——

??3DOF~Q乙人60一§

SWl=Sgoc+S,MJF=~

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了重心及重心定理，熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵.

【變式2】如圖，在△ABC中，。、E分別是BC,4C的中點(diǎn)，AQ與8E相交于點(diǎn)G,

若DG=l,貝

【答案】3.

【分析】

先判斷點(diǎn)G為△ABC的重心，然后利用三角形重心的性質(zhì)求出AG,從而得到AD的

長.

解：??，D、E分別是BC,AC的中點(diǎn)，

:?點(diǎn)、6為二ABC的重心，

AAG=2DG=2,

.\AD=AG+DG=2+1=3.

故答案為3.

【點(diǎn)撥】本題考杳了三角形重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之

比為2：1.

類型七、三角形角平分線

?>7.如圖，已知在△A8C中，Z5>ZC,AO是8C邊上的高，A￡是的C的平分

線，求證：ZDAE=i(Zfi-ZC).

【答案】證明見分析.

試題分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及AD是BC邊上的高，求得/BAD=9(r-NB,再

根據(jù)AE平分NBAC,求得NBAE=，NBAC=g(180°-ZB-ZC)=90°-yZB-yZC,最后

根據(jù)/DAE=NBAE-NBAD即可求解.

解：???AD是BC邊上的高,

AZBAD=90o-ZB.

TAE平分NBAC,

AZBAE=yZBAC=^-(180°-ZB-ZC)二90。-；NB-gNC.

:ZDAE=ZBAE-ZBAD,

AZDAE=(90°-；NB-；NC)-(90°-ZB)=;(ZB-ZC).

舉一反三：

【變式1】如圖，在AA8C中，點(diǎn)M、N是N/WC與NACB三等分線的交點(diǎn).若N4=

60°,則的度數(shù)為()

【答案】B

分析：過點(diǎn)N作NG_LBC于G,NE_LBM于E,NF_LCM于F,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)

到角的兩邊的距離相等可得NE=NG=NF,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

判斷出MN平分/BMC,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。求出NABC+NACB,再根據(jù)角

的三等分求出NMBC+NMCB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出NBMC的度數(shù)，從

而得解.

解：如圖，過點(diǎn)N作NGJ_BC于G,NEJ_BM于E,NF_LCM于F,

VZABC的三等分線與NACB的三等分線分別交于點(diǎn)M、N,

???BN平分NMBC,CN平分NMCB,

.\NE=NG,NF=NG,

???NE=NF,

???MN平分/BMC,

AZBMN=-ZBMC,

2

,rZA=60°,

.\ZABC+ZACB=180°-ZA=180o-60°=120°,

22

根據(jù)三等分,NMBC+NMCB=1(ZABC+ZACB)=yX120°=80°.

在△BMC中,NBMC=180°-(ZMBC+ZMCB)=180°-80°=100°.

.*.ZBMN=-xl00°=50°；

2