第21章一元二次方程(壓軸必刷30題7種題型專

項訓練)

一.解一元二次方程配方法(共1小題)

1.(2022秋?仙桃校級月考)小明在解一元二次方程時，發(fā)現有這樣一種解法：

如：解方程x(x+4)=6.

解:原方程可變形，得：[(x+2)-2][(尤+2)+2]=6.

(x+2)2-22=6,

(x+2)2=6+22,

(x+2)2—10.

直接開平方并整理，得.尤i=-2+JIU,X2=-2-Vio.

我們稱小明這種解法為“平均數法”.

(1)下面是小明用“平均數法”解方程(尤+3)(x+7)=5時寫的解題過程.

解:原方程可變形，得：[(x+a)-b][(尤+a)+6]=5.

(x+a)2-b2—5,

(x+a)2=5+b2.

直接開平方并整理，得.X1=C,X2=d.

上述過程中的a、b、c、1表示的數分別為,,,.

(2)請用“平均數法”解方程：(x-5)(x+3)=6.

二.解一元二次方程因式分解法(共1小題)

2.(2021秋?高安市校級月考)閱讀下面的例題：

解方程：x2-M-2=0

解：(1)當定0時，原方程化為X?-x-2=0,解得：xi=2,x2=-1(不合題意，舍去).

(2)當x<0時，原方程化為/+無-2=0,解得：xi=l(不合題意，舍去)，%2=-2

.?.原方程的根是尤1=2,X2=-2.

請參照例題解方程x2-1%-3|-3=0,則此方程的根是.

三.換元法解一元二次方程(共1小題)

3.(2021秋?高州市月考)先閱讀，再解題

解方程(尤-1)2-5(x-1)+4=0,可以將(x-1)看成一個整體，設無-1=?則原方程可化y2-5y+4

=0,解得yi=l;>2=4,當y=l時，即尤-1=1,解得x=2,當y=4時，BPx-1—4,解得x=5,所

原方程的解為xi=2,X2=5

請利用上述這種方法解方程：(3x-5)2-4(5-3%)+3=0.

四.根的判別式(共4小題)

4.(2022秋?寶應縣校級月考)已知關于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)—0,其中a,b,c分別

為AABC三邊的長.

(1)如果尤=-1是方程的根，試判斷AA8C的形狀，并說明理由；

(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷AABC的形狀，并說明理由；

(3)如果AABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

5.(2022春?雷州市月考)已知關于龍的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0,其中a、b、c分別為

△ABC三邊的長.

(1)如果尤=-1是方程的根，試判斷AABC的形狀，并說明理由；

(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷AABC的形狀，并說明理由;

(3)如果AABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

6.（2022秋?羅山縣校級月考）己知關于尤的一元二次方程（“+（?）f-2bx+（ci-c）=0,其中a、b、c分

別為AABC三邊的長.

（1）如果尤=1是方程的根，試判斷AABC的形狀，并說明理由；

（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷AABC的形狀，并說明理由；

（3）如果AABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.

7.（2022秋?儀隴縣月考）已知關于尤的一元二次方程：?-（2A+1）x+4（%-工）=0.

2

（1）求證：這個方程總有兩個實數根；

（2）若等腰AABC的一邊長。=4,另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數根，求AABC的周長.

五.根與系數的關系（共5小題）

8.（2021春?拱墅區(qū)月考）如果關于x的一元二次方程a/+bx+c=0有兩個實數根，且其中一個根為另外一

個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于倍根方程的說法，正確的有（填序號）

①方程尤-2=0是倍根方程；

②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：貝！J4M2+5徵〃+幾2=o；

③若p,9滿足pq=2,則關于x的方程p%2+3x+g=0是倍根方程；

④若方程以以2+法+。=（）是倍根方程，則必有2b2=9ac.

9.（2021秋?冷水灘區(qū)校級月考）如果方程/+〃%+夕=0有兩個實數根xi,X2,那么xi+x2=-p,xixi=q,請

根據以上結論，解決下列問題：

(1)已知。、6是方程/+15x+5=0的二根，則且白=

ba

(2)已知〃、b、c滿足〃+b+c=O,abc=16,求正數c的最小值.

z_/

(3)結合二元一次方程組的相關知識，解決問題：已知1X勺和「"是關于x,y的方程組

7=7![y=y2

(X-y+k=O的兩個不相等的實數解.問：是否存在實數比使得"丹-二_-。=2?若存在，求出的/

x-y=1x2x1

值，若不存在，請說明理由.

10.(2021春?崇川區(qū)校級月考)已知關于X的一元二次方程x2-2kx+4k2-2=0,

(1)求證：不論左取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

(2)設xi、X2是方程的兩個根，且xj-2日I+2XIX2=5,求上的值.

11.(2021秋?順德區(qū)月考)已知方程a(2x+a)=x(1-x)的兩個實數根為無1,xi,設$=百+匹.

(1)當a=-2時，求S的值；

(2)當。取什么整數時，S的值為1；

(3)是否存在負數a,使$2的值不小于25?若存在，請求出。的取值范圍；若不存在，請說明理由.

12.(2020秋?椒江區(qū)校級月考)如果關于尤的一元二次方程a?+fcr+c=()有兩個實數根，且其中一個根為另

一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現了此類方程的一般性結論：設其中一根為力則

另一個根為23因此cur+bx+c—a（x-t'）（尤-2t）—ax2-3atv+2pa,所以有b2--ac-O；我們記“K=

2

b2-即K=0時，方程/+bx+c=O為倍根方程；下面我們根據此結論來解決問題：

2

（1）方程①/-X-2=0；方程②/-6x+8=0這兩個方程中，是倍根方程的是（填序號即可）;

（2）若（x-2）Ciwc+n）=0是倍根方程，求4m2+5m〃+扇的值；

（3）關于x的一元二次方程7-痔九=。（加川）是倍根方程，且點A（m,n）在一次函數y=3x-

8的圖象上，求此倍根方程的表達式.

六.配方法的應用（共1小題）

13.（2021秋?建甌市校級月考）先閱讀，再解決問題.

閱讀：材料一配方法可用來解一元二次方程.例如，對于方程尤2+2x-1=0可先配方（X+1）2=2,然

后再利用直接開平方法求解方程.其實，配方還可以用它來解決很多問題.

材料二對于代數式3a2+1,因為3/K）,所以3a2+1N1,即3a?+1有最小值1,且當。=0時，3a?+1取

得最小值為1.

類似地，對于代數式-3/+1,因為-3/n），所以-3次+仁1,即-3/+1有最大值1,且當。=0時，-

3cr+l取得最大值為1.

解答下列問題：

（1）填空：①當X=時，代數式2x2-1有最小值為.

②當x=時，代數式-2（X+1）2+1有最大值為.

（2）試求代數式2/-4x+l的最小值，并求出代數式取得最小值時的龍的值.

（要求寫出必要的運算推理過程）

七.一元二次方程的應用（共17小題）

14.（2022秋?岳陽縣校級月考）已知：EL42a）的兩邊AB,A。的長是關于尤的方程--碼-工=0的

24

兩個實數根.

（1）當相為何值時，四邊形ABC。是菱形？求出這時菱形的邊長；

（2）若的長為2,那么EL48C。的周長是多少？

15.（2022春?宜秀區(qū)校級月考）廣安市某樓盤準備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務院有關房

地產的新政策出臺后，購房者持幣觀望，房地產開發(fā)商為了加快資金周轉，對價格經過兩次下調后，決

定以每平方米4860元的均價開盤銷售.

（1）求平均每次下調的百分率.

（2）某人準備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打

9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)惠？

16.（2022秋?中原區(qū)校級月考）某批發(fā)商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售,

售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發(fā)商為增加銷售量，決定降價銷售,

根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高于購進的價格；第二個月結束后，批

發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時單價為40元，設第二個月單價降低X元.

（1）填表：（不需化簡）

時間第一個月第二個月清倉時

單價（元）8040

銷售量（件）200

（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那么第二個月的單價應是多少元?

17.（2022秋?南海區(qū)校級月考）在寬為20加，長為32機的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，兩條縱向，

一條橫向，橫向與縱向互相垂直，（如圖），把耕地分成大小相等的六塊作試驗田，要使實驗地面積為570m2,

問道路應為多寬？

2

::

18.（2023春?萊蕪區(qū)期中）如圖，在矩形ABC。中，BC=20cm,P、。、M、N分別從A、B、C、。出發(fā),

沿A。、BC、CB、D4方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動

即停止、已知在相同時間內，若BQ=xcm則AP=2尤cm,CM—3xcm,DN—^cm.

（1）當x為何值時，點P、N重合；

（2）當尤為何值時，以P、。、M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.

（備用圖）

19.（2022春?拱墅區(qū)校級月考）如圖，四邊形ACQE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a,b,。是RtMBC

和RtABED邊長，易知AE=&c，這時我們把關于x的形如aX?W^cx+b=0的一元二次方程稱為“勾

系一元二次方程”.

請解決下列問題：

（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；

（2）求證：關于尤的“勾系一元二次方程”ax2+^cx+b=0必有實數根;

（3）若尤=-1是“勾系一元二次方程”ax2W^cx+b=0的一個根，且四邊形的周長是6近，求

△A8C面積.

20.（2021春?崇川區(qū)校級月考）某種產品的年產量不超過1000。該產品的年產量⑺與費用（萬元）之間

的函數關系如圖（1）;該產品的年銷售量（力與每噸銷售價（萬元）之間的函數關系如圖（2）.若生產

出的產品都能在當年銷售完，則年產量為多少噸時，當年可獲得7500萬元毛利潤？（毛利潤=銷售額-

21.（2021秋?蓮池區(qū)校級月考）畢業(yè)在即，某商店抓住商機，準備購進一批紀念品，若商店花440元可以購

進50本學生紀念品和10本教師紀念品，其中教師紀念品的成本比學生紀念品的成本多8元.

（1）請問這兩種不同紀念品的成本分別是多少？

（2）如果商店購進1200個學生紀念品，第一周以每個10元的價格售出400個，第二周若按每個10元

的價格仍可售出400個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據市場調查，單價每降低1元，

可多售出100個，但售價不得低于進價），單價降低x元銷售一周后，商店對剩余學生紀念品清倉處理,

以每個4元的價格全部售出，如果這批紀念品共獲利2500元，問第二周每個紀念品的銷售價格為多少

元？

22.（2022秋?佛山月考）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,點。從點C開始沿CA邊

運動，速度為1CW1/S,與此同時，點￡從點2開始沿邊運動，速度為2cm/s,當點E到達點C時，點

。同時停止運動，連接AE,設運動時間為fs,AAOE的面積為S.

（1）是否存在某一時刻f,使DE〃AB?若存在，請求出此時刻t的值，若不存在，請說明理由.

（2）點。運動至何處時，S=LSAABC?

8

23.（2022秋?膠州市校級月考）如圖，在矩形ABC。中，AB=16cm,BC=6cm,動點尸、。分別以3c//s、

2aMs的速度從點A、C同時出發(fā)，點。從點C向點。移動.

（1）若點P從點A移動到點8停止，點。隨點P的停止而停止移動，點P、。分別從點A、C同時出

發(fā)，問經過多長時間產、。兩點之間的距離是10。%？

（2）若點P沿著ABTBC—C。移動，點P、。分別從點A、C同時出發(fā)，點。從點C移動到點。停止

時，點尸隨點。的停止而停止移動，試探求經過多長時間APB。的面積為12cm2?

A.----------,D

24.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為46000米2,施工隊在綠化了

22000米2后，將每天的工作量增加為原來的L5倍，結果提前4天完成了該項綠化工程.

（1）該項綠化工程原計劃每天完成多少米2?

（2）該項綠化工程中有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，

它們的面積之和為56:層,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬

度是多少米?

25.（2022秋?渝水區(qū)校級月考）己知：如圖所示，在AABC中，/2=90。，AB^5cm,BC=7cm,點、P從點、

A開始沿A8邊向點8以\cmls的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cmis的速度移動，當

其中一點到達終點后，另外一點也隨之停止運動.

（1）如果尸、。分別從4、8同時出發(fā)，那么幾秒后，APB。的面積等于4°滔？

（2）在（1）中，APQB的面積能否等于7c〃P?請說明理由.

26.（2022秋?宜興市月考）如圖所示，AABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm.

（1）點尸從點A開始沿AB邊向B以\cmls的速度移動，點。從8點開始沿BC邊向點C以2cmls的速

度移動.如果P、。分別從A，B同時出發(fā)，線段尸。能否將AABC分成面積相等的兩部分？若能，求出

運動時間；若不能說明理由.

（2）若尸點沿射線AB方向從A點出發(fā)以Icm/s的速度移動，點。沿射線CB方向從C點出發(fā)以2on/s

的速度移動，尸、。同時出發(fā)，問幾秒后，APB。的面積為1CH??

27.（2022秋?宜陽縣月考）如圖1,為美化校園環(huán)境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地

上修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設通道寬為a米.

（2）如果通道所占面積是整個長方形空地面積的3,求出此時通道的寬；

8

（3）已知某園林公司修建通道、花圃的造價yi（元）、yi（元）與修建面積尤（m2）之間的函數關系如圖

2所示