廣東省廣州三校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x(x-l)2?9},3={xkN4},則A|J8=()

A.{4}B.[-1,同

C.[-2,4]D.[-2,+oo)

【答案】D

【解析】由(1一1)29,解得一2Kx<4,/.A=[—2,4],又5=[4,y),

所以Au8=[-2,+oo).

故選：D.

2.已知點(diǎn)A(4,3),3(l,—1),則與向量人^共線的單位向量為()

A.(―3,T)B.(3,4)或(—3,-4)

【答案】D

【解析】??A(4,-1),.?.■二(-3,-4),|叫=5,.?.與48共線的單位向量為士不

(34'

七5

故選：D.

3.已知V4BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則3A.AC=()

A.4B.-AC.2D.-2

【答案】D

27r

【解析】依題意可知區(qū)4和AC的夾角為w，

所以34乂0二|班，40?8$午=2*2、-3)=-2”

故選：D.

4.如圖，己知OO的半徑為4,若劣弧A8長(zhǎng)為兀，則劣弧A4所對(duì)圓周角的正弦的平方

為）

kA

14i

A.-RD.--------

22

c包

.2~V

【答案】C

【解析】設(shè)劣弧A8所對(duì)的圓周角為。，則其所對(duì)圓心角為26，

由圓心角等于弧長(zhǎng)除以半徑可知，2。=2,即cos26=旦,

42

]B

又由cos20=l-Zsin?。，可以解得sin?。=-------

24

故選：C.

5.已知矩形486的長(zhǎng)4區(qū)=4,寬8C=3.點(diǎn)P在線段3。上運(yùn)動(dòng)(不與民。兩點(diǎn)重

合)，則PC30的取值范圍是()

A.(-16,9)B.(-9,16)

C.[0,9)D.(-16,0]

【答案】A

【解析】由題意得，點(diǎn)尸在線段上，設(shè)BP=nBD,PD=〃iBD,〃=I一m,

且〃￡(0,1).以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A（0,0）,8（4,0）,C（4,3）,0（0,3）,則BO=（Y,3）,AC=（4,3）,

由AP=mAB+nAD=m（4,0）+〃（0,3）=（4/H,3〃），

故PC=AC-AP=（4—4m,3—3〃），

所以PCBD=T（4-4加）+3（3—3〃）二9-25〃，

由于〃￡（0,1）,所以夕。8?！辏ㄒ?6,9）.

故選：A.

6.已知圓錐的軸截面為.一尸為該圓錐的頂點(diǎn)，該圓錐內(nèi)切球的表面積為124，若

N4PB=60"，則該圓錐的體積為（）

A.9月不B.12百不C.18岳D.27扃

【答案】A

【解析】如圖所示，設(shè)內(nèi)切球。與Q4相切于點(diǎn)E,因?yàn)橐?戶8=60%所以/OPA=30，

由內(nèi)切球的表面積為12萬(wàn)，可得球的半徑廠=6，

在直角尸E中得O尸=26，則圓錐的高為3百，

在直角，?/"A中得A”=3,即圓錐的底面半徑為3,

所以該圓錐的體積丫=1乃x9x3百=9岳.

3

故選：A.

7.設(shè)VA8C的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為已知/=ianA/=tan8,且。0/7,

則角。=（）

7Tc兀c2兀一3兀

A.-B.-C.—D.—

4234

【答案】B

【解析】由。2=tanA,〃=tanB,得一^―=---,—^―=—--,

sinAacosAsinBbcosB

由正弦定理一^―=-----,得4cosA=Z?cos8,

sinAsinB

：.sin2A=sin2及A=B或2A+28=兀.

a2—b1=0

得〈，得。=人=0,即4=0,故A正確；

\2ab=0

對(duì)于B,令Z|=i,Z2=l,可知z：=-z；=-l,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令4=l-i,Z2=l+i,可知㈤=回=血廳=-2i,z；=2i,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,|4一聞=團(tuán)|1-4=應(yīng)區(qū)|,匕+聞=團(tuán)|1+胃=夜崗,故D正確.

故選：AD

10.如圖，在三棱柱ABC-AqG中，AC1BC,BC18C,AC1B|C,8C=C4=4。=2,

下列結(jié)論中正確的有（）

B

A.平面BCC4JL平面

B.直線4A與4G所成的角的正切值是g

C.三棱錐c-A4G的外接球的表面積是12兀

D.該三棱柱各側(cè)面的所有面對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等十它所有棱長(zhǎng)的平方和的3倍

【答案】ABC

【解析1寸于A中，因?yàn)?。_18。,47,4。，且8。。與。=。，所以471_平面8。。力，

又因?yàn)锳Cu平面ACGA,則平面ACGg，平面ACC4,所以A正確；

對(duì)于B中，因?yàn)锳4//CG，則直線AA與3G所成的角即為直線CG與8G所成的角，

設(shè)/CC1B=e,在平行四邊形3CG用中，8c與相交于點(diǎn)。，

△8C四等腰直角三角形，ZCBB,=-?所以N8CG=毛，可得NCBq=匕—。,

444

Z、

OC1,f711-tan^_1

所以tanNCBC]=tan--3---=一,又由tan—0n

BC2141+tan。2

解得tane='，所以B正確；

3

對(duì)于c中，由于AG，GBI，4。兩兩垂直且相等，故可將三棱錐c-A4G補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)

為2的正方體，正方體的外接球就是三楂錐AqCJKJ外接球，半徑是R=K，

所以外接球的表面積是S=1271,所以C正確；

對(duì)于D中，在平行四邊形ABMA中，可得領(lǐng)=A5+AA，43=AB—A4’，

可得=AB2=A/+M2+2ABM=AB2+心:+2\AB\\AA]COSNAA8

IA目=44=AB?+例2+2A8.A4t=研+油+2AB?71Alcos幺AB,

所以AB；+A.B2=2AB2+2AA-,

同理可得：BC；+BC=2BC2+2BB；,AC；+A.C1=2AC2+2AA-,

相加得A8；+AB：+BC；+B?2+AC；+\C2=2(AC2+BC2+4C2+AA-+BB；+AA,2),

所以該三棱柱各側(cè)面的所有面對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于它所有棱長(zhǎng)的平方和的2倍，

所以D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

l+logJx-2,A：<1

11.已知函數(shù)/(x)=</、2，(。>0且〃W1)在區(qū)間(Y0,+8)上為單調(diào)函

(J-1)+4?,x>1

數(shù)，若函數(shù))，=|/(%)|一1一2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值可以是()

A.1-15

B-JD.——

16c.16

【答案】BC

l+logM|x-2|,x<l

【解析】由函數(shù)/("=,/\2，在區(qū)間(f,E)上為單調(diào)函數(shù),

(x-l)~+4〃,x>l

因?yàn)閤>l時(shí)，函數(shù)4x)=(x—l)2十4a在(1,+8)上單調(diào)遞增,

0<67<1

所以只需滿足〈解得

1+000+4。4

又因?yàn)閥=|/(x)|—X—2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即|/(x)|=x+2由兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

即函數(shù)y=|/("|與y=.r+2的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)y=|/(x)|與y=x+2的圖象，如圖所示，

當(dāng)xKl時(shí)，由l+logjx-1|=0,可得彳=2-3<1,

又由所以一2<2-

4a

所以函數(shù)y=|/（x）|與y=x+2的圖象在上僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

則函數(shù)y=|/（x）|與y=x+2的圖象在（1,+8）上也僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

則滿足4。43或），=x+2與y=（x—l）2+4。的圖象相切，即“2一3R+4。-1=0有一解，

所以。3或△=9-4（4q—l）=0,解得3巳或。二1」3，

4416

I313

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為匕，:IIH7｝，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C滿足題意.

4416

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量〃為單位向量，且滿足|〃+6|二|人一2。|,則向量在向量〃方

向的投影向量為

32

【答案】（-，-）

【解析】由|〃+昨|〃一2。|,得了十八2人〃=片+4/_4G〃，則

乂o=,〃為單位向量，則忖=1,a.b=；,

133/2

所以向量人在向量〃方向的投影向量為巴;。二一。二（一,一）.

Ia|~21（）5

32

故答案為：（啟《）

X\JJ

13.已知函數(shù)曠=$也（0式+3）（O：＞0）在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則3的取值范圍

【答案】［2,5）.

.rcTt,八,?。╥XJt.7T,7169717T,

【解析】已知X￡[0,-],（O>0?則m（OXG[0,J?所以（OXHG[—,----1J.

333333

因?yàn)楹瘮?shù)〉=加，（/=8+二）在區(qū)間j竺+3上恰有一個(gè)零點(diǎn).

3333

正弦函數(shù)了二研取的零點(diǎn)為，=?,kcZ.

當(dāng)我=1時(shí)，t=7ix當(dāng)&=2時(shí)，t=2n.

要使函數(shù)在[四，絲十二]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則兀W四十二<2兀.

33333

解不等式可得：2<0<5.切的取值范圍是[2,5）.

故答案為：[2,5）.

14.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論,

奔馳定理與三角形的四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如

圖，若尸是VABC內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為SA，SS，S「則有

一一一一]

S八?QA+S/PB+Sc?尸C=0.己知。為VA8C的內(nèi)心，且cosN8AC=§,若

AO=/〃AB+〃AC，則的最大值為.

【答案]上史

【解析】因?yàn)閂A8C的內(nèi)心。到該三角形三邊的距離相等，則SA：S/Sc=a：/2：c,

b—c

由5八。/1+58。8+5。。=0可得4?。4+力。8+。。。=0,所以4。=—。8+2。。,

（7aa

又AO=mAB+nAC=m(0B—OA)+n\oC—OA

nib

1-(/??+7?)~a

則4。二匚品J。"匚扁℃,所以

nc

1-(/?/+7?)a

m+〃b+cb+c

兩式相加可得1\=-----，化簡(jiǎn)可得〃7+〃=—；—,

1-(/?/+/?)aa+b+c

I2

又cos/BAC=-,由余弦定理可得。2=/?2+c2-2bccosA=h2+c2——be,

33

22

由基本不等式可得/=S+c)--Z7>0+C)--X

3C343

所以理他+c),當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí)等號(hào)成立，

b+c1133-6

所以a+b+c]〃V33+62.

b+c3

故答案為：乏班.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（工）="（。＞0且4W1）的圖像與函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于直線），=為對(duì)稱.

（1）若/（x）=/（x）+g（x）在區(qū)間［1,2］上的值域?yàn)?,y,求。的值；

（2）在（1）的條件下，解關(guān)于X的不等式.

解：⑴由題知,解X）是fO）的反函數(shù)，g（x）=logq%,故產(chǎn)（x）="+log“x.

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，），=優(yōu),），=1。8,人均在（0,+8）單調(diào)

33

遞減，于是尸（工）在（0,-8）上單調(diào)遞減，故尸（1）=〃=5＞1,此時(shí)不成立；

當(dāng)時(shí)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，＞=優(yōu),丁=1毀〃均在（0,+8）單調(diào)遞

增，尸（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，故/⑴=。=4,此時(shí)成立.綜上可知：a=4

（2）由（1）知，g（^）=log4x,為定義在（0,+8）的增函數(shù)，

—>0

（x\x-2A9

根據(jù)g--＜g--L定義域滿足：＜，解得RE(2,+00).

\x+4l9）

—>0

x+4

，x、（x一2、xx—2

由g（x）單調(diào)性和g--＜g-二可得，—?整理得/一71一8＞0，

I9Jx+49

結(jié)合X￡（2,+8）可知，X￡（8,+CO）

zyCOS/4

16.VA3C的內(nèi)角AaC的對(duì)邊分別為。，b,J已知——=----------.

b+ccosB-cosC

（I）證明：A=2B.

（2）若〃=4,b=3,求VA3c的面積.

、iacosA.、皿-3sinAcosA

解：（I）由——=——-----根據(jù)正弦定理可得---------------=------------

b+ccosn-cosCsinB+sinCcosB-cosC

sinAcos8—sinAcosC=cosAsinB+cosAsin。，

sin/AcosB-cosAsinB=sin4cosC+cosAsinC,sin（A-B）=sin（A+C）,

由A+8+C=兀，則sin（A-6）=sin3,解得人一勿=/或4-8+8=兀（舍去）,

所以A=28.

ab4343

（2）由正弦定理可得——=——,即------=^,------------=^—,

sinAsinBsin25sinB2sinBcosBsinB

2

解得cosB=一,

3

2

由余弦定理可得。*=a2+c2-laccosB，則9=16+c‘-2x4c§,

IA7

整理可得c?一一c+7=o,分解因式可得（3c-7）（c-3）=0,解得c=或3,

33

TT7T

當(dāng)c=3時(shí)，B=C,由4+8+C=兀，解得B=C=：?4二一,不合題意；

42

7117

當(dāng)。二一時(shí)，VA8C的面積S=Lacsin8=2x4x'x

3223

17.如圖，在四棱錐P—A3C。中，Q4_L底血A3C7ZAD_LA氏A3〃￡>C,

（1）證明：的〃平面PAD；

（2）求三棱錐七一PHD的體積；

（3）求直線AP與平面/胱所成角的大小.

解：（1）如圖，取尸。中點(diǎn)連接

由于E,M分別為的中點(diǎn)，W且加弓。。，

又A3〃=可得EM〃A3,且￡M=A3,

2

故四邊形ABEM為平行四邊形，

所以龐〃AM，又因?yàn)锳Mu平面PAD，8E6平面PA力，

所以BE〃平面PAO.

（2）因?yàn)槠邽槭珻的中點(diǎn)，所以"即=<%.cw，

22

1114

因?yàn)镻A_L底面ABCD,所以Vp_cBD=~^SRCD-PA=—x—x2'x2x2=—,

3J23

2

即LEBD~一?

（3）因?yàn)镻A底面ABCD,ABu底面ABCD,:.PALAB,

又AB_LAD,PAr\DA=4,PA、D4u平面PAD，

.?.AB_L平面PAO.

又尸Du平面PAD,；.AB±PD.

???AD=AP,M為PD的中點(diǎn)，

:.PD±AM,

又4Bf|AM=A4仇4勿<=平面止，.,.P。_1平面叱，

直線AP在平面ABE內(nèi)的射影為直線AM，

故/PAM為直線AP與平面ABE所成的角，

由P4_L底面4"。力,4。b底面可得，PA±AD,^PAD=90,

.?yQA。為等腰直角三角形，且AM平分NZ4。，

.\^PAM=45，

所以直線跖與平面尸所成的角為45.

18.已知向量〃7=（限0昧1）,〃=[inasin'—l）,函數(shù)己（力=麗.”+）.

吟，?。?

（I）若XE—?求cos2x的值;

3

（2）已知V43c是銳角三角形，角ARC所對(duì)應(yīng)的邊分別為a/,c,且

8蟲(chóng)/生/卜小+/）求￡的取值范圍.

解：(1)向量m=(&CO￡E,1}〃=卜irtE,sin2_r-l),

2

=73sinvcosjv+sinx-14--=^^sin2.r--cos2x=sinc兀

則函數(shù)/(x)=〃??〃+；2.r——

2226

因?yàn)閤w[o,[]j(x)=冬

所以yd-耨可2x高邛

所以儂（21一弓）=手.

c兀兀=cos(2x-工]cos工-sin(2九——\in—=73.

cos2x=cos2x——4—

6J6I6；6I6j66

A5幾

（2）由（1）得,f7i|=sin2\---7i=sin(A-7i)=-sin4

U12J2126

sin(26+7C)=-sin2B.

(45、\7)

由/彳一有兀=/8+百兀，得sinA=sin23,

1212;I12J

7T兀

因?yàn)閂A8C是銳角三角形，所以0VA<一,0<B〈一.0〈2B<7r,

22

.?.A=28或A+28=7T.

①當(dāng)A=23時(shí)，'■3wC,A+3+C=兀,8w—?

4

71IT7TJT

由0<人=23<1,0<。=兀-38<上可得一〈8〈一，

2264

門b_sinB_sinZ?_sinB

由正弦定理得a+csin.4+sinCsin2B+sin(n-35)sin2B+sin3B

_sinB_1

sin28+sin28cos8+cos28sin82cosB+2cos%+2cos28-1

4cos2B+2cosB-1

71兀

令cosB=f,因?yàn)橐?lt;3<一，所以，

64

5

y=4/2+2/-1=4t+-I一一在/￡上單調(diào)遞增,

44

當(dāng)酒時(shí),y=I+V2,當(dāng)，二且時(shí)，)，=2+6,

*2

故」-111,即----￡(2-1).

a+c4/+2I*〔2+療1+及

②當(dāng)4+28=兀時(shí)，4+8=兀一8,則C=7T-(A+B)=TC-(兀一區(qū))=區(qū)，與已知矛盾.

綜上所述，￡的取值范圍是

19.函數(shù)的凹凸性的定義是由丹麥著名的數(shù)學(xué)家兼工程師JohanJensen在1905年提出來(lái)

的.其中對(duì)于凸函數(shù)的定義如下：設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閳F(tuán),加(或開(kāi)區(qū)間(。,力)或

%+々

。二-8,或人=+8都可以)，若對(duì)于區(qū)間m,加上任意兩個(gè)數(shù)%,電，均有了~r

」(%)+/&)成立，則稱/(x)為區(qū)間口,句上的凸函數(shù).容易證明譬如y=?,

2

y=log：(a>1),y=sinMxG(0,兀))都是凸函數(shù).JohanJensen在1906年將上述不等式推

廣到了〃個(gè)變量的情形，卻著名的Jensen不等式：若函數(shù)/(幻為其定義域上的凸函數(shù)，

(x4-X+…+X、

則對(duì)其定義域內(nèi)任意〃個(gè)數(shù)辦,心,…，怎，均有/-~=.......-