2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

第11講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(精講)

考點(diǎn)歸納

①對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值

期寸數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

③解對(duì)數(shù)方程與不等式

④對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)

⑤對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用

一、必備知識(shí)整合

一、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果a、=N(a>0且。工1),那么數(shù)X叫做以〃為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log〃N,讀

作以。為底N的對(duì)數(shù)，其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：

①一般對(duì)數(shù)：以。色>。且。工1)為底，記為log：,讀作以。為底N的對(duì)數(shù)；

②常用對(duì)數(shù)：以10為底，記為IgN；

③目然對(duì)數(shù)：以“為底，記為InN；

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：

①bg：=0；log：=l；其中〃>0且。工1；②"陵=N(其中〃>0且。工1,N>0)；

③對(duì)數(shù)換底公式：log3=普2;④log.(MN)=log?M+log“N；

log,“

⑤log”鼻=log(4M一logaN；?logh"="log”h(in,neR)；

Nm

⑦，唱加=b和log.ah=b；⑧l(xiāng)og”b=—；

log/

二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像

（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)），=1。8,/（。>。且。工1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象

a>\0<a<\

、x=\

圖象1\:(h0)

O八(1,0)X

定義域：（。，+8）

值域：R

性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)（1，。），即工=1時(shí)，y=o

在（0,+8）上增函數(shù)在（0,+8）上是臧函數(shù)

當(dāng)Ovxvl時(shí)，”。當(dāng)xNl時(shí)，y"當(dāng)Ovxvl時(shí)，y>o,當(dāng)工之1時(shí)，y<0

常用結(jié)論

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近x軸；當(dāng)Ova<l時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨

a的增大而遠(yuǎn)離x軸.（見(jiàn)下圖）

“增大

。增大

二、考點(diǎn)分類精講

【邈型一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值】

對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路

①利用*=NT?=k)gaM〃>0，且存1)對(duì)題目條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

轉(zhuǎn)化

②利用換底公式化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)運(yùn)算

恒等式注意k>g“l(fā)=0,log(/=N,alog/=N的應(yīng)用

拆分將真數(shù)化為積、商或底數(shù)的指數(shù)零形式，正用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)形式，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法

合并

貝L轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、嘉的運(yùn)算

【典例1](23-24高三上?廣東湛江?階段練習(xí))計(jì)算:

(1)1嗚：+愴25+恒4+7畸2；

(2)|lg2)2+lg21g50+lg25.

【答案】⑴3

(2)2

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得.

【詳解】(1)10g3；+lg25+lg4+7啕2

-1Ilg(25x4)I2

=-1+2+2

(2)(Ig2)2+1g21g50+1g25

2

=(]g2)4-lg2-(lg5+l)+21g5

=(lg2)2+lg2-lg5+lg2+2lg5

=lg2(lg2+Ig5)+lg2+21g5

=lg2+lg2+21g5

=2

【典例2】(單選題)(2024.云南楚雄.一模)垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲(chǔ)存、投放和搬運(yùn),

從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動(dòng)，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率y與時(shí)

間，（月）近似滿足關(guān)系y=（其中。、b為正常數(shù)），經(jīng)過(guò)5個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%,經(jīng)過(guò)10個(gè)

月，這種垃圾的分解率為20%,則這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過(guò)（）個(gè)月（參考數(shù)據(jù)：1g2。（）.3）

A.20B.22C.24D.26

【答案】B

【分析】根據(jù)己知條件可得出關(guān)于〃、b的等式組,解出這兩個(gè)量的值,可得出v的表達(dá)式,然后解方程y=1,

求出/的值即可.

力=2§

【詳解】由題意，可得《T，解得，

1

引?！筧=一

520

這種垃圾完全分解，即分解率為100%,即y=J_.2%=l,所以2%=20

20

所以》=log220,W!p=5log,2U=^^="lg2+l)=^±2=22.

5lg2lg20.3

故選：B.

■題型訓(xùn)練■

一I一

一、單選題

1.（2024?河南開(kāi)封?三模）已知?jiǎng)t2-"=（）

A.JB.-C-

983

【答案】C

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化即可求得.

【詳解】由疝唱94=1可得4“=9,即（2“產(chǎn)=9,zy,故2一"=」

故選：C.

2.（2024?山東聊城?二模）已知函數(shù)/（x）為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞（）時(shí)，/（xblog^-l,則

A.4B.-1C.|D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義可得〃_2：）=/（2：），結(jié)合函數(shù)解析式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以/（-x）=/（x）,

5

則f（-2：）=/（2b=log42^-1=1嗎22；-1=log22-l=^-l=-|.

故選：A

3.（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）若。=1嗚5,5〃=6,則帥-1理32=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5'=6nb=logs6,

所以"一log?2=log5log6-log,2=log5--log2=log-6-log2=logg=log3=1

353；3333

故選：A

4.（2024?北京昌平?二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種

綠茶用90C的水泡制，再等到茶水溫度降至60C時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20c室溫下，茶水溫度從

90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)Anin后的溫度為可選擇函數(shù)），=60x09+20（/20）來(lái)近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化

的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（）

(參考數(shù)據(jù)：lg2no.3O』g3"0.48)

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【答案】B

2

【分析】令60x09+20=60,貝！j0.9'=：,兩邊同時(shí)取對(duì)將lg2”0.30,1g3ao.48代入即可得出答案.

【詳解】由題可知，函數(shù)y=60x09+20（/20）,

2

令60x09+20=60,貝

2Q

兩邊同時(shí)取對(duì)可得：lg0.9'=lg§,Bprig—=r(21g3-l)=lg2-lg3,

愴2Tg30.30-0.480.18「

即/=h_________=____=45min.

21g3-1~2x0.48-1-0.04~

故選：B.

5.（2024?全國(guó)?三模）若a>l,則/叫-（怛。產(chǎn)的值是（）

A.零B.正數(shù)C.負(fù)數(shù)D.以上皆有可能

【答案】A

【分析】b=\oat則《=]0J代入已知利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】令/=*則F=10J由4>1得〃>0,

所以一叫-（1ga產(chǎn)=（10〃）勵(lì)-必=10討-bh=0.

故選：A.

二、多選題

6.（23?24高三上?河南焦作?階段練習(xí)）下列等式成立的是（）

Ig2+lg5-lg8_1Ig4+lg5-l_

A--------------------1D.一乙

1g5()-1g4021g0.5+lg8

C.lgl4-21g^+lg7-lgl8=0D.(Ig2)2+lg2lg5+lg5=2

【答案】AC

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算逐項(xiàng)計(jì)算.

,10

【詳解】喂瞽黑=T=I，人成立;

?g50-1g40lo50

。40

Ig4+lg5-l_lg20-l_l+lg2-l,田-

21go.5+1g8lg().25+lg8lg2

]gl4_21gZ+]g7-lgl8=(lg74-lg2)-(21g7-21g3)+lg7-(21g3+lg2)=0,C成立;

(Ig2)2+lg21g5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=l,D不成立.

故選：AC

7.（23-24高三上.安徽六安.期末）地震釋放的能量E與地震震級(jí)M之間的關(guān)系式為】gE=4.8M.5M,2022

年9月18日我國(guó)臺(tái)灣地區(qū)發(fā)生的6.9級(jí)地震移放的能量為耳，2023年1月28日伊朗西北發(fā)生的5.9級(jí)地震

釋放的能量為弓，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼馬拉什省發(fā)生的7.7級(jí)地震釋放的能量為打，下列說(shuō)法

正確的是（）

A.片約為&的1。倍

B.&超過(guò)反的KX）倍

C.2超過(guò)&的10倍

D.D低于罵的10倍

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，即可判斷.

【詳解】A.l*-lg4=L5x（6.9-5.9）,所以條=10”,故A錯(cuò)誤；

B.lg^-lg￡,=1.5x（7.7-5.9）,1^=1027>100,故B正確；

C.鳴-哨=1.5X（7.7-6.9）,卷=1（尸>1（）,故c項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

三、填空題

8.（2024?北京海淀?一模）已知皿￡=2,則皿/一]11〃2=_____,

b

【答案】4

【分析】直接利于對(duì)數(shù)的運(yùn)算性南求解.

【詳解】因?yàn)镸92,

b

所以Ina?—In"=In二==21n—=4.

b2[b）b

故答案為：4.

9.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）若logJ2=x,log/2=y,貝

【答案】1

【分析】利用換底公式可得卜-3,；=*4,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.

嘀12=），，所以x=M=log12^1

【詳解】因?yàn)閘ogJ2=x,12

10g|24log/

所以L=]ogn3,-=logi24,

X)，

因此,-+-=log123+log124=log12(3x4)=l.

xy

故答案為：1

a2

10.（2024?河南鄭州?三模）已知bg?+410gM=4,則的值為.

2b

【答案】g/0.5

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)閘og?+41ogw=4,

2

所以log?+1og6=4,可得（logflz?）-41ogoZ>+4=0,

即（log“〃-2）~=。，

所以log,*=2,即/=〃，

所以（】

2b2a'2

故答案為：y.

【邈型二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)】

觸類旁通

1.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問(wèn)題及技巧

（1）對(duì)一些可通過(guò)平移、對(duì)稱變換作出其圖象的對(duì)數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）、值域

（最值）、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想.

（2）一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

2.比較對(duì)數(shù)值大小的常見(jiàn)類型及解題方法

常見(jiàn)類型解題方法

底數(shù)為同一常數(shù)可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷

底數(shù)為同一字母需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論

底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較

底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量達(dá)行比較

【典例1】（單選題）（23-24高一上.山東濱州.期末）若函數(shù)產(chǎn)logd（〃>0,且的圖象如圖所示,

則卜.列函數(shù)與圖象對(duì)應(yīng)正確的為（）

C.--------AD"

OX

y=\oga(-x)X

【答案】D

【分析】利用函數(shù)y=iog〃x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,-2）,求出4=3,并代入選項(xiàng)，借助基本初等函數(shù)逐一判斷即可.

【詳解】從函數(shù)y=log[x（?>（）,且。聲1）的圖象可知：該函數(shù)經(jīng)過(guò)（4,-2）,

所以—2=log“4,即32=4,解得。=；,

對(duì)于選項(xiàng)A:），=優(yōu)=（；）,由指數(shù)函數(shù)可知），=（；）在定義域上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：），=國(guó)"=即=洞，當(dāng)x>0時(shí)，則y=4,

由幕函數(shù)可知），=正在（。,轉(zhuǎn)）上單調(diào)遞增且圖象靠近x軸，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C:該函數(shù)為尸log“（T）=l°g|（T）,可看成）I°g廣的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱后在（y,o）單

調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D:）,=/=￡=五，由嘉函數(shù)可知.y=&在（o,+8）上單調(diào)遞增且圖象靠近X軸，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

【典例2】（單選題）（23-24高一上.云南昭通?期末）/（x）=log<,（A-l）+i（。>0且"1）的圖象恒過(guò)定

點(diǎn)例，幕函數(shù)g（x）過(guò)點(diǎn)M，則為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得定點(diǎn)M,由塞函數(shù)的概念設(shè)g(x)=x"，由條件列式求出g(x),進(jìn)而

可得答案.

【詳解】/(x)=log</(x-l)+^,令x—l=得戶2,/(2)=1,

則f(x)=log“(x-l)+；(4>()且axl)恒過(guò)定點(diǎn)M2,；),

設(shè)g(x)-，”，則2"=；,即a=一2,即g(x)一短2,???《9=4,

故選：D.

3

【典例3】(單選題)(23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))已知。=log/。=log。,、2,c=不，則。也。的大

小關(guān)系為()

A.c>a>bB.a>b>c

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)可得logF<log/3斗，進(jìn)而得1<〃<小結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

可得〃=」，即可求解.

【詳解】由25=5?<(3知=27,得1嗎52<叱3(3%，

23

即loga5<log,32=—>又1=Iog33<log.i5,所以1<a<c.

2

/，=logos2=log]2=-l

2

所以c、>a>b.

故選：A.

■題型詞練■

一“一一1

一、單選題

1.(23-24高一下.浙江?期中)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù).〃幻=(。-1口*")=1。8“'的圖象可能是()

勢(shì)勢(shì)勢(shì)勢(shì)

【答案】D

【分析】通過(guò)分析正比例函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的特征可得解.

【詳解】函數(shù)/(x)=(，-l)x，g(x)=log“x,由對(duì)數(shù)函數(shù)可知，〃>0且。工1,

當(dāng)0<。<1時(shí)，〃x)=(a-l)x為過(guò)原點(diǎn)的減函數(shù)，g(x)=k)g“x為減函數(shù)，則B錯(cuò)誤，D正確;

當(dāng)時(shí)，/(x)=3-Dx為過(guò)原點(diǎn)的增函數(shù)，g(x)=log0x為增函數(shù)，則A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；

故選：D.

2.(2024?山東聊城?三模)設(shè)4=唾492=1。8254=3"哨4,則a,Ac的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=iog23在(。,口)上單調(diào)遞增，

故”=log25>log23=log49=a>log22=1,

又c==3"W=3<1,

4

所以〃>4>1>C.

故選：A

3.123-24高一下.湖南長(zhǎng)沙.期中)若函數(shù)/(力=1叱(。-1A+1］在(2,3)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得且(4-1)x3+120,解之即可求解.

【詳解】易知函數(shù)y=lnx在(0,+oo)上單調(diào)遞增,又函數(shù)/(x)在(2,3)上單調(diào)遞減，

所以(。-1)<0且(4-1)x3+120,解得A<1.

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為號(hào)2,1)

故選：B

4.(2024?云南?一模)已知/(x)=|則，若。=/1),力=/仁］"=/(3),則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【分析】根據(jù)〃力=|1切將。也c?進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用），=lgx在（0,+句上為增函數(shù)進(jìn)行判斷即可.

Iz1>I

Hr

愴

愴-==

【詳解】由〃"=|1閡得：〃=/4-2-2-=|-Ig2|=ig2,c=/（3）=lg3,

XI>

因?yàn)閥=lgx在（0,+8）上為增函數(shù),

所以Ig4>lg3>lg2,

即d>C>6.

故選：B.

5.（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（M=log"（37）+log”（x+l）（0va<l）,若的最小值為-2,

則。=（）

A.-B.業(yè)C.yD.—

3322

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解即可.

［3-x>0

【詳解】由?八，得-l<x<3,

X+1>0

所以函數(shù)/（刈=嚏“（3-刈+唾“（1+1）（0<。<1）定義域?yàn)椋ㄒ?,3）,

因?yàn)槎?1叫（37）+1陶（工+1）=晦“［（37）（工+1）］由外層函數(shù)），=108/（0〈"1）和內(nèi)層函數(shù)

f=（3r）（x+l）復(fù)合而成,

當(dāng)-1VXV1時(shí)，內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增，外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以“力單調(diào)遞減,

當(dāng)l<x<3時(shí)，內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減，外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以/（X）單調(diào)遞增,

所以⑴=噫4=2所以』J

又因?yàn)镺vavl,所以〃=

故選：C

二、填空題

6.（23?24高三下.北京順義.階段練習(xí)）函數(shù)/a）=ln（x+l）+，T的定義域是.

【答案】（—1』

【分析】

由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域及被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)解不等式即可得結(jié)果.

..［A+1>0

【詳解】由/（x）的解析式可得?、八，

I—x2U

解得-1VXK1；

所以其定義域?yàn)椋?15.

故答案為：（-15

7.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)凡r）=」2,'°設(shè)。="gj,石，則心。））=

2

log3x,x>0

【答案】5

【詳解】

解析：-lva=log^J5v0,則f（f（a））=f（5）=k）gKn=3.

8.（23-24高一下?上海閔行?階段練習(xí)）函數(shù)戶咋」（工+2）一工2/?2,6］的最大值為

2

【答案】-6

【分析】

判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.

【詳解】

由題意，知丁=-產(chǎn)在［2,6］上單調(diào)遞減，￥=1〃;（'+2）在［2,6］上單調(diào)遞減，

故y=logJx+2）-不在［2,6］上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=2時(shí)該函數(shù)取到最大值1國(guó)式2+2）-22=-6,

2

故答案為：-6

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)y=log“（x-2）+l（a>0,且。=D的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓

--+--=\(m>0,〃>0)上，則〃?+〃的最小值為.

mn

【答案】16

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到〃?與〃的等量關(guān)系,

再利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題意得，函數(shù)y=log，x-2)+1(。>0,且awl)的圖象所過(guò)定點(diǎn)為(3,1),

91

則一+—=1,

nin

er"z、，9L,_9〃in_9nin”

所以m+〃=(rn+n)(—i—)=10H---1—210+2J------=16,

inninnVtnn

當(dāng)且僅當(dāng)即二生，

tnn

即〃?=12,〃=4時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：16.

【題型三解對(duì)數(shù)方程與不等式】

觸類旁通求解對(duì)數(shù)不等式的兩種類型及方法

類型方法

借助y=logu的單調(diào)性求解，如果。的取值不確定，需分a>1與0V。

10gM>lOgab

<1兩種情況討論

\O^iX>b需先將匕化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式，再借助y=\o-ax的單調(diào)性求解

【典例1](單選題)已知log2[log?og#]=0,則X的值為()

A.1B.32C.64D.16

【答案】C

【分析】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)求對(duì)數(shù)方程的解即可.

[詳解]由題設(shè)Iog3(log4A)=l=>log4X=3=x=43=64.

故選：C

【典例2】(單選題)(2024?遼寧?三模)已知集合4={引ln(x-2)<0},B={y|>'=2l-l,XGA},則—B=

()

A.(2,3]B.(2,7]D.(I,?)

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式有意義、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)值域的解法，結(jié)合并集的定義即可求解.

【詳解】要使函數(shù)y=ln@-2)有意義，則1-2>0,解得工>2,

顯然函數(shù)y=ln(x-2)在區(qū)間上(2,+00)上單調(diào)遞增，且In1=0,

所以A={x|ki(x-2)W0},只需解得2VxM3

另函數(shù)y=2,-1在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增，

則3=2?-1<)”23-1=7,

所以8={x[3<xK7},

所以Afi={x|2<x<3}{x|3<x<7}={x|2<x<7}.

故選：B.

■題型詞練■

一、單選題

1.(2024.河南.模擬預(yù)測(cè))%%”是，d+e)>lnW+e"()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】取〃=1,力=-2即可說(shuō)明不充分，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式也可說(shuō)明不必要由此即可得解.

【詳解】取4=1,〃=-2可得lnR2+e)<ln(〃+e),故充分性不成立；

22

若In年+e)>ln(b+e),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得/+e>Z>+e>

故得同>回，并不能推出所以必要性同樣不成立，

故“〃>〃”是“l(fā)n(/+e)>ln伍2+e)”的既不充分也不必要條件，

故選：D.

x~+x,-2?xW—

4

2.(23-24高二下?湖南?階段練習(xí))已知函數(shù),若/(幻的值域是則c的值為

10g1X,一C

24

()

A.2B.272C.4D.8

【答案】c

【分析】畫出函數(shù)圖像，由分段函數(shù)中定義域的范圍分別求出值域的取值范圍再結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算

可得正確結(jié)果.

2

【詳解】當(dāng)—2VXW；時(shí)，/（x）=x4-x=（x+lY-le-1,2,

因?yàn)?（"的值域是卜2,2],又〃工）=1。8廣在（；，。上單調(diào)遞減,

所以k）gy=-2,...c=4.

高一上糊北?階段練習(xí)）已知函數(shù)九則方程[/（%甘=+唯的解為（

3.（22-23/3=1%24KJ)

A.gB.g或/C.g或2&D.2或孝

【答案】C

【分析】換底公式化簡(jiǎn)可得出關(guān)于log?x的等式，求出log?%的值，再利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得出X的

值.

【詳解】因?yàn)閘og(l)=lOg22(5)=fog2[^)=；(log2X_]),

由=2+log,可得(log?-11og2x-g=。，

3

得log,.r=_1或log,x=；,

1=

當(dāng)log2X=-l時(shí)，X=2~；當(dāng)Iog2X=5時(shí)，x=2^=2V2,

綜上所述，原方程的解為X或x=2&?

故選：C.

4.（23-24高一下?浙江溫州?開(kāi)學(xué)考試）宇宙之大，粒子之微，無(wú)處不用到數(shù)學(xué).2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C

給了''阿秒光脈沖”，光速約為3xRTm/s,I阿秒等于10-4.一尺之趣，日取具半，萬(wàn)世不竭,一根1米長(zhǎng)

的木趣，第一次截去總長(zhǎng)的一半，以后每次截去剩余長(zhǎng)度的一半，至少需要截（）次才能使其長(zhǎng)度小于

光在邛可秒內(nèi)走的距離.（參考數(shù)據(jù)：愴2。0.30,愴3必）.48）

A.30B.31C.32D.33

【答案】C

【分析】先求得光在1阿秒內(nèi)走的距離，由此列不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

【詳解】光在1阿秒內(nèi)走的距離為3x108xl0-,8=3xIO'10，

設(shè)需要截工次，則（gj<3x10%兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得：愴6）<lg（3xlO,o）?-xlg2<lg3-10,所

10-lg310-0.48__

以工〉-----x-------?31.73,

人1g20.3

所以至少要截32次.

故選：C

二、填空題

5.（2024.北京西城?二模）函數(shù)/（x）=J1+log、工的定義域是.

【答案】（1，+?>）

【分析】由題意可得出結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

x>0

【詳解】函數(shù)/*）=JI+1嗎干的定義域是:

I-log,x>0八,\

,解得：

x>033

故答案為：［；,+8）.

J

6.（2024?內(nèi)蒙古?三模）?log23=l,則9-'=?

【答案】；川.25

4

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得3、=2,利用指數(shù)幕的運(yùn)算可得結(jié)果.

【詳解】由=可得3，=2,則"=30=（3丁=2-2=；.

故答案為：-5-

4

7.（23-24高三下.上海?階段練習(xí)）方程愴（2-工）+電（3-幻=電12的解是.

【答案】x=—1

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】由方程聯(lián)2-幻+愴(3-啟=愴12,可得lg[(2—x)(3-切=但12,

2-A>0

..「37>0,解得戶一1.

(2-x)(3-x)=l2

故答案為：x=—\

8.(23-24高一上.江蘇連云港.期末)函數(shù)“力是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則不等式/(l)</(lgx)的解

集為.

【答案】(0,1。)

【分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性直接求解即可.

【詳解】二/(力為定義在R的減函數(shù)，，由，(1)</(愴力得：1>吆科

即不等式/(?)</(愴力的解集為[0/0).

故答案為：(040).

【邈型四對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)】

觸類旁通求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟

一求求出函數(shù)的定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論

判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，分。>1與0<。<1兩種情況

二判判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷

函數(shù)的單調(diào)性

【典例1](23-24高一上.浙江杭卅期末)已知函數(shù)/(x)=log式/+2X-1)MWR.

(1)若/(x)過(guò)定點(diǎn)(L2),求/(”的單調(diào)遞減區(qū)間;

⑵若值域?yàn)镽，求4的取值范圍.

【答案】（1）（—,一1）

⑵[0,口）

【分析】（1）根據(jù)題意，求得a=3,得到/@）=唾2（3/+241）,令3/+2.1>0,求得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

（-「I）J（g,笆），利用二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定法，即可求解；

（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為（0,+8）工{），|），=奴2+2》-1},結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.

【詳解】（1）解：由函數(shù)/（幻=1嗚32+2工-1）過(guò)定點(diǎn)（1,2）,

可得log式。+1）=2,可得a+l=4,解得a=3,所以/（x）=log2（3f+2x-l）,

令卡+2x-l>0,解得工<一1或即函數(shù)的定義域?yàn)椋╢,T）J（\,+8）,

JJ

設(shè)式x）=3f+2x-l,則函數(shù)在（-co,-1）上為單調(diào)遞減函數(shù)，

又由函數(shù)y=log?x在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)/（可在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/"）的遞減區(qū)間為（fl）.

（2）解：由函數(shù)/。）=1。82（皿2十2八-I）的值域?yàn)镽,

即（0,+8）為函數(shù)〃（x）=依2+2x-1值域的子集，即（0,4-00）q3y=ar?+2x-1},

當(dāng)a=0時(shí)，可得〃（力=2工-1,此時(shí)函數(shù)Mx）的值域?yàn)镽,符合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，則滿足△=2?+4a20,解得aN-1,所以〃>0;

當(dāng)“<0時(shí)，此時(shí)〃（x）=a?+2x-l的開(kāi)口向下，顯然不滿足題意，

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[0,m）.

■題型訓(xùn)練!

一、單選題

1.（23?24高二下.四川.期中）函數(shù)-4x72）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.(—,一2)B.(-oo,2)C.(2,”)D.(6,+co)

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】由〃x)=ln(x2-4x-12),貝晨2一曲一12>(),解得二一2或x>6,

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?—,-2)56”)，

令”=32一4”一12,則y=ln〃是增函數(shù)，

又〃=--4%-12在(Y°,-2)上單調(diào)遞減，

所以"x)=ln(d一人-12)的單調(diào)遞減區(qū)間是(f-2).

故選：A.

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)"x)=xln|^的大致圖象為()

0i"X

【答案】C

【分析】先求〃X)的定義域，判斷奇偶性，再計(jì)算/(1)的值，利用排除法即可選出正確的選項(xiàng).

【詳解】解：由題可知，/(x)的定義域?yàn)?T3),

/(-%)=-xln3f.=-xlnf---!=x\n---=f(x)t

八)3-x(3+AJ3+X八，

??J(x)是偶函數(shù)，排除A,B,

X/(l)=ln-=-ln2<0,排除D,

故選：C.

3.(23-24高三上?寧夏石嘴山?期天)已知函數(shù)/(x)=ln(e+%)-ln(eT),則f(x)是()

A.奇函數(shù)，且在(。,切上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在?e)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在Qe)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,e)上是減函數(shù)

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的定義域，利用奇偶函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷即可.

【詳解】若函數(shù)/*)=ln(e+x)-ln(e-x)有意義，貝”‘一"，解得-ec<e,

e+x>0

即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-e,e),

因?yàn)?(r)=ln(e-x)-In(e+x)=-[ln(e+x)Tn(e-x)]=-/(￡i,所以函數(shù)/(幻是奇函數(shù),

函數(shù)/(x)=ln(e+x)_ln(e_%)=Ine+A=ini-14--"e-L

<e-x)

因?yàn)楹瘮?shù)〃=7+二J在(0,0上遞增，函數(shù)y=In”在定義域上遞增，

e-x

所以函數(shù)/(X)在?e)上是增函數(shù).

故選：A

二、填空題

4.(23-24高三上.四川廣安?階段練習(xí))已知函數(shù)，(用=1嗚(一/+21+3),則/(%)的值域是

【答案】(f1叫4]

【分析】換元法，先求出Y4,再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求值域即可.

22

[詳解],//(X)=log3(-x+2x4-3),.,.y=log3/,t=-x+2x+3,

r=-x2+2x+3=-(x-l)2+4<4,

???>?=log/單調(diào)遞增，y=log/<logj4,

則f*)的值域是(-004鳴4]。

故答案為：(e,kg4]

5.(23?24高一上.廣東茂名?期中)函數(shù)尸[lg(21川：4*2'+1)+6的值域是.

【答案】［2,”）

【分析】換元，令f=lg（2'+l）,可得，?0,包），結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求值域.

［詳解］令/=lg（2］+l）,則/?）=/_4/+6=Q_2）2+2,

因?yàn)?、+1w（1,3）,則t=lg（2r+1）w（0,+8）,

且"/）的對(duì)稱軸為1=2G（0,+8）,

可知/（%=/（2）=2,

所以y=［1g（2*+-41g（2*+1）+6的值域是［2,-K?）.

故答案為：［2,+oo）.

6.（23-24高三下?陜西西安?階段練習(xí)）已知函數(shù)/'（1）=1。氐，+ar+2）在（-l.y）單調(diào)說(shuō)增,則。的取值范

圍是.

【答案】［2,3］

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于a的不等式組，解之即可求解.

【詳解】設(shè)g（x）=f+ov+2,因?yàn)閥=log./單調(diào)遞增，

若/?（4）=1%3（1十皿十2）在（-1,田）單調(diào)遞增，則g（力在（—1,e）單調(diào)遞增，

——<—1ft?>2

則滿足｛2一,即彳~,解得2?〃43,

故。的取值范圍是［2,3］.

故答案為：［2,3］

【迤型五對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用】

觸類旁通解決對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題的注意點(diǎn)

（1）要分清函數(shù)的底數(shù)是?！辏?,1）,還是?！辏?,+8）.

（2）確定函數(shù)的定義域，無(wú)論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上

進(jìn)行.

（3）轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意對(duì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

（23-24高三上.山東德州?階段練習(xí)）己知函數(shù)/（力=logm'為偶函數(shù).

【典例1】4

（1）解關(guān)于X的不等式x2—mx—2>0;

⑵若a）在區(qū)間（1,2］上恒成立，求a的取值范圍.

【答案】（1）（-1,2）

（2乂竭

【分析】（1）根據(jù)奇偶性求m,然后解不等式可得；

（2）參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，然后利用單調(diào)性求函數(shù)最值即可.

【詳解】（1）/（-x）=log4i^,由于函數(shù)〃司=10%上等為偶函數(shù)，

所以/（X）=/（T），

Hn,4'+m,4T+rnBn4,+m4T+m

BPlog4=log4,即方「二不「

即(“-1)(4*-1)=0恒成立,Am=l.

所以不等式為丁-X-2>（）,解得：-lvxv2,所以原不等式的解集是（-1,2）.

（2）由題得log,愛(ài)Nlog/a2-〃）恒成立，即亨恒成立，

2r+l

因?yàn)閤?l,2］,所以lv2「l?3,所以L+而巧恒成立，

21+1

令…(上右①]),令r=2'+l(3<Y5),

則「=〃"）=1+3工="高,

9

因?yàn)閺V1十：-3在（3,5］單調(diào)遞增,

17

所以函數(shù)/?（1）在（3,5］上單調(diào)遞減，故=刈5）=苒.

對(duì)任意的xe(l,2］恒成立，且，。>0.

?,?實(shí)數(shù)a的取值范圍是，得.

■題型調(diào)練■

一、單選題

1.(23-24高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(xWeX-e-JlMVTW+q,則關(guān)于x的不等式

“3文+1)+〃工)>0的解集為()

A.(一；，+8B.(-8,一C.(-=0,0)D.(0,-KO)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性即可求解.

【詳解】由題意，易知〃”的定義域?yàn)镽,

而f(-x)=e-,-e_<_t>+ln7)

所以f{-x)=e-x-er+ln(6+l)

即f(-x)=e-'-e*-In(Vx2+1+x)=-/(x),

所以為R上的奇函數(shù)；

又因?yàn)閥=e',y=-e\)，=ln(7x2+l+x)均為奇函數(shù),

且在(0,也)均為增函數(shù)，

所以/(x)為R卜的奇函數(shù)，且為增函數(shù):

又因?yàn)椤?x+l)+〃x)>0,

所以〃3x+l)>—/(x)=〃r),

:.3x+\>-x?

故選：A.

二、填空題

2.（22-23高一上?上海普陀?階段練習(xí)）設(shè)OvavA,若函數(shù)y=|嚷2工一1|廣?<聞的值域?yàn)椋??！?，則a+b的

取值范圍是.

【答案】［3,6］

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目中函數(shù)的值域?yàn)椋?5，分析特殊點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分類

討論即可得解.

【詳解】作出函數(shù)圖像,

根據(jù)題意），=/（力=|1叫"-1|=0,

得了=2,

令》