專題06二次函數(shù)的面積、周長、線段、新定義綜合問題壓軸題三種模型全攻略

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考點(diǎn)一用二次函數(shù)解決面積最值問題考點(diǎn)二用二次函數(shù)解決周長、線段最值問題

考點(diǎn)三用二次函數(shù)解決新定義型問題

典型例題

........||(||^

考點(diǎn)一用二次函數(shù)解決面積最值問題

例題：(2022?湖北?咸寧市浮山學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn),

與V軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)2與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為8(3,0),C(0,3),點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn).

⑴求二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)點(diǎn)P為線段MB上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)D若OD=m,△PCD的面積為S,試判斷S有

最大值或最小值？并說明理由；

(3)在MB上是否存在點(diǎn)P,使△PCD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請

說明理由.

【答案】⑴y=-尤2+2尤+3

9

(2)S存在最大值，最大值為I

【分析】(1)將8(3,。)、CQ3)代入y=-f+6x+c,列方程組求出6、。的值即可；

(2)先求所在直線的解析式，用含加的代數(shù)式表示點(diǎn)尸的坐標(biāo)及△尸。的面積，求出S關(guān)于加的函數(shù)

關(guān)系式，用函數(shù)的性質(zhì)判斷并求出S的最值；

(3)存在符合條件的點(diǎn)尸，分三種情況根據(jù)點(diǎn)P的位置或勾股定理列方程求出加的值及點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)

解：把8(3,0)、C(0,3)代入丁=一/+法+。，

-9+30+c=0

得

c=3

b=2

解得

c=3'

回二次函數(shù)的解析式為y=-—+2x+3.

(2)

解：S有最大值.理由如下:

如圖1,設(shè)直線的解析式為y

回該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為"（L4）,

k+a=4

把M(l,4)、8(3,0)代入y=H+a,得

3左+〃=0'

k=-2

解得

a=6

回y=-2%+6,

。0,0),

團(tuán)P(m,-2m+6)；

得S=；m(-2m+6)=-m2+3m；

回當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)3重合時，不存在以P、C、。為頂點(diǎn)的三角形,

01?m<3,

團(tuán)S不存在最小值;

(3Y9

S=-m2+3m=-m——+—,

I24

39

回當(dāng)〃?=5時，S量大=“

9

回S的最大值為了.

4

(3)

解：存在，理由如下：

若ZDPC=90。，如圖2,則PC〃x軸,

國尸(加,3),且在直線y=-2x+6上，

團(tuán)—2m+6=3,

解得Y3，

若NP8=90。，如圖3,貝1」尸。2+0￡)2=打)2,

回療+(—2m+6—3)2+m2+32=(—2m+6)2,

整理，得療+6帆-9=0,

解得叫=3應(yīng)-3,極=-33(不符合題意，舍去);

團(tuán)P(3近-3,12-672)；

若ZPDC=90。,則。加+2加=尸。2,

團(tuán)m2+32+（-2m+6）2=m2+（-2m+6-3）2,

整理，得129=36,

解得根=3,

此時不存在以尸，C,。為頂點(diǎn)的三角形，

回憶=3舍去.

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為2，3）或（3夜-3,12-6五）.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、勾股定理、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次根式的化簡

等知識，解第（3）題時應(yīng)分類討論并進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?內(nèi)蒙古?通遼市科爾沁區(qū)第七中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線>=依2+2辦-3與x軸交于A,

2兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與〉軸交于點(diǎn)C,且OA=OC,連接AC.

⑴求拋物線的解析式.

（2）若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上一動點(diǎn)，求0ACP面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

⑶若點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)R使以A,B,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴》=/+2彳一3

3273

（2）當(dāng)x=-彳時，ZvlCP面積的最大值為丁，此時點(diǎn)尸（-2,-：）；

284

（3）點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-5,12）或（3,12）或（-1,-4）

【分析】（1）利用拋物線的解析式令尤=0時，、=-3求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用。4=OC,求得點(diǎn)A的坐標(biāo),

代入拋物線的解析式即可求解；

（2）過點(diǎn)P作P”〃y軸交AC于點(diǎn)X,利用SA?>=Sw+SpHc即可求解；

（3）分是邊、是對角線兩種情況，利用圖形平移的性質(zhì)和中點(diǎn)公式，即可求解.

（1）

解：?..拋物線的解析式為y=a^+2ax-3,

...當(dāng)x=0時，y=-3,

...C(0,-3)

故0c=3=04

AA(-3,0),

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：9a-6°-3=0,解得。=1,

故拋物線的表達(dá)式為y=犬+2了-3；

(2)

設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,

?.?直線AC過點(diǎn)C(0,-3),A(-3,0),

\b=-3“,fb=-3

???…n，解得，]

[-3左+0=0[k=-1

?,?直線AC的表達(dá)式為y=-1-3,

過點(diǎn)P作PH//y軸交AC于點(diǎn)H,

設(shè)點(diǎn)P(x,d+2%_3),則點(diǎn)“(x,7-3),

PH=—x-3-+2x-3)=-%2-3x,

=

則SACPSPHA+SpHC

=g0"?(%+3)+；PH.(-x)

33?7

V--<0,故△AC尸面積有最大值，當(dāng)兀=-彳時，△ACP面積的最大值為營,

228

‘當(dāng)x=一'|時，/+2工一3=1|)+2、1|]_3=一片

315

此時點(diǎn)P(--,一~—)；

24

(3)

對于y=f+2x—3,令y=(),

即y=Y+2x-3=0,

解得x=-3或1,

故點(diǎn)3(1,0),

???拋物線的對稱軸為直線為％=-1,

設(shè)點(diǎn)尸(如n),即〃=/+2機(jī)-3①，點(diǎn)E(-1,力,

①當(dāng)是邊時，

點(diǎn)A向右平移4個單位得到點(diǎn)B,同樣點(diǎn)F(E)向右平移4個單位得到點(diǎn)E(F),

即m+4=-1(2),

m=-5m=3

聯(lián)立①②并解得77=12或

n=12

故點(diǎn)廠的坐標(biāo)為(-5,12)或(3,12)；

②當(dāng)A3是對角線時，4(-3,0),B(1,0),

—1+m—3+1

由中點(diǎn)公式得:③，

22

m=-l

聯(lián)立①③并解得

n=-4,

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-1,-4)；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-5,12)或(3,⑵或(-1,-4).

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式的

運(yùn)用、圖形的平移等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

2.(2022?安徽?利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖所示拋物線y=ax2+bx+c由拋物線-x+1

沿對稱軸向下平移3個單位得到，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在8的左側(cè))，與y軸交于C,直線丁=履+6過

⑴寫出平移后的新拋物線>=。/+灰+。的解析式；并寫出4/+云+°>丘+6時X的取值范圍.

(2)點(diǎn)尸是直線2C下方的拋物線上一動點(diǎn)，連接尸。、PC,并把APOC沿CO翻折，得到四邊形尸OPC,

那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

⑶當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，APBC的面積最大？求此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)和APBC的最大面積.

【答案】⑴"無2-尤-2

(2)存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(叱叵，-1)

2

⑶P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2),APBC的最大面積為1

【分析】(1)由圖象平移的性質(zhì)即可求解；

(2)當(dāng)四邊形POPC為菱形，則點(diǎn)尸在OC的中垂線上，進(jìn)而求解.

2

(3)過點(diǎn)P作y軸的平行線與3c交于點(diǎn)￡),設(shè)尸(無，x-x-2),先求出3、C的坐標(biāo)，根據(jù)

SPBC=S梯形PCOD+SPBD_SBOC列出尤的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)

以及面積最大值.

(1)

解：由圖象平移的性質(zhì)得：y=x2-x+l-3=/-x-2；

(2)

解：存在，理由：如圖，

對于y=x2-x-2,令x=0,則y=2,

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),即OC=2,

當(dāng)四邊形POPC為菱形，則點(diǎn)P在OC的中垂線上，

則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為《xOC=-1,

當(dāng)y=-l時，即丫=/-/2=-1,解得避或》=上正(不符合題意，舍去),

22

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(生叵，/).

2

(3)

解：過點(diǎn)P作y軸的平行線與8c交于點(diǎn)D,

2

設(shè)P(x,X-X-2)9

團(tuán)點(diǎn)P是直線8c下方的拋物線上一動點(diǎn)，

0PD=-x2+%+2,

對于拋物線y=X2-X-2,

當(dāng)y=0時，x2-x-2=0,

解得：%=—1,42=2,

05(2,0),

由⑵知：C(0,-2),

回SPBC=S梯形PC0D+SPBD-SBOC

=1x(-x2+x+2+2)+1(2-x)(-x2+x+2)-1x2x2

=-x2+2x

=-(x-l)2+1

當(dāng)x=l時，I3PBC的面積最大，最大面積為1,

把x=l代入拋物線解析式，得產(chǎn)-2,

此時尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-2).

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到拋物線的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、平

移的性質(zhì)等，有一定的綜合性，難度不大.

3.(2022?山東?沂水縣沂新中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,

3

0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),拋物線y=ar2+6x+c的對稱軸是x=-],且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為

點(diǎn)、B.

⑴①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②求拋物線表達(dá)式；

(2)在對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得回QBC的周長最??？若存在，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

⑶若點(diǎn)尸為直線AC上方拋物線上的一點(diǎn)，連接用，PC.求/以C的面積的最大值，并求出此時點(diǎn)尸的坐

標(biāo).

13

【答案】⑴①3(1,0)；②y=-5x2_]X+2

35

⑵存在，。(一展小

(3"PAC最大值為4,此時尸(-2,3)

【分析】(1)由43關(guān)于對稱軸對稱，即可求得8點(diǎn)坐標(biāo)，將A,B,。代入解析式即可求得答案.

⑵A,5關(guān)于對稱軸對稱，當(dāng)A,Q,C共線時最小，求直線AC與對稱軸交點(diǎn)即可得到。點(diǎn)坐標(biāo).

(3)過產(chǎn)作y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)H,表示出Sp前,當(dāng)尸”最大時，S尸.最大，同時得到取最大

值時點(diǎn)P坐標(biāo).

(1)

解：①她，B關(guān)于直線工=對稱，且A(-4,0)

EB(1,0)

②團(tuán)拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-4,0),B(1,0)

回y=々(1+4)(%—1)

把C(0,2)代入解析式

得〃=一；

13c

0y=-x2—尤+2

22

1Q

所以拋物線解析式為：y=-jx2-jx+2

(2)

解：存在。使得回QBC的周長最小

回。在對稱軸上，A,B關(guān)于對稱軸對稱

團(tuán)當(dāng)。在直線AC與對稱軸交點(diǎn)時，C/XQBC最小值

EL4(-4,0),C(0,2)

,1c

回(4c：)=2冗+2

團(tuán)Q(一1,j)

24

(3)

解：過尸作y軸的平行線，交直線AC于點(diǎn)”

S△尸AC=1PH(XC-XA)

=2PH

131

^P(a,--a29--a+2),H(a,-a+2)

i3i

則尸H=——a2——cz+2——a-2

222

1。

=—Q2—2。

2

0--<0

2

回開口向下

當(dāng)。=—2時，PH最大值為2

回SPAC最大值為4

此時P(-2,3)

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，包含將軍飲馬線段和最小、面積最值問題.掌握將軍飲馬模型、

線段和面積最值問題解決方法是解題關(guān)鍵.

4.(2022?廣東?廣州市南武中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)>=辦2+6尤+。的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(2,-9),該函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,-5),與尤軸交于點(diǎn)8,C.

⑴求該二次函數(shù)的解析式;

⑵求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)過點(diǎn)A作AO〃x軸，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)O,M為二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為相，且0

<m<5,過點(diǎn)M作MN〃y軸，交AD于點(diǎn)、N,連接AM,MD,設(shè)AAMO的面積為s.

①求s關(guān)于m的函數(shù)解析式；

②判斷出當(dāng)點(diǎn)M在何位置時，△AM。的面積最大，并求出最大面積.

【答案】⑴該二次函數(shù)的解析式為尸/-4x7；

⑵點(diǎn)B的坐標(biāo)(-1,0)；

—+8"z(0<〃z<4)

c2?！╱、；②當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)C重合時，△AMD的面積最大，最

{2?r-8m(4<77i<5)

大面積為10.

【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,-9),設(shè)出拋物線頂點(diǎn)形式，將(0,-5)代入求出a的值，即可確定出拋

物線解析式；

(2)當(dāng)y=0時，0=X2-4彳-5,求得x的值，即可得出點(diǎn)2的坐標(biāo)；

(3)①先根據(jù)當(dāng)y=-5時，-5=/_4犬-5,求得￡>(4,-5),再分兩種情況討論：當(dāng)0<根<4時，點(diǎn)M在

A。的下方的拋物線上；當(dāng)4》長5時，點(diǎn)M在CO之間的拋物線上，分別求得s關(guān)于根的函數(shù)解析式；②

分兩種情況，求得當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時，AAMD的面積最大，最大面積為10.

(1)

解：回頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,-9),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=?(X-2)2-9,

將點(diǎn)A(0,-5)代入，得

-5=4a-9>

解得。二1，

團(tuán)拋物線解析式為y=(x-2)2-9=x2-4x-5；

(2)

解：當(dāng)y=0時，0=*2-4了一5,

解得尤i=5,x2=-l,

回點(diǎn)B的坐標(biāo)(-1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)(5,0)；

(3)

解：①當(dāng)y=-5時，-5=*2-4工一5,

解得“1=。，尤2=4,

回。(4,-5),

國點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且0<〃區(qū)5,

國當(dāng)0＜相＜4時，點(diǎn)M在AD的下方的拋物線上,

設(shè)A/(m,nr-4m-5),則

△AMD的面積=1xADxMN,

2

即s=]x4x[—5—(nr—4/w-5)]=2(—m2+4m)=-2m2+8/n(0<m<4)；

當(dāng)4<m<5時，點(diǎn)M在CD之間的拋物線上，

△AMD的面積=,xAOxMN,

2

即s=gx4x]〃?2-4；H—5-(-5)^|=2(m2-4/n)=2m2-8根(4<m<5)

—2m2+8m(O<77?<4)

綜上所述，S關(guān)于他的函數(shù)解析式為6=

2m2-8加(4<m<5)

②當(dāng)點(diǎn)M與拋物線頂點(diǎn)重合時，MJ=2,

此時，S=-2X22+8X2=8,

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時，〃z=5,

此時，S=2X52-8X5=10,

回當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時，△AMD的面積最大，最大面積為10.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.解決問題的關(guān)鍵是

掌握運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a,h,人是常數(shù)，存0）,其中（〃，左）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；解題時

注意分類思想的運(yùn)用.

5.（2022?內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，拋物線yM+x+c經(jīng)過3（3,0）,2,高兩點(diǎn)，與x軸的另

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動（與點(diǎn)3,C不重合），求使△MBC面積最大時M點(diǎn)的坐標(biāo)，并

求最大面積；（請在圖1中探索）

⑶設(shè)點(diǎn)。在y軸上，點(diǎn)尸在拋物線上，要使以點(diǎn)A,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(請在圖2中探索)

【答案】⑴y=-,。(。萬］

(315、327

⑵“不丁，當(dāng)根=：時，S有最大值為多

oy2lo

⑶滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為6(4,-￡|，214,一日］，鳥(2,j

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

13

(2)作直線3C,過M點(diǎn)作MA同y軸交2C于點(diǎn)N,求出直線BC的解析式，設(shè)M(如-萬/+加+萬)，則N

<im,可得+」■,再求解即可；

2224(2)16

13

2

(3)設(shè)。(0,f),P(m,--m+/W+-),分三種情況討論：①當(dāng)A3為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)

AQ為平行四邊形的對角線時；③當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利

用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.

(1)

解：把點(diǎn)3(3,0)和0^-2,-|j分別代入y=/+日,可得

9。+3+c=0

4。-2+。=——'

I2

1

a=——

2

解得3

I2

1Q

回拋物線的解析式為y=--x2+x+-

才巴尤=0代入>=_萬/+》+^可得

(2)

解：作直線BC,作加〃〉軸交直線BC于點(diǎn)N

把點(diǎn)3(3,0)和c1o,1分別代入產(chǎn)米+》

3k+b

可得]3

b=—

[2

解得

b=-

[2

13

團(tuán)直線3c的解析式為y二-/工+萬

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m

四時加+Q,N

(22)\22

22

回SgCM=-MNOB,3=—"3〃

222)44

27

+—(0<m<3)

16

團(tuán)當(dāng)根=：3時，s有最大值為27

216

15

8

(3)

解：當(dāng)以A5為邊時，只要PQ〃A5,且尸。=A3=4即可

回點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4

把x=4代入y=_1]f+x+Q]可得？=S

1391

把x=7?代入y二一/爐+元+萬可得y=_彳_

回此時

當(dāng)以A3為對角線時，作片無軸于點(diǎn)X

團(tuán)Ag〃AQ3=BP5

團(tuán)NQ3A3=N65A

在△4903和△5陰中

ZQ3AB=ZPiBA

<ZAOQ3=ZBHP3=9Q°

AQ3=BP3

團(tuán)△AOQ也△跳俏

^1OA=HB=1

^\OH=OB-BH=3-1=2

回點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2

i33

把x=2代入、=一/爐+尤+^可得,二]

回此時公儀1]

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為A口,-|；巴14,-弓)，6(2,1

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討

論是解題的關(guān)鍵.

6.(2021?遼寧?大連育文中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，拋物線y=-/+2x+3與無軸相交于A,3兩點(diǎn)，與V軸

相交于點(diǎn)C,直線產(chǎn)區(qū)+6經(jīng)過C,B兩點(diǎn).

⑴直接寫出各點(diǎn)坐標(biāo)：A：，B：,C：；

(2)直線y=kx+b的解析式是：；

⑶如圖，D是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，OBC的面積是S,求加

為何值時，的面積最大？最大面積是多少？

(4)當(dāng)D3C的面積最大時，在如圖所示的拋物線上是否還存在不同于。的點(diǎn)Q,使得5。皿=5℃?若存在

直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(T0),(3,0),(0,3)

(2)y=f+3

3

⑶當(dāng)機(jī)=1時，S取得最大值萬

⑷存在，《”,察3或4心，?J

【分析】(1)對于拋物線解析式，令y=0求出X的值，確定出A,2的坐標(biāo)，令x=0求出〉的值，得出C的

坐標(biāo)；

(2)用待定系數(shù)法求解即可；

(3)過點(diǎn)。作x軸的垂線，交BC于點(diǎn)E,表示出。E的長，根據(jù)面積公式列函數(shù)解析式求解即可；

(4)作。/AB交BC于點(diǎn)兒表示出。產(chǎn)的長，根據(jù)，5加°=5少。=1列方程求出〃的值，進(jìn)而可求出

點(diǎn)Q的坐標(biāo).

(1)

解：當(dāng)y=0時，—Y+2x+3=0,

解得七二-1或%2=3,

團(tuán)A(-l,0),5(3,0),

在y=-X2+2X+3中，當(dāng)％=0時,y=3,

回。(0,3),

故答案為：(—1,。),(3,0),(0,3)；

(2)

解：把5(3,0),C(0,3)代入產(chǎn)區(qū)+6,得

(3k+b=0

[b=3

[k=-\

團(tuán)―’

[b=3

團(tuán)y=-x+3.

故答案為：y=-X+3.

(3)

解：過點(diǎn)。作x軸的垂線，交5C于點(diǎn)￡

回點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，

團(tuán)D(m,-m2+2m+3),E(m,-m+3),

回DE--m2+2m+3A{-(-m+3)=m2+2m,

團(tuán)5二-DEOB=-(-m2+2m)?

22、7

=^—m2+2mj?

3八

團(tuán)——<0,

2

團(tuán)拋物線開口向下，

3

團(tuán)當(dāng)機(jī)=1時，S取得最大值大.

2

(4)

解：存在.

作。廠AB交BC于點(diǎn)F,

設(shè)-1+2n+3),F(n2-2n,-n2+2n+3),

團(tuán)QF=n2-3n,

3

由題意得，SDBC=SQBC=］，

回;("-3狂)？1,

解得叵或〃=三巫，

22

當(dāng)心三匹時，一"+2〃+3=匕巫.

22

當(dāng)〃=3-而時,一〃2+2〃+3=1±巫.

22

q乎T或《孑誓］

故答案為：存在，《子，心卜［上盧,^

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)與幾何綜合,

數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二用二次函數(shù)解決周長、線段最值問題

例題：(2022?廣東?湛江市初級實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖是二次函數(shù)y=(x+m)2+上的圖像，其頂點(diǎn)的

坐標(biāo)為

⑴求出圖像與x軸的交點(diǎn)A,8的坐標(biāo)；

⑵在二次函數(shù)的圖像上是否存在點(diǎn)尸，使若存在，求出尸點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理

由；

⑶在y軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得QM+QB的和最小，若存在，求出。點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴4(-1，0),B(3,0)；

(2)(-2,5)或(4,5)；

(3)存在，。點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5)或(4,5)；

【分析】(1)由-4)是二次函數(shù)y=(元+機(jī))2+左的頂點(diǎn)坐標(biāo)，得至!]y=(尤-1)2-4=爐-2》-3,令

2

X-2X-3=0,解得4=-1,^2=3.得到答案；

(2)設(shè)P(x,y),則S；|AB|x|y|=2|y|,SMAB^^|AB|x|-4|=8,則2|y|=：x8,即y=±5,進(jìn)

一步確定y的值，解f-2元一3=5即可得至！J答案；

(3)作3(3,0)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為&(-3,0),連接交y軸于Q,此時QM+QB的值最小.求出直

線的解析式為：y=-x-3,令x=0,y=-3,即可得到答案.

(1)

解：0M(1,-4)是二次函數(shù)＞=(》+加)2+左的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

Ey=(x-1)2-4=x2-2x-3,

令f-2x-3=0,

解之得矛1=-1,4=3.

EL4,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(3,0)；

(2)

在二次函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)P,使S△叩=%△收，

設(shè)P(x,y),

則sPAB=y|AB|x|y|=2|y|,

又回5次=3|48岡-4|=8,

1321yl=：x8,即y=±5,

回二次函數(shù)的最小值為-4,

廝=5.

當(dāng)y=5時，尤2-2尤-3=5,

解得尤=-2或x=4.

故尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,5)或(4,5)；

(3)

存在.作2(3,0)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為E(-3,0),連接MB'交y軸于。，此時QM+0B的值最小.

設(shè)直線為y=ox+b,把8'(-3,0),M(1,-4)代入得，

[-3a+6=0

ja+6=Y，

[a=—\

解得，2，

[Z?=-3

回直線EM的解析式為：y=-x-3,

令x=0,y=-3,

所以Q(0，-3).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了頂點(diǎn)式，二次函數(shù)圖像與％軸的交點(diǎn)問題，三角形的面積,

二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用軸對稱確定最短路線問題，綜合性較強(qiáng).

【變式訓(xùn)練】

1.(2021.福建省泉州第一中學(xué)九年級期中)已知拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(0,1)、(4,1),直線y=

與拋物線交于A、8兩點(diǎn)，直線為y=-L

⑴求拋物線的解析式；

(2)在//上是否存在一點(diǎn)P,使PA+PB取得最小值？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

⑶廠(七,為)為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M。，")為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線場的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離總

是相等，求定點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴拋物線的解析式為'=-x+l；

(2)存在，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(運(yùn)，-1)；

(3)定點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,1).

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

(2)聯(lián)立直線48與拋物線解析式組成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，作點(diǎn)8關(guān)于直線人

的對稱點(diǎn)E,連接AE交直線/?于點(diǎn)P,此時以+尸8取得最小值，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)

點(diǎn)A、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AE的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)

尸的坐標(biāo)；

(3)由點(diǎn)M到直線人的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)歹的距離總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得出

——

(1——+(2—2x0+2y0)m+Xg+y1—2y0—3=0,由根的任意性可得出關(guān)于尤0、%的方程組，解之即

可求出頂點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(1)

解：根據(jù)題意，得：

—X42+4Z7+C=1

,4

解得

回拋物線的解析式為：y=-x1-x+l-

y=-x

4

解：聯(lián)立直線A3與拋物線解析式組成方程組，得：

y=—x2-x+1

4

占卜2=4

回1，一1，

S4(1,B(4,1).

4

作點(diǎn)5關(guān)于直線"的對稱點(diǎn)￡,連接AE交直線/?于點(diǎn)尸，此時B4+P5取得最小值(如圖所示).

0B(4,1),直線4為y=?l,

前(4,-3).

設(shè)直線AE的解析式為y=Ax+。(七0),

將A(1,：)、E(4,-3)代入盧日+仇得:

[1

k7+b7=一

<4,

4k+b=-3

134

回直線AE的解析式為：丁二一五%+§.

134

當(dāng)產(chǎn)-1時，有一五x+]=-l,

28

配二行’

國尸(H，-1)；

(3)

解：回點(diǎn)M到直線h的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等,

22

13(〃+1)2=(77i-x0)+(n-y0),

團(tuán)2〃+1=n?_2x0m+%Q-2y0n+y；.

回M(m,n)為拋物線上一動點(diǎn)，

12i

^\n=-m—m+1,

4

2

團(tuán)2(；加—m+1)+1=m—2x0m+一2%(；根？-m+1)+,

2

整理得：0=(1----yQ)m+(2-2x0+2y0)m+%Q+y；-2y0-3.

Em為任意值，

1111n

1-萬-5%=。

回＜2-2x0+2y0=0,

x；+K-2%-3=0

回定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸

對稱中的最短路徑問題以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)

解析式；（2）利用兩點(diǎn)之間線段最短找出點(diǎn)P的位置；（3）根據(jù)點(diǎn)M到直線人的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)尸的距離

總是相等結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出關(guān)于毛、%的方程組.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江西吉安?九年級期末）如圖，拋物線卜=依2+/+屋。*0）的對稱軸為直線％=-1,與x軸相交于

A、2兩點(diǎn)，與y軸相交于C,04=OC,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,0）.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且SP℃=4SBOC，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶設(shè)點(diǎn)。是線段AC上的動點(diǎn)，作QQ以軸交拋物線于點(diǎn)。，求線段。。長度的最大值.

【答案】（l）y=f+2尸3

⑵P（4,21）,（-4,5）

嗚

【分析】(1)根據(jù)OA=OC,可求c；再依據(jù)對稱軸是直線x=-1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),可求a、b,

即得求拋物線解析式.

(2)可求ABOC的面積，根據(jù)SP℃=4SBOC，可求P點(diǎn)坐標(biāo).

(3)求出直線AC解析式，設(shè)點(diǎn)。("z,-W-3)(-3<m<0),則點(diǎn)D(m,m2+2m-3),根據(jù)二次函數(shù)的最

值求法，可求QD的最大值.

(1)

令x=0,則,=<?,

回。C=-c,

回04=0C,

團(tuán)3=-c,即c=-3.

團(tuán)對稱軸是直線x=-1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0),

--=-1

根據(jù)題意得：,2a,

9a-3b+c=0

[a=l

解之：Ao.

[b=2

團(tuán)拋物線解析式，+2尸3.

(2)

當(dāng)x=0時,y=-3,

回點(diǎn)C(0,-3),即OC=3,

EIA,2關(guān)于對稱軸對稱，

0B(1,0),即08=1,

13

B1SABOC=-OBXOC=-,

設(shè)P(.x,x2+2廠3),

回5"加=gx3x|尤|,

0SAP0C=4sBOC>

33

0-|xh4x-,

22

0x=±4,

EP(4,21),(-4,5).

(3)

團(tuán)點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)、C(0,-3),

回直線AC解析式尸-x-3,

團(tuán)設(shè)點(diǎn)Q(m，-m-3)(-3<m<0),

貝!)點(diǎn)￡>(m,m2+2m-3)，

3Q

團(tuán)當(dāng)相=一彳時，QD的最大值為

24

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的最值問題，利用數(shù)形結(jié)合思想

解決問題是本題的關(guān)鍵

2.（2022?福建?廈門市思明區(qū)觀音山音樂學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)

y=-丁+灰+。的圖象與尤軸交于A、8兩點(diǎn)，與，軸交于C（0,3）,A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，8點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）.點(diǎn)

尸是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線BC的上方.

⑴求這個二次函數(shù)及直線的表達(dá)式.

（2）過點(diǎn)尸做PD//y軸交直線BC于點(diǎn)、D,求PD的最大值.

（3）點(diǎn)M為拋物線對稱軸上的點(diǎn)，問在拋物線上是否存在點(diǎn)N,使—M2VO為等腰直角三角形，且N7VMO為

直角，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴二次函數(shù)的表達(dá)式為>=-/+2工+3,直線BC的表達(dá)式為>=-尤+3；

嗚

（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（三巫，土叵）或（1±22，叵0）或（匕畫，二生?）或（2±巫，

2222222

2

【分析】（1）利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)和直線BC的解析式；

（2）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,-%2+2%+3）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,-x+3）,PD=-x2+3x,由二次函數(shù)的

性質(zhì)可得出答案；

（3）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)”在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，如圖1,設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)E過點(diǎn)

N作NE0M產(chǎn)于點(diǎn)E,證明△MENBAOFM(A4S),可得OF=EA/=1,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,a),可得NE=

MF=a,則N(l-a,1+a),把點(diǎn)N坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a的值，可得此時點(diǎn)N的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M

在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，③當(dāng)點(diǎn)M在無軸下方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，④當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，

點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，同理可求點(diǎn)N的坐標(biāo).

(1)

解：把點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)u-V+Zzx+c中，

[9+3b+c=O

得：二，

[c=3

[b=2

解得：

[c=3

回二次函數(shù)得表達(dá)式為y=-x2+2x+3；

設(shè)BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

Q=3k+b

把點(diǎn)2,點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：

3=6

解得：Lft__1,

團(tuán)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=-尤+3；

(2)

如圖，回尸￡＞〃＞軸,

回點(diǎn)P和點(diǎn)。的橫坐標(biāo)相同，

設(shè)動點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,-1+2犬+3),則點(diǎn)￡＞的坐標(biāo)為(x,-x+3),

PD=—x2+2x+3—(―x+3)=—x2+3x=一]無？—3%+=一]尤一'

當(dāng)后:3時，PD有最大值9J；

24

(3)

分情況討論:

①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，如圖1,設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作NE3M尸于點(diǎn)E,

0為等腰直角三角形，且NNMO為直角，

^\NM=MO,BNMO=90°,

002VAfE+0OA/F=9O°,

a3M0E+（WNE=9O°,

^MNE=^OMF,

又回RLMEN=^\OFM=90°,

^\MEN^\OFM(AA5),

0OF=EM,MF=NE,

2

團(tuán)二次函數(shù)y=-x2+2x+3的對稱軸為直線x=---=1,

-2

^\OF=EM=\,

設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（1,〃），則NE=M/=a,

團(tuán)N（\-a,1+a）,

團(tuán)點(diǎn)N在拋物線y=-f+2x+3上，

回1+。=—（1—a）+2（1—。）+3,

整理得：a2+a-3=0,

解得：”士巫，

2

回N（三巫，1±2叵），

22

②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，如圖2,

同理可得：點(diǎn)N坐標(biāo)為（1±@,叵?）；

22

③當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，如圖3,

同理可得：點(diǎn)N坐標(biāo)為（匕畫，S3）；

22

④當(dāng)點(diǎn)M在無軸下方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，如圖4,

同理可得：點(diǎn)N坐標(biāo)為（士芭1,三叵）；

22

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（口叵，坯）或（.，叵蟲）或（匕變，W2）或（1±巫,

2222222

三）.

2

圖1圖2

圖3圖4

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，其中第（3）問有一定難

度，能夠正確分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣西?銀海學(xué)校八年級期末）如圖，已知拋物線的解析式為＞=-=元2-1尤+3,拋物線與無軸交于

44

點(diǎn)A和點(diǎn)8,與y軸交點(diǎn)于點(diǎn)C.

⑴請分別求出點(diǎn)A、8、C的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

⑵連接AC、BC,將AABC繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為M、N,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)尸為該拋物線上一動點(diǎn)，在(2)的條件下，請求出使|NP-3Pl最大時點(diǎn)P的坐標(biāo)，并請直接寫出

\NP-BP\的最大值.

3

【答案】⑴A(-4,0),B(1,0),C(0,3),對稱軸為直線x=-]

⑵M(1,5),N(4,1)

⑶當(dāng)P的坐標(biāo)為(1,0)或，[，-||卜寸，|NP-加|的值最大，此時最大值為回

【分析】(1)提取二次項(xiàng)系數(shù)后分解因式，可以得出拋物線與x軸交點(diǎn)，令x=0代入可以得到與y軸的交點(diǎn)，

把解析式配方后可得對稱軸；

(2)根據(jù)題意作出幾何圖形，通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及通過A4s求證△O3C0團(tuán)QA?即可分別求出M、N的坐標(biāo);

(3)分析題意可得出，當(dāng)尸，N,8在同一直線上時，INP2PI的值最大，聯(lián)立直線解析式以及拋物線

解析式即可求出P的坐標(biāo).

(1)

3-9

解：團(tuán)y=一一%2——x+3,

44

令x=0,則y=3,

39

令"0,則——x2——％+3=0,

44

解得x=-4或1,

M(-4,0),B(1,0),C(0,3),

39。3八3/3、275

^\y=--x2--x+3=--(x+4)(x-l)=--(%+-)+—,

4444216

3

團(tuán)對稱軸為直線x=--；

(2)

解：如圖所示：

過N作NQ取軸于點(diǎn)Q,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB曲軸，回C3N=90。，BM=AB=5fBN=BC,

(1,5),團(tuán)O5C+回。3N=90°,

團(tuán)團(tuán)03C+回3c0=90°,

回團(tuán)3co二回QBN,

又團(tuán)團(tuán)3OC=團(tuán)NQ8=90°,BN=BC,

^\OBC^\QNB(A4S),

回30=003,NQ=OB=1,

團(tuán)00=1+3=4,

EIN(4,1)；

解：設(shè)直線A?的解析式為產(chǎn)質(zhì)+b.

EB(1,0)、N(4,1)在直線A?上,

[k+b=0

回《，

4左+6=1

解得：

b=——

13

回直線NB的解析式為：尸;x-g,

當(dāng)點(diǎn)尸，N,3在同一直線上時|NP-BP|=N氏斤]=而，

當(dāng)點(diǎn)P,N,B不在同一條直線上時

團(tuán)當(dāng)P,N,2在同一直線上時，|NP2P|的值最大，

即點(diǎn)尸為直線A?與拋物線的交點(diǎn).

11

y=—x——

33

解方程組：3Q，