高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若直線過兩點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，故，由于，故.故選：C.2.已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足，則下列條件中能確定點(diǎn)，，，共面的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，，解得.故選：C.3.平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圓心到直線的距離，即所求圓的半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.4.若圓被直線平分，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓，可得，圓心，因?yàn)橹本€平分圓，所以，解得.故選：B.5.已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，∴，又∵時，即時，共線，∴，∴.故選：A6.已知點(diǎn)，直線過原點(diǎn)且平行于，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】取，又，所以，則點(diǎn)到的距離為.故選：A7.已知曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，故曲線軌跡為以為圓心，1為半徑的上半圓，恒過定點(diǎn)，把半圓和直線畫出，如下：當(dāng)直線過點(diǎn)時，滿足兩個相異的交點(diǎn)，且此時取得最大值，最大值為，當(dāng)直線與相切時，由到直線距離等于半徑可得，，解得，結(jié)合圖形可知要想曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.在棱長為的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，過作平面，使得，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為n=a,b,c∵，，∴，，即，令則，即為平面的一個法向量，∴點(diǎn)到平面的距離.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.以下說法正確的是（）A.過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B.直線與直線之間的距離是C.直線恒過定點(diǎn)D.點(diǎn)在直線上運(yùn)動，，，則時的最大值是【答案】CD【解析】對于A，當(dāng)在軸上的截距和軸上截距截距均為0時，易得直線方程為，故A錯誤；對于B，直線，即為，故直線與直線之間距離為，故B錯誤；對C：由．由，所以直線恒過定點(diǎn)，故C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得：，即，如圖，，當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，所以的最大值為，故D正確.

故選：CD.10.已知點(diǎn)在上，點(diǎn)，，則（）A.點(diǎn)到直線的距離最大值是B.滿足的點(diǎn)有2個C.當(dāng)最小時，D.過直線上任意一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)：直線，即，圓心到直線的距離，∴點(diǎn)到直線的距離最大值是，A選錯誤；B選項(xiàng)：設(shè)，則，當(dāng)時，得，化簡得，則直線與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，圓心到直線的距離，故有兩個交點(diǎn)，∴滿足的點(diǎn)有2個，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由觀察可知，當(dāng)與圓相切時，最大或最小，顯然不存在時，與圓不相切，∴設(shè)，圓心到直線的距離，解得.顯然當(dāng)時最小，聯(lián)立方程組，解得，即，此時，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)是直線上一點(diǎn)，過作兩條直線分別于圓相切與點(diǎn)，即，∴四點(diǎn)共圓，∴中點(diǎn)為圓心，∴圓，∵是圓和圓的公共弦，∴兩個圓方程作差得，∵，∴，∴，整理得，故直線過定點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.在棱長為2的正方體中，已知，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，，則（）A.當(dāng)時，四棱錐外接球半徑為B.當(dāng)時，三棱錐的體積為C.周長的最小值為D.若，則點(diǎn)的軌跡長為【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)時，由題，所以此時點(diǎn)P為的中點(diǎn)，故點(diǎn)P到底面的距離為1，且四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面中心為Q，則且該四棱錐外接球球心O在直線上，設(shè)四棱錐外接球半徑為R，則有即，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，因?yàn)?，，，所以三點(diǎn)共線，即在線段上，連接，則由題意可知為的中位線，，所以，連接交于點(diǎn)G，則，又由正方體性質(zhì)可得，平面即平面，因?yàn)?，且平面，所以平面，所以點(diǎn)D到平面的距離為，所以此時，故B正確；對于C，由題可得，所以周長為，所以該周長最小時取得最小值，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，，，所以四點(diǎn)共面，即P在平面內(nèi)，如圖，取中點(diǎn)I，則由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，所以，所以取得最小值時即為取得最小值時，所以由三角形兩邊之和大于第三邊可得當(dāng)三點(diǎn)共線時取得最小值為，所以周長最小值為，故C正確；對于D，由A知底面中心為Q，且，又由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知平面，平面，所以，所以若，則，如圖，所以點(diǎn)P的軌跡是平面內(nèi)以Q為圓心半徑為2的圓與四邊形相交的交線，該交線為圓弧，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡長為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分．）12.直線與直線平行，則___________．【答案】-3【解析】依題意，可得且，解得或，因，故.13.若圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為___________．【答案】【解析】由題意可知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則使得圓心到直線的距離2，即，如圖所示：解得.14.某校的幾個高二年同學(xué)在深入研究選擇性必修第一冊教材第一章中的習(xí)題時發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．教材中闡述并要求證明下面的兩個結(jié)論：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，．（1）過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為；（2）過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為．請利用這兩個結(jié)論求解下列問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值是___________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，則平面的法向量為，平面與的法向量分別為，，直線是兩個平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，則直線與平面所成角的正弦值是.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在中，，，且邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上．（1）求邊上的高所在直線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，且點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相等，求直線的方程．解：（1）設(shè)，，，∵邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上，∴，∴，∵，∴，∴所在直線方程為，即.（2）方法一：當(dāng)斜率不存在時，，不滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)即，依題意得：，解得或，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.方法二：依題意，所求直線與直線平行或過線段的中點(diǎn)，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.16.如圖，在棱長為2的正四面體中，是線段的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，在線段上，且（1）求線段的長；（2）直線與直線所成角的余弦值；（3）證明：平面；（1）解：設(shè)，，．則其模長均為2，且兩兩夾角均是，從而，，由在線段上，且，可得，則，；（2）解：由是中點(diǎn)可得，∴，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為．（3）證明：，；，，又，平面，且，平面．17.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過點(diǎn)且直線被圓所截得的弦長為6，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)，，且為圓上一動點(diǎn)，求的最小值．解：（1）法一：，的中點(diǎn)為，的垂直平分線方程為，即，將聯(lián)立可得，即圓的圓心坐標(biāo)為．圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．法二：設(shè)圓的方程為．由題可得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．法三：設(shè)圓的方程為由題可得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程即．（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，故．①若直線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離為1，符合題意．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則有，解得，則直線的方程為．故直線的方程為或．（3）因點(diǎn)在圓上，可設(shè)，（為參數(shù)）又點(diǎn)，，故，其中，則當(dāng)時，取最小值為．18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，平面，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）設(shè)為側(cè)棱上的動點(diǎn)，若直線與平面所成角的最大值為，試求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形.為的中點(diǎn),，又，，平面，平面，，而平面，平面，且，平面，又平面，.（2）解：法一：由平面，平面可得，又由（1）可得，，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)，則，由，，三點(diǎn)共線可設(shè)，設(shè)，則，則，故，從而，又平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則．令，故當(dāng)時，，故，即，，則，，因?yàn)?，故，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則，.設(shè)平面的一個法向量為則有取，可得；同理可得平面的一個法向量，，故平面與平面的夾角余弦值為.法二：為上任意一點(diǎn)，連接，，由（1）知平面，所以為與平面所成的角，在中，，且，所以當(dāng)最短時，最大，即當(dāng)時，最大.因?yàn)?，所以，又，所以，所以，由?）知，，兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，，，，，，，所以，，，設(shè)平面一法向量為，則，故，取，則，又由平面可得，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，故為平面的一法向量，所?故平面與平面的夾角的余弦值為.19.已知圓和圓．（1）若圓與圓相交，求的取值范圍；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；（3）若，設(shè)為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由配方得，則其圓心，半徑，由，則其圓心，半徑圓與圓相交，，即，解得，的取值范圍是.（2）設(shè)Ax1,聯(lián)立，消去得由，可得，則有，，解得，因?yàn)?，所以．?）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，則直線的斜率為，則直線、的方程分別為：，，即：，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等且兩圓半徑相等，由垂徑定理得，圓心到直線的距離與圓心到直線的距離相等．故有：，化簡得：，即或，整理得：，或，依題存在過點(diǎn)的無窮多對互相垂直的直線和，所以關(guān)于的方程有無窮多解，從而有或，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或．福建省福州市八縣（市）協(xié)作校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.若直線過兩點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，故，由于，故.故選：C.2.已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足，則下列條件中能確定點(diǎn)，，，共面的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，，解得.故選：C.3.平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圓心到直線的距離，即所求圓的半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.4.若圓被直線平分，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓，可得，圓心，因?yàn)橹本€平分圓，所以，解得.故選：B.5.已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，∴，又∵時，即時，共線，∴，∴.故選：A6.已知點(diǎn)，直線過原點(diǎn)且平行于，則點(diǎn)到的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】取，又，所以，則點(diǎn)到的距離為.故選：A7.已知曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，故曲線軌跡為以為圓心，1為半徑的上半圓，恒過定點(diǎn)，把半圓和直線畫出，如下：當(dāng)直線過點(diǎn)時，滿足兩個相異的交點(diǎn)，且此時取得最大值，最大值為，當(dāng)直線與相切時，由到直線距離等于半徑可得，，解得，結(jié)合圖形可知要想曲線與直線有兩個相異的交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8.在棱長為的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，過作平面，使得，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，以原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為n=a,b,c∵，，∴，，即，令則，即為平面的一個法向量，∴點(diǎn)到平面的距離.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.以下說法正確的是（）A.過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B.直線與直線之間的距離是C.直線恒過定點(diǎn)D.點(diǎn)在直線上運(yùn)動，，，則時的最大值是【答案】CD【解析】對于A，當(dāng)在軸上的截距和軸上截距截距均為0時，易得直線方程為，故A錯誤；對于B，直線，即為，故直線與直線之間距離為，故B錯誤；對C：由．由，所以直線恒過定點(diǎn)，故C正確；對于D，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得：，即，如圖，，當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，所以的最大值為，故D正確.

故選：CD.10.已知點(diǎn)在上，點(diǎn)，，則（）A.點(diǎn)到直線的距離最大值是B.滿足的點(diǎn)有2個C.當(dāng)最小時，D.過直線上任意一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線過定點(diǎn)【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)：直線，即，圓心到直線的距離，∴點(diǎn)到直線的距離最大值是，A選錯誤；B選項(xiàng)：設(shè)，則，當(dāng)時，得，化簡得，則直線與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，圓心到直線的距離，故有兩個交點(diǎn)，∴滿足的點(diǎn)有2個，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由觀察可知，當(dāng)與圓相切時，最大或最小，顯然不存在時，與圓不相切，∴設(shè)，圓心到直線的距離，解得.顯然當(dāng)時最小，聯(lián)立方程組，解得，即，此時，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)是直線上一點(diǎn)，過作兩條直線分別于圓相切與點(diǎn)，即，∴四點(diǎn)共圓，∴中點(diǎn)為圓心，∴圓，∵是圓和圓的公共弦，∴兩個圓方程作差得，∵，∴，∴，整理得，故直線過定點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.在棱長為2的正方體中，已知，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，，則（）A.當(dāng)時，四棱錐外接球半徑為B.當(dāng)時，三棱錐的體積為C.周長的最小值為D.若，則點(diǎn)的軌跡長為【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)時，由題，所以此時點(diǎn)P為的中點(diǎn)，故點(diǎn)P到底面的距離為1，且四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面中心為Q，則且該四棱錐外接球球心O在直線上，設(shè)四棱錐外接球半徑為R，則有即，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，因?yàn)?，，，所以三點(diǎn)共線，即在線段上，連接，則由題意可知為的中位線，，所以，連接交于點(diǎn)G，則，又由正方體性質(zhì)可得，平面即平面，因?yàn)?，且平面，所以平面，所以點(diǎn)D到平面的距離為，所以此時，故B正確；對于C，由題可得，所以周長為，所以該周長最小時取得最小值，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，，，所以四點(diǎn)共面，即P在平面內(nèi)，如圖，取中點(diǎn)I，則由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，所以，所以取得最小值時即為取得最小值時，所以由三角形兩邊之和大于第三邊可得當(dāng)三點(diǎn)共線時取得最小值為，所以周長最小值為，故C正確；對于D，由A知底面中心為Q，且，又由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知平面，平面，所以，所以若，則，如圖，所以點(diǎn)P的軌跡是平面內(nèi)以Q為圓心半徑為2的圓與四邊形相交的交線，該交線為圓弧，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡長為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分．）12.直線與直線平行，則___________．【答案】-3【解析】依題意，可得且，解得或，因，故.13.若圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為___________．【答案】【解析】由題意可知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1，則使得圓心到直線的距離2，即，如圖所示：解得.14.某校的幾個高二年同學(xué)在深入研究選擇性必修第一冊教材第一章中的習(xí)題時發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．教材中闡述并要求證明下面的兩個結(jié)論：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，．（1）過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程為；（2）過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為．請利用這兩個結(jié)論求解下列問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值是___________．【答案】【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，則平面的法向量為，平面與的法向量分別為，，直線是兩個平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，則直線與平面所成角的正弦值是.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.在中，，，且邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上．（1）求邊上的高所在直線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，且點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相等，求直線的方程．解：（1）設(shè)，，，∵邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上，∴，∴，∵，∴，∴所在直線方程為，即.（2）方法一：當(dāng)斜率不存在時，，不滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)即，依題意得：，解得或，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.方法二：依題意，所求直線與直線平行或過線段的中點(diǎn)，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.16.如圖，在棱長為2的正四面體中，是線段的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，在線段上，且（1）求線段的長；（2）直線與直線所成角的余弦值；（3）證明：平面；（1）解：設(shè)，，．則其模長均為2，且兩兩夾角均是，從而，，由在線段上，且，可得，則，；（2）解：由是中點(diǎn)可得，∴，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為．（3）證明：，；，，又，平面，且，平面．17.已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線過點(diǎn)且直線被圓所截得的弦長為6，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)，，且為圓上一動點(diǎn)，求的最小值．解：（1）法一：，的中點(diǎn)為，的垂直平分線方程為，即，將聯(lián)立可得，即圓的圓心坐標(biāo)為．圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．法二：設(shè)圓的方程為．由題可得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．法三：設(shè)圓的方程為由題可得，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程即．（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，故．①若直線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離為1，符合題意．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則有，解得，則直線的方程為．故直線的方程為或．（3）因點(diǎn)在圓上，可設(shè)，（為參數(shù)）又點(diǎn)，，故，其中，則當(dāng)時，取最小值為．18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，平面，，分別