高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南“美美與共”民族中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，故選：B.2.若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，，則方程的另一個(gè)根為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，則，即，則，所以，所以方程為，所以方程的根為，所以方程的另外一個(gè)根為，故選：A.3.設(shè)平面向量，若不是表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，因?yàn)?，所以，解得，故選：B.4.在中，，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在中，，即，化簡得，解得或（不合題意，舍去），，故選：C.5.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中，正確的是（）A.若，，，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對于A，如圖，當(dāng)時(shí)，異面，所以A錯(cuò)誤，對于B，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤，對于C，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤，對于D，如圖設(shè)，在內(nèi)作，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以∥，因?yàn)椋?，所以，所以D正確.故選：D.6.若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故選：C.7.定義在上的奇函數(shù)滿足，.當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】由，得，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以所以的周期，所以.因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，由，當(dāng)時(shí)，所以.故選：D.8.已知，不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立，又，使，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立，且，，.，使成立，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.的虛部為C.D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AD【解析】由，得，對于A，，故A正確；對于B，的虛部為，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故D正確，故選：AD.10.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（）A.點(diǎn)，與向量共線的單位向量為B.非零向量和滿足，則與的夾角的余弦值為C.已知向量，若向量與的夾角為銳角，則且D.向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)?，則，所以與向量共線的單位向量為，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)椋?，則，化簡得，所以，即.又，所以，故B正確；對于C，由已知的且與不共線，所以且，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以在上的投影向量的坐?biāo)為，故D正確，故選：BCD.11.如圖所示，在正三角形中，分別為邊的中點(diǎn)，其中，把沿著翻折至的位置，使得二面角為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.C.直線與直線所成的角的正弦值為D.四棱錐的外接球半徑為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，如圖1所示，作，交于，延長交于，連接，則，故為二面角的平面角，故，因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面，在平面中作，交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可知平面，故的長即為點(diǎn)到平面的距離，在正三角形中，，，故A正確；B選項(xiàng)，為邊的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，故為等邊三角形，故，在中，，由勾股定理得，則，由勾股定理逆定理得與不垂直，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，連接，易得，，就是直線與所成的角，，故，所以，故C正確；D選項(xiàng)，易得，故為底面梯形的外接圓的圓心，設(shè)四棱錐的外接球的球心為，則平面，且.若在平面的上方，如圖1所示：設(shè)，外接球的半徑為，過作的垂線，垂足為，則，易得，解得，舍去；故在平面的下方，如圖2所示：設(shè)，外接球的半徑為，過作的垂線，垂足為，則，易得，解得，，故D正確.故選：ACD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)與的夾角為，則__________.【答案】【解析】由題意知，又，所以，展開得，即，解得.故答案為：.13.某圓臺的上、下底面面積分別為，，圓臺母線長為4，則此圓臺的體積為__________.【答案】【解析】如圖所示.∵圓臺的上、下底面面積分別為，，∴圓臺的上底面半徑，下底面半徑，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，.∵圓臺母線長為4，∴.∴圓臺得高，∴圓臺的體積.故答案為：.14.對于任意實(shí)數(shù)，定義符號，其意義為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍為__________.【答案】【解析】由，作出它們的圖象，如圖所示，則，作圖如圖，令，即，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有4個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，在中，.（1）用表示；（2）若點(diǎn)滿足，證明：三點(diǎn)共線.解：（1）因?yàn)?，所以，所?同理，所以.（2）由，可得.又，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.16.若.（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，的最小值為2，求的值.解：（1），函數(shù)的最小正周期.令，解得，的單調(diào)增區(qū)間是.（2），.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，.17.在中，角所對的邊分別為，若.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長.解：（1），其中，，由正弦定理得，，.，∴；（2），.又，，.的周長為.18.在《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐被稱為鱉臑，由于它固有的優(yōu)異性質(zhì)，所以被稱為立體幾何中的“小王子”.如圖，在鱉臑中，底面，若為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，探究平面與平面是否垂直，如果垂直，請證明；如果不垂直，請說明理由.解：（1）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則.又平面平面，所以平面.同理可證平面，因?yàn)?，平面，所以平面平?又平面，所以平面.（2）平面與平面垂直.證明如下：因?yàn)榈酌娴酌?，所?由題意知為直角三角形且，所以.又平面，所以平面.又平面，所以.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?19.如圖.，由平面內(nèi)兩條相交成角的數(shù)軸構(gòu)成的坐標(biāo)系，稱為“完美坐標(biāo)系”.設(shè)，分別為，正方向上的單位向量，若向量，則把實(shí)數(shù)對叫做向量的“完美坐標(biāo)”.（1）若向量的“完美坐標(biāo)”為，求；（2）已知分別為向量的的“完美坐標(biāo)”，證明：；（3）若向量的“完美坐標(biāo)”分別為，設(shè)函數(shù)，求的值域.（1）解：因?yàn)榈摹巴昝雷鴺?biāo)”為.則.又因?yàn)榉謩e為正方向上的單位向量，且夾角成，所以，則.故.（2）證明：由（1）知，，所以.（3）因?yàn)橄蛄康摹巴昝雷鴺?biāo)”分別為，，由（2）得.令，則.因?yàn)?，所以，?令.因?yàn)榈膱D象是對稱軸為開口向上的拋物線的一部分，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的值域?yàn)?云南“美美與共”民族中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由已知得，所以，故選：B.2.若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，，則方程的另一個(gè)根為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，則，即，則，所以，所以方程為，所以方程的根為，所以方程的另外一個(gè)根為，故選：A.3.設(shè)平面向量，若不是表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，因?yàn)?，所以，解得，故選：B.4.在中，，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】在中，，即，化簡得，解得或（不合題意，舍去），，故選：C.5.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中，正確的是（）A.若，，，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對于A，如圖，當(dāng)時(shí)，異面，所以A錯(cuò)誤，對于B，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤，對于C，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤，對于D，如圖設(shè)，在內(nèi)作，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以∥，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確.故選：D.6.若，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，因?yàn)椋?，所以，故選：C.7.定義在上的奇函數(shù)滿足，.當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】由，得，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以所以的周期，所以.因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，由，當(dāng)時(shí)，所以.故選：D.8.已知，不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立，又，使，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】不等式對于一切實(shí)數(shù)恒成立，且，，.，使成立，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.的虛部為C.D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限【答案】AD【解析】由，得，對于A，，故A正確；對于B，的虛部為，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故D正確，故選：AD.10.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（）A.點(diǎn)，與向量共線的單位向量為B.非零向量和滿足，則與的夾角的余弦值為C.已知向量，若向量與的夾角為銳角，則且D.向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】對于A，因?yàn)椋瑒t，所以與向量共線的單位向量為，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?，所以，則，化簡得，所以，即.又，所以，故B正確；對于C，由已知的且與不共線，所以且，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以在上的投影向量的坐?biāo)為，故D正確，故選：BCD.11.如圖所示，在正三角形中，分別為邊的中點(diǎn)，其中，把沿著翻折至的位置，使得二面角為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.C.直線與直線所成的角的正弦值為D.四棱錐的外接球半徑為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，如圖1所示，作，交于，延長交于，連接，則，故為二面角的平面角，故，因?yàn)椋矫?，所以平?又平面，所以平面平面，在平面中作，交于點(diǎn)，由面面垂直的性質(zhì)可知平面，故的長即為點(diǎn)到平面的距離，在正三角形中，，，故A正確；B選項(xiàng)，為邊的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，故為等邊三角形，故，在中，，由勾股定理得，則，由勾股定理逆定理得與不垂直，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，連接，易得，，就是直線與所成的角，，故，所以，故C正確；D選項(xiàng)，易得，故為底面梯形的外接圓的圓心，設(shè)四棱錐的外接球的球心為，則平面，且.若在平面的上方，如圖1所示：設(shè)，外接球的半徑為，過作的垂線，垂足為，則，易得，解得，舍去；故在平面的下方，如圖2所示：設(shè)，外接球的半徑為，過作的垂線，垂足為，則，易得，解得，，故D正確.故選：ACD.三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.設(shè)與的夾角為，則__________.【答案】【解析】由題意知，又，所以，展開得，即，解得.故答案為：.13.某圓臺的上、下底面面積分別為，，圓臺母線長為4，則此圓臺的體積為__________.【答案】【解析】如圖所示.∵圓臺的上、下底面面積分別為，，∴圓臺的上底面半徑，下底面半徑，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，.∵圓臺母線長為4，∴.∴圓臺得高，∴圓臺的體積.故答案為：.14.對于任意實(shí)數(shù)，定義符號，其意義為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍為__________.【答案】【解析】由，作出它們的圖象，如圖所示，則，作圖如圖，令，即，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有4個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，在中，.（1）用表示；（2）若點(diǎn)滿足，證明：三點(diǎn)共線.解：（1）因?yàn)?，所以，所?同理，所以.（2）由，可得.又，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.16.若.（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，的最小值為2，求的值.解：（1），函數(shù)的最小正周期.令，解得，的單調(diào)增區(qū)間是.（2），.當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，.17.在中，角所對的邊分別為，若.（1）求角；（2）若，且的面積為，求的周長.解：（1），其中，，由正