專題02因式分解的應(yīng)用

?全國各地競賽真題試題匯編

1.(2023?河北滄州)已知a、b、c為△38C的三邊,且滿足十一/=02c2一力2c2,則△力口。是()

A.直角三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的分類，勾股定理得逆定理，將等式化為小=/或Q2+

標(biāo)=。2是解題的關(guān)鍵.先將等式右邊移項(xiàng)，再將等式左邊分解因式可求得Q2=/或Q2+/=C2,進(jìn)而可

得a=?；蛐?82=。2,進(jìn)而判定三角形的形狀即可.

【詳解】解：,??。4-64=02。2一82。2,

222222

A(a+b)(a-b)=c(a-〃)，

(a2+b2)(a2—b2)—c2(a2—b2)=0,

(a2-b2)[(a2+b2)-c2]=0,

:.a2-b2=0或(M+b2)-c2=0,

222

:.d=/)2或Q2+b=c,

：.a=b(舍去負(fù)值)或Q2+/J2=C2,

???△48C是等腰三角形或直角三角形.

故選：B.

2.(24-25九年級下?江西?競賽)已知吧絲竽網(wǎng)竺=3,貝U(Q-b)2+(b-c)2+(Q—b)(b-c)的值為：()

a+b+c

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題主要考查的因式分解，利用因式分解將已知條件化簡，再通過展開目標(biāo)表達(dá)式并合并同類項(xiàng),

發(fā)現(xiàn)其與已知條件中的代數(shù)式相等，從而得出結(jié)果.

ai+bi+c3-3abc-

【詳解】已知-------------------=3

a+b+c

(Q+b+。(小+b?+c2—ab—be—ac)

--------------------------：--------------------------=3

a+b+c

a2b2+c2—ab—be-ac=3

化簡(Q—b)2+(b-c)2+(a—b)(b—c)=a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+ab—ac-b2+be=a2+

b2c2-ab-be-ac

由已知條件可知該式值為3

2

(a-b)2+(b-c)+(Q-b)(b-c)=3

故選：c.

3.(24-25八年級下?浙江)若t?+-=/VHP-2a1+訴一8a-4b-16+|川+2b+9|的值為()

A.3B.5C.7D.9

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，二次根式的有意義的條件，正確對根號下面部分式子進(jìn)行因式分解

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式根號下面部分為。/一2帥+2b2-80-46-16,

=b2(.a4-2)-2a(b+4)—4(b+4),

=b2(a+2)-2(a+2)(/?+4),

=(a+2)[b2-2(匕+4)],

=(a+2)(b—4)(/)+2),

0(a+2)(d-4)(b+2)>0,

va2+b2=4,

???|a|<2,\b\<2,

a+2>0?。-4<0,Z?+2>0?

(a+2)(/?—4)(b+2)<0,當(dāng)且僅當(dāng)a=-2,b=0或a=0,b=-2時(shí)，取到等號，

二根據(jù)二次根式的性質(zhì)y/ab2—2ab4-2b2-8a-4b-16只能等于0,

\b2+2b+9|=[(b+I)2+8|=(b+I)2+8,

當(dāng)6=0時(shí)，(b+l)2+8=9；

當(dāng)匕=-2時(shí)，(b+l)2+8=9；

二原式=0+9=9,

故選：D.

4.(九年級?浙江?自主招生)若a,b,。均為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=abc=cP,則出?+be+ca的最小值

為()

A.6B.8C.9D.13

【答案】C

【分析】根據(jù)Q+h+c=abc=Q3,得到b+c=a3-a,be=a2,將ab+be+ca轉(zhuǎn)化為用a表示的式子，

構(gòu)造一個(gè)以4c為兩個(gè)根的一元二次方程，再轉(zhuǎn)化為含字母Q的一元二次方程，根據(jù)方程有兩個(gè)根，得到0,

求出。的取值范圍，即可得解.

【詳解】解：Mb,。均為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=abc=a3,

勛+C=Q3-Q,be=a2,

^ab+be+ca=be+a(b+c)=a2+a(a3-a)=a4,

M,c是方程％2-(b+c)x+be=0的兩根，

方程/一(Q3-a)%+a2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則A=—。)2_4a2>0,即_2a4_3a2>。

0a2H0,

13a4-2a2-3>0,BP(a2-3)(a2+1)>0,

團(tuán)0+1)>0,

ffla2-3>0,即M>3,

^ab+be4-ca=a4>32=9,

即就+bc+ca的最小值為9：

故選：C.

5.(九年級上?福建漳州?自主招生)己知正整數(shù)"?，〃滿足標(biāo)二存+而7/=71,則71的最大值為.

【答案】104

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，設(shè)。2=6一174,b2=m+34,則/?2一。2=2()8,n=a+b,再

根據(jù)(b+Q)(b-a)=208,可得"+a,b-Q同為正偶數(shù)且為208的因數(shù)，掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：設(shè)a?=m-174,b2=m+34(a>0,b>0),

□Z72—a2=m+34—(m—174)=208,n=a+Z??

0(b4-a)(b-a)=208,

M+Q,b-a同為正偶數(shù)且為208的因數(shù)，

C-r=24C^：4Cta：86'

(3n的最大值為104,

故答案為：104.

6.(24-25七年級下?四川巴中)己知。=如+2025,b=^x+2024,c=^x+2026,則代數(shù)式a2+匕2+

c2-ab-be-ac的值為.

【答案】3

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)代數(shù)式的形式，構(gòu)造出完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可，掌握分解

因式的應(yīng)用，把原多項(xiàng)式擴(kuò)大2倍得完全平方式是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：0=*%+2025,b=Q+2024,c=^x+2026,

???a—b=1,b—c=—2,a—c=-1,

:.a2+b2+c2—ab—be—ac

=1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

=；[(Q_b)2+s_c)2+(a-c)2]

va—b=1,h—c=—2,a—c=—1,

二原式X"2+(—2)2+(-1)2]

=3.

故答案為：3.

7.(2024八年級下?浙江溫州?競賽)已知3-100,無+100均為完全平方數(shù)，則％=

【答案】2501或629或125

【分析】本題考查完全平方數(shù)，設(shè)。2=%一1()0①，b2=x+100(2)(a、b為整數(shù))，得(b-a)(b+a)=

2x2x2x5x5,將所有可能情況列出來即可解答.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式進(jìn)行試解，同時(shí)要知

道完全平方數(shù)是整數(shù).

【詳解】解：設(shè)a?=x—100(1),b2=x+100(2)(a、b為整數(shù))，

②一①得：b2-a2=200,即(b-Q)(b+a)=2x2x2x5x5,

可能情況如下：

(b—a=1(b-a=2(b-a=4(b-a=5(b-a=8(b—a=10

U+a=200'U+a=100*U+a=50lb+a=40'U4-a=25(b+a=20

a=49a=23

解得:a=99.5(全手)fX腎舍去)”;二器5(舍去)，｛一；5

b=100.5("去)’Ib=51b=27

=49葉

=5嚴(yán)x=a24-100=492+100=2501,

當(dāng)仁當(dāng)時(shí),x=a2+100=232+100=629,

二5時(shí)，x=a24-100=52+100=125,

Ex=2501或629或125.

故答案為:2501或629或125.

8.(24-25八年級下?四川成都)一個(gè)正整數(shù)“能寫成％=。2一〃(％b均為正整數(shù))，則稱X為“美滿數(shù)”,

a,b為％的一個(gè)美滿分解，井規(guī)定：“無)=￡如果一個(gè)兩位正整數(shù)(十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，交換其個(gè)位

上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)與原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解.則F(4752)的值為.

【答案】g或:.

174

【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)"美滿數(shù)''的定義列出關(guān)于a、b的方程組.

先設(shè)出原兩位正整數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，根據(jù)新數(shù)與原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解列出方程組，可得

(m+n)(ni-n)=48,求出m、n的值，進(jìn)而得出F(4752)的值.

【詳解】解：設(shè)原兩位正整數(shù)的十位數(shù)字為m,個(gè)位數(shù)字為九(m〉n,m,n均為正整數(shù))，則原數(shù)為10m+m

新數(shù)為10幾十m,

,??新數(shù)與原數(shù)是4752的一個(gè)美滿分解，Q=10m+九，b=10n+m

又，；a2—b2=(a+b)(Q—b)=4752,

將a=10m+n,b=lOn+zn代入a?-=(a4-b)(a-b)=4752,

a2-b2=[(10m4-n)4-(lOn+nt)][(10m4-n)—(lOn+m)]

=11Cm4-n)x9(m—n)=99(m+n)(m—n)=4752

口J得：(m+n)(m—n)=48＞九,TH,九均為正整數(shù))

此方程有兩組符合題意的解，

分別為：｛憶:叫：二:

當(dāng)｛k：時(shí)，｛，:。

??.?(4752)=1

當(dāng)w:時(shí),器二

F(4752)

,7484

綜上，F(xiàn)(4752)的值為意或《

故答案為：3或工

174

9.(2024?重慶南岸)對于四位數(shù)M=礪，若干位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字的差的兩倍等于十位上的數(shù)

字與個(gè)位上的數(shù)字的差，則把M叫做“雙倍差數(shù)”，將“雙倍差數(shù)”M的個(gè)位數(shù)字去掉得到的數(shù)記為s,將

千位數(shù)字去掉得到的數(shù)記為t,并規(guī)定F(M)=s-t-10(/?-d),則F(Q力64)=_；若一個(gè)四位數(shù)M=1201+

1000a+1006+30c+d(0<a<8,0<b<7,0<c<3,0<d<0,a,b,c,d均為整數(shù))足“雙倍

差數(shù)”，且F(M)除以13余1,則滿足條件的M的最小值為

【答案】821461

【分析】分別求出s和￡,把s和t代入r(M)=s—t—10(b—d),并整理得F(M)=82(a-b),或F(M)=

41(c-d),即可求出F(ab64)；因?yàn)镸=1201+1000a+100b+30c+d,可得M/位上的數(shù)、百位上的

數(shù)、位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)分別為：1+a、2+匕、3c、1+d,由題意得2[(1+a)-(2+b)]=3c-(l+d),

即2Q-2b=3c-d+L進(jìn)而求得F(M)=82a-82b-82,由于F(M)除以13余1,故尸(M)-1=82a-

82b-83能被13整除，將82Q-82b-83變形為13(6Q-6b-6)+4a-4b-5,可知4a-45-5也能被

13整除.由0WQW8,04b47可推出一2844。一46一5432,分類討論,分別求出符合條件的Q的值，

進(jìn)而求出符合條件的b、c、d的值即可.

【詳解】解：由題意得，2(a-b)=c-d,

將M的個(gè)位數(shù)字去掉得s=abc,將四位數(shù)M的千位數(shù)字去掉后t=bed,

二F(M)=ST-10(b-d)

=(100a+10b+c)-(100b+10c+d)-10(b-d)

=100a+10b+c-100b-10c-d-10b+10d

=100(a-b)-9(c-d)

F(M)=82(a-b),或F(M)=41(c-d),

???F(ab64)=41x(6-4)=82；

???M=1201+1000a+100b+30c4-d,

???這個(gè)"雙倍差數(shù)”的千位上的數(shù)、百位上的數(shù)、位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)分別為：1+a、2+b、3c、1+d,

*'?2[(1+a)—(2+b)]=3c—(1+d).

2a—2b=3c—d+1,

???F(M)=82[(1+a)-(2+b)]=82a-82b-82,

；F(M)除以13余1,

A82Q-82b-83能被13整除，

82a-82b-83=78a+4a-78b-4b-78-5

=13(6a—6b—6)+4Q—4b—5,

...4Q—4b-5能被13整除，

v0<a<8,0</)<7,

???0<4a<32,-28<-4b<0,

:.-28<4a—4b—5<32,

①當(dāng)4。一4/)-5二一26時(shí)，a=b-*

v0<a<8,0<b<7,且Q、b為整數(shù)，

此種情況不符合題意，舍去；

②當(dāng)4a—48-5=-13時(shí)，a=b-2,即b=a+2

v0<a<8,0<b<7,且Q、匕為整數(shù)，

0<a+2<7,

?%0<a<5,

a=0,1,2,3,4,5?

③當(dāng)4。-46—5=0時(shí)，。=匕+:，

v0<a<8,0<b<7,且a、b為整數(shù),

???此種情況不符合題意，舍去；

④當(dāng)4Q—4b-5=13時(shí)，Q=b+￡

v0<a<8,0<d<7,且Q、匕為整數(shù)，

此種情況不符合題意，舍去；

⑤當(dāng)4a—4匕-5=26時(shí)，a=b+^,

v0<a<8,0<b<7,且a、b為整數(shù)，

;此種情況不符合題意，舍去；

綜上，Q的取值為0,1,2,3,4,5,

va,b,c,d均為非負(fù)的整數(shù)，0MaW8,M=1201+1000a4-100/7+30c4-d,

二當(dāng)a=0時(shí)，M取值最小，把Q=0代入b=a+2,得b=2；把a(bǔ)=0,b=2代入2a—2b=3c—d+1,

得。-4=3c—d+l,整理得，d=3c-5,

v0<c<3,0<d<8,根據(jù)一次函數(shù)增減性可知，由3>0得d值隨著c的增大而增大，

.,?當(dāng)c=2時(shí)，d=2x3—5=1,

綜上，當(dāng)“取最小值時(shí)a=0,b=2,c=2,d=1,

M=1201+1000a+100b+30c+d

=1201+0+200+60+1

=1461.

故答案為:82；1461.

10.(九年級?江蘇南京咱主招生)x,y都是正數(shù)，/+y2+2xy+%+y-12=0,求％(y+1)的最大值.

【答案】4

【分析】本題主要考查了因式分解的完全平方法和十字相乘法以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值.將原式

分解為(％+y+4)(x+y-3)=0,得到x+y=3,進(jìn)而得到+1)=x(3-x+1)=-x2-f-4x=

-(X-2)2+4,即可解答.

【詳解】解：0z2+y2+2xy+x+y-12=0

0(x+y+4)(x+y-3)=0

又以，)，都是正數(shù)

耿+y=3

0y=3—x(0<x<3)

0x(y+1)=x(3-x+1)=-x2+4x=-(x-2)2+4

團(tuán)當(dāng)％=2,%(y+l)取得最大值，為4.

11.(24-25八年級下?遼寧阜新)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“完

美數(shù)例如：12=42-22,20=62-42,28=82-62；則12、20、28這三個(gè)數(shù)都是完美數(shù).

⑴按照上述規(guī)律，將完美數(shù)2028表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差形式(直接寫出)；

(2)證明：任意一個(gè)完美數(shù)都能夠被4整除；

⑶如圖所示，拼疊的正方形邊長是從2開始的連續(xù)偶數(shù)............按此規(guī)律拼疊到正方形48CD,其邊

長為28,求陰影部分的總面積.

【答案】⑴2028=5082-5062

(2)見解析

(3)420

【分析】本題考查了新定義，因式分解的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

(1)把2028寫成508和506的平方差即可;

(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為2幾、2(n+l),〃為正整數(shù)，根據(jù)完美數(shù)寫出該數(shù)，然后根據(jù)平方差計(jì)算計(jì)算得

出4(2n+l),最后根據(jù)整除的定義即可得證；

(3)結(jié)合圖形可得出陰影部分的面積為4?-2?+8?-62+…28?-262,然后根據(jù)平方差公式求解即可.

【詳解】(1)解：2028=5082-5062；

(2)證明：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)為2九、2S+1),〃為正整數(shù)，則完美數(shù)為[2(n+l)]2-(2n)2,

團(tuán)[2(72+I)]2-(2九產(chǎn)

=[2(n+1)-2n][2(n+1)+2n]

=2x(4n+2)

=4(2n+1),

即為正整數(shù)，

02n+l為奇數(shù),

團(tuán)4(2n+1)能被4整除，

即任意一個(gè)完美數(shù)都能夠被4整除；

(3)解：根據(jù)題意，得42-22+82-62+???282-262

=(4-2)(4+2)+(8-6)(8+6)+…+(28-26)(28+6)

=2(4+2)+2(8+6)4-…+2(28+6)

=2(2+4+6+8+???+26+28)

14x(2+28)

=2X2

=420.

12.(24-25七年級下?安徽安慶)我們知道，1+2+3+…+月二的羅，關(guān)于這個(gè)公式的推導(dǎo)方法，有很

多，比如說小高斯的故事.下面我們利用以前學(xué)過的公式，給出另外一種推導(dǎo)方法：

首先，我們知道：(n+l)2=M+2n+l,

變形一下，就是(n+l)2-n2=2n+l,

依次給ri一些特殊的值：1,2,3,…，我們就能得到下面一列式子:

22-I2=2x1+1；

32-22=2x2+1；

42-32=2x3+1；

(n4-1)2—n2=2xn+1；

觀察這列式子，如果把它們所有的等式兩端左右相加，抵消掉對應(yīng)的項(xiàng)，我們可以得到(九+1)2-12=2X

(14-2+3+-+n)+n,觀察這個(gè)式子，等式右邊小括號內(nèi)的式子，不就是我們要求的嗎？把它記為S就

是：(n+1)2—12=2xS+n,把S表示出來，得到：S=1+2+3+…+n=等2.用這個(gè)思路，可以

求很多你以前不知道的和，請你仿照這個(gè)推導(dǎo)思路，推導(dǎo)一下5=12+22+32+...+九2的值.

【答案】S=；n(n4-l)(2n+l)

6

【分析】本題考查了完全平方公式，整式的加減運(yùn)算，完全立方公式，因式分解的應(yīng)用，熟練掌握各知識(shí)

點(diǎn)，理解題意是解題的關(guān)鍵.

仿照題干進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：n3-(n-l)3=3n2-3n4-1>

當(dāng)式中的T;從1、2、3、依次取到九時(shí)，就可得下列幾個(gè)等式：

13-o3=3-3+1,

23-13=3X22-3X2+1,

33-23=3x32-3x3+1,

九3一(九一1)3二3九2-371+1,

將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加得：n3=3x(I2+224-32+-+n2)-3x(1+2+3+-4-n)+n,

BPl2+22+32+42+-+n2

_”3+3(1+2+3+…+九)一ri

二3

.n(n4-1)

7?3+3Q—^—2~--n

=3

2n3+3n(n+1)-2n

二6

2n3+3n2+n

二6

n(2n2+3n+1)

=6

=3n(ri+l)(2n+1).

6

.全國聯(lián)賽真題試題匯編「

1.（2024八年級?全國?競賽）已知M=10a2+a4-b2-2b+9./V=a2+25a4-（b-I）2-9,則M-N的

值（）.

A.一定是負(fù)數(shù)B,一定是正數(shù)C.一定不是正數(shù)D.不能確定

【答案】B

【分析】本題考查了整式的加減”完全平方公式.此題可直接用多項(xiàng)式M減去多項(xiàng)式M然后化簡，最后

把得出的結(jié)果與零比較確定M-N的正負(fù).

22

【詳解】解：團(tuán)M=10a+Q+扭一2b+9,N=a?+25a+（b-l）-9,

0M-/V=10a2+a+〃-2b+9—（M+25a+川一2匕-8）

=9a2-24a+17

=（3a-4）2+l>0.

故選：B

2.（2024八年級?全國?競賽）三位數(shù)正的平方的末三位數(shù)恰好是正，這樣的三位數(shù)正有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.多于2個(gè)

【答案】C

【分析】本題考查分解因式的應(yīng)用，掌握提取公因式分解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由題意知（abc）?-abc=abc（abc-1）是1000的倍數(shù)，

01000=8x125,

0（1）8整除正且125整除④F—1）；（2）125整除正且8整除（正一1）,

由（1）得函=376,由（2）得加=625,

回共有兩個(gè)，

故選C.

3.（2024九年級?全國?競賽）任意正整數(shù)九都能夠分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積，若相乘的這兩個(gè)正整數(shù)之差的

絕對值最小，則分別記為a、b（a<6）,并規(guī)定/（n）=（例如：/⑹=；J（7）=：J（12）=p現(xiàn)有下列說

法：

①f⑵=；：②/'（24）=］；③若n是一個(gè)完全平方數(shù)，則f（n）=1：④若九是一個(gè)完全立方數(shù)，即7i=a3（a

Zo

是正整數(shù)），則/?（#=（其中正確的有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】此題主要考查了完全平方數(shù)，分解因數(shù)，新定義的理解和應(yīng)用，掌握分解因數(shù)的方法是解本題的

關(guān)鍵.

①將2分解因數(shù)，進(jìn)而找出2的兩個(gè)因數(shù)即可得出結(jié)論；

②將24分解因數(shù)，進(jìn)而找出24的兩個(gè)因數(shù)即可得出結(jié)論；

③根據(jù)題意找出〃的符合題意的分解即可得出結(jié)論；；

④利用“相乘的這兩個(gè)正整數(shù)之差的絕對值最小”舉出反例，進(jìn)而確定此說法錯(cuò)誤即可.

【詳解】解：002=1x2,.-./(2)=|,此說法正確；

②24可以分解成1x24,2x12,3x8或4x6,因?yàn)?4-1>12-2>8-3>6-4,所以4x6是24的符合題意的分解,

所以/1(24)二:，故錯(cuò)誤；

③???九是一個(gè)完全平方數(shù)，

設(shè)人=x2(x>0),

???%XX是〃的符合題意的分解，則/Xn)=l,此說法正確；

④若九是一個(gè)完全立方數(shù)，即〃=Q3(Q是正整數(shù))，???a是正整數(shù)，如64=43=8x8,/(641=-則

88

=：不一定成立，此說法錯(cuò)誤.

綜上所述，有兩個(gè)正確，

故答案為：B.

4.(24-25九年級下?全國競賽)十算:(1—/)X(1-城)X…x(1—.二)=

【答案】翳

【分析】本題考查了利用平方差分式分解因式，乘法運(yùn)算律，解題關(guān)鍵是掌握平方差公式.

先用平方差公式將每個(gè)因式拆成2個(gè)分?jǐn)?shù)的積，再利用乘法交換律與結(jié)合律求解..

【詳解】解：(1一表)x(1—2)x...x(l-白)

=(1+DX(1-5)X(1+§)X(1-§)X-X(1+2^5)X(1-2^5)

314220262024

=-X—X—X—XX-----X-----

223320252025

/342026\/I22024\

=(2x§x…x2025)*Gx§x…x2025j

=2026x^_=10135

220252025

故答案為：翳?

2

5.(2024八年級?全國?競賽)已知多項(xiàng)式M+7ab+kb-5a+43b-24分解因式后能夠變成兩個(gè)含有a、b

的一次因式的乘積，則實(shí)數(shù)k的值為.

【答案】-18

【分析】本題考查了因式分解，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，二元一次方程組的求解，根據(jù)因式分解結(jié)合多項(xiàng)式乘

以多項(xiàng)式可得小+幾=7①，mn=k@,3n-8m=430,利用加減消元法求解二元一次方程組得到小,

〃的值，即可求出最后結(jié)果.

【詳解】解：a?+7。匕+kb?—5Q+43b—24可分解為(Q十bm+3)(Q+nb-8),

???(a+bm+3)(a+nb-8)

=G24-mab+3a+nab+mnb2+371b-8a-8mb-24

=G?+(m+n)ab+mnb2—5a+(3n—8?n)b—24?

va2+7ab+kb2-5Q+43b-24,

???zn+n=7①，mn=k(2),3n-87n=43③,

③-3x①得：-8m-3m=43-3x7,解得：m=-2,

將n=-2代入①得：n=9,

k=mn=-18,

故答案為:-18.

6.(2024八年級?全國?競賽)已知a?+/=2,/+y?=1003,則多項(xiàng)式(ax+by)2+(以一的值

為?

【答案】2006

【分析】本題考查了整體代入求多項(xiàng)式的值，整式的混合運(yùn)算，分組法因式分解等知識(shí).先將("+")2+

(bx-的尸進(jìn)行計(jì)算得到Q2%2+b2x2+b2y2+02y2,再利用分組因式分解得到+爐)(%2+丫2),整體代

入即可求解.

［詳解］解：(ax+by)2+(bx-ay)2

=a2%2+b2y2+2abxy+b2x2+a2y2—2abxy

=G2X2+b2x2+b2y2+a2y2

=/(Q?+b2)4-y2(a2+b2)

=(a2+b2)(x2+y2)

=2x1003

=2006.

7.(2024八年級?全國?競賽)已知等式(％+。)(％+匕)+?%-7)=(%-3)(%+1)對一切3都成立，a、b、

c為整數(shù).且a+b>0.則|。