高數(shù)強(qiáng)化考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\frac{1}{\ln(x-1)}$的定義域是（）A.$x>1$B.$x\neq2$C.$x>1$且$x\neq2$D.$x\geq1$2.當(dāng)$x\to0$時(shí)，$x^2$是$x$的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)是$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.設(shè)$y=\sinx$，則$y^{(100)}=$（）A.$\sinx$B.$\cosx$C.$-\sinx$D.$-\cosx$5.曲線(xiàn)$y=x^3-3x$的拐點(diǎn)是（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.無(wú)拐點(diǎn)6.不定積分$\int\frac{1}{x^2}dx=$（）A.$\frac{1}{x}+C$B.$-\frac{1}{x}+C$C.$\ln|x|+C$D.$x^{-1}+C$7.定積分$\int_{-1}^{1}x^3dx=$（）A.0B.1C.2D.48.設(shè)$z=x^2y$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$2xy$B.$x^2$C.$2x$D.$y$9.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是（）A.發(fā)散的B.條件收斂的C.絕對(duì)收斂的D.無(wú)法判斷10.微分方程$y'+y=0$的通解是（）A.$y=Ce^x$B.$y=Ce^{-x}$C.$y=Cx$D.$y=C$二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.$y=x^2$B.$y=\cosx$C.$y=e^x$D.$y=|x|$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2}$3.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處導(dǎo)數(shù)存在的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列函數(shù)中，在區(qū)間$[0,1]$上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的有（）A.$y=x^2-1$B.$y=x(1-x)$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=x^3$5.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x\cosxdx$B.$\int_{-1}^{1}x^2\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}\cosxdx$6.設(shè)$z=f(x,y)$可微，則（）A.$\frac{\partialz}{\partialx}$存在B.$\frac{\partialz}{\partialy}$存在C.$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$D.函數(shù)$z$連續(xù)7.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$8.冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂區(qū)間求法涉及（）A.比值判別法B.根值判別法C.阿貝爾定理D.萊布尼茨判別法9.一階線(xiàn)性微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的解法有（）A.常數(shù)變易法B.分離變量法C.公式法D.特征方程法10.下列關(guān)于多元函數(shù)極值的說(shuō)法正確的有（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.可微函數(shù)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)D.駐點(diǎn)可能不是極值點(diǎn)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$是常值函數(shù)。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，則$f(x_0)=A$。（）3.函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處不可導(dǎo)。（）4.若$f(x)$在區(qū)間$I$上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則$f(x)$在區(qū)間$I$上是常數(shù)函數(shù)。（）5.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）6.若$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)一定可微。（）7.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$，當(dāng)$p\leq1$時(shí)發(fā)散。（）8.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑唯一。（）9.二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程$y''+py'+qy=0$的特征方程為$r^2+pr+q=0$。（）10.二元函數(shù)$z=f(x,y)$的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$和$\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$一定相等。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。答：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿(mǎn)足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿(mǎn)足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時(shí)的極限。2.簡(jiǎn)述利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。答：設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，若在$(a,b)$內(nèi)$f'(x)>0$，則$y=f(x)$在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)增加；若在$(a,b)$內(nèi)$f'(x)<0$，則$y=f(x)$在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)減少。3.簡(jiǎn)述定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，定積分是特殊的極限，牛頓-萊布尼茨公式將兩者聯(lián)系起來(lái)，定積分的值可通過(guò)求被積函數(shù)的不定積分來(lái)計(jì)算。區(qū)別：不定積分結(jié)果是函數(shù)族，定積分結(jié)果是數(shù)值。4.簡(jiǎn)述多元函數(shù)全微分的概念。答：設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$的某鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn)$(x,y)$的全增量$\Deltaz=f(x+\Deltax,y+\Deltay)-f(x,y)$可表示為$\Deltaz=A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$，其中$A$、$B$不依賴(lài)于$\Deltax$、$\Deltay$，$\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}$，則稱(chēng)函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x,y)$可微，$dz=A\Deltax+B\Deltay$稱(chēng)為函數(shù)在該點(diǎn)的全微分。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的極限與連續(xù)性。答：化簡(jiǎn)$f(x)=x+1(x\neq1)$，$\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2$，但$f(1)$無(wú)定義，所以函數(shù)在$x=1$處極限存在為2，但不連續(xù)，是可去間斷點(diǎn)。2.討論函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的極值情況。答：求導(dǎo)得$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'=0$，得駐點(diǎn)$x=0$和$x=2$。當(dāng)$x<0$時(shí)，$y'>0$；$0<x<2$時(shí)，$y'<0$；$x>2$時(shí)，$y'>0$。所以$x=0$是極大值點(diǎn)，極大值為1；$x=2$是極小值點(diǎn)，極小值為-3。3.討論冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收斂域。答：用比值判別法，$\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lim_{n\to\infty}|\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}|=1$，收斂半徑$R=1$。當(dāng)$x=1$時(shí)，級(jí)數(shù)為$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$發(fā)散；當(dāng)$x=-1$時(shí)，級(jí)數(shù)為$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$收斂。所以收斂域?yàn)?[-1,1)$。4.討論一階線(xiàn)性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$與一階線(xiàn)性齊次微分方程$y'+P(x)y=0$的解的關(guān)系。答：一階線(xiàn)性齊次微分方程$y'+P(x)y=0$的通解是$y=Ce^{-\intP(x)dx}$。一階線(xiàn)性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的通解是$y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)$，非齊次方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊