21.1二次根式【隨堂演練01】（2022春?西華縣期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足ab＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的共軛（è）二次根式．問題解決：（1）若a與2是關(guān)于6的共軛二次根式，則a＝；（2）若4+與8﹣m是關(guān)于26的共軛二次根式，求m的值．【思路引導】（1）根據(jù)共軛二次根式的定義列等式可得a的值；（2）根據(jù)共軛二次根式的定義列等式可得m的值．【規(guī)范解答】解：（1）∵a與2是關(guān)于6的共軛二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案為：；（2）∵4+與8﹣m是關(guān)于26的共軛二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．【考察注意點】本題考查了新定義共軛二次根式的理解和應用，并會用二次根據(jù)的性質(zhì)進行計算．【隨堂演練02】已知二次根式．（1）求x的取值范圍；（2）求當x＝﹣2時，二次根式的值；（3）若二次根式的值為零，求x的值．【思路引導】（1）根據(jù)二次根式的定義得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）將x＝﹣2代入計算可得；（3）當被開方數(shù)為0時，二次根式的值即為0，據(jù)此列出關(guān)于x的方程求解可得．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）當x＝﹣2時，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值為零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．【考察注意點】本題主要考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的定義：形如（a≥0）的式子叫做二次根式．【隨堂演練03】（2022春?濰坊期中）已知．求﹣x﹣3y的立方根．【思路引導】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)可得x、y的值，再根據(jù)立方根的定義解答即可．【規(guī)范解答】解：∵，∴，解得x＝3，∴y＝8，∴﹣x﹣3y＝﹣3﹣24＝﹣27，∴﹣x﹣3y的立方根﹣3．【考察注意點】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．【隨堂演練04】（2022春?清城區(qū)期中）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式x2﹣4＞0．解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴x2﹣4＞0可化為（x+2）（x﹣2）＞0．由有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，得①，②解不等式組①，得x＞2，解不等式組②，得x＜﹣2，∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集為x＞2或x＜﹣2，即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集為x＞2或x＜﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣25＞0的解集為x＞5或x＜﹣5；（2）求使代數(shù)式有意義的x的取值范圍；（3）試解不等式≤0．【思路引導】（1）先分解因式，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，分兩種情況分別計算即可；（2）先分解因式，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，分兩種情況分別計算即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的除法法則，異號得負，分兩種情況分別計算，注意分母不等于0．【規(guī)范解答】解：（1）∵x2﹣25＝（x+5）（x﹣5），∴（x+5）（x﹣5）＞0，∴或，解第一個不等式組得：x＞5，解第二個不等式組得：x＜﹣5，∴x2﹣25＞0的解集為：x＞5或x＜﹣5，故答案為：x＞5或x＜﹣5；（2）∵2x2﹣3x≥0，∴x（2x﹣3）≥0，∴或，解第一個不等式組得：x≥1.5，解第二個不等式組得：x≤0，∴代數(shù)式有意義的條件為：x≥1.5或x≤0；（3）根據(jù)題意得：或，解第一個不等式組得：0.5≤x＜4，解第二個不等式組得：無解，∴不等式的解集為：0.5≤x＜4．【考察注意點】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解一元一次不等式組，閱讀型，考查分類討論的思想，掌握分式的分母不等于0是解題的關(guān)鍵．【隨堂演練05】（2022秋?港南區(qū)期末）材料：如何將雙重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化簡呢？如能找到兩個數(shù)m，n（m＞0，n＞0），使得（）2+（）2＝a，即m+n＝a，且使＝，即m?n＝b，那么＝（）2+（）2±2＝（±）2∴＝，雙重二次根式得以化簡．例如化簡：因為3＝1+2且2＝1×2∴3±2＝（）2+（）2±2×＝|1±|．由此對于任意一個二次根式只要可以將其化成的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n＝a，且m?n＝b，那么這個雙重二次根式一定可以化簡為一個二次根式．請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題：（1）填空：＝±，＝±；（2）化簡：；（3）計算：+．【思路引導】（1）仿照閱讀材料，把被開方數(shù)變形成完全平方式，即可得答案；（2）把6變形成2，仿照閱讀材料的方法可得答案；（3）將變形成2，變形成2，再把被開方數(shù)變形成完全平方式，即可算得答案．【規(guī)范解答】解：（1）＝＝±，＝＝±，故答案為：±，±；（2）＝＝＝±；（3）+＝+＝+＝﹣++＝，同理可得+＝．【考察注意點】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能仿照閱讀材料將被開方數(shù)變形乘完全平方．【典例分析06】（2023?臨川區(qū)校級一模）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|a|﹣+．【思路引導】由數(shù)軸可得c＜a＜0，b＞0，從而得c﹣a＜0，再結(jié)合二次根式的化簡的方法進行求解即可．【規(guī)范解答】解：由數(shù)軸得：c＜a＜0，b＞0，∴c﹣a＜0，∴|a|﹣+＝﹣a﹣b+a﹣c＝﹣b﹣c．【考察注意點】本題主要考查二次根式的化簡，數(shù)軸，解答的關(guān)鍵是由數(shù)軸得出相應的數(shù)的范圍．【隨堂演練07】（2022春?靈寶市期中）把下列二次根式化簡最簡二次根式：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路引導】（1）把32寫成16×2，然后化簡；（2）把40寫成4×10，然后化簡；（3）先把小數(shù)寫成分數(shù)，然后把分母有理化；（4）分子分母都乘以3，然后化簡．【規(guī)范解答】解：（1）＝＝4；（2）＝＝2；（3）＝＝＝；（4）＝＝．【考察注意點】此題主要考查了最簡二次根式的定義，滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【隨堂演練08】（2018春?番禺區(qū)期末）把下列二次根式化成最簡二次根式（1）（2）（3）【思路引導】（1）直