天津市七年級數(shù)學(xué)試卷整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題專題練習(xí)及答案一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1．某同學(xué)利用若干張正方形紙片進(jìn)行以下操作：（1）從邊長為a的正方形紙片中減去一個(gè)邊長為b的小正方形，如圖1，再沿線段AB把紙片剪開，最后把剪成的兩張紙片拼成如圖2的等腰梯形，這一過程所揭示的公式是________.（2）先剪出一個(gè)邊長為a的正方形紙片和一個(gè)邊長為b的正方形紙片，再剪出兩張邊長分別為a和b的長方形紙片，如圖3，最后把剪成的四張紙片拼成如圖4的正方形.這一過程你能發(fā)現(xiàn)什么代數(shù)公式？（3）先剪出兩個(gè)邊長為a的正方形紙片和一個(gè)邊長為b的正方形紙片，再剪出三張邊長分別為a和占的長方形紙片，如圖5，你能否把圖5中所有紙片拼成一個(gè)長方形？如果可以，請畫出草圖，并寫出相應(yīng)的等式.如果不能，請說明理由.2．如圖1是一個(gè)長為，寬為

的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．

（1）圖2中的陰影部分的面積為

；（2）觀察圖2請你寫出，，之間的等量關(guān)系是________；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若，，則

________；（4）實(shí)際上我們可以用圖形的面積表示許多恒等式，下面請你設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形來表示恒等式．在圖形上把每一部分的面積標(biāo)寫清楚．3．閱讀材料：把形如的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即.例如：是的一種形式的配方，是的另一種形式的配方請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，寫出的兩種不同形式的配方；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.4．如圖，長方形ABCD中，AB=x(6<x<9)，AD=y(6<y<9)，放入一個(gè)邊長為6的正方形AEFG和兩個(gè)邊長都為3的正方形CHIJ及正方形DKMN，S1，S2，S3分別表示對應(yīng)陰影部分的面積．（1）MH=________，KG=________，BJ=________(結(jié)果用含x或y的代數(shù)式表示)（2）若S2=S3，求長方形ABCD的周長．（3）若2S1+3S2=5S3，且AD比AB長1，求長方形ABCD的面積．5．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么我們稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24這三個(gè)數(shù)都是“和諧數(shù)”．（1）在32，75，80這三個(gè)數(shù)中，是和諧數(shù)的是________；（2）若200為和諧數(shù)，即200可以寫成兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為________；（3）小鑫通過觀察發(fā)現(xiàn)以上求出的“和諧數(shù)”均為8的倍數(shù)，設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2n-1和2n+1（其中n取正整數(shù)），請你通過運(yùn)算驗(yàn)證“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個(gè)結(jié)論是否符合題意．6．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))，由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差(k取正數(shù))是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？7．問題發(fā)現(xiàn)：小星發(fā)現(xiàn)把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.例如，由圖1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.（1）類比探究：如圖2，將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長方形拼成一個(gè)邊長為a+b+c的正方形，通過上面的啟發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來.（2）結(jié)論應(yīng)用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值.（3）拓展延伸：如圖，將兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF.若這兩個(gè)正方形的邊長滿足a+b=8，ab=14，請求出陰影部分的面積.8．如圖所示，圖甲由長方形①，長方形②組成，圖甲通過移動長方形②得到圖乙．（1）S甲=________，S乙=________（用含a、b的代數(shù)式分別表示）；（2）利用（1）的結(jié)果，說明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量關(guān)系；（3）現(xiàn)有一塊如圖丙尺寸的長方形紙片，請通過對它分割，再對分割的各部分移動，組成新的圖形，畫出圖形，利用圖形說明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量關(guān)系．9．

（1）填空：________；

________；

________；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）=________（其中n為正整數(shù)，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的結(jié)論計(jì)算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．10．認(rèn)真閱讀材料，然后回答問題：我們初中學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，相應(yīng)的，我們可以計(jì)算出多項(xiàng)式的展開式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我們依次對（a+b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以單獨(dú)列成表中的形式：上面的多項(xiàng)式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細(xì)觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答下列問題：（1）多項(xiàng)式（a+b）n的展開式是一個(gè)幾次幾項(xiàng)式？并預(yù)測第三項(xiàng)的系數(shù)；（2）請你預(yù)測一下多項(xiàng)式（a+b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和．（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項(xiàng)式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為S，（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）．11．已知A=2a-7，B=a2-4a+3，C=a2+6a-28，其中．（1）求證：B-A＞0，并指出A與B的大小關(guān)系；（2）閱讀對B因式分解的方法：解：B=a2-4a+3=a2-4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.請完成下面的兩個(gè)問題：①仿照上述方法分解因式：x2-4x-96；②指出A與C哪個(gè)大？并說明你的理由．12．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=（A+1）2再將“A”還原，得：原式=（x+y+1）2．上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、整式乘法與因式分解易錯壓軸解答題1．（1）（2）a2+b2+2ab=(a+b)2（3）解：能拼成長方形.如圖.（不止一種）畫圖正確得分.等式：2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b).（等式左右兩邊交換不扣分）解析：（1）（2）（3）解：能拼成長方形.如圖.（不止一種）畫圖正確得分.等式：.（等式左右兩邊交換不扣分）【解析】【分析】(1)圖1陰影部分面積為S1=a2-b2，圖1陰影部分面積為S2=，根據(jù)展開前后圖形的面積相等得到S1=S2，所以

;(2)圖3四個(gè)圖形面積和為S3=a2+b2+2ab，圖4的面積S4=(a+b)2,因?yàn)閳D4為圖3的四個(gè)圖形拼成，所以S3=S4，即；(3)圖5六個(gè)圖形面積和為S5=2a2+b2+3ab，畫出的長方形的面積S=(a+b)(2a+b)，因?yàn)楫嫵龅拈L方形為圖5的六個(gè)圖形拼成，所以S5=S，即

.2．（1）(b-a)2（2）（3）±5（4）解：符合等式(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2的圖形如圖所示，【解析】【解答】解：（1）陰影部分為一個(gè)正方形，其邊長為b-a解析：（1）（2）（3）±5（4）解：符合等式的圖形如圖所示，【解析】【解答】解：（1）陰影部分為一個(gè)正方形，其邊長為b-a，∴其面積為：，故答案為：；（2）大正方形面積為：小正方形面積為：=，四周四個(gè)長方形的面積為：，∴，故答案為：；（3）由（2）知，，∴，∴=，故答案為：±5；【分析】（1）表示出陰影部分正方形的邊長，然后根據(jù)正方形的面積公式列式即可；（2）根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個(gè)小長方形的面積列式即可；（3）將（x-y）2變形為（x+y）2—4xy，再代入求值即可；（4）由已知的恒等式，畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示．3．（1）解：；；（2）解：∵，∴(x-2)2+(y+3)2=0，∴，解得，∴；（3）解：==∵，∴，解析：（1）解：；；（2）解：∵，∴，∴，解得，∴；（3）解：==∵，∴，∴，解得，∴.【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式并參照題干即可得出答案；（2）先對已知進(jìn)行變形，然后利用平方的非負(fù)性求出x,y的值，再代入求值即可；（3）首先將原式利用完全平方公式分解因式，然后利用平方的非負(fù)性求出a,b,c的值，進(jìn)而可得出答案.4．（1）；9-y；y-3（2）解：FG=EB=x-6,IP=KG=9-y,IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x,∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x),LN=GD=KD-K解析：（1）；9-y；y-3（2）解：FG=EB=x-6,IP=KG=9-y,IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x,∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x),LN=GD=KD-KG=3-（9-y）=y-6,∴S3=LN×NH=(y-6)(x-6),∵S2=S3，∴(9-y)(9-x)=(y-6)(x-6),81-9y-9x+xy=xy-6x-6y+363(x+y)=81,x+y=27.∴長方形ABCD的周長=2(x+y)=54.（3）解：S1=EB×BJ=(x-6)(y-3),由2S1+3S2=5S3得，2(x-6)(y-3)+3(9-y)(9-x)=5(y-6)(x-6),整理得：3y-x=33,∵y=x+1,解得x=15,y=16,則長方形ABCD的面積=xy=15×16=240.【解析】【解答】【解答】（1）由圖可知，AG+KD=AG+GD+KG=AD+KG，即6+3=y+KG,∴KG=9-y,由圖可知，BJ=AK=AG-KG=6-（9-y）=y-3,NH=DC-DN-HC=AB-2DN=x-6,則MH=;【分析】（1）根據(jù)線段之間的關(guān)系，結(jié)合正方形的性質(zhì)推得AG+KD=AD+KG，求出KG=KG=9-y,由BJ=AK=AG-KG，從而求得BG=y-3；（2）根據(jù)已求線段的值，結(jié)合線段之間的關(guān)系，把IP和IQ，LN和NH分別用含x和y的代數(shù)式表示，根據(jù)S2=S3列式，求得x+y=27,則矩形的周長可求；（3）把S1、S2和S3分別用含x和y的代數(shù)式表示，根據(jù)2S1+3S2=5S3列式，

結(jié)合y=x+1,從而解出x、y則可求出長方形ABCD的面積.5．（1）32；80（2）100（3）證明：∵,∴“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個(gè)結(jié)論是正確的．【解析】【解答】解：（1）由“和諧數(shù)”的定義，設(shè)這兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為2n+1，，解析：（1）32；80（2）100（3）證明：∵,∴“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個(gè)結(jié)論是正確的．【解析】【解答】解：（1）由“和諧數(shù)”的定義，設(shè)這兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)分別為，，則和諧數(shù)可表示為：，（其中表示正整數(shù)）∴“和諧數(shù)”就是8的正整數(shù)倍，∴32，80是和諧數(shù)，75不是和諧數(shù)，且32=92-72，80=212-192，故答案為：32；80.（2）∵200，即200，∴，∴，，∵49+51=100，∴這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為100，故答案為：100.【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義，設(shè)出一般的情況，看和諧數(shù)應(yīng)滿足什么條件，以此條件判斷32，75，80這三個(gè)數(shù)中，哪些數(shù)是和諧數(shù)；（2）用字母表示兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)與和諧數(shù)，由和諧數(shù)是200，列出方程，解出即得到這兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)，從而可以求得這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和；（3）用字母表示兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)與和諧數(shù)，通過化簡，可以證明結(jié)論成立．6．（1）解：設(shè)設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2m，2m+2，則根據(jù)題意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神解析：（1）解：設(shè)設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2m，2m+2，則根據(jù)題意得：(2m+2)2-(2m)2=28，8m+4=28，m=3，∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，∴28是“神秘?cái)?shù)”.(2m+2)2-(2m)2=2012，8m+4=2012，m=501，∴2m=1002∴2012是“神秘?cái)?shù)”.（2）解：是；理由如下：∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，∴由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù).（3）解：由（2）可知“神秘?cái)?shù)”可表示為4(2n-1)，∵2n-1是奇數(shù)，∴4(2n-1)是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)，設(shè)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)為2n-1和2n+1，則(2n+1)2-(2n-1)2=8n.∴連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，∴連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差不是“神秘?cái)?shù)”.【解析】【分析】（1）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義，設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根據(jù)“神秘?cái)?shù)”的定義可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘?cái)?shù)”是4的倍數(shù)，但一定不是8的倍數(shù)，而連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)，即可得答案.7．（1）解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26，∴a2+b2+c2=(a+b+c)2?2(ab+ac+bc解析：（1）解：=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26，∴a2+b2+c2=(a+b+c)2?2(ab+ac+bc)=196?52=144（3）解：∵a+b=8，ab=14，∴=+(a+b)×b-=+-ab=-ab=′-′14=11【解析】【分析】（1）此題根據(jù)面積的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一種可以是3個(gè)正方形的面積和6個(gè)矩形的面積，一種是大正方形的面積，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S陰影=正方形ABCD的面積+正方形ECGF的面積-三角形BGF的面積-三角形ABD的面積求解.8．（1）（a+b）（a-b）；a2-b2（2）由兩個(gè)圖形的面積相等可知，（a+b）（a-b）=a2-b2。（3）S正方形=（a+b）2，S正方形=（a-b）2+4ab∴（a+b）解析：（1）（a+b）（a-b）；a2-b2（2）由兩個(gè)圖形的面積相等可知，（a+b）（a-b）=a2-b2。（3）S正方形=（a+b）2，S正方形=（a-b）2+4ab∴（a+b）2=（a-b）2+4ab【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形的面積。列式得到答案即可；（2）根據(jù)兩組圖案所表示的面積相等，即可得到等量關(guān)系；（3）同理，首先根據(jù)面積列出兩種方式表示的面積，得到答案即可。9．（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4（2）an－bn（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋1解析：（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4（2）an－bn（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023.②210－29＋28－…－23＋22－2＝×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)10－1]＝×[211－(－1)11]－×3×1＝682.【解析】【解答】解：（1）(a－b)(a＋b)＝a2－b2；；；（2）由（1）可得，(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn；【分析】(1)根據(jù)平方差公式與多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則運(yùn)算即可;(2)根據(jù)(1)的規(guī)律可得結(jié)果;(3)原式變形后,利用(2)得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果.10．（1）解：∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）1的展開式是一次二項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：0=，當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）2的展開式是二次三項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：1=，當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)解析：（1）解：∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）1的展開式是一次二項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：0=，當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）2的展開式是二次三項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：1=，當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）3的展開式是三次四項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：3=，當(dāng)n=4時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）4的展開式是四次五項(xiàng)式，此時(shí)第三項(xiàng)的系數(shù)為：6=，…∴多項(xiàng)式（a+b）n的展開式是一個(gè)n次n+1項(xiàng)式，第三項(xiàng)的系數(shù)為：（2）解：預(yù)測一下多項(xiàng)式（a+b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：2n（3）解：∵當(dāng)n=1時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）1展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+1=2=21，當(dāng)n=2時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）2展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+2+1=4=22，當(dāng)n=3時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）3展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+3+3+1=8=23，當(dāng)n=4時(shí)，多項(xiàng)式（a+b）4展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：1+4+6+4+1=16=24，…∴多項(xiàng)式（a+b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和：S=2n【解析】【分析】由楊輝三角形的規(guī)律，得到多項(xiàng)式（a+b）n的展開式是一個(gè)n次n+1項(xiàng)式；由規(guī)律得到多項(xiàng)式（a+b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和；根據(jù)題意當(dāng)n=1時(shí)，n=2時(shí)···，得到多項(xiàng)式（a+b）n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和.11．（1）解：B-A=a2-4a+3-2a+7=a2-6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A（