2025年北京數(shù)學(xué)中考試題及答案

一、單項選擇題1.實數(shù)\(-2\)，\(0\)，\(\frac{1}{2}\)，\(\sqrt{3}\)中，絕對值最大的數(shù)是（）A.\(-2\)B.\(0\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{3}\)答案：A2.2025年1月1日，全國鐵路發(fā)送旅客約10300000人次，將10300000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.\(1.03×10^{6}\)B.\(1.03×10^{7}\)C.\(10.3×10^{6}\)D.\(103×10^{5}\)答案：B3.下列運算正確的是（）A.\(a^{2}·a^{3}=a^{6}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{5}\)C.\(a^{6}÷a^{2}=a^{4}\)D.\((ab)^{3}=ab^{3}\)答案：C4.若一個多邊形的內(nèi)角和是\(1080^{\circ}\)，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.6B.7C.8D.9答案：C5.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\)中，自變量\(x\)的取值范圍是（）A.\(x≠2\)B.\(x≥2\)C.\(x＞2\)D.\(x＞-2\)答案：C6.已知點\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k＞0)\)的圖象上，若\(x_{1}＜x_{2}＜0\)，則\(y_{1}\)與\(y_{2}\)的大小關(guān)系是（）A.\(y_{1}＞y_{2}\)B.\(y_{1}＜y_{2}\)C.\(y_{1}=y_{2}\)D.無法確定答案：A7.用配方法解方程\(x^{2}-4x+1=0\)，配方后的方程是（）A.\((x+2)^{2}=3\)B.\((x-2)^{2}=3\)C.\((x+2)^{2}=5\)D.\((x-2)^{2}=5\)答案：B8.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(BC=3\)，\(AC=4\)，則\(\sinA\)的值是（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：C9.一個不透明的袋子中裝有\(zhòng)(3\)個紅球和\(2\)個白球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個球，則摸出紅球的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：C10.如圖，在\(\odotO\)中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，\(\angleB=70^{\circ}\)，則\(\angleA\)的度數(shù)是（）A.\(30^{\circ}\)B.\(40^{\circ}\)C.\(50^{\circ}\)D.\(70^{\circ}\)答案：B二、多項選擇題1.下列圖形中，是軸對稱圖形的有（）A.線段B.角C.等腰三角形D.平行四邊形答案：ABC2.下列數(shù)據(jù)是某班\(6\)名同學(xué)的身高（單位：\(cm\)）：165，170，168，172，175，164，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.168B.169C.170D.無眾數(shù)答案：BD3.下列二次根式中，是最簡二次根式的有（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{8}\)C.\(\sqrt{10}\)D.\(\sqrt{12}\)答案：AC4.已知一次函數(shù)\(y=kx+b(k≠0)\)的圖象經(jīng)過點\((0,2)\)，且\(y\)隨\(x\)的增大而增大，則下列選項正確的有（）A.\(k＞0\)B.\(k＜0\)C.\(b=2\)D.圖象經(jīng)過第一、二、三象限答案：ACD5.下列關(guān)于圓的說法正確的有（）A.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線B.圓是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心C.同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等D.直徑是圓中最長的弦答案：ABCD6.若關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+bx+c=0\)有兩個實數(shù)根\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，則下列說法正確的有（）A.\(x_{1}+x_{2}=-b\)B.\(x_{1}·x_{2}=c\)C.\(\Delta=b^{2}-4c≥0\)D.當\(c=0\)時，方程必有一根為\(0\)答案：ABCD7.如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，下列結(jié)論正確的有（）A.\(AB=CD\)B.\(AD=BC\)C.\(AC=BD\)D.\(\angleB+\angleD=180^{\circ}\)答案：ABD8.已知\(a\)，\(b\)滿足\(a+b=3\)，\(ab=2\)，則下列式子的值正確的有（）A.\(a^{2}+b^{2}=5\)B.\((a-b)^{2}=1\)C.\(a^{3}+b^{3}=9\)D.\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{3}{2}\)答案：ABCD9.下列三角函數(shù)值正確的有（）A.\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)B.\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)D.\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)答案：ABC10.若二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a≠0)\)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(a＜0\)B.\(b＜0\)C.\(c＞0\)D.\(b^{2}-4ac＞0\)答案：ACD三、判斷題1.兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)。（×）2.三角形的外角和是\(360^{\circ}\)。（√）3.分式方程\(\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}\)的解是\(x=2\)。（√）4.對角線互相垂直的四邊形是菱形。（×）5.若\(a＞b\)，則\(ac^{2}＞bc^{2}\)。（×）6.正六邊形的每個內(nèi)角都是\(120^{\circ}\)。（√）7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的圖象在第一、三象限。（√）8.一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大。（√）9.圓內(nèi)接四邊形的對角互補。（√）10.二次函數(shù)\(y=2x^{2}\)的圖象開口向上，對稱軸是\(y\)軸。（√）四、簡答題1.先化簡，再求值：\((x+1)^{2}-x(x+2)\)，其中\(zhòng)(x=\sqrt{3}\)。答案：先化簡：\[\begin{align}&(x+1)^{2}-x(x+2)\\=&x^{2}+2x+1-x^{2}-2x\\=&1\end{align}\]當\(x=\sqrt{3}\)時，原式的值為\(1\)。2.解不等式組\(\begin{cases}3x-1＜x+5\\\frac{x-3}{2}＜x-1\end{cases}\)，并把解集在數(shù)軸上表示出來。答案：解不等式\(3x-1＜x+5\)，移項可得\(3x-x＜5+1\)，即\(2x＜6\)，解得\(x＜3\)。解不等式\(\frac{x-3}{2}＜x-1\)，去分母得\(x-3＜2x-2\)，移項得\(x-2x＜-2+3\)，即\(-x＜1\)，解得\(x＞-1\)。所以不等式組的解集為\(-1＜x＜3\)。在數(shù)軸上表示時，在數(shù)軸上找到\(-1\)和\(3\)的點，\(-1\)處用空心圓圈向右畫，\(3\)處用空心圓圈向左畫。3.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(D\)是\(BC\)中點，\(DE⊥AB\)于\(E\)，\(DF⊥AC\)于\(F\)。求證：\(DE=DF\)。答案：因為\(AB=AC\)，所以\(\triangleABC\)是等腰三角形。又因為\(D\)是\(BC\)中點，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線。因為\(DE⊥AB\)，\(DF⊥AC\)，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以\(DE=DF\)。4.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求這個一次函數(shù)的解析式。答案：把點\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入一次函數(shù)\(y=kx+b\)中，可得方程組\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\)。將兩式相加可得：\((k+b)+(-k+b)=3+(-1)\)，即\(2b=2\)，解得\(b=1\)。把\(b=1\)代入\(k+b=3\)，得\(k+1=3\)，解得\(k=2\)。所以這個一次函數(shù)的解析式為\(y=2x+1\)。五、討論題1.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)\(y=x^{2}-2x-3\)的圖象與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點（點\(A\)在點\(B\)左側(cè)），與\(y\)軸交于點\(C\)。請討論如何求\(\triangleABC\)的面積。答案：首先求\(A\)、\(B\)、\(C\)三點的坐標。對于二次函數(shù)\(y=x^{2}-2x-3\)，令\(y=0\)，即\(x^{2}-2x-3=0\)，分解因式得\((x-3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=-1\)，所以\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)。令\(x=0\)，得\(y=-3\)，即\(C(0,-3)\)。\(\triangleABC\)以\(AB\)為底邊，\(AB=3-(-1)=4\)，\(C\)到\(x\)軸距離即高為\(3\)，根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}×底×高\)，可得\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}×4×3=6\)。2.已知\(\odotO\)的半徑為\(5\)，弦\(AB=8\)，討論如何求弦\(AB\)的弦心距。答案：過圓心\(O\)作\(OC⊥AB\)于\(C\)，則\(OC\)就是弦\(AB\)的弦心距，\(AC=\frac{1}{2}AB\)（垂徑定理）。因為\(AB=8\)，所以\(AC=4\)。在\(Rt\triangleAOC\)中，\(OA\)是圓\(O\)半徑為\(5\)，\(AC=4\)，根據(jù)勾股定理\(OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}\)，即\(OC=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)。所以弦\(AB\)的弦心距為\(3\)。3.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降\(1\)元，商場平均每天可多售出\(2\)件。討論當每件襯衫降價多少元時，商場每天盈利最多，最多盈利是多少。答案：設(shè)每件襯衫降價\(x\)元，每天盈利\(y\)元。原來每件盈利\(40\)元，降價\(x\)元后每件盈利\((40-x)\)元；原來每天售\(20\)件，降價\(x\)元后每天多售\(2x\)件，即每天售\((20+2x)\)件。則\(y=(40-x)(20+2x)=-2x^{2}+60x+800\)。對于二次函數(shù)\(y=-2x^{2}+60x+800\)，\(a=-2＜0\)，圖象開口向下，對稱軸為\(x=-\frac{2a}=-\frac{60}{2×(-2)}=15\)。當\(x=15\)時，\(y\)有最大值，\(y_{max