2025線性期末考試題庫及答案一、選擇題題目1設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A^T\vert\)的值為（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)答案本題可根據(jù)方陣行列式的性質(zhì)來求解\(\vert2A^T\vert\)的值。-步驟一：根據(jù)方陣行列式的性質(zhì)\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)（\(n\)為方陣\(A\)的階數(shù)，\(k\)為常數(shù)），確定\(\vert2A^T\vert\)與\(\vertA^T\vert\)的關(guān)系已知\(A\)為\(3\)階方陣，則\(n=3\)，所以\(\vert2A^T\vert=2^3\vertA^T\vert\)。-步驟二：根據(jù)方陣行列式的性質(zhì)\(\vertA^T\vert=\vertA\vert\)，確定\(\vertA^T\vert\)的值已知\(\vertA\vert=2\)，所以\(\vertA^T\vert=\vertA\vert=2\)。-步驟三：計算\(\vert2A^T\vert\)的值將\(\vertA^T\vert=2\)代入\(\vert2A^T\vert=2^3\vertA^T\vert\)可得：\(\vert2A^T\vert=2^3\times2=8\times2=16\)綜上，答案選C。題目2向量組\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\alpha_4=(1,1,1)^T\)的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案本題可通過判斷向量組中向量的線性相關(guān)性來確定向量組的秩。-步驟一：判斷向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的線性相關(guān)性設(shè)\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)，即\(k_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+k_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，可得方程組\(\begin{cases}k_1=0\\k_2=0\\k_3=0\end{cases}\)，該方程組只有零解，所以向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)。-步驟二：判斷向量\(\alpha_4\)與向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的關(guān)系因為\(\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)，即\(\alpha_4\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示。-步驟三：確定向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的秩由于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，且\(\alpha_4\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示，所以向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)的極大線性無關(guān)組為\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)，其秩為\(3\)。綜上，答案選C。題目3設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timess\)矩陣，則線性方程組\((AB)X=0\)與\(BX=0\)同解的充分必要條件是（）A.\(r(A)=n\)B.\(r(B)=n\)C.\(r(AB)=r(B)\)D.\(r(A)=r(AB)\)答案本題可根據(jù)同解方程組的性質(zhì)以及矩陣秩的相關(guān)知識來求解。-步驟一：分析\((AB)X=0\)與\(BX=0\)同解的條件若\((AB)X=0\)與\(BX=0\)同解，則它們的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相同。根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)，對于齊次線性方程組\(MX=0\)（\(M\)為系數(shù)矩陣），其基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(n-r(M)\)（\(n\)為未知數(shù)的個數(shù)）。對于\((AB)X=0\)，未知數(shù)個數(shù)為\(s\)，基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(s-r(AB)\)；對于\(BX=0\)，未知數(shù)個數(shù)也為\(s\)，基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(s-r(B)\)。所以\(s-r(AB)=s-r(B)\)，即\(r(AB)=r(B)\)。-步驟二：證明\(r(AB)=r(B)\)時\((AB)X=0\)與\(BX=0\)同解若\(r(AB)=r(B)\)，因為\(BX=0\)的解一定是\((AB)X=0\)的解，且兩個方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相同，所以\((AB)X=0\)與\(BX=0\)同解。綜上，線性方程組\((AB)X=0\)與\(BX=0\)同解的充分必要條件是\(r(AB)=r(B)\)，答案選C。二、填空題題目1設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為______。答案本題可根據(jù)伴隨矩陣的定義來求解\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)。對于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。故答案為\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)。題目2已知向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(2,-1,0)^T\)，則\(\alpha\)與\(\beta\)的內(nèi)積\((\alpha,\beta)\)為______。答案本題可根據(jù)向量內(nèi)積的定義來求解\(\alpha\)與\(\beta\)的內(nèi)積\((\alpha,\beta)\)。對于\(n\)維向量\(\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T\)，\(\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T\)，它們的內(nèi)積\((\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\)。已知\(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(2,-1,0)^T\)，則\((\alpha,\beta)=1\times2+2\times(-1)+3\times0=2-2+0=0\)。故答案為\(0\)。題目3設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(r(A)=2\)，則\(r(A^)\)為______。答案本題可根據(jù)方陣的秩與伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系來求解\(r(A^)\)。對于\(n\)階方陣\(A\)，其伴隨矩陣\(A^\)的秩\(r(A^)\)與\(A\)的秩\(r(A)\)有如下關(guān)系：-當(dāng)\(r(A)=n\)時，\(r(A^)=n\)；-當(dāng)\(r(A)=n-1\)時，\(r(A^)=1\)；-當(dāng)\(r(A)\ltn-1\)時，\(r(A^)=0\)。已知\(A\)為\(3\)階方陣，即\(n=3\)，且\(r(A)=2=3-1\)，所以\(r(A^)=1\)。故答案為\(1\)。三、計算題題目1計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)的值。答案本題可根據(jù)行列式的性質(zhì)來計算該行列式的值。-步驟一：對行列式進(jìn)行倍加變換將行列式的第二行減去第一行的\(4\)倍，第三行減去第一行的\(7\)倍，可得：\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\4-4\times1&5-4\times2&6-4\times3\\7-7\times1&8-7\times2&9-7\times3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)-步驟二：繼續(xù)對行列式進(jìn)行倍加變換將第三行減去第二行的\(2\)倍，可得：\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6-2\times(-3)&-12-2\times(-6)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}\)-步驟三：計算行列式的值根據(jù)上三角行列式的值等于主對角線元素之積，可知\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=1\times(-3)\times0=0\)。綜上，該行列式的值為\(0\)。題目2求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)的秩。答案本題可通過對矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，然后根據(jù)行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)來確定矩陣的秩。-步驟一：對矩陣\(A\)進(jìn)行初等行變換將矩陣\(A\)的第二行減去第一行的\(2\)倍，第三行減去第一行的\(3\)倍，可得：\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\3&6&9\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-3r_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)-步驟二：確定矩陣\(A\)的秩行階梯形矩陣\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)的非零行的行數(shù)為\(1\)，所以矩陣\(A\)的秩\(r(A)=1\)。綜上，矩陣\(A\)的秩為\(1\)。題目3已知線性方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+3x_3=2\\x_1+3x_2+kx_3=3\end{cases}\)，問\(k\)為何值時，方程組有唯一解、無解、有無窮多解？并在有解時求出其解。答案本題可通過對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，根據(jù)變換后的矩陣來討論\(k\)的取值情況，進(jìn)而確定方程組的解的情況。-步驟一：寫出增廣矩陣并進(jìn)行初等行變換增廣矩陣\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&2\\1&3&k&3\end{pmatrix}\)，對其進(jìn)行初等行變換：\(\overline{A}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\1&3&k&3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_1}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&2&k-1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-2r_2}\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&k-5&0\end{pmatrix}\)-步驟二：根據(jù)\(k\)的取值討論方程組的解的情況-當(dāng)\(k\neq5\)時：此時\(r(A)=r(\overline{A})=3\)（未知數(shù)個數(shù)），根據(jù)線性方程組解的判定定理，方程組有唯一解。由\(\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&k-5&0\end{pmatrix}\)可得\(x_3=0\)，將\(x_3=0\)代入\(x_2+2x_3=1\)，得\(x_2=1\)，再將\(x_2=1\)，\(x_3=0\)代入\(x_1+x_2+x_3=1\)，得\(x_1=0\)。所以方程組的解為\(\begin{cases}x_1=0\\x_2=1\\x_3=0\end{cases}\)。-當(dāng)\(k=5\)時：此時\(r(A)=r(\overline{A})=2\lt3\)（未知數(shù)個數(shù)），方程組有無窮多解。令\(x_3=t\)（\(t\)為任意實數(shù)），由\(x_2+2x_3=1\)得\(x_2=1-2t\)，再由\(x_1+x_2+x_3=1\)得\(x_1=1-x_2-x_3=1-(1-2t)-t=t\)。所以方程組的通解為\(\begin{cases}x_1=t\\x_2=1-2t\\x_3=t\end{cases}\)（\(t\)為任意實數(shù)）。-不存在無解的情況：因為無論\(k\)取何值，\(r(A)\)與\(r(\overline{A})\)始終相等，所以方程組不存在無解的情況。綜上，當(dāng)\(k\neq5\)時，方程組有唯一解\(\begin{cases}x_1=0\\x_2=1\\x_3=0\end{cases}\)；當(dāng)\(k=5\)時，方程組有無窮多解，通解為\(\begin{cases}x_1=t\\x_2=1-2t\\x_3=t\end{cases}\)（\(t\)為任意實數(shù)）。四、證明題題目1設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，證明：\(r(A)+r(A-E)=n\)。答案本題可通過證明\(r(A)+r(A-E)\leqn\)和\(r(A)+r(A-E)\geqn\)來得出\(r(A)+r(A-E)=n\)。-步驟一：證明\(r(A)+r(A-E)\leqn\)已知\(A^2=A\)，則\(A(A-E)=A^2-A=0\)。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)：若\(AB=0\)，則\(r(A)+r(B)\leqn\)（\(n\)為\(A\)的列數(shù)或\(B\)的行數(shù)），可得\(r(A)+r(A-E)\leqn\)。-步驟二：證明\(r(A)+r(A-E)\geqn\)因為\(A+(E-A)=E\)，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)：\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)，可得\(n=r(E)=r(A+(E-A))\leqr(A)+r(E-A)=r(A)+r(A-E)\)。-步驟三：得出結(jié)論由\(r(A)+r(A-E)\leqn\)和\(r(A)+r(A-E)\geqn\)，可得\(r(A)+r(A-E)=n\)。綜上，命題得證。題目2設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性表示，且表示式唯一，證明：向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\)線性相關(guān)。答案本題可通過反證法來證明向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta\)線